2021-2022学年九年级数学北师大版上册1.3正方形的性质与判定同步能力提升测评（word含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步能力提升测评（附答案）
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．下列性质中，矩形具有、正方形也具有、但是菱形却不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．对角线长度相等
D．一组对角线平分一组对角
2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（　　）
A．1
B．
C．2
D．2
3．如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE度数是（　　）
A．15°
B．32.5°
C．22.5°
D．30°
4．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（　　）
A．2
B．4
C．
D．
5．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°，②∠BAF＝∠EDB，③AM＝MF，④ME+MF＝MB．其中正确结论的有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，则下列结论：
①OA＝OD；②AD⊥EF；③AE+DF＝AF+DE；
④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．其中一定正确的是（　　）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
二．填空题（共8小题，满分32分）
7．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一点，且AC＝EC，则∠DAE＝　
　．
8．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为　
　．
9．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　
　．
10．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为
　
　．
11．如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝　
　．
12．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则BH＝　
　．
13．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD．其中正确的序号是　
　．
14．如图，正方形ABCD的顶点A在直线l上，BE⊥直线l于点E，连接DE，若AE＝3，则△ADE的面积为
　
　．
三．解答题（共8小题，满分64分）
15．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．
16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．
（1）求证：四边形ABCF是正方形；
（2）求BG的长．
17．已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，AE⊥BF，且AE＝BF．
（1）求证：矩形ABCD是正方形；
（2）联结BE、EF，当线段DF是线段AF与AD的比例中项时，求证：∠DEF＝∠ABE．
18．如图，?ABCD中，∠A＝45°，过点D作ED⊥AD交AB的延长线于点E，且BE＝AB，连接BD，CE．
（1）求证：四边形BDCE是正方形；
（2）P为线段BC上一点，点M，N在直线AE上，且PM＝PB，∠DPN＝∠BPM．求证：AN＝PB．
19．如图，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN；
（1）则DN与CM的数量关系是
　
　，位置关系是
　
　．
（2）若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
（3）延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，试求PM的长．
20．如图1，在正方形ABCD中，点E是AB延长线上一点，连接DE．
（1）过点A作AF⊥DE于点F，若AD＝6，BE＝2，求AF的长；
（2）如图2，点N在对角线BD上，且∠NAB＝∠ADE，延长BA至点M，AM＝BE，连接MN，求证：DE＝AN+MN．
21．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，AF平分∠DAE，交CD于点F，且CF＝DF，连接EF．
（1）求证：EF⊥AF；
（2）若AB＝2，求CE的长．
22．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，联结EG．
（1）求证：四边形AEGF是菱形；
（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分24分）
1．解：∵菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线互相垂直；
矩形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，对角线相等；
正方形具有菱形和矩形的性质，
∴菱形不具有的性质为：对角线相等，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，
∴∠DON+∠CON＝90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∴∠DON+∠DOM＝90°，
∴∠DOM＝∠CON，
在△DOM和△CON中，
，
∴△DOM≌△CON（ASA），
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2＝4，
∴AB＝2，
故选：C．
3．解：∵AC、BD是正方形ABCD对角线，
∴∠BAE＝∠ABD＝45°，
又AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°，
∴∠DBE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
故选：C．
4．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，BC⊥CD，
∴MN⊥AB，
∵四边形DEFG是正方形，
∴FG⊥CD，
∴FG∥HM∥BC，
∵H是BF的中点，
∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，
∴HN是△BFP的中位线，
∴HN＝FP＝1，
∴MH＝5﹣1＝4，
Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，
故选：D．
5．解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
∴AE＝BF＝BC，
在△ABF和△DAE中，，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，
∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，
故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，
故②错误；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，
在Rt△ABF中，AF＝＝a，
∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，
∴AM＝a，
∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，
∴AM＝MF，
故③正确；
如图，过点M作MN⊥AB于N，
则MN＝a，AN＝a，
∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，
根据勾股定理，BM＝＝a，
∵ME+MF＝a+a＝a，MB＝a＝a，
∴ME+MF＝MB．
综上所述，正确的结论有①③④共3个．
故选：B．
6．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，
∴①不正确；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，DE＝DF，
∴AE+DF＝AF+DE，
∴③正确；
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0（SAS），
∴EO＝FO，
又∵AE＝AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确；
∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴④正确．
综上，可得正确的是：②③④．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分32分）
7．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，AD∥BC，
∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE＝2∠E，
