二倍角的正弦、余弦、正切公式
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．化简＝( )
A．1
B．2
C．
D．－1
2．若sin＝，cos＝－，则角α是( )
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
3．已知sin
α－cos
α＝，则sin
2α＝( )
A．－
B．－
C．
D．
4．若＝，则tan
2α＝( )
A．－
B．
C．－
D．
5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是( )
A．
B．
C．－
D．－
二、填空题
6．已知tan
2α＝，则tan
α＝________.
7．化简：·＝________.
8．已知<α<π，cos
α＝－，则sin
2α＋cos
2α＝________.
三、解答题
9．求证：＝tan.
10．(1)已知cos＝，≤α＜，求cos2α＋的值；
(2)已知α∈，且sin
2α＝sin，求α.
提升练
1．公元前6世纪，古希腊的毕达歌拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin
18°，若a2＋b＝4，则＝( )
A．－
B．
C．－2
D．2
2．tan
70°cos
10°(tan
20°－1)＝( )
A．1
B．－1
C．
D．2
3．已知sin22α＋sin
2αcos
α－cos
2α＝1，则锐角α＝________.
4．已知α，β均为锐角，且3sin
α＝2sin
β，3cos
α＋2cos
β＝3，则sin
α＝________，α＋2β＝________.
拓展
在△ABC中，sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，且A≠B.
(1)求证：A＋B＝；
(2)求sin
A＋sin
B的取值范围；
(3)若(sin
Asin
B)x＝sin
A＋sin
B，试确定实数x的取值范围．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．化简＝( )
A．1
B．2
C．
D．－1
B [＝＝2.故选B.]
2．若sin＝，cos＝－，则角α是( )
A．第一象限的角
B．第二象限的角
C．第三象限的角
D．第四象限的角
C [∵sin
α＝2sincos＝2××＜0，
cos
α＝cos2－sin2＝2－2＜0，
∴α是第三象限的角．]
3．已知sin
α－cos
α＝，则sin
2α＝( )
A．－
B．－
C．
D．
A [∵sin
α－cos
α＝，
∴1－2sin
αcos
α＝，
即1－sin
2α＝，∴sin
2α＝－.]
4．若＝，则tan
2α＝( )
A．－
B．
C．－
D．
B [因为＝，
整理得tan
α＝－3，
所以tan
2α＝＝＝.]
5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是( )
A．
B．
C．－
D．－
A [设底角为θ，则θ∈，顶角为π－2θ.
∵sin
θ＝，∴cos
θ＝＝，
∴sin(π－2θ)＝sin
2θ＝2sin
θcos
θ
＝2××＝.]
二、填空题
6．已知tan
2α＝，则tan
α＝________.
－3± [∵tan
2α＝，∴＝，
∴1－tan2α＝6tan
α，解得tan
α＝－3±.]
7．化简：·＝________.
tan
2α [原式＝·＝tan
2α.]
8．已知<α<π，cos
α＝－，则sin
2α＋cos
2α＝________.
－ [因为cos
α＝－，＜α＜π，所以sin
α＝.
所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝－，
cos
2α＝2cos2α－1＝，
所以sin
2α＋cos
2α＝－＋＝－.]
三、解答题
9．求证：＝tan.
[证明]
＝
＝＝tan.
10．(1)已知cos＝，≤α＜，求cos2α＋的值；
(2)已知α∈，且sin
2α＝sin，求α.
[解] (1)∵≤α＜，∴≤α＋＜.
∵cos＞0，
∴＜α＋＜，
∴sin＝－
＝－＝－，
∴cos
2α＝sin＝2sincos＝2××＝－，
sin
2α＝－cos＝1－2cos2＝1－2×2＝，
∴cos＝cos
2α－sin
2α＝×－×＝－.
(2)∵sin
2α＝－cos＝－
＝1－2cos2，
sin＝－sin
＝－cos
＝－cos，
∴原式可化为1－2cos2＝－cos，
解得cos＝1或cos＝－.
∵α∈，
∴α＋∈，故α＋＝0或α＋＝，
即α＝－或α＝.
提升练
1．公元前6世纪，古希腊的毕达歌拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin
18°，若a2＋b＝4，则＝( )
A．－
B．
C．－2
D．2
A [∵a＝2sin
18°，a2＋b＝4，
∴b＝4－a2＝4－4sin218°＝4cos218°，
∴＝＝＝＝－.]
