2021-2022学年北师大版九年级数学上册第一章1.3正方形的性质与判定 同步测试（word含答案）

北师大版九年级数学上册第一章1.3正方形的性质与判定
同步测试
一．选择题
1．下列说法不正确的是(　　)
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（　　）
A．
B．
C．2
D．
3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）
A．四条边相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角
D．对角线相等
4．下列命题中，假命题是（
）
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
C．若，则点B是线段AC的中点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为(　　)
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
6．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（　　）
A．3
B．2
C．4
D．8
7．如图，点E在正方形ABCD的边AD上，已知AE=7，CE=13，则阴影部分的面积是（　　）
A．114
B．124
C．134
D．144
8．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是(　　)
A．7
B．8
C．7
D．7
9．如图，在菱形中，，连接、，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；
④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
11．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（　　）
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
12．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（　　）
A．（0，2）
B．（2，﹣4）
C．（2，0）
D．（0，2）或（0，﹣2）
二．填空题
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是___________．
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是________
①BC=AC；
②CF⊥BF；
③BD=DF；
④AC=BF．
15．菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
16．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____．
17．
如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．　
18．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．
19．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　　．
如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n个四边形的周长为________．
三．解答题
21．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°．
(1)求证：EF＝FC＋AE；
(2)若AB＝2，求△DEF的周长．
22．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD于点F．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AFB的度数．
23．如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
24．如图，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°．
(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)
(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD于点H，求证：四边形EFCH为正方形．
25．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A
C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形
26．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
北师大版九年级数学上册第一章1.3正方形的性质与判定
答案提示
一．选择题
1．下列说法不正确的是(　　)
选：D．
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B=90°时（如图甲），测得对角线BD的长为．当∠B=60°时（如图乙），则对角线BD的长为（　　）选B．
A．
B．
C．2
D．
3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）选：D．
A．四条边相等
B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角
D．对角线相等
4．下列命题中，假命题是（
）选：C．
A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
B．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合
C．若，则点B是线段AC的中点
D．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心
5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC的度数为(　　)选：C．
A．45°
B．55°
C．60°
D．75°
6．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（　　）
A．3
B．2
C．4
D．8
选：C．解：如图，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，利用互余关系可得∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，利用AAS可以判断△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，DE＝4．
7．如图，点E在正方形ABCD的边AD上，已知AE=7，CE=13，则阴影部分的面积是（　　）
A．114
B．124
C．134
D．144
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，AB=BC=AD，
设AB=BC=AD=x，
则DE=x-7，
∵CD2+DE2=CE2，
∴x2+（x-7）2=132，
解得：x=12，或x=-5（不合题意，舍去），
∴BC=AB=12，
∴阴影部分的面积=（AE+BC）?AB=×（7+12）×12=114；
故选：A．
8．如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是(　　)选：C．
A．7
B．8
C．7
D．7
9．如图，在菱形中，，连接、，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
解：设AC与BD的交点为O，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
10．如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：①GM⊥CM；②CD=CM；③四边形MFCG为等腰梯形；
④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（　　）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
解:
∵由已知，AG∥FC且AG=FC，
故四边形AGCF为平行四边形，
∴∠GAF=∠FCG又AE=BF，AD=AB，且∠DAE=∠ABF，
可知∠ADE=∠BAF
∴DE⊥AF，DE⊥CG．
又∵G点为中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，
可证CD=CM，∴∠CDG=∠CMG，即GM⊥CM．
又∠MGN=∠DGC=∠DAF（外角等于内对角），∴∠FCG=∠MGC．
故选A．
11．如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（　　）
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE=AB，
∴AE=AB=AD，
∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，
∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°，
