2021-2022学年北师大版八年级数学上册第1章 勾股定理 单元训练 （word含答案）

2021-2022北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》同步优生辅导训练（附答案）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝3，S2＝10，则S3＝（　　）
A．5
B．7
C．13
D．15
2．下列各组数中是勾股数的是（　　）
A．5，12，13
B．7，23，25
C．2，2，3
D．
3．以下列各组数的长度围成的三角形中，不是直角三角形的一组是（　　）
A．6，8，11
B．5，12，13
C．25，7，24
D．3，4，5
4．下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c＝7：24：25
B．∠B﹣∠C＝∠A
C．∠A：∠B：∠C＝6：8：10
D．a2＝（b+c）（b﹣c）
5．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的面积为（　　）
A．60
B．30
C．65
D．不能确定
6．直角三角形的边长分别为a，b，c，若a2＝9，b2＝16，那么c2的值是（　　）
A．25
B．49
C．25或7
D．25或49
7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　）
A．x2﹣9＝（20﹣x）2
B．x2﹣92＝（20﹣x）2
C．x2+9＝（20﹣x）2
D．x2+92＝（20﹣x）2
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝AB，AE⊥BD，垂足为点F，交BC于点E，则BE的长为（　　）
A．2
B．
C．
D．
9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝?＝A7A8＝1，那么OA82为（　　）
A．10
B．16
C．9
D．8
10．如图，在“赵爽弦图”中，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成的，若把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，可得正方形MNPQ，连接MF并延长交NP于点O，若正方形MNPQ的面积为49，正方形EFGH的面积为1，则OF的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．在△ABC中，∠C＝90°，若a＝5，b＝12，则c＝　
　．
12．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝　
　时，∠C＝90°．
13．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要
　
　m．
14．如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为　
　．
15．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是
　
　．
16．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是m　
　．
17．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时16nmile的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时12nmile的速度沿北偏西60°方向航行．一小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为
　
　nmile．
18．如图，小磊将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，测得MA＝a，梯子的底端P保持不动，将梯子的顶端靠在对面墙上，此时∠MPN＝90°，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB，测得NB＝b，求A、B之间的距离．
19．勾股定理是毕达哥拉斯定理的中国称谓，它揭示了直角三角形三边的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，我国古代称直角三角形的直角边为“勾”或“股”，斜边为“弦”，因而将这条定理称为勾股定理．请你从以下图形中，任意选择一个来证明这个定理．
20．如右图，一块四边形花圃ABCD中，已知∠B＝90°，AB＝4m，BC＝3m，CD＝12m，AD＝13m．
（1）连接AC，判断△ACD的形状，并说明理由；
（2）求四边形花圃ABCD的面积．
21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）点P出发2秒后，求CP和BP的长．
（2）问满足什么条件时（t的值或取值范围），△BCP为直角三角形？
22．如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C为直角，如图1，则有结论：a2+b2＝c2；当∠C为锐角（如图2）或钝角（如图3）时，请你完成下列探究：
（1）分别猜想∠C为锐角或钝角这两种情况下a2+b2与c2的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．
23．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
24．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、　
　、　
　；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为　
　；
（3）用所学知识加以说明．
参考答案
1．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2＝10﹣3＝7，
∴S3＝7，
故选：B．
2．解：A、52+122＝132，且都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
B、不是勾股数，故此选项不合题意；
C、22+22≠32，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、，，不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
故选：A．
3．解：A、62+82≠112，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故符合题意；
B、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故不符合题意；
C、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故不符合题意；
D、32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
4．解：A、72+242＝252，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝90°，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝6：8：10，∠C＝，不能判断△ABC是直角三角形，符合题意；
D、a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2+c2＝b2，能判断△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
5．解：∵AB2＝132＝169，
BC2+AC2＝52+122＝169，
∴AB2＝BC2+AC2，