∴∠E＝∠ACB＝22.5°，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠E＝22.5°．
故答案为：22.5°．
8．解：如图，连接AO，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝，BD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
又∵OM⊥AD，ON⊥AB，
∴四边形AMON是矩形，
∴AO＝MN，
∵当AO⊥BD时，AO有最小值，
∴当AO⊥BD时，MN有最小值，
此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，
∴AO＝BD＝1，
∴MN的最小值为1，
故答案为：1．
9．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6
∴BF＝＝10
∴GH＝5
故答案为：5
10．解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，
∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．
故答案为：15°
11．解：连接EO
∵ABCD为正方形
∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝8
∴AO＝CO＝BO＝4
∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO
∴+
∴EF+EG＝4
故答案为4．
12．解：连接BD、BF，
∵四边形ABCD，BEFG是正方形，且边长分别为3和4，
∴∠DBC＝∠GBF＝45°，BD＝3，BF＝4，
∴∠DBF＝90°，
由勾股定理得：DF＝＝5，
∵H为线段DF的中点，
∴BH＝DF＝．
故答案为：．
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AB⊥AD，
∴四边形ABCD是正方形，①正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BD，AB⊥BD，
∴平行四边形ABCD不可能是正方形，②错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，OB＝OC，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，
又OB⊥OC，即对角线互相垂直，
∴平行四边形ABCD是正方形，③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，
∴平行四边形ABCD是正方形，④正确；
故答案为：①③④．
14．解：过点D作DF⊥l于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵∠DAF+∠BAE＝90°，∠ADF+∠DAF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF≌△BAE（AAS），
∴DF＝AE＝3，
∴S△ADE＝，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分64分）
15．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形．
16．解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，
∴FC＝FD，
∴∠D＝∠FCD＝45°，
∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°，
又∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCF是正方形；
（2）∵FG垂直平分CD，
∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°，
∵BG∥AD，
∴∠G＝∠EFD，
在△CEG和△DEF中，
，
∴△CEG≌△DEF（AAS），
∴CG＝FD，
又∵正方形ABCF中，BC＝AF，
∴AF+FD＝BC+CG，
∴AD＝BG＝a．
17．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∵AE⊥BF，
∴∠DAE+∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形；
（2）由（1）可知，△ABF≌△DAE，
∴AF＝DE，
∴DF＝CE，
∴∠DEF＝∠CEB，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CEB，
∴∠ABE＝∠DEF．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵BE＝AB，
∴BE∥CD，
∴四边形BDCE是平行四边形，
∵ED⊥AD，∠A＝45°，
∴∠A＝∠DEA＝45°，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
又∵AB＝BE，
∴DB＝BE，DB⊥BE，
∴平行四边形BDCE是正方形；
（2）∵四边形BDCE是正方形，
∴BD＝BE＝AB，∠DBP＝∠EBP＝45°，
∵PM＝PB，
∴∠PBM＝∠PMB＝45°，
∴∠BPM＝90°，
∴∠DPN＝∠BPM＝90°，
∴∠DPB＝∠NPM，
在△DBP和△NMP中，
，
∴△DBP≌△NMP（ASA），
∴DB＝MN，
∴AB＝NM，
∴AN＝BM，
∵BP＝PM，∠BPM＝90°，
∴BM＝BP，
∴AN＝BP．
19．解：（1）如图1，设CM与DN相交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠NCD＝90°，
∵BM＝CN，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD＝90°，
∴∠CDN+∠MCD＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴DN⊥CM，
故答案为：CM＝DN，DN⊥CM；
（2）如图2，连CE并延长交AD于G，
∵BC∥AD，
∴∠ENC＝∠EDG，
∴NE＝DE，∠NEC＝∠GED，
∴△CNE≌△GDE（ASA），
∴CE＝EG，NC＝GD＝1，
又∵MF＝CF，
∴EF＝MG，
∵正方形的边长为3，BM＝CN＝1，
∴AM＝AG＝2，
∴GM＝＝2，
∴EF＝；
（3）如图3，过点B作BH⊥CM于点H，
∵CM2＝BC2+BM2，
∴CM＝，
∵CM?BH＝BC?BM，
∴BH＝，
∴CH＝＝，
∴∠BPC＝45°，
∴PH＝BH＝，
∴PC＝，
∴PM＝PC﹣CM＝．
20．（1）解：如图（1），
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝6，∠DAB＝90°，
在Rt△ADE中，AD＝6，AE＝AB+BE＝6+2＝8，
∴DE＝＝10，
∵AF⊥DE，
∴AF?DE＝AD?AE，
∴AF＝＝；
（2）证明：连接AC交DE于P，连接PB，如图（2），
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝CB，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠DCA＝∠BCA＝45°，
在△CBP和△CDP中，
，
∴△CPB≌△CPD（SAS），
∴PB＝PD，∠CBP＝∠CDP，
∵∠NAB＝∠ADE，
∴90°﹣∠NAB＝90°﹣∠ADE，
即∠DAN＝∠CDP，
在△DAN和△CDP中，
，
∴△DAN≌△CDP（ASA），
∴AN＝DP，
∵∠CBP＝∠CDP＝∠DAN，
∴∠EBP＝∠MAN，
∵BP＝DP，DP＝AN，
∴BP＝AN，
在△BEP和△AMN中，
，
∴△BEP≌△AMN（SAS），
∴EP＝MN，
∴DE＝DP+EP＝AN+MN．
21．证明：（1）延长BC交AF的延长线于点G，
∵AD∥CG，
∴∠DAF＝∠FGC，
又∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
∴∠G＝∠EAF，
∴EA＝EG，
∵点F为CD的中点，
∴CF＝DF，
在△ADF和△GCF中，
，
∴△ADF≌△GCF（AAS），
∴AF＝FG，
∵AE＝EG，
∴EF⊥AG，
即EF⊥AF；
（2）∵△ADF≌△GCF，
∴AD＝CG＝2，
设CE＝a，则BE＝2﹣a，
∴AE＝EG＝EC+CG＝2+a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
AB2+BE2＝AE2，
即22+（2﹣a）2＝（2+a）2，
解得a＝，
∴CE＝．
22．（1）证明：∵菱形ABCD，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAC，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，
∴∠EAG＝∠FAG，
∵FG∥AE，
∴∠EAG＝∠FGA，
∴∠FAG＝∠FGA，
∴FG＝AF＝AE，
∵FG∥AE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
又∵AF＝AE，
∴四边形AEGF是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠BAE＝30°，
∵△ABE≌△ADF，
∴∠BAE＝∠DAF＝30°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝150°，
∴∠EAF＝∠BAD﹣∠BAE﹣∠DAF＝150°﹣30°﹣30°＝90°，
∵四边形AEGF是菱形，
∴四边形AEGF是正方形．