北师版数学九年级上册同步训练《3.2 用频率估计概率》
一、单选题
1．（2021·邢台模拟）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：
抽查小麦粒数 100 500 1000 2000 3000 4000
发芽粒数 95 486 968 1940 2907
则a的值最有可能是（ ）
A．3680 B．3720 C．3880 D．3960
2．（2021·禹州模拟）在一个不透明的袋子里装有红球，黄球共60个，这些球除颜色外其他都相同.小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．9 B．15 C．18 D．24
3．（2021九上·越城期末） 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 附近，则估计袋中的白球大约有（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
4．（2019·绍兴）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x(cm)统计如下:
组别（cm) x<160 160≤x<170 170≤x<180 x≥180
人数 5 38 42 15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
5．（2021·顺德模拟）为了估计某地区梅花鹿的数量，先捕捉20只梅花鹿做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉100只梅花鹿，发现其中5只有标记．估计这个地区的梅花鹿的数量约有（ ）只．
A．200 B．300 C．400 D．500
6．（2021·柯桥模拟）如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
7．（2021九下·江西月考）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
8．（2020·呼和浩特模拟）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
9．（2021九上·宜昌期末）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
10．（2021九上·贵阳期末）小明将贵州健康码打印在面积为 的正方形纸上，如图所示为了估计图中健康码部分的面积，在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入健康码部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计健康码部分的面积约为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·太原模拟）在同样条件下，对某种小麦种子进行发芽试验，统计如下表：
试验种子粒数 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽种子粒数 45 92 188 476 951 1900 2850
据此估计该小麦种子发芽的概率为 （精确到0.01）．
12．（2021·兴城模拟）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 个．
13．（2021·花溪模拟）把一枚木质中国象棋子“兵”从一定高度落下，落地后“兵”字面可能朝上，也可能朝下.为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验数据如下表：
实验次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“兵”字面朝上次数 14 38 52 66 78 88 280 550 1100 2750
“兵”字面朝上频率 0.7 0.63 0.52 0.55 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 0.55
下面有三个推断：①投掷1000次时，“兵”字面朝上的次数是550，所以“兵”字面朝上的概率是0.55；②随着实验次数的增加，“兵”字面朝上的频率总在0.55附近，显示出一定的稳定性，可以估计“兵”字面朝上的概率是0.55；③当实验次数为200次时，“兵”字面朝上的频率一定是0.55.其中合理的是 .（填序号①、②、③）
14．（2021九下·北京月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．
该事件最有可能是 （填写一个你认为正确的序号）．
①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；
②掷一枚硬币，正面朝上；
③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．
15．（2021九上·河南期末）在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球a个.若每次将球充分搅匀后，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，经过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值约为 .
16．（2020九上·朝阳期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40
所有合理推断的序号是 ．
三、解答题
17．（2021九上·富县期末） 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.在这4件产品中加入 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，由此可以推算出 的值大约是多少？
18．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册2.3用频率估计概率 同步练习）某人承包了一池塘养鱼，他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里随意打捞上了60条鱼，把每条鱼都作上标记，放回鱼塘；过了2天，他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条鱼，结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤，平均每条鱼估计2.3斤，你能帮助他估计一下今年的收入情况吗
19．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册26.3 用频率估计概率 同步训练）某封闭的纸箱中有红色、黄色的玻璃球若干，为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目，小亮向纸箱中放入25个白球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率为25％，摸到黄球的频率为40％，试估计出原纸箱中红球、黄球的数目．
20．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册26.3 用频率估计概率 同步训练）对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下：
（1）计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；
抽取球数n 50 100 500 1000 5000
优等品数m 45 92 455 890 4500
优等品频率
（2）该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少
21．（2018·岳阳模拟）目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，我市某中学九年级数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）这次调查的家长总数为 人．家长表示“不赞同”的人数为 人；
（2）请在图①中把条形统计图补充完整；
（3）从这次接受调查的家长中随机抽查一个，恰好是“赞同”的家长的概率是 ；
（4）求图②中表示家长“无所谓”的扇形圆心角的度数．
22．（2021·昆都仑模拟）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：95÷100=0.95，
486÷500=0.972，
968÷1000=0.968，
1940÷2000=0.97，
2907÷3000=0.969，
由抽取的样本数据，我们发现小麦发芽的频率稳定在0.97左右，即用频率估计概率，我们可估计小麦发芽的概率为0.97，
所以，a=4000×0.97=3880，
所以，a最有可能为3880，
故答案为：C．
【分析】分别计算出每一次抽取样本的发芽率，从而判断出小麦的发芽的频率稳定在0.97左右，从而得出答案。
2．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵摸出红球的频率稳定在0.25左右，
∴估计从袋中随机摸出一个小球，是红球的概率为0.25，
∴袋子中红球的个数约为60×0.25=15个.
