2021年新教材高中数学 5.1.1任意角练习 （Word 含解析）

任意角
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　)
A．120°　　　
B．－120°
C．240°
D．－240°
2．在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是(　　)
A．120°
B．60°
C．180°
D．240°
3．(多选)给出下列四个命题，其中正确的有(　　)
A．75°是第一象限角
B．225°是第三象限角
C．475°是第二象限角
D．－315°是第四象限角
4．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)
A．90°－α
B．90°＋α
C．360°－α
D．180°＋α
5．(多选)若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、填空题
6．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
8．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.
三、解答题
9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°；②855°；③－510°.
10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角．
提升练
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角是第一或第二象限角
B．第四象限的角可能是负角
C．60°角与600°角是终边相同的角
D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°
2．(多选)已知θ为第二象限角，那么的终边有可能落在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　)
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
4．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________.
拓展
如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　)
A．120°　　　
B．－120°
C．240°
D．－240°
D　[结合角的概念可知，D正确．]
2．在0°到360°范围内，与角－120°终边相同的角是(　　)
A．120°
B．60°
C．180°
D．240°
D　[由－120°＋360°＝240°可知D正确．]
3．(多选)给出下列四个命题，其中正确的有(　　)
A．75°是第一象限角
B．225°是第三象限角
C．475°是第二象限角
D．－315°是第四象限角
ABC　[0°＜75°＜90°，180°＜225°＜270°，
360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.故ABC均正确．]
4．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是(　　)
A．90°－α
B．90°＋α
C．360°－α
D．180°＋α
C　[因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．]
5．(多选)若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在象限是(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
AC　[当k＝0时，α＝45°为第一象限角，当k＝1时，α＝225°为第三象限角．故选AC.]
二、填空题
6．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．
240°　三　[因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．]
7．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________.
k·360°＋60°(k∈Z)　[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]
8．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.
{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}　[在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.
所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．]
三、解答题
9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
①420°；②855°；③－510°.
[解]　作出各角的终边，如图所示：
由图可知：
①420°是第一象限角．
②855°是第二象限角．
③－510°是第三象限角．
10．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)－720°到－360°的角．
[解]　与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，
故所求的最小正角为170°.
(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角为－550°.
提升练
1．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．三角形的内角是第一或第二象限角
B．第四象限的角可能是负角
C．60°角与600°角是终边相同的角
D．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°
BD　[A错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；
B正确；如－15°是第四象限角；
C错误，600°－60°＝540°不是360°的整数倍数；
D正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°×＝60°.]
2．(多选)已知θ为第二象限角，那么的终边有可能落在(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
ABD　[∵θ为第二象限角，∴90°＋k·360°＜θ＜180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋k·120°＜＜60°＋k·120°，k∈Z，
当k＝0时，30°＜＜60°，属于第一象限，
当k＝1时，150°＜＜180°，属于第二象限，
当k＝－1时，－90°＜＜－60°，属于第四象限，
∴是第一、二或第四象限角．故选ABD.]
3．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为(　　)
A．α＋β＝k·360°，k∈Z
B．α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z
C．α－β＝k·360°＋180°，k∈Z
D．α－β＝k·360°，k∈Z
B　[法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.
法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.]
4．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，则α＝________，β＝________.
15°　65°　[由题意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°，①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴－90°＜α－β＜90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得：α＝15°，β＝65°.]
拓展
如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1,0)按逆时针匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°＜α＜β＜180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．
[解]　根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z.
由于两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，又由0°＜α＜β＜180°，知0°＜2α＜2β＜360°，
进而知2α，2β都是钝角，即90°＜2α＜2β＜180°，即45°＜α＜β＜90°，
所以45°＜α＝·180°＜90°，45°＜β＝·180°＜90°，
所以＜m＜，＜n＜.
因为α＜β，
所以m＜n，又m，n∈Z，
所以m＝2，n＝3，
所以α＝°，β＝°.