2．tan
70°cos
10°(tan
20°－1)＝( )
A．1
B．－1
C．
D．2
B [原式＝·cos
10°·
＝·cos
10°·
＝·cos
10°·
＝－·
＝－1.]
3．已知sin22α＋sin
2αcos
α－cos
2α＝1，则锐角α＝________.
[由原式，得sin22α＋sin
2αcos
α－2cos2α＝0，
∴(2sin
αcos
α)2＋2sin
αcos2α－2cos2α＝0，
∴2cos2α(2sin2α＋sin
α－1)＝0，
∴2cos2α(2sin
α－1)(sin
α＋1)＝0.
∵α为锐角，
∴cos2α≠0，sin
α＋1≠0，
∴2sin
α－1＝0，
∴sin
α＝，
∴α＝.]
4．已知α，β均为锐角，且3sin
α＝2sin
β，3cos
α＋2cos
β＝3，则sin
α＝________，α＋2β＝________.
π [由题意得
①2＋②2得cos
β＝，cos
α＝，
由α，β均为锐角知，sin
β＝，sin
α＝，
∴tan
β＝2，tan
α＝，
∴tan
2β＝－，
∴tan(α＋2β)＝0.
又α＋2β∈，
∴α＋2β＝π.]
拓展
在△ABC中，sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，且A≠B.
(1)求证：A＋B＝；
(2)求sin
A＋sin
B的取值范围；
(3)若(sin
Asin
B)x＝sin
A＋sin
B，试确定实数x的取值范围．
[解] (1)证明：因为sin
Acos
A＝sin
Bcos
B，
所以sin
Acos
A－sin
Bcos
B＝0，
即sin
2A＝sin
2B，
解得2A＝2B或2A＋2B＝π，
化简可得A＝B，或A＋B＝，
但A≠B，所以A＋B＝.
(2)由(1)可知A＋B＝，
故sin
A＋sin
B
＝sin
A＋sin＝sin
A＋cos
A＝sin，
因为0
所以1故sin
A＋sin
B的取值范围是(1，]．
(3)由题意可知x＝＝，
设sin
A＋cos
A＝t∈(1，]，
则t2＝1＋2sin
Acos
A，
故sin
Acos
A＝，代入得x＝＝＝≥＝2，
故实数x的取值范围为[2，＋∞).两角和与差的正切公式
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是( )
A．2
B．
C．－2
D．－
2.的值等于( )
A．tan
42°
B．tan
3°
C．1
D．tan
24°
3．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于( )
A．
B．7
C．－
D．－7
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tanα＋等于( )
A．
B．
C．
D．
5．若tan
28°tan
32°＝m，则tan
28°＋tan
32°＝( )
A.m
B．(1－m)
C.(m－1)
D．(m＋1)
二、填空题
6．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.
7．在△ABC中，若tan
A，tan
B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.
8．化简：tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°的值等于________．
三、解答题
9．已知tan＝2，tan
β＝.
(1)求tan
α的值；
(2)求的值．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
提升练
1．(多选)已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则( )
A．tan
α＋tan
β＝3
B．tan(α＋β)＝
C．tan
α·tan
β＝4
D．α＋β＝－
2．(1＋tan
1°)(1＋tan
2°)·…·(1＋tan
44°)(1＋tan
45°)的值为( )
A．222
B．223
C．224
D．225
3．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
4．在△ABC中，tan
A＋tan
B＋tan
C＝3，tan2B＝tan
A·tan
C，则角B＝________.
拓展
是否存在两个锐角α和β使得两个条件：
①α＋β＝，②tan
tan
＝2－同时成立，若存在求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．已知点P(1，a)在角α的终边上，tan＝－，则实数a的值是( )
A．2
B．
C．－2
D．－
C [∵tan＝
＝＝－，
∴tan
α＝－2，
∵点P(1，a)在角α的终边上，
∴tan
α＝＝a，
∴a＝－2.]
2.的值等于( )
A．tan
42°
B．tan
3°
C．1
D．tan
24°
A [∵tan
60°＝，
∴原式＝＝tan(60°－18°)＝tan
42°.]
3．若tan(180°－α)＝－，则tan(α＋405°)等于( )
A．
B．7
C．－
D．－7
D [∵tan(180°－α)＝－tan
α＝－，∴tan
α＝，
∴tan(α＋405°)＝tan(α＋45°)＝＝＝－7.]
