2021-2022北师大版八年级数学上册第1章勾股定理 同步能力提升训练（word含答案）

2021-2022北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步能力提升训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．BD平分∠ABC，AB＝5
cm，BC＝3
cm，则AD的长等于（　　）
A．2.5cm
B．2cm
C．1.5cm
D．3cm
2．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　）
A．23
B．46
C．65
D．69
3．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．②④
C．①②③
D．①③
4．如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，再分别以正方形②和②′的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（　　）
A．8cm2
B．16cm2
C．32cm2
D．64ccm2
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（　　）
A．3
B．5
C．
D．6
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（　　）
A．15
B．16
C．17
D．18
7．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝3，BC＝4．以AB、BC、AC为直径作半圆围成两月形，则阴影部分的面积为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
8．如图，在单位为1的正方形网格图中有a，b，c，d四条线段，从中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　）
A．47
B．62
C．79
D．98
10．一辆装满货物，宽为2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的高必须低于（　　）
A．4.1m
B．4.0m
C．3.9m
D．3.8m
11．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝　
　．
12．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝　
　°．
13．如图，在5×3的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，则∠ABC+∠ACB＝　
　．
14．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝　
　°．（点A，B，C，D，P是网格线交点）
15．如图，在一个长为8cm，宽为5cm的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为2cm的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是　
　．
16．如图，圆柱形玻璃杯高为24cm、底面周长为36cm，在杯内离杯底8cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿8cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为　
　cm．
17．如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面挡板AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求BC的长．
18．绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝5，BC＝13，BE＝12．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由；
（2）求线段AB的长．
19．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？
20．如图，已知等腰△ABC的腰AB＝AC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，AD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△BDC的面积．
21．勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：
两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：
（1）填空：∠AGE＝　
　°，S四边形ADBE＝　
　c2．
（2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．
22．如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
（1）通过计算判断△ABC的形状；
（2）求AB边上的高．
23．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD有以下结论：
①AB2+CD2＝BC2+AD2；
②S四边形ABCD＝AD?BC；
③S△OAB?S△OCD＝S△OBC?S△ODA；
（1）以上结论中，正确的有
　
　（只要填序号即可）；
（2）证明（1）中一个正确的结论．
参考答案
1．解：法一、如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝DC，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝3cm，
∵AB＝5cm，
∴AE＝AB﹣BE＝2cm，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
设AD＝xcm，则DE＝DC＝AC﹣AD＝（4﹣x）cm，
在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即22+（4﹣x）2＝x2，
解得x＝2.5，
∴AD＝2.5cm．
故选：A．
法二、如图，过点D作DE⊥AB于点E，
由法一可知，DE＝DC，BE＝BC＝3
cm，
Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5
cm，BC＝3
cm，
由勾股定理可得AC＝4
cm，
设DE＝tcm，则CD＝tcm，
∴AD＝（4﹣t）cm，
∵S△ABD＝AB?DE＝AD?CD，
∴AB?DE＝AD?CD，即5t＝3（4﹣t），
解得t＝1.5，
∴AD＝2.5
cm，
故选：A．
2．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2
＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝132﹣102
＝69．
故选：D．
3．解：由题意知，
由①﹣②得2xy＝45
③，
∴2xy+4＝49，
①+③得x2+2xy+y2＝94，
∴（x+y）2＝94，
∴x+y＝．
∴结论①②③正确，④错误．
故选：C．
4．解：第一个正方形的面积是S；
第二个正方形的面积是；
第三个正方形的面积是；
…
第n个正方形的面积是，
∵正方形⑤的面积是2，
∴正方形①的面积32．
故选：C．
5．解：连接DE，如图所示，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，
