函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是( )
A B
C
D
2．将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
3．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．(多选)函数y＝3sin的图象，可由函数y＝sin
x的图象经过下列哪项变换而得到( )
A．向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍
B．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍
C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
D．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
5．将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝sin
x
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
二、填空题
6．将函数y＝2cos
2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为__________．
7．将函数y＝sin
4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为__________．
8．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标__________(填“伸长”或“缩短”)为原来的__________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
三、解答题
9．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin
x的图象相同，求f(x)的解析式．
10．如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8
m，圆上最低点与地面距离为0.8
m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
提升练
1．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
2．(多选)以下结论正确的是( )
A．将y＝sin
x的图象向右平移π个单位长度，得到y＝－sin
x的图象
B．将y＝sin
x的图象向右平移2个单位长度，得到y＝sin(x＋2)的图象
C．将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图象
D．将y＝sin(－x)的图象向左平移π个单位长度，得到y＝sinx的图象
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，为了得到g(x)＝sin的图象，只需将y＝f(x)的图象上横坐标伸长为原来的____________倍.
4．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝Asin
x的图象，则ω＝__________，φ＝__________.
拓展
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图1)．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图2)．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒(视为质点)的运动规律，将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系(如图3)，设经过t秒后，筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点P，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H(单位：m)，由以下量所决定：简车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω(单位：rad/s)，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t(单位：s)．已知r＝3
m，h＝2
m，筒车每分钟转动(按逆时针方向)1.5圈，点P0距离水面的高度为3.5
m，若盛水筒M从点P0开始计算时间，若将点P距离水面的高度H表示为时间t的函数，求此函数表达式．
图1 图2 图3
参考答案：
基础练
一、选择题
1．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是( )
A B
C
D
A [当x＝π时，y＝sin＝－排除B、D.
当x＝时y＝sin
0＝0，排除C，故选A.]
2．将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为( )
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
B [平移后得解析式为y＝sin＝sin，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍得解析式为y＝sin，故选B.]
3．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
C [因为y＝sin＝sin，
所以将函数y＝sin
2x的图象向左平移个单位长度，
就可得到函数y＝sin＝sin的图象．]
4．(多选)函数y＝3sin的图象，可由函数y＝sin
x的图象经过下列哪项变换而得到( )
A．向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍
B．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍
C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
D．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
BD [先平移后伸缩：
先伸缩后平移：
y＝sin＝siny＝3sin，故BD正确．]
5．将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，则所得图象对应的函数解析式为( )
A．y＝sin
x
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
B [将函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝sin＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图象，故选B.]
二、填空题
6．将函数y＝2cos
2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为__________．
y＝－2cos
4x [将函数y＝2cos
2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y＝2cos＝2cos(2x－π)＝－2cos
2x的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝－2cos
4x的图象．]
7．将函数y＝sin
4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0<φ<π)的图象，则φ的值为__________．
[将函数y＝sin
4x的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin，
所以φ的值为.]
8．将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标__________(填“伸长”或“缩短”)为原来的__________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
伸长 3 [A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．]
三、解答题
9．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin
x的图象相同，求f(x)的解析式．
[解] 逆向思维，
10．如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8
m，圆上最低点与地面距离为0.8
m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.
(1)求h与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．
[解] (1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.当θ＞时，
∠BOM＝θ－.
h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin；
当0≤θ≤时，上述解析式也适合．
则h与θ间的函数解析式为h＝5.6＋4.8sin.
(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是＝，
∴t秒转过的弧度数为t，
∴h＝4.8sin＋5.6，t∈[0，＋∞)．
提升练
1．要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin
2x的图象( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
A [因为y＝cos＝sin＝sin＝sin
2，
所以将y＝sin
2x的图象向左平移个单位，
得到y＝cos的图象．]
2．(多选)以下结论正确的是( )
A．将y＝sin
x的图象向右平移π个单位长度，得到y＝－sin
x的图象
B．将y＝sin
x的图象向右平移2个单位长度，得到y＝sin(x＋2)的图象
C．将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位长度，得到y＝sin(－x－2)的图象
D．将y＝sin(－x)的图象向左平移π个单位长度，得到y＝sinx的图象
ACD [将y＝sin
x的图象向右平移π个单位长度所得图象的解析式为y＝sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin
x，所以A正确；将y＝sin
x的图象向右平移2个单位长度得到图象的解析式为y＝sin(x－2)，所以B错误；将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位长度所得图象的解析式为y＝sin[－(x＋2)]＝sin(－x－2)，所以C正确．将y＝sin(－x)的图象向左平移π个单位长度，得到y＝sinx的图象，D正确．]
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，为了得到g(x)＝sin的图象，只需将y＝f(x)的图象上横坐标伸长为原来的____________倍.
4 [∵f(x)的最小正周期为π，∴＝π.
∴ω＝2.∴f(x)＝sin.
又g(x)＝sin＝sin，
∴只需将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到g(x)＝sin的图象．]
4．将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝Asin
x的图象，则ω＝__________，φ＝__________.
[y＝Asin
x的图象向左平移个单位长度，得到y＝Asin的图象，再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝Asin的图象即为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，
所以f(x)＝Asin，所以ω＝，φ＝.]