即△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝BC×AC
＝×5×12
＝30，
故选：B．
6．解：当b为直角边时，c2＝a2+b2＝25，
∴c＝5，
当b为斜边时，c2＝b2﹣a2＝7，
∴c＝，
综上所述，c的值是5或，
故选：C．
7．解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝（20﹣x）尺，BC＝9尺，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2．
故选：D．
8．解：连接DE，
∵AD＝AB，AE⊥BD，
∴AE是BD的垂直平分线，
∴DE＝BE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ADE＝∠ABE＝90°，
在△ABC中，∠ABC＝90°，
由勾股定理得：AC＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
设BE＝x，则CE＝4﹣x，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：
x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴BE＝．
故选：B．
9．解：∵OA12＝1，
∴由勾股定理可得OA22＝2，
OA32＝3，
…，
∴OAn2＝n，
∴OA82＝8．
故选：D．
10．解：设MF与AB交于点K，
∵正方形EFGH的面积为1，
∴EF＝FG＝EH＝HG＝1，
又∵正方形MNPQ的面积为49，
∴MN＝NP＝PQ＝MQ＝7，
设所有全等三角形的较长直角边为a，另一直角边为b，斜边为c，
则，
解得：a＝4，b＝3，
∴斜边c＝＝5，
∴MO＝，
又∵S△ABF＝＝，
即＝，
∴FK＝，
∵△ABM是由△ABF沿边AB翻折所得，
∴△ABM≌△ABF，
∴MK＝KF＝，
∴MF＝2KF＝，
∴OF＝MO﹣MF＝＝，
故选：B．
11．解：在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴c-13，
故答案为：13．
12．解：∵∠C＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，
∴（k﹣1）2+32＝k2，
解得：k＝5，
故答案为：5．
13．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故答案为：17．
14．解：设AC＝a，BC＝b，AB＝c，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，
故答案是：S1+S2＝S3．
15．解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，
∴AB＝130（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
16．解：设秋千绳索AB的长度为xm，
由题意可得AC＝AB＝xm，
四边形DCFE为矩形，BE＝1m，DC＝6m，CF＝4m，DE＝CF＝4m，
∴DB＝DE﹣BE＝3m，AD＝AB﹣BD＝（x﹣3）m，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，
即（x﹣3）2+62＝x2，
解得x＝7.5，
即AC的长度为7.5m，
故答案为：7.5．
17．解：由题意可得，∠RPQ＝60°+30°＝90°，
PQ＝16×1＝16，PR＝12×1＝12，
∴RQ＝20nmile，
故答案为：20．
18．解：∵∠MPN＝90°，
∴∠APM+∠BPN＝90°，
∵∠APM+∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN．
在△AMP与△BPN中，
，
∴△AMP≌△BPN（AAS），
∴MA＝PB＝a，PA＝NB＝b，
∴AB＝PA+PB＝a+b．
19．证明：方法一：由（1）图可知：S正方形ABCD＝（a+b）2＝a2+b2+2ab，
又∵S正方形ABCD＝，
∴a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，
方法二：由（2）图可知：S正方形ABCD＝c2，
又∵S正方形ABCD＝＝2ab+a2+b2﹣2ab＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，
方法三：由（3）图可知：S梯形ABCD＝＝+ab，
又∵s梯形ABCD＝，
∴，
∴a2+b2＝c2．
20．解：（1）连接AC，
因为∠B＝90°，所以直角△ABC中，由勾股定理得：
AC2＝AB2+BC2，
AC2＝42+32，
AC2＝25，
∴AC＝5m，又CD＝12m，AD＝13m，
所以△ACD中，AC2+CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形；
（2）S四边形ABCD＝AC?CD+AB?BC
S四边形ABCD＝×5×12+×4×3
＝30+6
＝36（m2），
答：该花圃的面积为36m2．
21．（1）∵∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
∵动点P从点C开始以每秒1cm的速度运动，
∴出发2秒后CP＝1×2＝2（cm），
∵∠C＝90°，
∴BP＝＝（cm），
（2）设运动时间为t秒，
∵AC＝4cm，动点P从点C开始按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴当P在AC上运动时，△BCP为直角三角形，
∴0＜t≤4，
如图，当P在AB上时，CP⊥AB时，△BCP为直角三角形，
∵AB?CP＝AC?BC，
∴×5CP＝×3×4，
∴CP＝cm，
∴AP＝（cm），
∴AC+AP＝4+＝（cm），
∴t＝÷1＝（s），
综上所述，当0＜t≤4或
t＝时，△BCP为直角三角形．
22．解：（1）猜想：若∠C为锐角时，a2+b2＞c2，若∠C为钝角时，a2+b2＜c2；
（2）当∠C为锐角时，a2+b2＞c2，证明如下：
如图，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x，则BD＝a﹣x，
在直角三角形ACD中，AD2＝b2﹣x2，
在直角三角形ABD中，AD2＝c2﹣（a﹣x）2，
∴b2﹣x2＝c2﹣（a﹣x）2，即a2+b2＝c2+2ax，
∵a＞0，x＞0，
∴a2+b2＞c2，
当∠C为钝角时，a2+b2＜c2，证明如下：
如图，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点M，CM＝y，则BM＝a+y，
在直角三角形ACM中，AM2＝b2﹣y2，
在直角三角形ABM中，AM2＝c2﹣（a+y）2，
∴b2﹣y2＝c2﹣（a+y）2，即a2+b2＝c2﹣2ay，
∵a＞0，y＞0，
∴a2+b2＜c2．
23．解：公路AB不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
因为BC＝800米，AC＝600米，
所以，根据勾股定理有AB＝1000（米）．
因为S△ABC＝AB?CD＝BC?AC
所以CD＝＝＝480（米）．
由于400米＜480米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
24．解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，
∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为，
则用含a的代数式表示第三个数为，
故答案为：；
（3）∵a2+（）2＝，
（）2＝，
∴a2+（）2＝（）2
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数