2021年新教材高中数学 5.7三角函数的应用练习 (word含解析)

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名称 2021年新教材高中数学 5.7三角函数的应用练习 (word含解析)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-09-18 17:10:24

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文档简介

三角函数的应用
(建议用时:40分钟)
基础练
一、选择题
1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin,那么单摆摆动一个周期所需的时间为(  )
A.2π
s  
B.π
s
C.0.5
s
D.1
s
2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一节那天某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin
(t≥0),则在下列时间段内人流量增加的是(  )
A.[0,5]  
B.[5,10]
C.[10,15]
D.[15,20]
3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin,s2=10cos
2t确定,则当t=
s时,s1与s2的大小关系是(  )
A.s1>s2
B.s1<s2
C.s1=s2
D.不能确定
4.下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表:
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
-5.9
-3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
-2.4
则适合这组数据的函数模型是(  )
A.y=acos
B.y=acos+k(a>0,k>0)
C.y=-acos+k(a>0,k>0)
D.y=acos-3
5.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则当t=秒时,电流强度是(  )
A.-5安
B.5安
C.5安
D.10安
二、填空题
6.某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28
℃,12月份的月平均气温最低,为18
℃,则10月份的月平均气温值为______℃.
7.如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移,则这个振子振动的函数解析式是________.
8.一种波的波形为函数y=-sinx的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是________.
三、解答题
9.已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16].
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差;
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长时间?
10.某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天时刻t的浪高数据的平均值如下表:
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)作出这些数据的散点图;
(2)从y=ax+b,y=Asin(ωt+φ)+b和y=Atan(ωt+φ)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式;
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
提升练
1.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9
500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:
x
1
2
3
y
10
000
9
500

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(  )
A.10
000元
B.9
500元
C.9
000元
D.8
500元
2.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是(  )
  
 A  
  B    C    D
3.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asinωπt++60(美元)(t(天),A>0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150(天)时达到最低油价,则ω的最小值为________.
4.已知角φ的终边经过点P(1,-1),点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象上的任意两点,若|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为,则f
=________.
拓展
在某个以旅游业为主的地区,每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)=100·[Acos(ωn+2)+k]来刻画,其中A和k是正整数,ω>0,正整数n表示月份且n∈[1,12],n∈N+,例如n=1时表示1月份.经统计发现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律:
①各年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同;
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人;
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人,随后逐月递增,直到8月份达到最多.
(1)试根据已知信息,确定一个符合条件的f(n)的表达式;
(2)一般地,如果当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时,该地区也进入了一年中的旅游“旺季”,那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由.
参考答案:
基础练
一、选择题
1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin,那么单摆摆动一个周期所需的时间为(  )
A.2π
s  
B.π
s
C.0.5
s
D.1
s
D [依题意是求函数s=6sin的周期,T==1,故选D.]
2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一节那天某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin
(t≥0),则在下列时间段内人流量增加的是(  )
A.[0,5]  
B.[5,10]
C.[10,15]
D.[15,20]
C [由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,知函数F(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]?[3π,5π],故选C.]
3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin,s2=10cos
2t确定,则当t=
s时,s1与s2的大小关系是(  )
A.s1>s2
B.s1<s2
C.s1=s2
D.不能确定
C [当t=时,s1=5sin=5sin=-5,
当t=时,s2=10cos=10×=-5,
故s1=s2.]
4.下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表:
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
-5.9
-3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
-2.4
则适合这组数据的函数模型是(  )
A.y=acos
B.y=acos+k(a>0,k>0)
C.y=-acos+k(a>0,k>0)
D.y=acos-3
C [当x=1时图象处于最低点,且易知a=>0.故选C.]
5.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则当t=秒时,电流强度是(  )
A.-5安
B.5安
C.5安
D.10安
A [由图象知A=10,=-=,所以ω==100π.
所以I=10sin(100πt+φ).
因为为五点作图法中的第二个点,
所以100π×+φ=.所以φ=.
所以I=10sin,
当t=秒时,I=-5安.]
二、填空题
6.某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28
℃,12月份的月平均气温最低,为18
℃,则10月份的月平均气温值为______℃.
20.5 [由题意可知A==5,a==23.从而y=5cos+23.故10月份的月平均气温值为y=5cos+23=20.5.]
7.如图是弹簧振子做简谐振动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振动的位移,则这个振子振动的函数解析式是________.
y=2sin [由题图可设y=Asin(ωt+φ),则A=2,
又T=2(0.5-0.1)=0.8,
所以ω==π,
所以y=2sin,
将点(0.1,2)代入y=2sin中,
得sin=1,
所以φ+=2kπ+,k∈Z,
即φ=2kπ+,k∈Z,
令k=0,得φ=,
所以y=2sin.]
8.一种波的波形为函数y=-sinx的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是________.
7 [函数y=-sinx的周期T=4,且x=3时y=1取得最大值,因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.]
三、解答题
9.已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y=10sin+20,x∈[4,16].
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差;
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌能生存多长时间?
[解] (1)由函数易知,当x=14时函数取最大值,即最高温度为30
℃;当x=6时函数取最小值,即最低温度为10
℃.所以,最大温差为30
℃-10
℃=20
℃.
(2)令10sin+20=15,
可得sin=-.
而x∈[4,16],所以x=.
令10sin+20=25,
可得sin=,而x∈[4,16],
所以x=.故该细菌的存活时间为-=小时.
10.某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天时刻t的浪高数据的平均值如下表:
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)作出这些数据的散点图;
(2)从y=ax+b,y=Asin(ωt+φ)+b和y=Atan(ωt+φ)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式;
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
[解] (1)散点图如图所示.
(2)由(1)知选择y=Asin(ωt+φ)+b较合适.令A>0,ω>0,|φ|<π.
由图可知,A=0.4,b=1,T=12,所以ω==.
把t=0,y=1代入y=0.4sin+1,得φ=0.
故所求拟合模型的解析式为y=0.4sin
t+1(0≤t≤24).
(3)由y=0.4sin
t+1≥0.8,得sin
t≥-.则-+2kπ≤t≤+2kπ(k∈Z),即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z),
注意到t∈[0,24],所以0≤t≤7,或11≤t≤19,或23≤t≤24,再结合题意可知,应安排在11时到19时训练较恰当.
提升练
1.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9
500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:
x
1
2
3
y
10
000
9
500