拓展
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图1)．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(如图2)．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画盛水筒(视为质点)的运动规律，将筒车抽象为一个几何图形，建立直角坐标系(如图3)，设经过t秒后，筒车上的某个盛水筒M从点P0运动到点P，由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H(单位：m)，由以下量所决定：简车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω(单位：rad/s)，盛水筒的初始位置P0以及所经过的时间t(单位：s)．已知r＝3
m，h＝2
m，筒车每分钟转动(按逆时针方向)1.5圈，点P0距离水面的高度为3.5
m，若盛水筒M从点P0开始计算时间，若将点P距离水面的高度H表示为时间t的函数，求此函数表达式．
图1 图2 图3
[解] 过P0向x轴作垂线，垂足为A，
则P0A＝3.5－2＝1.5＝r,
∴∠P0OA＝，
筒车的角速度ω＝＝，
∴H＝3sin＋2.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象及性质的应用
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )
A．5
B．4
C．3
D．2
2．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R其中ω>0，|φ|<的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝
3．把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )
A．奇函数
B.偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
4．(多选)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x有f
＝f
，则f
等于( )
A．－3
B．－1
C．0
D．3
5．函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法正确的是( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
二、填空题
6．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝__________.
8．某同学利用描点法画函数y＝Asin
(ωx＋φ)(其中0
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin
(ωx＋φ)的解析式应是________．
三、解答题
9．已知f(x)＝sin(2x－φ)－1(0<φ<π)的一个零点是.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数的最大值以及最小值．
10．已知函数f(x)＝sin.
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)试问f(x)是由g(x)＝sin
x经过怎样变换得到？
提升练
1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为( )
A．
B．
C．
D．
2．(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f
＝f
，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝__________.
4．函数y＝2sin
πx－(－2≤x≤4)的零点个数为________，所有零点之和为________．
拓展
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝( )
A．5
B．4
C．3
D．2
B [由函数的图象可得＝×＝－x0＝，解得ω＝4.]
2．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R其中ω>0，|φ|<的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝
D [∵＝π，∴ω＝2.
∵f(0)＝，∴2sin
φ＝.
∴sin
φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.]
3．把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )
A．奇函数
B.偶函数
C．既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
A [y＝sin＝sin，向左平移个单位长度后为y＝sin＝sin
2x，为奇函数．]
4．(多选)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x有f
＝f
，则f
等于( )
A．－3
B．－1
C．0
D．3
AD [由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f
＝f
，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f
是函数f(x)的最大值或最小值，则f
＝－3或3.]
5．函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法正确的是( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
D [将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos.
令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故A错误．
令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故B错误．令x＝，求得f(x)＝cos
0＝1，为函数的最大值，故C错误，D正确．]
二、填空题
6．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.
2 [由题意知，T＝2×＝π，
所以ω＝＝2；又因为当x＝时有最大值2.
f
＝2sin＝2sin＝2，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且|φ|≤，所以φ＝.]
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝__________.
[由图象可得A＝，周期为4×＝π，所以ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f(0)＝sin
φ＝sin
＝.]
8．某同学利用描点法画函数y＝Asin
(ωx＋φ)(其中0x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin
(ωx＋φ)的解析式应是________．
y＝2sin [在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．
根据函数图象的大致走势，
可知点(1,0)不符合题意；
又因为0所以A＝2.
因为函数图象过(0,1)，∴2sin
φ＝1，
又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
因此函数的最小正周期为6.
∴ω＝.∴y＝2sin.]
三、解答题
9．已知f(x)＝sin(2x－φ)－1(0<φ<π)的一个零点是.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数的最大值以及最小值．
[解] (1)依题意有f
＝0，所以sin－1＝0.
因此cos
φ＝.又因为0<φ<π，所以φ＝.
故f(x)＝sin－1，其最小正周期为T＝＝π.
(2)由x∈，得2x－∈，
则sin∈，
所以－－1≤sin－1≤－1，
所以函数y＝f(x)的最大值为－1，最小值为－－1.
10．已知函数f(x)＝sin.
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)试问f(x)是由g(x)＝sin
x经过怎样变换得到？
[解] (1)列表如下：
2x－
0
π
2π
x
f(x)
0
1
0
－1
0
描点连线，图象如图所示．
(2)先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的，即可得到f(x)的图象．
提升练
1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为( )
A．
B．
C．
D．
C [由题图知，f
＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，
∴<2π<，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，∴T＝＝.故选C.]
2．(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为
BCD [由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<|φ|<π)的图象可得，
A＝2，＝－＝，因此T＝π，
所以ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，过点，
因此＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<|φ|<π，
所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
当x＝时，f
＝－1，故A错；
当x＝－时，f
＝0，故B正确；
当x∈，2x＋∈，所以f(x)＝2sin在x∈上单调递增，故C正确；
由f(x)＝2sin＝1，得sin＝，∴2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z.取k＝0，得x＝0或；取k＝1，得x＝π或.∴函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为0＋＋π＋＝，故D正确．]
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f
＝f
，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝__________.
[依题意知f(x)＝sin(ω>0)，f
＝f
，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，
∴f(x)图象关于直线x＝对称，
即关于直线x＝对称，且－∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0<ω<12，∴ω＝.]
4．函数y＝2sin
πx－(－2≤x≤4)的零点个数为________，所有零点之和为________．
8 8 [函数y＝2sin
πx－(－2≤x≤4)的零点即
方程2sin
πx＝的根，
作函数y＝2sin
πx与y＝的图象如下：由图可知共有8个公共点，所以原函数有8个零点．
y＝2sin
πx－＝2sin
π(1－x)－，
令t＝1－x，则y＝2sin
πt－，t∈[－3,3]，
该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.]
拓展
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：
x
－
y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
[解] (1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1，又解得令ω·＋φ＝，即＋φ＝，解得φ＝－，∴f(x)＝2sin＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－，∵x∈，
∴t∈，作出y＝sin
t的图象，如图所示，
当sin
t＝s在上有两个不同的实数解时，s∈，∴当x∈时，由方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解得m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．