公式五和公式六
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－
B．
C．
D．－
2．已知sin
10°＝k，则cos
620°的值为( )
A．k
B．－k
C．±k
D．不确定
3．已知sin＝，则cos等于( )
A．－
B．
C．
D．－
4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A．－
B．－
C．
D．
5．化简：＝( )
A．－sin
θ
B．sin
θ
C．cos
θ
D．－cos
θ
二、填空题
6．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝________.
7．已知cos＝，且|φ|＜，则tan
φ＝________.
8．若sin＝－，且α∈，则sin
＝________.
三、解答题
9．已知角α的终边经过点P.
(1)求sin
α的值；
(2)求的值．
10．求证：＝.
提升练
1．若f(cos
x)＝cos
2x，则f(sin
15°)的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
2．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin
β＝
B．cos(π＋β)＝
C．tan
β＝
D．tan
β＝
3．在△ABC中，若cos
＝，则cos
＝________.
4．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)＝________.
(2)若f＝－，且α是第二象限角，则tan
α＝________.
拓展
是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－
B．
C．
D．－
A [∵sin(3π＋α)＝－sin
α＝－，∴sin
α＝.
∴cos＝cos
＝－cos
＝－sin
α＝－.]
2．已知sin
10°＝k，则cos
620°的值为( )
A．k
B．－k
C．±k
D．不确定
B [cos
620°＝cos(360°＋260°)＝cos
260°
＝cos(270°－10°)＝－sin
10°＝－k.]
3．已知sin＝，则cos等于( )
A．－
B．
C．
D．－
A [cos＝cos
＝－sin＝－.故选A.]
4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A．－
B．－
C．
D．
B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a，
得－sin
α－sin
α＝－a，
即sin
α＝，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α)
＝－sin
α－2sin
α＝－3sin
α＝－a.]
5．化简：＝( )
A．－sin
θ
B．sin
θ
C．cos
θ
D．－cos
θ
A [原式＝
＝＝－sin
θ.]
二、填空题
6．化简sin(π＋α)cos＋sincos(π＋α)＝________.
－1 [原式＝(－sin
α)·sin
α＋cos
α·(－cos
α)
＝－sin2α－cos2α＝－1.]
7．已知cos＝，且|φ|＜，则tan
φ＝________.
－ [cos＝－sin
φ＝，sin
φ＝－，
又∵|φ|＜，∴cos
φ＝，故tan
φ＝－.]
8．若sin＝－，且α∈，则sin
＝________.
－ [因为α∈，
所以α＋∈.
又sin＝－<0，
所以α＋∈，
所以cos＝－＝－.
sin＝sin
＝cos＝－.]
三、解答题
9．已知角α的终边经过点P.
(1)求sin
α的值；
(2)求的值．
[解] (1)因为点P，
所以|OP|＝1，sin
α＝－.
(2)
＝＝，
由三角函数定义知cos
α＝，故所求式子的值为.
10．求证：＝.
[证明] 左边＝
＝
＝，
右边＝
＝＝
＝＝，
所以等式成立．
提升练
1．若f(cos
x)＝cos
2x，则f(sin
15°)的值为( )
A．－
B．
C．－
D．
A [因为f(sin
15°)＝f(cos
75°)＝cos
150°＝－.]
2．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是( )
A．sin
β＝
B．cos(π＋β)＝
C．tan
β＝
D．tan
β＝
AC [∵sin(π＋α)＝－sin
α＝－，∴sin
α＝，
若α＋β＝，则β＝－α.
A中，sin
β＝sin＝cos
α＝±，
故A符合条件；
B中，cos(π＋β)＝－cos＝－sin
α＝－，
故B不符合条件；
C中，tan
β＝，即sin
β＝cos
β，
又sin2β＋cos2β＝1，所以sin
β＝±，
故C符合条件；
D中，tan
β＝，即sin
β＝cos
β，
又sin2β＋cos2β＝1，所以sin
β＝±，
故D不符合条件．]
3．在△ABC中，若cos
＝，则cos
＝________.
[∵cos
＝cos
＝cos＝sin
＝.
∴cos
＝＝.]
4．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)＝________.
(2)若f＝－，且α是第二象限角，则tan
α＝________.
(1)sin
α (2)－ [(1)f(α)
＝
＝＝sin
α.
(2)由sin＝－，得cos
α＝－，
又α是第二象限角，
所以sin
α＝＝，
则tan
α＝＝－.]
拓展
是否存在角α，β，α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 由条件，得
①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2，
所以sin2α＝，cos2α＝.
又α∈，
所以α＝或α＝－.
将α＝代入②，得cos
β＝.
