2021-2022学年九年级数学北师大版上册1.1菱形的性质与判定同步能力提升测评（word含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
同步能力提升测评（附答案）
一．选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．如图，若菱形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（3，0）、（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（　　）
A．（﹣5，4）
B．（﹣5，5）
C．（﹣4，4）
D．（﹣4，5）
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE和EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．1
3．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为（　　）
A．5
B．6.5
C．10
D．12
4．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，BC的垂直平分线EF分别交BC，AC于点E、F，连接DF，若∠BCD＝70°，则∠ADF的度数是（　　）
A．60°
B．75°
C．80°
D．110°
5．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中重叠（阴影）部分的面积为（　　）
A．
B．2
C．
D．
6．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，连接EF交BD于点O，连接AO．若∠DBC＝25°，则∠OAD的度数为（　　）
A．50°
B．55°
C．65°
D．75°
7．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有（　　）个．
①EF⊥AC；②四边形ADFE是菱形；③AD＝4AG；④△DBF≌△EFA．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE＝DC；⑥BF＝BC，正确结论的有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
9．如图，在菱形ABCD中，点E为边AB的中点，且DE⊥AB，则∠ABC的大小为
　
　度．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为
　
　．
11．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝　
　．
12．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM＝15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF＝，则对角线BD的长为
　
　.（结果保留根号）
13．如图，已知AB＝6，P为线段AB上的一个动点，分别以AP、PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE．点P、C、E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N别是对角线AC、BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为　
　．
14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；
④如果AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有　
　．（只填写序号）
15．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝　
　．
16．如图，在菱形ABCD中，点F为对角线AC上一点，点E在DF的延长线上，且DF＝EF，连接CE、BE，若AF＝3，BE＝2，BC＝5，则EC＝　
　．
三．解答题（共7小题，每小题8分，满分56分）
17．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是AC上一点，F是BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF．
（1）若E是AC的中点，如图①所求，求证：BE＝EF；
（2）若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，如图②所示，线段BE与EF有怎样的数量关系？请证明．
18．如图，已知平行四边形ABCD．过A作AM⊥BC于点M．交BD于点E，过C作CN∥AM交AD于点N，交BD于点F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）当四边形AECF为菱形，M点为BC的中点，且BC＝3时，求CF的长．
19．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．
（1）求证：CE＝DE；
（2）当BE＝4，CE＝2时，求菱形的边长．
20．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
21．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝6，∠DAB＝60°，求OE的长．
22．已知：如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，BO平分∠ABC交AC于点O，延长BO至点D，使OD＝BO，连接AD，CD，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果AB＝2，∠BAD＝60°，求DE的长．
23．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AB、DC于点E，F，连接DE，BF．
（1）求证：四边形DEBF是菱形：
（2）设AD∥EF，AD+AB＝12，BD＝4，求AF的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝3﹣（﹣2）＝5，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝5，
即CD∥x轴，
在Rt△AOD中，
由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故选：A．
2．解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，
