2021年新教材高中数学 5.5.2简单的三角恒等变换练习 (word含解析)

简单的三角恒等变换
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．(多选)下列各式与tan
α相等的是(　　)
A.
B．
C.
D．
2．(多选)已知α为第一象限角，且tan
α＝，则sin
的值为(　　)
A．　
B．－　　　
C．－　
D．
3．设a＝cos
7°＋sin
7°，b＝，c＝，则有(　　)
A．b＞a＞c
B．a＞b＞c
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
4．函数f(x)＝sin
x－cos的值域为(　　)
A．[－2,2]
B．
C．[－1,1]
D．
5．若f(x)＝cos
x－sin
x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A.
B．
C.
D．π
二、填空题
6．已知sin
2α＝，则cos2＝________.
7．化简下列各式：
(1)＜α＜，则＝________.
(2)α为第三象限角，则－＝________.
8．函数f(x)＝cos
2x＋4sin
x的值域是________．
三、解答题
9．求证：tan－tan＝.
10．已知函数f(x)＝2cos2，g(x)＝2.
(1)求证：f
＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
提升练
1．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
2．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”．下列函数中，与f(x)＝sin
x＋cos
x构成“互为生成函数”的有(　　)
A．f1(x)＝sin
x＋
B．f2(x)＝(sin
x＋cos
x)
C．f3(x)＝sin
x
D．f4(x)＝2cos
3．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin
x－2cos
x取得最大值，则cos
θ＝________.
4．若θ是第二象限角，且25sin2
θ＋sin
θ－24＝0，则sin
θ＝________，cos
＝________.
拓展
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin
13°cos
17°；
②sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos2
55°－sin(－25°)cos
55°.
(1)请根据②式求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．(多选)下列各式与tan
α相等的是(　　)
A.
B．
C.
D．
BD　[tan
α＝＝，故选BD.]
2．(多选)已知α为第一象限角，且tan
α＝，则sin
的值为(　　)
A．　
B．－　　　
C．－　
D．
AB　[∵α为第一象限角，tan
α＝，
∴sin
α＝，cos
α＝.
若在第一象限，则由cos
α＝1－2sin2可得sin
＝.
若在第三象限，则由cos
α＝1－2sin2可得sin
＝－.
故选AB.]
3．设a＝cos
7°＋sin
7°，b＝，c＝，则有(　　)
A．b＞a＞c
B．a＞b＞c
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
A　[∵a＝sin
37°，b＝tan
38°，c＝sin
36°，
∴b＞a＞c.]
4．函数f(x)＝sin
x－cos的值域为(　　)
A．[－2,2]
B．
C．[－1,1]
D．
B　[f(x)＝sin
x－cos
＝sin
x－cos
x＋sin
x
＝sin
x－cos
x
＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．
故选B.]
5．若f(x)＝cos
x－sin
x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A.
B．
C.
D．π
C　[f(x)＝cos
x－sin
x＝cos.
当x∈[0，a]时，x＋∈，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.]
二、填空题
6．已知sin
2α＝，则cos2＝________.
　[cos2＝＝＝＝.]
7．化简下列各式：
(1)＜α＜，则＝________.
(2)α为第三象限角，则－＝________.
(1)sin
α－cos
α　(2)0　[(1)∵α∈，∴sin
α＞cos
α，
∴＝
＝
＝＝sin
α－cos
α.
(2)∵α为第三象限角，∴cos
α＜0，sin
α＜0，
∴－＝－
＝－＝0.]
8．函数f(x)＝cos
2x＋4sin
x的值域是________．
[－5,3]　[f(x)＝cos
2x＋4sin
x＝1－2sin2x＋4sin
x＝－2(sin
x－1)2＋3.
当sin
x＝1时，f(x)取得最大值3，
当sin
x＝－1时，f(x)取得最小值－5，
所以函数f(x)的值域为[－5,3]．]
三、解答题
9．求证：tan－tan＝.
[证明]　法一：(由左推右)tan－tan
＝－
＝
＝
＝
＝
＝.
法二：(由右推左)
＝
＝
＝－＝tan－tan.
10．已知函数f(x)＝2cos2，g(x)＝2.
(1)求证：f
＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
[解]　(1)证明：f(x)＝2cos2＝1＋cos
x，
g(x)＝2
＝1＋2sincos
＝1＋sin
x，
∵f
＝1＋cos＝1＋sin
x，
∴f
＝g(x)，
命题得证．
(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos
x－sin
x
＝
＝cos，
∵x∈[0，π]，
∴≤x＋≤，
当≤x＋≤π，
即0≤x≤时，h(x)递减，
当π≤x＋≤，即≤x≤π时，h(x)递增．
∴函数h(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为，
根据函数h(x)的单调性，可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．
提升练
1．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
B　[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos
2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.]
2．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”．下列函数中，与f(x)＝sin
x＋cos
x构成“互为生成函数”的有(　　)
A．f1(x)＝sin
x＋
B．f2(x)＝(sin
x＋cos
x)
C．f3(x)＝sin
x
D．f4(x)＝2cos
AD　[f(x)＝sin
x＋cos
x＝sin，
∵f1(x)＝sin
x＋，∴将f1(x)图象向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度即可与f(x)图象重合；
f2(x)＝(sin
x＋cos
x)＝×
sin＝2sin，f2(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合；
C．f3(x)＝sin
x，f3(x)图象无法经过平移与f(x)图象重合；
f4(x)＝2cos
＝2cos
sin
＋2cos2＝sin
x＋cos
x＋1＝sin＋1，将f4(x)图象向下平移1个单位长度，与f(x)图象重合．
故A、D中函数与f(x)“互为生成函数”．]
3．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin
x－2cos
x取得最大值，则cos
θ＝________.
－　[f(x)＝＝sin(x－φ)，其中sin
φ＝，cos
φ＝.
由已知得sin(θ－φ)＝1，
∴cos(θ－φ)＝0，
∴cos
θ＝cos[(θ－φ)＋φ]＝cos(θ－φ)cos
φ－sin(θ－φ)sin
φ＝－sin
φ＝－.]
4．若θ是第二象限角，且25sin2
θ＋sin
θ－24＝0，则sin
θ＝________，cos
＝________.
　±　[由25sin2
θ＋sin
θ－24＝0，
又θ是第二象限角，
得sin
θ＝或sin
θ＝－1(舍去)．
故cos
θ＝－＝－，
由cos2
＝得cos2
＝.
又是第一、三象限角，
所以cos
＝±.]
拓展
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin
13°cos
17°；
②sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
⑤sin2(－25°)＋cos2
55°－sin(－25°)cos
55°.
(1)请根据②式求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
[解]　(1)sin215°＋cos215°－sin
15°cos
15°
＝1－sin
30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)＝.
证明如下：
法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)2－sin
α(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)
＝sin2α＋cos2α＋sin
αcos
α＋sin2α－sin
αcos
α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin
αcos(30°－α)
＝＋－sin
α(cos
30°cos
α＋sin
30°sin
α)
＝－cos
2α＋＋(cos
60°cos
2α＋sin
60°sin
2α)－sin
αcos
α－sin2α＝－cos
2α＋＋cos
2α＋sin
2α－sin
2α－(1－cos
2α)
＝1－cos
2α－＋cos
2α＝.