∴∠AEB+∠AED=135°，
即∠BED=135°，
∴∠BEF=180°-135°=45°．
故选：B．
12．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（　　）
A．（0，2）
B．（2，﹣4）
C．（2，0）
D．（0，2）或（0，﹣2）
解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD＝60°，AD＝4，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝2，
∴AOOC，
∴点C的坐标为（0，），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，），
∴点C的坐标为（0，）或（0，），
故选：D．
二．填空题
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是___________．
AC＝BD
14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是________
①BC=AC；
②CF⊥BF；
③BD=DF；
④AC=BF．
解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
当①BC=AC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项①正确；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；
当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；
当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．
故答案为：①②③．
15．菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．
解：如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，即AE为菱形ABCD的高，
∵菱形ABCD中，AC=10，BD=24，
∴OB=BD=12，OA=AC=5，
在Rt△ABO中，AB=BC==13，
∵S菱形ABCD=，
∴，
解得：AE=，
故答案为：．
16．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为_____．
解：因为ABCD是正方形，所以AB＝AD，∠B＝∠A＝90°，则有∠ABF＝∠DAE，又因为DE⊥、BF⊥，根据AAS易证△AFB≌△AED，所以AF＝DE＝4，BF＝AE＝3，则EF的长＝7．
17．
如图0，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．3　
18．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．32　
19．如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　3　．
解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD13，
∵BP＝BA＝5，
∴PD＝BD﹣BP＝8，
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠DQP，
∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，
∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ3．
故答案为：3．
20．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n个四边形的周长为________．
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三．解答题
21．如图所示，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且∠EBF＝45°．
(1)求证：EF＝FC＋AE；
(2)若AB＝2，求△DEF的周长．
解：(1)证明：将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBM，
则BA＝BC，AE＝CM，BE＝BM，∠ABE＝∠CBM，∠A＝∠BCM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴F，C，M三点共线，∠EBM＝90°．
∵∠EBF＝45°，∴∠FBM＝45°．
在△BEF与△BMF中，BE＝BM，∠EBF＝∠MBF，BF＝BF，
∴△BEF≌△BMF，
∴EF＝FM＝FC＋CM＝FC＋AE．
(2)由(1)知EF＝FC＋AE，
∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝DE＋DF＋AE＋CF＝AD＋CD＝2AB＝4．
22．如图，点E是正方形ABCD内一点，△CDE是等边三角形，连结EB、EA，延长BE交边AD于点F．
（1）求证：△ADE≌△BCE；
（2）求∠AFB的度数．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝BC．
∵△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠DCE＝60°，DE＝CE．
∴∠ADE＝∠BCE＝30°．
∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，
∴△ADE≌△BCE．
（2）∵△ADE≌△BCE，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE．
∵∠BAE＋∠DAE＝90°，∠ABE＋∠AFB＝90°，∠BAE＝∠ABE，
∴∠DAE＝∠AFB．
∵AD＝CD＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA．
∵∠ADE＝30°，∴∠DAE＝75°，
∴∠AFB＝75°．
23．如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是矩形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC．
∵点C是BE的中点，
∴BC=CE，
∴AD=CE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，
∵AB=AE，
∴DC=AE，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴四边形ACED是矩形．
24．如图，正方形ABCD的边长为1，O是BC边上的一个动点(与B，C不重合)，以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON＝90°．
(1)当OM经过点A时，请直接填空：ON________(填“可能”或“不可能”)过点D；(图①仅供分析)
(2)如图②，在ON上截取OE＝OA，过点E作EF垂直于直线BC，垂足为F，作EH⊥CD于点H，求证：四边形EFCH为正方形．
解：(1)不可能．理由如下：若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，
∴OA2＋OD2＞2AD2≠AD2，
∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，
∴ON不可能过点D，故答案为：不可能．
(2)证明：∵EH⊥CD，EF⊥BC，
∴∠EHC＝∠EFC＝90°．
又∠HCF＝90°，∴四边形EFCH为矩形．
∵∠MON＝90°，∴∠EOF＝90°－∠AOB．
在正方形ABCD中，∠BAO＝90°－∠AOB，
∴∠EOF＝∠BAO．
在△OFE和△ABO中，
∠EOF＝∠BAO，∠EFO＝∠B，OE＝AO，
∴△OFE≌△ABO(AAS)，
∴EF＝OB，OF＝AB．
又OF＝CF＋OC，AB＝BC＝BO＋OC，
∴CF＝BO＝EF，∴四边形EFCH为正方形．
25．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A
C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形
解：（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；
（2）证明：∵ME⊥A
C，MF⊥AD，∠CAD=90°，
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A
C，MF⊥AD，
∴ME=MF，
∴矩形AEMF是正方形．
26．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
(1)证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，∴A，E，C三点共线，D，E，F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形；
(2)解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°．由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝AD，故四边形ADCF是正方形