故答案为：B
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据已知，得到估计从袋中随机摸出一个小球，是红球的概率为0.25，从而计算出 袋子中红球的可能的个数.
3．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设白球个数为x个，
摸到红色球的频率稳定在 左右，
口袋中得到红色球的概率为 ，
，
解得： ，
即袋中的白球大约有20个；
故答案为：B.
【分析】由摸到红球的频率稳定在 附近得出口袋中得到红色球的概率，进而根据概率公式求出白球个数即可.
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】观察统计表，可知一共有100种结果，但身高不等于180cm的有15种情况，
∴
故答案为：D
【分析】利用表中数据，就可得到所有等可能的结果数及身高不等于180cm的情况数，再利用概率公式可求解。
5．【答案】C
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设这个地区的梅花鹿的数量约有x只，
根据题意，得： ，
解得 ，
经检验： 是分式方程的解，
所以这个地区的梅花鹿的数量约400只．
故答案为：C．
【分析】设这个地区的梅花鹿的数量约有x只，根据做标记的梅花鹿熟练所占比例等于捕捉100只梅花鹿中有标记的只数所占比例列出方程，解之即可．
6．【答案】C
【知识点】折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在0.33左右，
所以出现红球的概率是0.33
则袋中红球的数量为：
所以袋中红色球的数目为40个，
故答案为：
【分析】利用折线统计图可知“摸出球为红色”出现的频率稳定在0.33左右，由此可知袋中红球的数量=120×出现红球的概率，列式计算可求解.
7．【答案】B
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【解答】某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，A错；
某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是 ，B符合题意；
当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，C错；
试验得到的频率与概率有可能相等，D错．
故答案为：B
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，根据选项一一判断即可．
8．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A中的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B中的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C中的概率为 ，符合这一结果，故此选项符合题意；
D中的概率为 ，不符合这一结果，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据频率估计概率，进行判断即可。
9．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设盒子里有白球x个，
根据 得：
解得：x=32.
经检验得x=32是方程的解.
答：盒中大约有白球32个.
故答案为：A.
【分析】设盒子里有白球x个，根据列出方程，解之并检验即可.
10．【答案】D
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【解答】 正方形纸面的面积为： ，
经过大量试验，发现点落入二维码部分的频率稳定在0.6左右，
二维码部分的面积约为：
故答案为：D.
【分析】抓住关键已知条件：正方形纸面的面积及经过大量试验，发现点落入二维码部分的频率稳定在0.6左右，然后列式计算.
11．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵在同样条件下，对某种小麦种子粒数3000粒时，种子发芽的频数为2850粒，
∴种子发芽的频率为P= ，
∵在大数次的实验情况下，频率趋于一个稳定值，即概率，
∴估计小麦种子发芽的概率为0.95．
故答案为0.95．
【分析】根据在同样条件下，对某种小麦种子从50粒增加到3000粒时，种子发芽的频数为2850粒
利用频率= 趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95．
12．【答案】9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：袋子中的白球数为： （个）．
故答案为：9
【分析】此题主要考查用频率估计概率，多次大量样本试验后的频率约等于概率.
13．【答案】②
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，
投掷1000次时，“兵”字面朝上的次数是550，所以“兵”字面朝上的频率是0.55， 但概率不应是0.55，一次不具有代表性，故①错误，
随着实验次数的增加，“兵”字面朝上的频率总在0.55附近，显示出一定的稳定性，可以估计"兵”字面朝上的频率是0.55，概率应是0.55， 故②正确；
当实验次数为200次时，“兵”字面朝上的频率可能是0.55，但不一定是0.55，故③错误，
故答案为：②.
【分析】 随着实验次数的增加，“兵”字面朝上的频率总在0.55附近，显示出一定的稳定性，可以估计“兵”字面朝上的概率是0.55，但投掷1000次或200次时，“兵”字面朝上的次数不一定是0.55，据此逐一判断即可.
14．【答案】③
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即 左右，①中向上一面的点数是2的概率为 ，不符合题意；
②中掷一枚硬币，正面朝上的概率为 ，不符合题意；
③中从中任取一球是红球的概率为 ，符合题意．
故答案为③．
【分析】根据折线统计图中的数据计算求解即可。
15．【答案】8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
×100%＝25%，
解得，a＝8，
经检验a＝8是原方程的解，
则a的值约为8；
故答案为：8.
