2021年新教材高中数学 5.7三角函数的应用练习 (word含解析)

三角函数的应用
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　)
A．2π
s　　
B．π
s
C．0.5
s
D．1
s
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节那天某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin
(t≥0)，则在下列时间段内人流量增加的是(　　)
A．[0,5]　　
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos
2t确定，则当t＝
s时，s1与s2的大小关系是(　　)
A．s1＞s2
B．s1＜s2
C．s1＝s2
D．不能确定
4．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
－5.9
－3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
则适合这组数据的函数模型是(　　)
A．y＝acos
B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝acos－3
5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安
B．5安
C．5安
D．10安
二、填空题
6．某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28
℃，12月份的月平均气温最低，为18
℃，则10月份的月平均气温值为______℃.
7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
三、解答题
9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
10．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝ax＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b和y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
提升练
1．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10
000
9
500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10
000元
B．9
500元
C．9
000元
D．8
500元
2.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
　　
　A　　
　　B　　　　C　　　　D
3．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asinωπt＋＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
4．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f
＝________.
拓展
在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)＝100·[Acos(ωn＋2)＋k]来刻画，其中A和k是正整数，ω>0，正整数n表示月份且n∈[1,12]，n∈N＋，例如n＝1时表示1月份．经统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增，直到8月份达到最多．
(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的f(n)的表达式；
(2)一般地，如果当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　)
A．2π
s　　
B．π
s
C．0.5
s
D．1
s
D　[依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D.]
2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节那天某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin
(t≥0)，则在下列时间段内人流量增加的是(　　)
A．[0,5]　　
B．[5,10]
C．[10,15]
D．[15,20]
C　[由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.]
3．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos
2t确定，则当t＝
s时，s1与s2的大小关系是(　　)
A．s1＞s2
B．s1＜s2
C．s1＝s2
D．不能确定
C　[当t＝时，s1＝5sin＝5sin＝－5，
当t＝时，s2＝10cos＝10×＝－5，
故s1＝s2.]
4．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均温度
－5.9
－3.3
2.2
9.3
15.1
20.3
22.8
22.2
18.2
11.9
4.3
－2.4
则适合这组数据的函数模型是(　　)
A．y＝acos
B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝acos－3
C　[当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝＞0.故选C.]
5．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是(　　)
A．－5安
B．5安
C．5安
D．10安
A　[由图象知A＝10，＝－＝，所以ω＝＝100π.
所以I＝10sin(100πt＋φ)．
因为为五点作图法中的第二个点，
所以100π×＋φ＝.所以φ＝.
所以I＝10sin，
当t＝秒时，I＝－5安．]
二、填空题
6．某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28
℃，12月份的月平均气温最低，为18
℃，则10月份的月平均气温值为______℃.
20.5　[由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos＋23.故10月份的月平均气温值为y＝5cos＋23＝20.5.]
7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
y＝2sin　[由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，
又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝＝π，
所以y＝2sin，
将点(0.1,2)代入y＝2sin中，
得sin＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，
即φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得φ＝，
所以y＝2sin.]
8．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
7　[函数y＝－sinx的周期T＝4，且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.]
三、解答题
9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解]　(1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30
℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10
℃.所以，最大温差为30
℃－10
℃＝20
℃.
(2)令10sin＋20＝15，
可得sin＝－.
而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
可得sin＝，而x∈[4,16]，
所以x＝.故该细菌的存活时间为－＝小时．
10．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：时)呈周期性变化，每天时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.5
1.0
(1)作出这些数据的散点图；
(2)从y＝ax＋b，y＝Asin(ωt＋φ)＋b和y＝Atan(ωt＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．
[解]　(1)散点图如图所示．
(2)由(1)知选择y＝Asin(ωt＋φ)＋b较合适．令A>0，ω>0，|φ|<π.
由图可知，A＝0.4，b＝1，T＝12，所以ω＝＝.
把t＝0，y＝1代入y＝0.4sin＋1，得φ＝0.
故所求拟合模型的解析式为y＝0.4sin
t＋1(0≤t≤24)．
(3)由y＝0.4sin
t＋1≥0.8，得sin
t≥－.则－＋2kπ≤t≤＋2kπ(k∈Z)，即12k－1≤t≤12k＋7(k∈Z)，
注意到t∈[0,24]，所以0≤t≤7，或11≤t≤19，或23≤t≤24，再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．
提升练
1．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10
000
9
500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10
000元
B．9
500元
C．9
000元
D．8
500元
C　[因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9
500＝10
000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9
500＝9
500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9
500.当x＝3时，y＝9
000.]
2.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
　　
　A　　
　　B　　　　C　　　　D
C　[令AP所对圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin＝，∴d＝2sin＝2sin，
即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C.]
3．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asinωπt＋＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
　[因为Asin＋60＝80，sin≤1，
所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，即sin＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，
所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.]
4．已知角φ的终边经过点P(1，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f
＝________.
－　[由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，结合图象(略)可知函数f(x)的最小正周期为，则由T＝＝，得ω＝3.又因为角φ的终边经过点P(1，－1)，所以不妨取φ＝－，则f(x)＝sin3x－，于是f
＝sin＝－.]
拓展
在某个以旅游业为主的地区，每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数f(n)可近似地用函数f(n)＝100·[Acos(ωn＋2)＋k]来刻画，其中A和k是正整数，ω>0，正整数n表示月份且n∈[1,12]，n∈N＋，例如n＝1时表示1月份．经统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：
①各年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；
②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约400人；
③2月份该地区从事旅游服务工作的人数约为100人，随后逐月递增，直到8月份达到最多．
(1)试根据已知信息，确定一个符合条件的f(n)的表达式；
(2)一般地，如果当该地区从事旅游服务工作的人数超过400人时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．
[解]　(1)根据规律①可知，该函数为周期函数，且周期为12，所以T＝＝12，得ω＝.
由规律②可知，f(n)max＝f(8)＝100A＋100k，f(n)min＝f(2)＝－100A＋100k，f(8)－f(2)＝200A＝400，得A＝2.
根据规律③可知，当n＝2时，f(2)＝200·cos＋100k＝100，
得k≈2.99，因为k是正整数，故取k＝3.
综上可得，f(n)＝200cos＋300(n∈[1,12]，且n∈N＋)．
(2)令200cos＋300>400，
可得cos>，则2kπ－即12k－2－所以当k＝1时，6.18因为n∈[1,12]，n∈N＋，所以n＝7,8,9,10，即一年中的7,8,9,10四个月是该地区的旅游“旺季”.