2021年新教材高中数学 5.1.2弧度制练习 （Word 含解析）

弧度制
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π
rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2．时针经过一小时，转过了(　　)
A．
rad
B．－
rad
C．
rad
D．－
rad
3．(多选)下列表示中正确的是(　　)
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝x上角的集合是
4．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
5．已知扇形的弧长是4
cm，面积是2
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1
B．2
C．4
D．1或4
二、填空题
6．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
8．若α为三角形的一个内角，且α与－的终边相同，则α＝________.
三、解答题
9．已知角α＝2
010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
提升练
1．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A．
B．
C．
D．
2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　　)
A．6平方米
B．9平方米
C．12平方米
D．15平方米
3．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是________．
4．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________．
拓展
如图所示，已知一长为
dm，宽为1
dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A．半圆所对的圆心角是π
rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
[答案]　ABC
2．时针经过一小时，转过了(　　)
A．
rad
B．－
rad
C．
rad
D．－
rad
B　[转过的角为负角，大小为
rad，故选B.]
3．(多选)下列表示中正确的是(　　)
A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}
B．终边在y轴上角的集合是
C．终边在坐标轴上角的集合是
D．终边在直线y＝x上角的集合是
ABC　[对于A，终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正确；
对于B，终边在y轴上的角的集合是，故B正确；
对于C，终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，
故合在一起即为∪＝，故C正确；对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是，故D错误．]
4．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
D　[因为－2π＜－5＜－，所以α是第一象限角．]
5．已知扇形的弧长是4
cm，面积是2
cm2，则扇形的圆心角的弧度数是(　　)
A．1
B．2
C．4
D．1或4
C　[因为扇形的弧长为4，面积为2，
所以扇形的面积为×4×r＝2，解得r＝1，
则扇形的圆心角的弧度数为＝4.故选C.]
二、填空题
6．－135°化为弧度为________，化为角度为________．
－　660°　[－135°＝－135×＝－；＝×180°＝660°.]
7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．
　48　[α＝＝＝，
S＝l·r＝×12×8＝48.]
8．若α为三角形的一个内角，且α与－的终边相同，则α＝________.
　[－＝－4π＋，
所以与－终边相同的角为＋2kπ，k∈Z.
又α∈(0，π)，故α＝.]
三、解答题
9．已知角α＝2
010°.
(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；
(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
[解]　(1)2
010°＝2
010×＝＝5×2π＋，
又π＜＜，
∴α与终边相同，是第三象限的角．
(2)与α终边相同的角可以写成γ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－5π≤γ＜0，
∴当k＝－3时，γ＝－π；
当k＝－2时，γ＝－π；
当k＝－1时，γ＝－π.
10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
[解]　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝
rad.
(2)由(1)可知α＝
rad，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·5＝×10×5＝25，
∴S＝S扇形－S△AOB＝25.
提升练
1．(多选)圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为(　　)
A．
B．
C．
D．
AD　[设该弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π－2α，
由于弦长等于半径，
所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝.]
2．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)(　　)
A．6平方米
B．9平方米
C．12平方米
D．15平方米
B　[如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝4，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得，矢＝4－2＝2，由AD＝AO·sin＝4×＝2，可得：弦＝2AD＝2×2＝4，所以，弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．]
3．自行车的大链轮有88齿，小链轮有20齿，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮转过的弧度数是________．
　[由题意，当大链轮逆时针转过一周时，小链轮逆时针转过周，小链轮转过的弧度是×2π＝.]
4．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为________．
　[如图，设圆的半径为R，则正方形边长为R，
∴弧长l＝R，∴α＝＝＝.]
拓展
如图所示，已知一长为
dm，宽为1
dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．
[解]　
所在的圆半径是2
dm，圆心角为；所在的圆半径是1
dm，圆心角为；A2A3所在的圆半径是
dm，圆心角为，所以点A走过的路径长是三段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝(dm)．
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2＋××1＋××＝(dm2)．