又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知符合．
将α＝－代入②得cos
β＝，
又β∈(0，π)，所以β＝，代入①可知不符合．
综上可知，存在α＝，β＝满足条件．公式二、公式三和公式四
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于( )
A．cos
C
B．－cos
C
C．sin
C
D．－sin
C
2．(多选)已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin
α＝sin
β
B．sin(α－2π)＝－sin
β
C．cos
α＝cos
β
D．cos(2π－α)＝－cos
β
3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
4．设sin
160°＝a，则cos
340°的值是( )
A．1－a2
B．
C．－
D．±
5．已知sin＝，则sin的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
二、填空题
6．求值：(1)sin＝________.
(2)cos＝________.
7．化简：sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是________．
8．已知tan＝5，则tan＝________.
三、解答题
9．已知sin(α＋π)＝，且sin
αcos
α＜0，求的值．
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
提升练
1．记cos(－80°)＝k，则tan
100°等于( )
A．
B．－
C．
D．－
2．(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是( )
A．－1
B．－2
C．1
D．2
3．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋7，α，β均为实数，若f(2
020)＝8，则f(2
021)的值为________．
4．已知f(x)＝则f
＋f
的值为________．
拓展
设k为整数，化简：.
参考答案：
基础练
一、选择题
1．在△ABC中，cos(A＋B)的值等于( )
A．cos
C
B．－cos
C
C．sin
C
D．－sin
C
B [∵在△ABC中，A＋B＝π－C，
∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos
C．故选B.]
2．(多选)已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin
α＝sin
β
B．sin(α－2π)＝－sin
β
C．cos
α＝cos
β
D．cos(2π－α)＝－cos
β
BC [由题意可知α＝－β，∴sin
α＝sin(－β)＝－sin
β；sin(α－2π)＝sin
α＝－sin
β；cos
α＝cos(－β)＝cos
β；cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos
α＝cos
β，故选BC.]
3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
B [由题意得tan
600°＝－，
又因为tan
600°＝tan(360°＋240°)
＝tan
240°＝tan(180°＋60°)
＝tan
60°＝，
所以－＝，所以a＝－.]
4．设sin
160°＝a，则cos
340°的值是( )
A．1－a2
B．
C．－
D．±
B [因为sin
160°＝a，所以sin(180°－20°)＝sin
20°＝a，而cos
340°＝cos(360°－20°)＝cos
20°＝.]
5．已知sin＝，则sin的值为( )
A．
B．－
C．
D．－
C [sin＝sin
＝－sin
＝sin＝.]
二、填空题
6．求值：(1)sin＝________.
(2)cos＝________.
(1) (2)－ [(1)sin＝sin＝sin＝.
(2)cos＝cos＝cos＝－cos＝－.]
7．化简：sin2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是________．
2 [原式＝sin2α＋(－cos
α)·(－cos
α)＋1
＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.]
8．已知tan＝5，则tan＝________.
－5 [tan＝tan＝－tan
＝－5.]
三、解答题
9．已知sin(α＋π)＝，且sin
αcos
α＜0，求的值．
[解] 因为sin(α＋π)＝－sin
α＝，
且sin
αcos
α＜0，
所以sin
α＝－，cos
α＝，tan
α＝－，
所以
＝
＝＝－.
10．已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝－＝－cos
α.
(2)∵sin(α－π)＝－sin
α＝，
∴sin
α＝－.
又α是第三象限角，
∴cos
α＝－，∴f(α)＝.
(3)∵－＝－6×2π＋，
∴f
＝－cos
＝－cos＝－cos＝－.
提升练
1．记cos(－80°)＝k，则tan
100°等于( )
A．
B．－
C．
D．－
B [∵cos(－80°)＝cos
80°＝k，sin
80°＝＝，∴tan
100°＝－tan
80°＝－.故选B.]
2．(多选)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是( )
A．－1
B．－2
C．1
D．2
BD [当k为偶数时，A＝＋＝2；当k为奇数时，A＝－＝－2.故选BD.]
3．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋7，α，β均为实数，若f(2
020)＝8，则f(2
021)的值为________．
6 [因为f(2
020)＝asin(2
020π＋α)＋bcos(2
020π＋β)＋7＝asin
α＋bcos
β＋7，
所以asin
α＋bcos
β＋7＝8，
所以asin
α＋bcos
β＝1，
又f(2
021)＝asin(2
021π＋α)＋bcos(2
021
π＋β)＋7＝－asin
α－bcos
β＋7＝－1＋7＝6.
所以f(2
021)＝6.]
4．已知f(x)＝则f
＋f
的值为________．
－2 [f
＝sin＝sin
＝sin＝，
f
＝f
－1＝f
－1＝f
－2
＝f
－2
＝sin－2＝－sin－2
＝－－2＝－，
所以f
＋f
＝－＝－2.]
拓展
设k为整数，化简：.
[解] 法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，
则原式＝
＝
＝＝－1；
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
所以原式＝－1.
法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝＝－1.