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tanα＋等于( )
A．
B．
C．
D．
C [tan＝tan＝＝＝.]
5．若tan
28°tan
32°＝m，则tan
28°＋tan
32°＝( )
A.m
B．(1－m)
C.(m－1)
D．(m＋1)
B [由公式变形tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)可得，tan
28°＋tan
32°＝tan
60°(1－tan
28°tan
32°)
＝(1－m)．]
二、填空题
6．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________.
[tan＝tan
＝
＝＝.]
7．在△ABC中，若tan
A，tan
B是方程6x2－5x＋1＝0的两根，则角C＝________.
[由题意得tan
A＋tan
B＝，tan
Atan
B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
又A＋B＋C＝π，
∴tan
C＝－tan(A＋B)＝－1，
∴C＝.]
8．化简：tan
10°tan
20°＋tan
20°tan
60°＋tan
60°tan
10°的值等于________．
1 [原式＝tan
10°tan
20°＋tan
60°(tan
20°＋tan
10°)
＝tan
10°tan
20°＋tan(20°＋10°)(1－tan
20°tan
10°)
＝tan
10°tan
20°＋1－tan
20°tan
10°
＝1.]
三、解答题
9．已知tan＝2，tan
β＝.
(1)求tan
α的值；
(2)求的值．
[解] (1)∵tan＝2，
∴＝2，
∴＝2，解得tan
α＝.
(2)原式
＝
＝＝
＝tan(β－α)＝
＝＝.
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
[解] 由条件得cos
α＝，cos
β＝.
∵α，β为锐角，
∴sin
α＝＝，
sin
β＝＝.
因此tan
α＝＝7，
tan
β＝＝.
(1)tan(α＋β)＝
＝＝－3.
(2)∵tan
2β＝tan(β＋β)＝
＝＝，
∴tan(α＋2β)＝
＝＝－1.
∵α，β为锐角，
∴0＜α＋2β＜，
∴α＋2β＝.
提升练
1．(多选)已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则( )
A．tan
α＋tan
β＝3
B．tan(α＋β)＝
C．tan
α·tan
β＝4
D．α＋β＝－
BCD [由题意可知
∴tan(α＋β)＝＝.
又tan
α<0，tan
β<0，
∴α，β∈，
∴α＋β∈(－π，0)，
∴α＋β＝－，故选BCD.]
2．(1＋tan
1°)(1＋tan
2°)·…·(1＋tan
44°)(1＋tan
45°)的值为( )
A．222
B．223
C．224
D．225
B [若α＋β＝，则(1＋tan
α)(1＋tan
β)＝1＋tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝1＋tan(α＋β)＝1＋tan
＝2.
∴(1＋tan
1°)(1＋tan
2°)…(1＋tan
44°)(1＋tan
45°)＝223.故选B.]
3．已知＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
[由条件知＝＝3，
则tan
α＝2.
因为tan(α－β)＝2，
所以tan(β－α)＝－2，
故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝＝＝.]
4．在△ABC中，tan
A＋tan
B＋tan
C＝3，tan2B＝tan
A·tan
C，则角B＝________.
60° [由公式变形得：
tan
A＋tan
B＝tan(A＋B)(1－tan
Atan
B)
＝tan(180°－C)(1－tan
Atan
B)
＝－tan
C(1－tan
Atan
B)
＝－tan
C＋tan
Atan
Btan
C，
∴tan
A＋tan
B＋tan
C
＝－tan
C＋tan
Atan
Btan
C＋tan
C
＝tan
Atan
Btan
C＝3.
∵tan2B＝tan
Atan
C，
∴tan3B＝3，
∴tan
B＝，B＝60°.]