【分析】利用暗箱中红球的数量比上暗箱中小球的总数量=摸到红球的频率建立关于a的方程，解方程求出a的值.
16．【答案】②③
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：①概率要用多次反复试验的频率稳定值来估计，因此① 的推断不合理；
②推断合理；
③20×0.35=7，故推断合理；
④摸到红球是随机事件，当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率不一定是0.40，故④的推断不一定合理．
故答案为：②③．
【分析】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案。
17．【答案】解：由题意，得 ，解得 .
经检验， 是分式方程的解.
答：x的值大约是16.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】直接根据，列出方程即可.
18．【答案】解：设池塘中共有鱼x条，则 = ，得x=1500（条）.则池塘中鱼的总质量为1500×2.3=3450（斤），则今年的收入约为3450×2.8=9660（元）.答：今年的收入约为9660元.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】由已知打捞上了50条鱼，结果里面有2条带标记的，可得出带标记的鱼的概率，再设池塘中共有鱼x条，根据带标记的鱼的概率，列出关于x的方程求解，然后求出池塘中鱼的总质量，用总质量×单价，可解答。
19．【答案】解：由概率和频率公式可求得纸箱中国球的总数和红、白球的数目。如：
球总数=白球数目/白球频率=2525%=100 个
黄球数目=黄球频率球总数=40%100=40 个
红球数目=球总数-白球数目-黄球数目=100-25-40=35 个
则此题求得纸箱中红球35个，黄球40个。
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】本题若想求得红、黄球的数目，则需要先利用白球求出纸箱中的总球数，最后再求得红球和白球数目。
20．【答案】（1）0.9；0.92；0.91；0.89；0.9
（2）若想求得该厂生产乒乓球优等品的概率为多少，需要求得本次抽查的总数，和抽取优等品的总数，以总体优等品的概率表示该厂生产优等品的概率，即：
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）如表所示，求得事件A的概率公式为m/n。则答案为：； ； ； ； ；
【分析】第二题的解答过程中，要掌握总体估计的含义，理解概率公式的定义，熟练掌握概率应用技巧；明确样本估计与总体估计概念。
21．【答案】（1）600；80
（2）解：600×20%=120，补充图形如图；
（3）60%
（4）解：表示家长“无所谓”的圆心角的度数为： ×360°=24°．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；条形统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：调查的家长总数为：360÷60%=600人，很赞同的人数：600×20%=120人，不赞同的人数：600﹣120﹣360﹣40=80人；
（ 3 ）解：“赞同”态度的家长的概率是60%
【分析】（1）由条形图和扇形图可知已知赞同的家长的频数和百分数，所以根据百分数=频数样本容量可得：调查的家长总数=360÷60%=600人；很赞同的人数=600×20%=120人，不赞同的人数=600﹣120﹣360﹣40=80人；
（2）由（1）中的计算即可补全条形统计图；
（3）从这次接受调查的家长中随机抽查一个，恰好是“赞同”的家长的概率==；
（4）扇形圆心角的度数=相应的百分数，所以表示家长“无所谓”的圆心角的度数==。
22．【答案】（1）解：根据题意，得
＝0.3325
≈0.33，
设有x个红球，根据题意，得 ，
解得x≈2
经检验，符合题意．
故这个常数是0.33，由此估出红球有2个．
（2）解：画树状图如下：
据图知，所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（恰好摸到1个白球，1个红球） ．
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为 ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再计算求解即可；
（2）先画树状图，再求出所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，最后计算求解即可。
1 / 1北师版数学九年级上册同步训练《3.2 用频率估计概率》
一、单选题
1．（2021·邢台模拟）育种小组对某品种小麦发芽情况进行测试，在测试基本情况相同的条件下，得到如下数据：
抽查小麦粒数 100 500 1000 2000 3000 4000
发芽粒数 95 486 968 1940 2907
则a的值最有可能是（ ）
A．3680 B．3720 C．3880 D．3960
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：95÷100=0.95，
486÷500=0.972，
968÷1000=0.968，
1940÷2000=0.97，
2907÷3000=0.969，
由抽取的样本数据，我们发现小麦发芽的频率稳定在0.97左右，即用频率估计概率，我们可估计小麦发芽的概率为0.97，
所以，a=4000×0.97=3880，
所以，a最有可能为3880，
故答案为：C．
【分析】分别计算出每一次抽取样本的发芽率，从而判断出小麦的发芽的频率稳定在0.97左右，从而得出答案。
2．（2021·禹州模拟）在一个不透明的袋子里装有红球，黄球共60个，这些球除颜色外其他都相同.小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）
A．9 B．15 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵摸出红球的频率稳定在0.25左右，
∴估计从袋中随机摸出一个小球，是红球的概率为0.25，
∴袋子中红球的个数约为60×0.25=15个.
