2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定同步能力提升测评（word含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》
同步能力提升测评（附答案）
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，动点F从点B出发，沿BC运动到点C时停止，以EF为边作?EFGH，且点G、H分别在CD、AD上．在动点F运动的过程中，?EFGH的面积（　　）
A．逐渐增大
B．逐渐减小
C．不变
D．先增大，再减小
2．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥BG交CD于点E，CB＝CE，连接CG交BE于点F，则∠ECF的度数为（　　）
A．30°
B．22.5°
C．25°
D．15°
3．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF等于（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，则矩形AOBC的面积为（　　）
A．
B．5
C．
D．3
5．如图，AB⊥AF，EF⊥AF，BE与AF交于点C，点D是BC的中点，∠AEB＝2∠B．若BC＝8，EF＝，则AF的长是（　　）
A．
B．
C．3
D．5
6．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则OE的长度是（　　）
A．
B．5
C．3
D．
7．如图，矩形ABCD中，点G是AD的中点，GE⊥CG交AB于E，BE＝BC，连CE交BG于F，则∠BFC等于（　　）
A．45°
B．60°
C．67.5°
D．72°
8．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（　　）
A．4
B．4.8
C．5.2
D．6
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，O是对角线的交点，过C作CE⊥BD于点E，EC的延长线与∠BAD的平分线相交于点H，AH与BC交于点F．给出下列四个结论：①AF＝FH；②BF＝BO；③AC＝CH；④BE＝3DE．其中正确结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共10小题，满分30分）
10．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是　
　．
11．如图，矩形ABCD中，AD＝AB，AF平分∠BAD，DF⊥AF于点F，BF的延长线交CD于点H．过F作MN∥DC，交AD于M，交BC于N．若AB＝6，则CH的长为　
　．
12．如图，已知矩形ABCD，连接BD，EO垂直平分BD，连接BE，∠ABD＝∠EFO，AE＝3EF，CD＝，求OD＝　
　．
13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于点E，F，连接PB，PD．若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为
　
　．
14．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为　
　时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
15．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②△ABE≌△AHD；③BH＝FH；④AB＝HF；⑤BC﹣CF＝2HE．其中正确的有　
　
16．矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E、F为直线AD上两点，且满足四边形BCFE为菱形，若M为EF的中点，则AM的长为　
　．
17．如图，在以AB为斜边的两个直角△ABD和△ABC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，CD＝m，AB＝2m，则∠AEB＝　
　．
18．如图，摆放矩形ABCD与矩形ECGF，使B，C，G在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若H为AF的中点，连接DH，HE，那么DH与HE之间的数量关系是　
　．
19．已知矩形ABCD，点F、点G分别是AB、AD边上一点，线段BG、CF交于E，∠AGF＝∠BCF，EF＝EG，AB＝6，CF＝16，则线段AG＝　
　．
三．解答题（共7小题，满分63分）
20．如图，已知△OAB中，OA＝OB，分别延长AO、BO到点C、D．使得OC＝AO，OD＝BO，连接AD、DC、CB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）以OA、OB为一组邻边作?AOBE，连接CE，若CE⊥BD，求∠AOB的度数．
21．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知：将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，其中点E，F分别在AB，CD上，点D的对应点为点G，连接AF．
（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形；
（2）如图2，若∠CFG＝60°，连接AC交EF于点O，连接DO，GO，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的等边三角形．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（2）求证：PC⊥CF．