拓展
是否存在两个锐角α和β使得两个条件：
①α＋β＝，②tan
tan
＝2－同时成立，若存在求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 假设存在两个锐角α和β，使得两个条件
①α＋β＝，②tan
tan
＝2－同时成立，
由＋＝，可得tan＝，
即＝，∵tan
tan
＝2－，
∴＝，
化简得tan
＋tan
＝3－，
由联解，可得
或
∵a，β∈(0，π)，
∴或
即或
这与α和β都是锐角矛盾，
因此不存在两个锐角α和β使得两个条件：
①α＋β＝，②tan
tan
＝2－同时成立．两角差的余弦公式
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．cos
78°cos
18°＋sin
78°sin
18°＝( )
A．
B．
C．
D．－
2．已知sin
α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)＝( )
A．
B．
C．
D．
3．满足cos
αcos
β＝－sin
αsin
β的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝
B．α＝，β＝
C．α＝，β＝
D．α＝，β＝
4．已知cos＝，0＜θ＜，则cos
θ等于( )
A．
B．
C．
D．
5．已知sin
α－sin
β＝1－，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)＝( )
A．－
B．－
C．
D．
二、填空题
6．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(γ－β)＝________.
7．若cos(α－β)＝，则(sin
α＋sin
β)2＋(cos
α＋cos
β)2＝________.
8．计算：sin
60°＋cos
60°＝________.
三、解答题
9．已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos
β的值．
10．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
提升练
1．(多选)已知α，β，γ∈，sin
α＋sin
γ＝sin
β，cos
β＋cos
γ＝cos
α，则下列说法正确的是( )
A．cos(β－α)＝
B．cos(β－α)＝－
C．β－α＝
D．β－α＝－
2．已知cos＝－，则cos
x＋cos＝( )
A．－
B．±
C．－1
D．±1
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin
α＝，则cos(α－β)＝________.
4．若cos(α－β)＝，cos
2α＝，并且α，β均为锐角且α＜β，则cos(α＋β)＝________，α＋β＝________.
拓展
已知sin
α＋sin
β＝，求cos
α＋cos
β的取值范围．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．cos
78°cos
18°＋sin
78°sin
18°＝( )
A．
B．
C．
D．－
B [cos
78°cos
18°＋sin
78°sin
18°
＝cos(78°－18°)
＝cos
60°＝.]
2．已知sin
α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)＝( )
A．
B．
C．
D．
B [因为sin
α＝，α是第二象限角，所以cos
α＝－，故cos(α－60°)＝cos
αcos
60°＋sin
αsin
60°＝×＋×＝.]
3．满足cos
αcos
β＝－sin
αsin
β的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝
B．α＝，β＝
C．α＝，β＝
D．α＝，β＝
B [由已知得cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝，检验知选B.]
4．已知cos＝，0＜θ＜，则cos
θ等于( )
A．
B．
C．
D．
A [∵θ∈，
∴θ＋∈，∴sin
＝＝.
cos
θ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.]
5．已知sin
α－sin
β＝1－，cos
α－cos
β＝，则cos(α－β)＝( )
A．－
B．－
C．
D．
D [因为sin
α－sin
β＝1－，
所以sin2α－2sin
αsin
β＋sin2β＝2， ①
因为cos
α－cos
β＝，所以cos2α－2cos
αcos
β＋cos2β＝2， ②
①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋，
所以－2cos(α－β)＝－，
所以cos(α－β)＝.]
二、填空题
6．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(γ－β)＝________.
cos(α＋γ－2β) [原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ)
＝cos(α－β)cos(β－γ)＋sin(α－β)sin(β－γ)
＝cos[(α－β)－(β－γ)]＝cos(α＋γ－2β)．]
7．若cos(α－β)＝，则(sin
α＋sin
β)2＋(cos
α＋cos
β)2＝________.
[(sin
α＋sin
β)2＋(cos
α＋cos
β)2＝sin2α＋sin2β＋2sin
αsin
β＋cos2α＋cos2β＋2cos
αcos
β＝2＋2cos
αcos
β＋2sin
αsin
β＝2＋2cos(α－β)＝2＋＝.]
8．计算：sin
60°＋cos
60°＝________.
[原式＝sin
30°sin
60°＋cos
30°cos
60°＝cos(30°－60°)＝cos(－30°)＝cos
30°＝.]
三、解答题
9．已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos
β的值．
[解] ∵α，β∈，
∴α＋β∈(0，π)，
又cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin
α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又β＝(α＋β)－α，
∴cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
10．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
[解] ∵<α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.∵<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，
∴cos(α＋β)＝，
∴cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
∵<α－β<π，<α＋β<2π，
∴<2β<，2β＝π，∴β＝.