故答案为：B
【分析】本题考查利用频率估计概率，根据已知，得到估计从袋中随机摸出一个小球，是红球的概率为0.25，从而计算出 袋子中红球的可能的个数.
3．（2021九上·越城期末） 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 附近，则估计袋中的白球大约有（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设白球个数为x个，
摸到红色球的频率稳定在 左右，
口袋中得到红色球的概率为 ，
，
解得： ，
即袋中的白球大约有20个；
故答案为：B.
【分析】由摸到红球的频率稳定在 附近得出口袋中得到红色球的概率，进而根据概率公式求出白球个数即可.
4．（2019·绍兴）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x(cm)统计如下:
组别（cm) x<160 160≤x<170 170≤x<180 x≥180
人数 5 38 42 15
根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】观察统计表，可知一共有100种结果，但身高不等于180cm的有15种情况，
∴
故答案为：D
【分析】利用表中数据，就可得到所有等可能的结果数及身高不等于180cm的情况数，再利用概率公式可求解。
5．（2021·顺德模拟）为了估计某地区梅花鹿的数量，先捕捉20只梅花鹿做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉100只梅花鹿，发现其中5只有标记．估计这个地区的梅花鹿的数量约有（ ）只．
A．200 B．300 C．400 D．500
【答案】C
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设这个地区的梅花鹿的数量约有x只，
根据题意，得： ，
解得 ，
经检验： 是分式方程的解，
所以这个地区的梅花鹿的数量约400只．
故答案为：C．
【分析】设这个地区的梅花鹿的数量约有x只，根据做标记的梅花鹿熟练所占比例等于捕捉100只梅花鹿中有标记的只数所占比例列出方程，解之即可．
6．（2021·柯桥模拟）如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（ ）
A．20 B．30 C．40 D．60
【答案】C
【知识点】折线统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在0.33左右，
所以出现红球的概率是0.33
则袋中红球的数量为：
所以袋中红色球的数目为40个，
故答案为：
【分析】利用折线统计图可知“摸出球为红色”出现的频率稳定在0.33左右，由此可知袋中红球的数量=120×出现红球的概率，列式计算可求解.
7．（2021九下·江西月考）下列说法正确的是（ ）
A．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
B．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是0.616
C．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
D．试验得到的频率与概率不可能相等
【答案】B
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【解答】某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票可能有5张中奖，A错；
某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则该次试验“钉尖向上”的频率是 ，B符合题意；
当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，C错；
试验得到的频率与概率有可能相等，D错．
故答案为：B
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，根据选项一一判断即可．
8．（2020·呼和浩特模拟）某班学生做“用频率估计概率”的实验时，给出的某一结果出现如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（ ）
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数
C．从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的点数之和是7
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：A中的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B中的概率为0.5，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C中的概率为 ，符合这一结果，故此选项符合题意；
D中的概率为 ，不符合这一结果，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据频率估计概率，进行判断即可。
9．（2021九上·宜昌期末）一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ）
A．32个 B．36个 C．40个 D．42个
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设盒子里有白球x个，
根据 得：
解得：x=32.
经检验得x=32是方程的解.
答：盒中大约有白球32个.
故答案为：A.
【分析】设盒子里有白球x个，根据列出方程，解之并检验即可.
10．（2021九上·贵阳期末）小明将贵州健康码打印在面积为 的正方形纸上，如图所示为了估计图中健康码部分的面积，在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入健康码部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计健康码部分的面积约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用样本估计总体；利用频率估计概率
【解析】【解答】 正方形纸面的面积为： ，
经过大量试验，发现点落入二维码部分的频率稳定在0.6左右，
二维码部分的面积约为：
故答案为：D.
【分析】抓住关键已知条件：正方形纸面的面积及经过大量试验，发现点落入二维码部分的频率稳定在0.6左右，然后列式计算.
