2021-2022学年北师大版九年级数学上册4.4.4黄金分割 同步练习题（word含答案）

4.4.4黄金分割同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为______米.
2.大自然巧夺天工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AP的长度为8
cm，那么AB的长度为______.
3.如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，则的值为______.
二、选择题
4.已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，且AC＞BC，下列说法错误的是(
)
A.如果＝，那么线段AB被点C黄金分割
B.如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割
C.如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比
D.0.618是黄金比的近似值
5.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列各式不正确的是(
)
A.AP∶BP＝AB∶AP02
B.AP＝AB
C.BP＝AB
D.AP≈0.618AB
6.我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD(AB＜BC)中，∠ABC的平分线交AD边于点E，EF⊥BC于点F，则下列结论错误的是(
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
7.如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以AB为长、PB为宽的矩形的面积，则(
)
A.S1＞S2
B.S1＜S2
C.S1＝S2
D.无法比较
三、解答题
8.如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数.
9.如图，在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线.求证：点D是AC的黄金分割点.
B组(中档题)
四、填空题
10.如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，则x的值为______.(黄金比的近似值为0.618，结果精确到0.1°)
11.点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为______.
12.如图，正五边形ABCDE的几条对角线的交点分别为M，N，P，Q，R，它们分别是所在对角线的黄金分割点.若AB＝2，则MN的长为______.
五、解答题
13.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.现将构造黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.
C组(综合题)
14.在线段AB中找出点C，使其满足＝，则C为线段AB的黄金分割点.若使AB为长方形的长，AC为长方形的宽，则其为黄金矩形.
(1)长方形ABDC为黄金矩形，面积为15，求AB和AC的长度.
(2)长方形ABFE为黄金矩形(长方形ABDC就是图1的长方形)，求AE长.
(3)长方形BFGH为黄金矩形(长方形ABFE就是图2的长方形)，求GF长.
(4)若继续按下面的方法画下去，可以得到第四个、第五个、第六个……则求第十个这样的黄金矩形的长为______.
参考答案
4.4.4黄金分割同步练习题
2021-2022学年北师大版九年级数学上册
A组(基础题)
一、填空题
1.生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b为2米，则a约为1.24米.
2.大自然巧夺天工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AP的长度为8
cm，那么AB的长度为(4＋4)cm.
3.如图，C，D是线段AB的两个黄金分割点，则的值为－2.
二、选择题
4.已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，且AC＞BC，下列说法错误的是(
C
)
A.如果＝，那么线段AB被点C黄金分割
B.如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割
C.如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比
D.0.618是黄金比的近似值
5.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列各式不正确的是(
C
)
A.AP∶BP＝AB∶AP02
B.AP＝AB
C.BP＝AB
D.AP≈0.618AB
6.我们把宽与长的比等于黄金比()的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形ABCD(AB＜BC)中，∠ABC的平分线交AD边于点E，EF⊥BC于点F，则下列结论错误的是(
C
)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
7.如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB.若S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以AB为长、PB为宽的矩形的面积，则(
C
)
A.S1＞S2
B.S1＜S2
C.S1＝S2
D.无法比较
三、解答题
8.如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数.
解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，且AD＞BD，
∴AD2＝BD·AB.
∵AD＝AC＝BC，
∴BC2＝BD·AB，即BC∶BD＝AB∶BC.
∵∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC.∴∠A＝∠BCD.
∵AC＝BC，∴∠A＝∠B.
设∠A＝x°，则∠B＝x°，∠BCD＝x°，
∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝2x°.
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝2x°.
在△ABC中，x＋(2x＋x)＋x＝180，
解得x＝36，∴∠A＝36°.
9.如图，在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD为∠ABC的平分线.求证：点D是AC的黄金分割点.
解：在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°.
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°.
∵∠C＝∠C，∠A＝∠CBD＝36°，
∴△ACB∽△BCD.
∴AC∶BC＝BC∶DC.
∵∠A＝∠ABD，∴AD＝BD.
∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，
∴∠BDC＝72°.∴BD＝BC.
∴AD＝BC.
∴AC∶AD＝AD∶DC，即点D是AC的黄金分割点.
B组(中档题)
四、填空题
10.如图，扇子的圆心角为x°，余下的圆心角为y°，x与y的比通常用黄金比来设计，这样的扇子造型美观，则x的值为138°.(黄金比的近似值为0.618，结果精确到0.1°)
11.点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为2－2或6－2.
12.如图，正五边形ABCDE的几条对角线的交点分别为M，N，P，Q，R，它们分别是所在对角线的黄金分割点.若AB＝2，则MN的长为3－.
五、解答题
13.宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.现将构造黄金矩形的方法归纳如下(如图所示)：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.
证明：在正方形ABCD中，设AB＝2a.
∵N为BC的中点，
∴NC＝BC＝a.
在Rt△DNC中，
ND＝＝＝a.
又∵NE＝ND，∴CE＝NE－NC＝(－1)a.
∴＝＝，即矩形DCEF为黄金矩形.
C组(综合题)
14.在线段AB中找出点C，使其满足＝，则C为线段AB的黄金分割点.若使AB为长方形的长，AC为长方形的宽，则其为黄金矩形.
(1)长方形ABDC为黄金矩形，面积为15，求AB和AC的长度.
(2)长方形ABFE为黄金矩形(长方形ABDC就是图1的长方形)，求AE长.
(3)长方形BFGH为黄金矩形(长方形ABFE就是图2的长方形)，求GF长.
(4)若继续按下面的方法画下去，可以得到第四个、第五个、第六个……则求第十个这样的黄金矩形的长为()9×.
解：(1)设AB＝x，则AC＝x，
x·x＝15，解得x＝±(负值舍去).
∴AB＝，AC＝×＝.
(2)由题意，得＝，又由(1)得AB＝，
∴AE＝＝×＝.
(3)由题意，得＝，由(2)得BF＝AE＝，
∴GF＝BF＝×＝.