提升练
1．(多选)已知α，β，γ∈，sin
α＋sin
γ＝sin
β，cos
β＋cos
γ＝cos
α，则下列说法正确的是( )
A．cos(β－α)＝
B．cos(β－α)＝－
C．β－α＝
D．β－α＝－
AC [由已知，得sin
γ＝sin
β－sin
α，cos
γ＝cos
α－cos
β.两式分别平方相加，得(sin
β－sin
α)2＋(cos
α－cos
β)2＝1.∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝，∴A正确，B错误．∵sin
γ＝sin
β－sin
α>0，∴β>α，∴β－α＝，∴C正确，D错误，故选AC.]
2．已知cos＝－，则cos
x＋cos＝( )
A．－
B．±
C．－1
D．±1
C [cos
x＋cos
＝cos
x＋cos
x＋sin
x
＝cos
x＋sin
x
＝
＝cos＝×＝－1.]
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin
α＝，则cos(α－β)＝________.
－ [因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，
所以sin
β＝sin
α＝，cos
β＝－cos
α，
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝－cos2α＋sin2α
＝－(1－sin2α)＋sin2α
＝2sin2α－1
＝2×2－1＝－.]
4．若cos(α－β)＝，cos
2α＝，并且α，β均为锐角且α＜β，则cos(α＋β)＝________，α＋β＝________.
－ [sin(α－β)＝－，sin
2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos
2αcos(α－β)＋sin
2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]
拓展
已知sin
α＋sin
β＝，求cos
α＋cos
β的取值范围．
[解] 由sin
α＋sin
β＝，平方可得
sin2α＋2sin
αsin
β＋sin2β＝，
①
设cos
α＋cos
β＝m，平方可得
cos2α＋2cos
αcos
β＋cos2β＝m2，
②
①＋②得2＋2cos
αcos
β＋2sin
αsin
β＝＋m2，即m2＝＋2cos(α－β)．
∵cos(α－β)∈[－1,1]，
∴m2∈，
∴0≤m2≤，∴－≤m≤，
故cos
α＋cos
β的取值范围为.两角和与差的正弦、余弦公式
(建议用时：40分钟)
基础练
一、选择题
1．化简sin＋sin＝( )
A．－sin
x
B．sin
x
C．－cos
x
D．cos
x
2．cos－sin的值是( )
A．
B．－
C．0
D．
3．(多选)cos
α－sin
α化简的结果可以是( )
A.cos
B．2cos
C.sin
D．2sin
4．已知cos
α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝( )
A.
B．
C.
D．
5．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于( )
A.
B．
C.
D．
二、填空题
6．若cos
α＝－，sin
β＝－，α∈，β∈，则sin(α＋β)的值为________．
7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos
αcos
β＝________.
8．在△ABC中，3sin
A＋4cos
B＝6,4sin
B＋3cos
A＝1，则角C等于________．
三、解答题
9．已知sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝，β是第三象限角，求sin的值．
10．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．
提升练
1．在△ABC中，如果sin
A＝2sin
Ccos
B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
2．设α∈，β∈，且tan
α＝，则( )
A．3α－β＝
B．3α＋β＝
C．2α－β＝
D．2α＋β＝
3．已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝________.
4．已知sin＋sin
α＝－，－＜α＜0，则cos＝________，cos＝________.
拓展
如图，在△ABC中，∠B为直角，DE⊥AB于点E，AC⊥DC，已知BC＝1.
(1)若∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，试求△ADE各边的长度，由此推出75°的三角函数值；
(2)设∠BAC＝α，∠DAC＝β，(α，β，α＋β均为锐角)，试由图推出求sin(α＋β)的公式．
参考答案：
基础练
一、选择题
1．化简sin＋sin＝( )
A．－sin
x
B．sin
x
C．－cos
x
D．cos
x
B [sin＋sin
＝sin
x＋cos
x＋sin
x－cos
x
＝sin
x．]
2．cos－sin的值是( )
A．
B．－
C．0
D．
A [cos－sin
＝
＝cos
＝cos(－4π)＝.]
3．(多选)cos
α－sin
α化简的结果可以是( )
A.cos
B．2cos
C.sin
D．2sin
BD [cos
α－sin
α＝2
＝2
＝2cos.
cos
α－sin
α＝2
＝2
＝2sin.故选BD.]
4．已知cos
α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝( )
A.
B．
C.