在Rt△AOD中，AD＝，
又∵E是边AD的中点
∴，
∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，
∴四边形EFOG为矩形，
∴FG＝OE＝6.5．
故选：B．
4．解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DCF＝∠BCF＝∠BCD＝35°，AC垂直平分BD，AD∥BC，
∴BF＝DF，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴BF＝CF，
∴DF＝CF，
∴∠CDF＝∠DCF＝35°，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠ADF＝110°﹣35°＝75°，
故选：B．
5．解：设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示：
∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形，
∴AB＝CE，∠B＝∠E＝90°，AD∥BC，AE∥CF，
∴四边形AGCH是平行四边形，
在△ABG和△CEG中，
，
∴△ABG≌△CEG（AAS），
∴AG＝CG，
∴四边形AGCH是菱形，
设AG＝CG＝x，则BG＝BC﹣CG＝6﹣x，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CG＝，
∴菱形AGCH的面积＝CG×AB＝×2＝，
即图中重叠（阴影）部分的面积为，
故选：C．
6．方法一：解：如图，连接EC，OC，AF．
在菱形ABCD中，∠EBC＝∠ADF，∠ADB＝∠DBC＝25°，AB＝CD，BC＝DA．
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF．
在△EBC与△FDA中，
．
∴△EBC≌△FDA（SAS）
∴EC＝AF．
又AE＝CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴EF与AC平分，
∴在菱形ABCD中，AO⊥BD，
∴∠OAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣25°＝65°．
方法二：解：∵ABCD是菱形，AE＝CF，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴BE＝DF，∠OBD＝∠ODF，
在△OEB和△OFD中，
∴△OEB≌△ODF（AAS）．
∴OB＝OD，
∴AO⊥BD，
∴∠OAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣25°＝65°．
故选：C．
7．解：①如图，连接CF，
∵∠ACB＝90°，F为AB中点，
∴CF＝AB＝AF，
∴点F在AC的垂直平分线上，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE＝CE，
∴点E在AC的垂直平分线上，
∴EF⊥AC，①正确；
②∵△ABD是等边三角形，F是AB中点，
∴DF⊥AB，∴AD＞DF，
∴四边形ADFE不可能是菱形，②不正确；
③∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD＝BD，∠DAB＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°，
∴AD∥BC，
∵AC⊥EF，∠ACB＝90°，
∴EF∥AD，
∴AD∥EF，
∵△ACE是等边三角形，EF⊥AC，
∴∠AEC＝∠CAE＝60°，∠AEF＝30°，
∴EF＝2AF＝AB，
∴AD＝EF，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AG＝AF＝AB＝AD，
∴AD＝4AG，③正确；
④∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE＝DF，AD＝FE，
∵AD＝BD，
∴BD＝FE，
又∵AF＝FB，
∴△DBF≌△EFA（SSS），④正确；
正确的结论有3个，
故选：C．
8．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD．∠A＝∠BCD．
∵∠A＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形．
∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∠CDB＝∠CBD＝60°．
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴∠BFD＝∠DEB＝90°，
∴∠GDB＝∠GBD＝30°，
∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG，
∴∠BGD＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
故①正确；
在△CDG和△CBG中，
，
∴△CDG≌△CBG（SSS），
∴∠DGC＝∠BGC＝60°．
∴∠GCD＝30°，
∴CG＝2GD＝GD+GD，
∴CG＝DG+BG．
故②正确．
∵△GBC为直角三角形，
∴CG＞BC，
∴CG≠BD，
∴△BDF与△CGB不全等．
故③错误；
∵S菱形ABCD＝2S△ADB＝2×AB?DE
＝AB?（BE）
＝AB?AB
＝AB2，
故④错误；
∵DE＝BE＝AB＝CD，
∴2DE＝CD，
故⑤正确；
∵BD＞BF，BD＝BC，
∴BC＞BF，
故⑥错误．
∴正确的有：①②⑤共三个．
故选：C．
二．填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）
9．解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵E是AB的中点，且DE⊥AB，
∴AD＝BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠BAD＝60°，
∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝8，
又∵S菱形ABCD＝，
∴BD＝6，
∵DH⊥AB，
在Rt△BHD中，点O是BD的中点，
∴OH＝＝3．
故答案为：3．
11．解：如图，连接BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC，∠DCF＝∠BCF，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CDF，
∵FE垂直平分AB，∠BAF＝×100°＝50°，
∴∠ABF＝∠BAF＝50°，
