2021—2022学年人教版八年级数学上册12.2 三角形全等的判定 同步练习4（HL）（word含答案）

2021——2022学年度人教版八年级数学上册
第十二章全等三角形
12.2三角形全等的判定
同步练习4（HL）
一、选择题
1．下列命题中，假命题是（
）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
D．一边长相等的两个等腰直角三角形全等
2．如图，，，垂足分别为E，F，且，，若，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
3．如图，中，，，，，，则等于（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D，过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F，若AB＝8，AC＝5，则CF＝（　　）
A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
5．如图，在的两边上分别取点，使得，将两个全等的直角三角板的直角顶点分别放在点，处，一条直角边分别落在的两边上，另一条直角边交于点，连接，则判定的依据是（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，
，，垂足分别是，，且，若利用“”证明，则需添加的条件是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
8．如图，在中，，于D，，如果，那么等于（
）
A．
B．3m
C．
D．4m
9．如图，在Rt△ABC中，，，在AC上取一点E，使，过点E作，连接CF，使，若，则AE的长为（
）
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．无法计算
10．已知：如图
DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF．下面结论正确的个数是（
）
①AF＝CE
②AB∥CD
③DF＝BE
④AB＝CD
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题
11．如图，在四边形ABCD中，，，，则________．
12．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，欲使OB＝OC，可以先利用“HL”说明Rt_△_______≌Rt_△_______得到AB＝DC，再利用________证明△AOB≌△DOC得到OB＝OC．
13．如图，△ABC中，∠C=90°,AC=BC，AD平分∠BAC,
点E正好在BD的垂直平分线上，且AB=6，则△DBE的周长是___________.
14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，连接AD，过D点作DE⊥AB，且DE=DC．若AB=5，AC=3，则EB=____．
15．如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若∠AFD＝145°，则∠EDF＝_____．
三、解答题
16．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90度，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2，请问Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请说明理由．
17．如图，已知、相交于点，，于点，于点，．
（1）求证：；
（2）试猜想与的大小关系，并说明理由．
18．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
（1）求证△AMB≌△CNA；
（2）求证∠BAC＝90°．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若DF＝DB，试说明∠B与∠AFD的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若AB＝m，AF＝n，求BE的长（用含m，n的代数式表示）．
20．如图，幼儿园的滑梯有两个长度相等滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．
（1）△ABC与△DEF全等吗？
（2）试说明滑梯BC与EF的位置关系．
21．如图，、相交于点O，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．如图1所示，A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，连接BD与直线AC交于点G，若AB＝CD
（1）DE与BF相等吗？为什么？
（2）BG与DG相等吗？说明理由．
（3）若将DEC的边EC沿AC方向移动，变为图2时，其余条件不变，（1）（2）的结论是否成立？请说明理由
23．如图①，平分，可得．
（1）如图②，平分，参照图①，过点D作于点交的延长线于点F，求证：；
（2）如图③，在四边形中，，过点D作，垂足为点E，若，则的值是多少？（用含a的代数式表示）
【参考答案】
1．D
2．C
3．B
4．A
5．D
6．B
7．A
8．B
9．B
10．D
11．
12．ABC
DCB
AAS
13．6
14．2
15．55°
16．解：Rt△ADE≌Rt△BEC，理由如下：
∵∠1=∠2，
∴DE=EC，
在Rt△ADE和Rt△BEC中
，
∴；
17．（1）证明：
，即：，
，，
，
在和中：
，，
；
（2）解：，理由如下：
，
，
在△AMO和中：
，，，
△AMO≌△DNO(AAS)，
．
18．证明：（1）∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在Rt△AMB和Rt△CNA中，
，
∴Rt△AMB≌Rt△CNA（HL）；
（2）由（1）得：Rt△AMB≌Rt△CNA，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣90°＝90°．
19．（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴∠C＝∠AED＝90°，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC＝AE；
（2）解：∠B+∠AFD＝180°，理由如下：
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC＝DE，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴∠CFD＝∠B，
∵∠CFD+∠AFD＝180°，
∴∠B+∠AFD＝180°；
（3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB，
∴CF＝BE，
由（1）知AC＝AE，
∵AB＝AE+BE，
∴AB＝AC+BE，
∵AC＝AF+CF，
∴AB＝AF+2BE，
∵AB＝m，AF＝n，
∴BE＝（m﹣n）．
20．解：(1)△ABC与△DEF全等．理由如下：
由题意中“两个长度相等滑梯”可知BC=EF，且AC⊥BF，DE⊥BF，
∴在Rt△ABC与Rt△DEF中，，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)；
(2)
BC⊥EF，理由如下：
先将原图形简化，延长BC交EF于H点，交ED于O点，画成如下图所示：
由AC∥OD，得到∠ACB=∠DOB，且对顶角∠DOB=∠EOH，
∴∠ACB=∠EOH
由(1)知，Rt△ABC≌Rt△DEF，则∠1=∠2，
又∠1+∠ACB=90°，
∴∠2+∠EOH=90°，
∴∠EHO=90°，
∴BC⊥EF．
21．解：（1）证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是Rt△，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=32°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=58°，
∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=26°．
22．解：（1）DE＝BF，理由如下：
∵AE＝CF，
∴AE＋EF＝CF＋EF，即：AF＝CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴△ABF、△CDE都是直接三角形，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF＝DE；
（2）BG＝DG，理由如下：
由（1）得：BF＝DF，
在△BGF和△DGE中，
，
∴△BGF≌△DGE（AAS），
∴BG＝DG；
（3）成立，理由如下：
①∵AE＝CF，
∴AE－EF＝CF－EF，即：AF＝CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴△ABF、△CDE都是直接三角形，
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）；
②由①得：BF＝DF，
在△BGF和△DGE中，
，
∴△BGF≌△DGE（AAS），
∴BG＝DG．
23．解：（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图2所示，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠ABD+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠ABD=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DB=DC；
（2）连接AD，作DF⊥AC于F，如图3所示，
∵∠ACD=135°,
∴∠FCD=180°-∠ACD=45°，
∴∠B=45°，
∴∠FCD=∠B，
在△DFC和△DEB中，
，
∴△DFC≌△DEB（AAS），
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF=AE，
∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，
∴AB-AC=2BE=2a．