D．
C [∵0＜β＜α＜，
∴0＜α－β＜，
由cos
α＝得sin
α＝，
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
∴sin
β＝sin[α－(α－β)]
＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)
＝×－×
＝＝，
∴β＝.]
5．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于( )
A.
B．
C.
D．
B [由题意知sin∠BEC＝，
cos∠BEC＝，
又∠CED＝－∠BEC，
所以sin∠CED＝sincos∠BEC－cossin∠BEC＝×－×＝.]
二、填空题
6．若cos
α＝－，sin
β＝－，α∈，β∈，则sin(α＋β)的值为________．
[∵cos
α＝－，α∈，
∴sin
α＝＝.
∵sin
β＝－，β∈，
∴cos
β＝＝，
∴sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β
＝×＋×＝.]
7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos
αcos
β＝________.
0 [由题意可知
①＋②得2cos
αcos
β＝0，∴cos
αcos
β＝0.]
8．在△ABC中，3sin
A＋4cos
B＝6,4sin
B＋3cos
A＝1，则角C等于________．
30° [已知两式两边分别平方相加，得
25＋24(sin
Acos
B＋cos
Asin
B)＝37，
即25＋24sin(A＋B)＝37，
∴sin
C＝sin(A＋B)＝，
∴C＝30°或150°.
当C＝150°时，A＋B＝30°，
此时3sin
A＋4cos
B＜3sin
30°＋4cos
0°＝与已知矛盾，∴C＝30°.]
三、解答题
9．已知sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝，β是第三象限角，求sin的值．
[解] ∵sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α
＝sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin
β＝，
∴sin
β＝－，又β是第三象限角，
∴cos
β＝－＝－，
∴sin
＝sin
βcos＋cos
βsin
＝×＋×
＝－.
10．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．
[解] ∵0＜α＜＜β＜，
∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又sin＝，
cos＝，
∴cos＝－，
sin＝－，
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×
＝－.
提升练
1．在△ABC中，如果sin
A＝2sin
Ccos
B，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
C [由sin
A＝2sin
Ccos
B可知sin[π－(B＋C)]＝2sin
Ccos
B，
∴sin(B＋C)＝2sin
Ccos
B，∴sin
Bcos
C－cos
Bsin
C＝0，
∴sin(B－C)＝0，即B＝C.故选C.]
2．设α∈，β∈，且tan
α＝，则( )
A．3α－β＝
B．3α＋β＝
C．2α－β＝
D．2α＋β＝
C [∵tan
α＝＝，
∴sin
αcos
β＝cos
α＋cos
αsin
β，
∴sin(α－β)＝cos
α＝sin，
又α，β∈
∴α－β＝－α，即2α－β＝，故选C.]
3．已知sin
α＋cos
β＝1，cos
α＋sin
β＝0，则sin(α＋β)＝________.
－ [由题意可知
①2＋②2得
2＋2(sin
αcos
β＋cos
αsin
β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－.]
4．已知sin＋sin
α＝－，－＜α＜0，则cos＝________，cos＝________.
－ [∵sin＋sin
α＝sin
α＋cos
α＋sin
α
＝＝cos＝－，
∴cos＝－，
∴cos＝cos＝－cos＝－cos＝.]
拓展
如图，在△ABC中，∠B为直角，DE⊥AB于点E，AC⊥DC，已知BC＝1.
(1)若∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，试求△ADE各边的长度，由此推出75°的三角函数值；
(2)设∠BAC＝α，∠DAC＝β，(α，β，α＋β均为锐角)，试由图推出求sin(α＋β)的公式．
[解] (1)由C向DE作垂线，垂足为F，则CF＝BE，∠CAB＝∠FCA＝30°，
∴∠FCD＝60°，∠DAE＝75°.
根据题意得AC＝2BC＝2＝CD，AD＝2，AB＝，
∴BE＝CF＝CD＝1，
AE＝－1，DE＝
＝＝＋1.
∴sin
75°＝＝＝，
cos
75°＝＝，
tan
75°＝＝＝2＋.
(2)由C向DE作垂线，垂足为F(图略)，
则CF＝BE，∠CAB＝∠FCA，＝cos
β.
则AC＝，＝tan
β，AD＝，
∴CD＝AC·tan
β＝，
DF＝cos
α·DC＝，
∴DE＝BC＋DF＝1＋，
∴sin(α＋β)＝sin∠DAE＝＝÷＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β.