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(  )
A.10
000元
B.9
500元
C.9
000元
D.8
500元
C [因为y=500sin(ωx+φ)+9
500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9
500=10
000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9
500=9
500,所以ω可取,φ可取π,即y=500sin+9
500.当x=3时,y=9
000.]
2.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是(  )
  
 A  
  B    C    D
C [令AP所对圆心角为θ,由|OA|=1,得l=θ,sin=,∴d=2sin=2sin,
即d=f(l)=2sin(0≤l≤2π),它的图象为C.]
3.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asinωπt++60(美元)(t(天),A>0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150(天)时达到最低油价,则ω的最小值为________.
 [因为Asin+60=80,sin≤1,
所以A=20,当t=150(天)时达到最低油价,即sin=-1,此时150ωπ+=2kπ-,k∈Z,因为ω>0,所以当k=1时,ω取最小值,
所以150ωπ+=π,解得ω=.]
4.已知角φ的终边经过点P(1,-1),点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象上的任意两点,若|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为,则f
=________.
- [由条件|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为,结合图象(略)可知函数f(x)的最小正周期为,则由T==,得ω=3.又因为角φ的终边经过点P(1,-1),所以不妨取φ=-,则f(x)=sin3x-,于是f
=sin=-.]
拓展
在某个以旅游业为主的地区,每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)=100·[Acos(ωn+2)+k]来刻画,其中A和k是正整数,ω>0,正整数n表示月份且n∈[1,12],n∈N+,例如n=1时表示1月份.经统计发现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律:
①各年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同;
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人;
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人,随后逐月递增,直到8月份达到最多.
(1)试根据已知信息,确定一个符合条件的f(n)的表达式;
(2)一般地,如果当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时,该地区也进入了一年中的旅游“旺季”,那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由.
[解] (1)根据规律①可知,该函数为周期函数,且周期为12,所以T==12,得ω=.
由规律②可知,f(n)max=f(8)=100A+100k,f(n)min=f(2)=-100A+100k,f(8)-f(2)=200A=400,得A=2.
根据规律③可知,当n=2时,f(2)=200·cos+100k=100,
得k≈2.99,因为k是正整数,故取k=3.
综上可得,f(n)=200cos+300(n∈[1,12],且n∈N+).
(2)令200cos+300>400,
可得cos>,则2kπ-即12k-2-所以当k=1时,6.18因为n∈[1,12],n∈N+,所以n=7,8,9,10,即一年中的7,8,9,10四个月是该地区的旅游“旺季”.