∵AD＝AC＝6，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝4，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝8﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3；
∴CE＝3；
∴BE＝8﹣3＝5．
故选：B．
6．解：过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE＝90°，AE＝AB，
∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠BAC＝90°，
∴∠AEF＝∠BAC，
在△AEF和△BAC中，
，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，
在Rt△ECF中，EF＝8，FC＝FA+AC＝8+7＝15，
根据勾股定理得：CE＝17．
故选：C．
7．解：∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+CB2，
S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣直径为AB的半圆的面积，
＝π×+π×+AC×CB﹣π×（）2
＝π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC
＝×3×4
＝6．
故选：B．
8．解：由图可得，
∴从a，b，c，d四条线段中任取三条线段所构成的三角形中恰好是直角三角形的个数为2，
故选：B．
9．解：由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，
∴x＝63，y＝16，
∴x+y＝79，
故选：C．
10．解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝1.6（m），
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
11．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC＝3，
过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝4，
∴AE＝1，
∵AD2＝DE2+AE2，
∴AD2＝（3﹣AD）2+12，
∴AD＝，
故答案为：．
12．解：连接BC，
由勾股定理得：OC2＝12+22＝5，OB2＝12+32＝10，BC2＝12+22，
∴OC＝BC，OC2+BC2＝OB2，
∴∠OCB＝90°，
即△COB是等腰直角三角形，
∴∠COB＝45°，
∵∠DOA＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝∠DOA﹣∠COB＝45°，
故答案为：45．
13．解：方法一：如图，取格点D，连接AD、CD，
根据网格和勾股定理，得
AD2＝DC2＝5，AC2＝10，
∴AD2+DC2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝45°．
∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°．
故答案为：45°．
14．解：连接AE，PE，
则∠EAB＝∠PCD，
故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，
设正方形网格的边长为a，
∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，
∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°，
又∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA＝45°，
∴∠PAB﹣∠PCD＝45°，
故答案为：45．
15．解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为8+2×2＝12（cm）；宽为5cm．
于是最短路径为：＝13（cm）．
故答案为13cm．
16．解：如图：
将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′C，则A′C即为最短距离，
A′C2＝A′D2+CD2
＝182+242
＝900，
∴A′C＝30（cm）．
答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的平方是30cm．
17．解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA＝90°，
设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，
即：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5．
答：BC的长为1.5米
18．解：（1）△ABE是直角三角形，理由如下：
∵BE＝12，CE＝5，BC＝13，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴△BEC是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，
∴△ABE是直角三角形；
（2）设AE＝x，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝x+5，
在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，
∴x2+122＝（x+5）2，
∴x＝11.9，
∴AB＝x+5＝16.9．
19．解：由勾股定理可得：BC＝40，
40米＝0.04千米，
2秒＝小时．
0.04÷＝72＞70．
所以超速了．
20．证明：（1）∵AB＝AC＝13cm，CD＝12cm，AD＝5cm，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴△BDC为直角三角形；
（2）∵AB＝13cm，AD＝5cm，
∴BD＝13﹣5＝8cm，
∵CD＝12cm，
∴．
21．解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠EDF＝∠CAB，
∵∠EDF+∠CAE＝90°，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°；
∴DE⊥AB，
∴S四边形ADBE＝S△ACB+S△ABE＝AB?DG+AB?EG＝AB?（DG+EG）＝AB?DE＝c2，
故答案为：90，；
（2）∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABE＝AB?DG+AB?EG＝AB?（DG+EG）＝AB?DE＝c2，
四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF）?CF+BF?EF＝（b+a）b+（a﹣b）?a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2，
∴c2＝a2+b2，
即a2+b2＝c2．
22．解：（1）由勾股定理得：AC2＝42+22＝20，BC2＝22+12＝5，AB2＝32+42＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）∵△ABC是直角三角形，
∴AB边上的高＝2
23．解：（1）①③，
故答案为：①③；
（2）①∵AC⊥BD，
∴AB2＝AO2+BO2，CD2＝OC2+OD2，BC2＝BO2+CO2，AD2＝OA2+OD2，
∴AB2+CD2＝BC2+AD2，
②S四边形ABCD＝AC?BD，故②错误，
③