∵∠ABC＝180°﹣100°＝80°，∠CBF＝80°﹣50°＝30°，
∴∠CDF＝30°．
故答案为：30°．
12．解：如图，连接AC交BD于点H，
由菱形的性质得∠BDC＝35°，∠DCE＝70°，
又∵∠MCE＝15°，
∴∠DCF＝55°，
∵DF⊥CM，
∴∠CDF＝35°，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴BD平分∠ADC，
∴∠HDC＝35°，
在△CDH和△CDF中，
，
∴△CDH≌△CDF（AAS），
∴DF＝DH＝，
∴DB＝2，
故答案为2．
13．解：连接PM、PN，如图所示：
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，
∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，
∴∠MPN＝60°+30°＝90°，
设PA＝2x，则PB＝6﹣2x，PM＝x，PN＝（3﹣x），
∴MN＝＝，
∴x＝时，点M，N之间的距离最短，最短距离为，
故答案为：．
14．解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；
∵∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是矩形，故②错误；
∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，
∴四边形AEDF是菱形，故③正确；
∵AB＝AC，四边形AEDF是平行四边形，
不能得出AE＝AF，故四边形AEDF不一定是菱形，故④错误；
故答案为：①③．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AO＝AC＝×6＝3，OB＝OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OD＝OB，
∴OE＝BD＝×8＝4，
故答案为：4．
16．解：如图所示，过E作EG⊥AC于G，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴∠DOF＝∠EGF＝90°，
在△DOF和△EGF中，
，
∴△EFG≌△DFO（AAS），
∴GF＝OF，EG＝DO＝BO，
又∵EG∥BO，
∴四边形BOGE是平行四边形，
∴BE＝GO＝2，
∴FO＝GO＝1，
又∵AF＝3，
∴AO＝3+1＝4，CO＝4，
∴CG＝4+2＝6，
Rt△BCO中，BO＝＝＝3，
∴EG＝BO＝3，
Rt△CEG中，CE＝＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，每小题8分，满分56分）
17．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF；
（2）解：BE＝EF；
证明：过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝120°，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBD，
又∵AM⊥BC，
∴AM⊥AD；
∵CN⊥AD，
∵AM∥CN，
∴AE∥CF；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）如图，连接AC交BF于点O，
当四边形AECF为菱形时，
则AC与EF互相垂直平分，
∵BO＝OD，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴?ABCD是菱形，
∴AB＝BC；
∵M是BC的中点，AM⊥BC，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，∠CBD＝30°，
∴BC＝CF＝3，
∴CF＝．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∵AE＝DE，
∴CE＝DE；
（2）解：如图，连接AC交BD于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，
∵CE＝DE＝AE＝2，
∴BD＝BE+DE＝4+2＝6，
∴BH＝BD＝3，EH＝BE﹣BH＝1，
∴CH＝＝＝，
∴BC＝＝＝2，
∴菱形的边长为2．
20．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
21．（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，∠DAO＝∠DAB＝30°，
∴∠AOD＝90°，OD＝ED，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠ADO＝∠E+∠DOE＝60°，
∴∠E＝∠DOE＝30°，
∴OD＝AD＝3，OA＝OD＝3，
∵∠DAO＝30°，
∴∠E＝∠EAO，
∴OE＝OA＝3．
22．（1）证明：∵AB＝BC，BO平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
∵BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，∠ABD＝∠CBD，
∴∠BOC＝∠AOB＝90°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°，
∵AB＝2，BO＝DO，
∴BO＝DO＝AB＝1，
即BD＝1+1＝2，
∵∠AOB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∴∠DBC＝∠ABD＝60°，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE＝90°，
∴∠E＝30°，
∴BE＝2BD＝4，
由勾股定理得：DE＝＝＝2．
23．（1）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）过点F作FG⊥AB于点G，如图，
∵AD∥EF，EF⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，
∵AD+AB＝12，BD＝4，
∴AD2+（4）2＝（12﹣AD）2，
解得AD＝4，AB＝8，
∴∠ABD＝30°，
∵四边形DEBF是菱形，
∴∠EBF＝2∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OD，EF∥AD，
∴AE＝BE＝4，
∵FG⊥BE，
∴EG＝BG＝2，
在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，
根据勾股定理得，FG＝，
在Rt△AGF中，AG＝6，
根据勾股定理得，
AF＝＝＝4．