二、填空题
11．（2021·太原模拟）在同样条件下，对某种小麦种子进行发芽试验，统计如下表：
试验种子粒数 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽种子粒数 45 92 188 476 951 1900 2850
据此估计该小麦种子发芽的概率为 （精确到0.01）．
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵在同样条件下，对某种小麦种子粒数3000粒时，种子发芽的频数为2850粒，
∴种子发芽的频率为P= ，
∵在大数次的实验情况下，频率趋于一个稳定值，即概率，
∴估计小麦种子发芽的概率为0.95．
故答案为0.95．
【分析】根据在同样条件下，对某种小麦种子从50粒增加到3000粒时，种子发芽的频数为2850粒
利用频率= 趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95．
12．（2021·兴城模拟）在一个不透明的袋子里装有红球和白球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出白球的频率稳定在0.3左右，则袋子里白球可能是 个．
【答案】9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：袋子中的白球数为： （个）．
故答案为：9
【分析】此题主要考查用频率估计概率，多次大量样本试验后的频率约等于概率.
13．（2021·花溪模拟）把一枚木质中国象棋子“兵”从一定高度落下，落地后“兵”字面可能朝上，也可能朝下.为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验数据如下表：
实验次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“兵”字面朝上次数 14 38 52 66 78 88 280 550 1100 2750
“兵”字面朝上频率 0.7 0.63 0.52 0.55 0.56 0.55 0.56 0.55 0.55 0.55
下面有三个推断：①投掷1000次时，“兵”字面朝上的次数是550，所以“兵”字面朝上的概率是0.55；②随着实验次数的增加，“兵”字面朝上的频率总在0.55附近，显示出一定的稳定性，可以估计“兵”字面朝上的概率是0.55；③当实验次数为200次时，“兵”字面朝上的频率一定是0.55.其中合理的是 .（填序号①、②、③）
【答案】②
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，
投掷1000次时，“兵”字面朝上的次数是550，所以“兵”字面朝上的频率是0.55， 但概率不应是0.55，一次不具有代表性，故①错误，
随着实验次数的增加，“兵”字面朝上的频率总在0.55附近，显示出一定的稳定性，可以估计"兵”字面朝上的频率是0.55，概率应是0.55， 故②正确；
当实验次数为200次时，“兵”字面朝上的频率可能是0.55，但不一定是0.55，故③错误，
故答案为：②.
【分析】 随着实验次数的增加，“兵”字面朝上的频率总在0.55附近，显示出一定的稳定性，可以估计“兵”字面朝上的概率是0.55，但投掷1000次或200次时，“兵”字面朝上的次数不一定是0.55，据此逐一判断即可.
14．（2021九下·北京月考）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．
该事件最有可能是 （填写一个你认为正确的序号）．
①掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；
②掷一枚硬币，正面朝上；
③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球．
【答案】③
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.33，即 左右，①中向上一面的点数是2的概率为 ，不符合题意；
②中掷一枚硬币，正面朝上的概率为 ，不符合题意；
③中从中任取一球是红球的概率为 ，符合题意．
故答案为③．
【分析】根据折线统计图中的数据计算求解即可。
15．（2021九上·河南期末）在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，蓝球a个.若每次将球充分搅匀后，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，经过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值约为 .
【答案】8
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
×100%＝25%，
解得，a＝8，
经检验a＝8是原方程的解，
则a的值约为8；
故答案为：8.
【分析】利用暗箱中红球的数量比上暗箱中小球的总数量=摸到红球的频率建立关于a的方程，解方程求出a的值.
16．（2020九上·朝阳期末）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．
下面有四个推断：
①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；
②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；
③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；
④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40
所有合理推断的序号是 ．
【答案】②③
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：①概率要用多次反复试验的频率稳定值来估计，因此① 的推断不合理；
②推断合理；
③20×0.35=7，故推断合理；
④摸到红球是随机事件，当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率不一定是0.40，故④的推断不一定合理．
故答案为：②③．
【分析】根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案。
三、解答题
17．（2021九上·富县期末） 4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品.在这4件产品中加入 件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，由此可以推算出 的值大约是多少？
【答案】解：由题意，得 ，解得 .
经检验， 是分式方程的解.
答：x的值大约是16.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】直接根据，列出方程即可.
18．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册2.3用频率估计概率 同步练习）某人承包了一池塘养鱼，他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里随意打捞上了60条鱼，把每条鱼都作上标记，放回鱼塘；过了2天，他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条鱼，结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤，平均每条鱼估计2.3斤，你能帮助他估计一下今年的收入情况吗
【答案】解：设池塘中共有鱼x条，则 = ，得x=1500（条）.则池塘中鱼的总质量为1500×2.3=3450（斤），则今年的收入约为3450×2.8=9660（元）.答：今年的收入约为9660元.