24．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，AE＝AD，作DF⊥AE于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）连BF并延长交DE于G．
①求证：EG＝DG；
②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．
25．如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）M为AD的中点，在AB上取一点N，使∠BNC＝2∠DCM．
①如图2，若N为AB中点，BN＝2，求CN的长；
②如图2，若CM＝3，CN＝4，求BC的长．
26．如图，在?ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
参考答案
一．选择题（共9小题，满分27分）
1．解：设AB＝a，BC＝b，BE＝c，BF＝x，
连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
同理Rt△AEH≌Rt△GFC，
∴S平行四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣2（S△BEF+S△AEH）
＝ab﹣2[cx+（a﹣c）（b﹣x）]
＝ab﹣（cx+ab﹣ax﹣bc+cx）
＝ab﹣cx﹣ab+ax+bc﹣cx
＝（a﹣2c）x+bc，
∵E是AB的中点，
∴a＝2c，
∴a﹣2c＝0，
∴S平行四边形EFGH＝bc＝ab，
方法二：连接EG，
∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝HG，EF∥HG，
∴∠FEG＝∠HGE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEG＝∠DGE，
∴∠BEG﹣∠FEG＝∠DGE﹣∠EGH，
∴∠BEF＝∠HGD
∵EF＝HG，∠B＝∠D，
∴Rt△BEF≌Rt△DGH（AAS），
∴DG＝BE＝CD＝AE，
∴四边形AEGD为平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴?AEGD为矩形，
同理四边形EBCG为矩形，
∴S平行四边形EFGH＝S△EHG+S△EFG＝EG?DG+EG?GC＝EG?DG＝EG?CD＝S矩形ABCD．
故选：C．
2．解：取BE的中点O，连接OG，OC，
∵O，G为中点，
∴OG为四边形ADEB的中位线，
∴AB∥OG∥DE，
∴∠OGC＝∠ECF，
∵CE＝BC，∠BCE＝90°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴∠CBE＝∠BEC＝45°，
∵∠BCE＝90°，O为BE的中点，
∴OC＝OE＝BE，
∴∠OCE＝∠OEC＝45°，
∵GE⊥BG，O为BE的中点，
∴OG＝BE，
∴OG＝OC，
∴∠OGC＝∠OCG，
∴∠OCG＝∠ECF＝∠OCE＝22.5°，
故选：B．
3．解：连接PO，
∵矩形ABCD的两边AB＝5，BC＝12，
∴S矩形ABCD＝AB?BC＝60，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝＝13，
∴S△AOD＝S矩形ABCD＝15，OA＝OD＝AC＝，
∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝××（PE+PF）＝15，
∴PE+PF＝，
故选：C．
4．解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴交x轴于点H，过点A作AF∥x轴，交点为F，
则AF⊥CF，得矩形ADHF，延长CA交x轴于点G，
∴HF＝AD，AF＝HD，
∵点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，点B的横坐标为，
∴OD＝2，AD＝1，CH＝4，OE＝，
∵四边形AOBC是矩形，
∴OB＝AC，AC∥OB，
∴∠CAF＝∠CGO＝∠BOE，
∵∠AFC＝∠OEB＝90°，
∴△AFC≌△OEB（AAS），
∴CF＝BE，AF＝OE＝，
∵HF＝AD＝1，HC＝4，
∴CF＝BE＝CH﹣HF＝3，
OH＝OD﹣DH＝OD﹣AF＝2﹣＝，
∴HE＝OH+OE＝+＝2，
∴矩形AOBC的面积为：
S梯形BCHE+S梯形ADHC﹣S△BEO﹣S△ADO
＝（BE+CH）×EH+（AD+CH）×DH﹣×OE?BE﹣AD?OD
＝（3+4）×2+（1+4）×﹣×3﹣1×2
＝4+﹣﹣1
＝．
故选：A．
5．解：∵AB⊥AF，
∴∠FAB＝90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠DAB＝∠B，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∵∠AEB＝2∠B，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AE＝AD，
∵BC＝8，
∴AE＝AD＝4，
∵EF＝，EF⊥AF，
∴AF＝＝＝3，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝5，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA＝1：3，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝67.5°，
∴∠ODC＝∠OCD＝67.5°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝45°，
∴OE＝DE，
∵OE2+DE2＝OD2，
∴（2DE）2＝OD2＝25，
∴DE＝，故选：D．
7．解：如图，过点B作BN⊥CG于N，BM⊥CE交CE的延长线于M．
∵EG⊥CG，
∴∠M＝∠MGN＝∠BNG＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠MBN＝90°，
∵∠CBA＝∠MBN＝90°，
∴∠CBN＝∠EBM，
∵BC＝BE，∠BNC＝∠M＝90°，
∴△BNC≌△BME（AAS），
∴BN＝BM，
∴四边形BMGN是正方形，
∴∠CBN＝∠EBM，
∵AB＝DC，∠A＝∠D，AG＝DG，
∴△ABG≌△DCG（SAS），
∴∠ABG＝∠DCG，
∵∠CBN+∠BCN＝90°，∠DCG+∠BCN＝90°，
∴∠DCG＝∠CBN，
∴∠ABG＝∠EBM，
∵∠MBG＝45°，
∴∠MBE＝∠ABG＝∠DCG＝22.5°，
∵∠ECD＝45°，
∴∠ECG＝22.5°，
∵∠FGC＝45°，
∴∠BFC＝∠FGC+∠FCG＝67.5°，故选：C．
8．解：如图，连接PA．
∵在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠A＝90°．
又∵PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形PEAF是矩形．
∴AP＝EF．
∴当PA最小时，EF也最小，
即当AP⊥CB时，PA最小，
∵AB?AC＝BC?AP，即AP＝＝＝4.8，
∴线段EF长的最小值为4.8；
故选：B．
9．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AF是∠BAD的平分线，
∴∠FAB＝45°，
∴∠AFB＝45°，
∴∠AFC＝135°，CF与AH不垂直，
∴点F不是AH的中点，即AF≠FH，
∴①错误；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝，AB＝1，
∴∠ADB＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC＝BD，AC＝2AO，BD＝2BO，
∴AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝BO，∠AOB＝∠BAO＝60°＝∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
∵AB＝BO，
∴BF＝BO，∴②正确；
∵∠BAO＝60°，∠BAF＝45°，
∴∠CAH＝15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO＝90°，
∵∠EOC＝60°，
∴∠ECO＝30°，
∴∠H＝∠ECO﹣∠CAH＝30°﹣15°＝15°＝∠CAH，
∴AC＝CH，
∴③正确；
∵△AOB是等边三角形，
∴AO＝OB＝AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝CD，
∴DC＝OC＝OD，
∵CE⊥BD，
∴DE＝EO＝DO＝BD，
即BE＝3ED，∴④正确；
所以其中正确结论有②③④，3个．
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分30分）
10．解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2．
故答案是：2．
11．解：根据题意可知：
MN＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，DC⊥AD，CD＝AB＝6，
∴MF⊥AD，MN＝6，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵AB＝6，
∴AD＝AB＝6，
∵DF⊥AF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF＝DF，
∴点M是AD的中点，
∴FM＝AD＝3，FN为△BCH的中位线，
∴FN＝MN﹣FM＝6﹣3，FN＝CH，
∴CH＝2FN＝12﹣6．
故答案为：12﹣6．
12．解：如图，过点O作OM⊥BE，ON⊥DE于点M，N，
∵EO是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴EO平分∠BED，
∴∠MEO＝∠NEO，
∵OM⊥BE，ON⊥DE，
∴∠EMO＝∠ENO，
∵EO＝EO，
∴△MEO≌△NEO（AAS），
∴OM＝ON，EM＝EN，且点N是AD的中点，
∵∠BDC+∠ADB＝∠OED+∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝∠OED＝∠OEF，
∵∠ABD＝∠EFO，
∴∠OFE＝∠ABD＝∠BDC，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF，
∴由三线合一得，ME＝MF＝EF，
∵AE＝3EF，
设EF＝2a，
则AE＝6a，FM＝EM＝EN＝a，
∴DN＝AN＝AE+EN＝7a，
∴BE＝DE＝DN+NE＝8a，
∴AD＝14a，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，
BE2＝AE2+AB2，
即（8a）2＝（6a）2+（2）2，
解得a＝1，
∴AD＝14a＝14，
∴在Rt△ABD中，根据勾股定理得，
BD＝＝＝4．
∴OD＝BD＝2．
故答案为：2．
13．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
故答案为16．
14．解：根据题意得：BP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，
∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，
由勾股定理得：AE＝＝5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA＝∠EFB＝90°，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，
∴PF＝5﹣t，
由勾股定理得：PE2＝EF2+PF2＝42+（5﹣t）2，