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】由已知打捞上了50条鱼，结果里面有2条带标记的，可得出带标记的鱼的概率，再设池塘中共有鱼x条，根据带标记的鱼的概率，列出关于x的方程求解，然后求出池塘中鱼的总质量，用总质量×单价，可解答。
19．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册26.3 用频率估计概率 同步训练）某封闭的纸箱中有红色、黄色的玻璃球若干，为了估计出纸箱中红色、黄色球的数目，小亮向纸箱中放入25个白球，通过多次摸球实验后，发现摸到白球的频率为25％，摸到黄球的频率为40％，试估计出原纸箱中红球、黄球的数目．
【答案】解：由概率和频率公式可求得纸箱中国球的总数和红、白球的数目。如：
球总数=白球数目/白球频率=2525%=100 个
黄球数目=黄球频率球总数=40%100=40 个
红球数目=球总数-白球数目-黄球数目=100-25-40=35 个
则此题求得纸箱中红球35个，黄球40个。
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【分析】本题若想求得红、黄球的数目，则需要先利用白球求出纸箱中的总球数，最后再求得红球和白球数目。
20．（2017-2018学年数学沪科版九年级下册26.3 用频率估计概率 同步训练）对某厂生产的直径为4cm的乒乓球进行产品质量检查，结果如下：
（1）计算各次检查中“优等品”的频率，填入表中；
抽取球数n 50 100 500 1000 5000
优等品数m 45 92 455 890 4500
优等品频率
（2）该厂生产乒乓球优等品的概率约为多少
【答案】（1）0.9；0.92；0.91；0.89；0.9
（2）若想求得该厂生产乒乓球优等品的概率为多少，需要求得本次抽查的总数，和抽取优等品的总数，以总体优等品的概率表示该厂生产优等品的概率，即：
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）如表所示，求得事件A的概率公式为m/n。则答案为：； ； ； ； ；
【分析】第二题的解答过程中，要掌握总体估计的含义，理解概率公式的定义，熟练掌握概率应用技巧；明确样本估计与总体估计概念。
21．（2018·岳阳模拟）目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，我市某中学九年级数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：
（1）这次调查的家长总数为 人．家长表示“不赞同”的人数为 人；
（2）请在图①中把条形统计图补充完整；
（3）从这次接受调查的家长中随机抽查一个，恰好是“赞同”的家长的概率是 ；
（4）求图②中表示家长“无所谓”的扇形圆心角的度数．
【答案】（1）600；80
（2）解：600×20%=120，补充图形如图；
（3）60%
（4）解：表示家长“无所谓”的圆心角的度数为： ×360°=24°．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；条形统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：调查的家长总数为：360÷60%=600人，很赞同的人数：600×20%=120人，不赞同的人数：600﹣120﹣360﹣40=80人；
（ 3 ）解：“赞同”态度的家长的概率是60%
【分析】（1）由条形图和扇形图可知已知赞同的家长的频数和百分数，所以根据百分数=频数样本容量可得：调查的家长总数=360÷60%=600人；很赞同的人数=600×20%=120人，不赞同的人数=600﹣120﹣360﹣40=80人；
（2）由（1）中的计算即可补全条形统计图；
（3）从这次接受调查的家长中随机抽查一个，恰好是“赞同”的家长的概率==；
（4）扇形圆心角的度数=相应的百分数，所以表示家长“无所谓”的圆心角的度数==。
22．（2021·昆都仑模拟）一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到白球的频数 72 93 130 334 532 667
摸到白球的频率 0.3600 0.3100 0.3250 0.3340 0.3325 0.3335
（1）该学习小组发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，请直接写出这个常数（精确到0.01），由此估出红球有几个？
（2）在这次摸球试验中，从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球，利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果，并求两次摸到的球恰好1是个白球，1个是红球的概率．
【答案】（1）解：根据题意，得
＝0.3325
≈0.33，
设有x个红球，根据题意，得 ，
解得x≈2
经检验，符合题意．
故这个常数是0.33，由此估出红球有2个．
（2）解：画树状图如下：
据图知，所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，
则P（恰好摸到1个白球，1个红球） ．
所以从该袋中摸出2个球，恰好摸到1个白球、1个红球的结果的概率为 ．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再计算求解即可；
（2）先画树状图，再求出所有等可能的情况有9种，其中恰好摸到1个白球，1个红球的情况有4种，最后计算求解即可。
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