①当AE＝PE时，52＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝2，t＝8，
∵t＝8不符合题意，舍去；
②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42+（5﹣t）2，
解得：t＝，
即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：2或．
15．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAH＝45°，
∴△ABE和△ADH是等腰直角三角形，
∴AE＝AB，AD＝AH，
∵AD＝AB＝AH，
∴AD＝AE，AB＝AH＝DH＝DC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠AED＝∠CED，
∴①正确；
在△ABE和△AHD中，，
∴△ABE≌△AHD（AAS），故②正确；
∴BE＝DH，
∵AB＝AH，
∵∠AHB＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠OHE＝∠AHB＝67.5°，
∴∠DHO＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵∠EBH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠EBH＝∠OHD，
在△BEH和△HDF中，，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH＝HF，故③正确；
∵AB＝AH，∠BAE＝45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故④错误；
过H作HK⊥BC于K，
可知KC＝BC，HK＝KE，
由上知HE＝EC，
∴BC＝KE十EC，
又KE＝HK＝FC，HE＝EC，
故BC＝HK+HE，BC＝2HK+2HE＝FC+2HE
∴⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
16．解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝5，∠ADC＝∠CDF＝90°，
∵四边形BCFE为菱形，
∴CF＝EF＝BE＝BC＝5，
∴DF＝＝＝3，
∴AF＝AD+DF＝8，
∵M是EF的中点，
∴MF＝EF＝2.5，
∴AM＝AF﹣DF＝8﹣2.5＝5.5；
②如图2所示：同①得：AE＝3，
∵M是EF的中点，
∴ME＝2.5，
∴AM＝AE﹣ME＝0.5；
综上所述：线段AM的长为：5.5，或0.5；
故答案为：5.5或0.5．
17．解：如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF，
∵∠ACB＝∠ADB＝90°，
∴CF＝AB＝DF，
又∵CD＝m，AB＝2m，
∴CD＝AB，
∴CF＝DF＝CD，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
∴∠AFC+∠BFD＝120°，
∵CF＝BF，AF＝DF，
∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE，
即∠ABE＝∠AFC，∠BAE＝∠BFD，
∴∠ABE+∠BAE＝∠BFD+∠AFC＝（∠BFD+∠AFC）＝×120°＝60°，
∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120°．
18．理由：如图，延长EH交AD于点M，
∵四边形ABCD和ECGF是矩形，
∴AD∥EF，
∴∠EFH＝∠MAH，
又∵∠FHE＝∠AHM，FH＝AH，
在△FHE和△AHM中，
，
∴△FHE≌△AHM（ASA），
∴MH＝EH，
在直角△MDE中，MH＝EH，
∴DH＝MH＝EH，
∴DH＝HE．
故答案是：DH＝HE．
19．解：过点F作FH∥BC，取CF的中点O，连接OB，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴AD∥FH∥BC，
∴∠AGF＝∠GFH，∠BCF＝∠CFH，
∴∠GFC＝∠GFH+∠CFH＝∠AGF+∠BCF，
∵∠AGF＝∠BCF，
∴∠GFC＝2∠BCF，
∵∠ABC＝90°，O是CF的中点，CF＝16，
∴OB＝OC＝OF＝CF＝8，
∴∠OBC＝∠FCB，
∴∠FOB＝∠OBC+∠FCB＝2∠BCF，
∴∠GFC＝∠FOB，
∴FG∥OB，
∴∠EGF＝∠EBO，
∵EF＝EG，
∴∠EGF＝∠EFG，
∴∠EOB＝∠EBO，
∴EO＝EB，
∴OF＝EF+OE，BG＝BE+EG，
∴OF＝BG＝8，
∵AB＝6，
∴AG＝＝＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共7小题，满分63分）
20．（1）证明：∵OC＝AO，OD＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝AC，BO＝BD，
∵AO＝BO，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：连接OE，设EC与BD交于F，
∵EC⊥BD，
∴∠CFD＝90°，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴AE∥BO，
∴∠AEC＝∠CFD＝90°，
即△AEC是直角三角形，
∵EO是Rt△AEC中AC边上的中线，
∴EO＝AO，
∵四边形AEBO是平行四边形，
∴OB＝AE，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠OAE＝60°，
∵∠OAE+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝120°．
21．解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（﹣6，8）．
∴∠BAD＝∠OCB＝90°，AB＝OC＝6，OA＝BC＝8，
∴BO＝＝10；
由折叠的性质得：BE＝AB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，DE＝AD，
∴OE＝BO﹣BE＝10﹣6＝4，∠OED＝90°，
设D（0，a），则OD＝a，DE＝AD＝OA﹣OD＝8﹣a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2＝OD2，
即（8﹣a）2+42＝a2，解得：a＝5，
∴D（0，5）；
（2）存在，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）；理由如下：
①当OM、OE都为菱形的边时，OM＝OE＝4，
∴M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；
②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1所示：
则OG＝OE＝2，
∵OA＝8，OD＝5，
∴AD＝DE＝3，
∴E到y轴的距离＝＝＝，
∴OH＝，
∵EM2﹣MH2＝42﹣（）2，
∴OM2﹣（OM﹣）2＝42﹣（）2，
解得：OM＝，
∴M（﹣，0）；
③当OM为菱形的对角线，OE为边时，如图2所示：
同②得：M（﹣，0）；
综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．
22．解：（1）证明：由折叠性质得AE＝CE，AF＝FC，∠AEF＝∠CEF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AE∥CF，
∴∠AEF＝∠EFC，
∵∠AEF＝∠FEC，
∴∠FEC＝∠EFC，
∴CE＝CF，
∵AE＝CE，
∴AE＝CF，
∵AF＝FC，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四边形AECF为菱形．
（2）解：等边三角形为：△AEF、△CEF、△AOD、△COG；理由如下：
∵∠CFG＝60°，
∴∠DFA＝60°，∠CFA＝120°，
∵四边形AECF是菱形，
∴AO⊥EF，AO＝OC，AF＝FC＝CE＝AE，∠AFE＝∠CFE＝60°，
∴△AEF和△CEF是等边三角形，
∴∠DAF＝∠DAB﹣∠FAE＝30°，∠FAO＝30°，
∴∠DAO＝60°，
∵∠ADC＝90°，
∴OD＝AC＝OA，
∴△AOD是等边三角形，
∵CG＝AD＝OC，OG＝AC，
∴CG＝OC＝OG，
∴△COG是等边三角形．
23．解：（1）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD?DC＝AC?DQ，
∴DQ＝，
∴CQ＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP＝4或5或；
（2）如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF，
∵∠BCD＝90°，OE＝OD，
∴OC＝ED，
在矩形PEFD中，PF＝DE，
∴OC＝PF，
∵OP＝OF＝PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，
∴2∠OCP+2∠OCF＝180°，
∴∠PCF＝90°，
∴PC⊥CF．
24．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠DAB＝∠ABE＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠BAE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝EB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠ABE＝∠AFD＝90°，
∵AE＝AD，
∴△ABE≌△AFD（AAS），
∴AB＝AF；
（2）①证明：∵AE＝AD，∠EAD＝45°，
∴∠AED＝∠ADE＝67.5°，
∴∠FDG＝22.5°，
∵AB＝AF，∠BAF＝45°，
∴∠AFB＝67.5°，
∴∠EFG＝67.5°，
∴∠EFG＝∠AED，
∴FG＝EG，∠DFG＝22.5°，
∴∠DFG＝∠FDG，
∴FG＝DG，
∴EG＝DG；
②解：∵EG＝1，
∴ED＝2，
设AB＝x，则AE＝，DF＝AF＝x，
∴EF＝﹣x，
∴（﹣x）2+x2＝22，
解得x2＝，
∴矩形ABCD的面积＝＝．
25．（1）证明：如图1中，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）①如图2中，延长CM、BA交于点E．
∵AN＝BN＝2，
∴AB＝CD＝4，
∵AE∥DC，
∴∠E＝∠MCD，
在△AEM和△DCM中，
，
∴△AME≌△DMC，
∴AE＝CD＝4，
∵∠BNC＝2∠DCM＝∠NCD，
∴∠NCE＝∠ECD＝∠E，
∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6．
②如图3中，延长CM、BA交于点E．
由①可知，△EAM≌△CDM，EN＝CN，
∴EM＝CM＝3，EN＝CN＝4，设BN＝x，则BC2＝CN2﹣BN2＝CE2﹣EB2，
∴42﹣x2＝62﹣（x+4）2，
∴x＝，
∴BC＝＝＝．
26．（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，
又∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6﹣x
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得：x＝
∴AQ的长是．