(共17张PPT)
22.3
实践与探索
第22章
一元二次方程
第1课时
循环、变化率、传播问题
学习目标
学会用一元二次方程解一般应用问题
1.循环问题
2.变化率问题
3.传播问题
知识点1：循环问题
常见的循环类型：
(1)单循环：如握手、单循环比赛等．例如：有x支球队比赛，每两队赛一场，共打
场；
(2)双循环：如互赠礼物、双循环比赛等．例如：有x人互赠礼物，每人赠一件，共赠
件.
练习
1.在一次同学集会上，若每两人握一次手，一共握了66次手，则参加聚会的同学一共有多少名？设参加这次聚会的同学一共有a名，则根据题意可列方程?
＝66
2.初中毕业典礼上，九年级二班所有同学互赠卡片以作留念，全班共赠卡片1722张，则如何列方程？
知识点2：变化率问题
1.问题：（只列式，不计算）
(某小区2019年房屋均价为5000元/平方米，假设房价平均每年的增长率为x
%，2020年该小区的房屋均价为____________元/平方米，2021年房屋均价为_____________元/平方米，预计2022年房屋均价______________元/平方米，那么第n年以后该小区的房屋均价为______________元/平方米.
5000(1+
x
%)
5000(1+
x
%)2
5000(1+
x
%)3
5000(1+
x
%)n
知识点2：变化率问题
2
.某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格是__________元;第二次降价后的价格是___________元.(用含x的代数式)
100(1-
x
)
100(1
-
x
)2
3．某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程______________________________
2500+2500(1+
x
)
+2500(1+
x
)2
=9100
知识点2：变化率问题
平均变化率问题的基本关系式
原有量×（1±x）
=现有量
n
变化次数
平均变化率
+表示增长
-
表示下降
练习
1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得
56(1－x)2＝31.5.
解这个方程，得
x1＝0.25，x2＝1.75.
∵降价的百分率不可能大于1，
∴x2＝1.75不符合题意．．
答：每次降价的百分率为25%.
总结
(1)
增长率问题:
若原来的量为a，平均增长率是x，则第一次增长后的量为________;第二次增长后的量为__________;若两次增长后的量为b，则可列方程____________；若两次增长后的总量为c，则可列方程______________________；
(2)下降率问题:若原来的量为a，平均下降率是x，则第一次下降后的量为__________;第二次下降后的量为_________;若两次下降后的量为b，则可列方程______________;若两次下降后的总量为c，可列方程______________________；
a
(1+
x
)
a
(1-
x
)2
=
b
a
(1+
x
)2
a
+
a
(1+
x
)
+
a
(1+
x
)2
=
c
a
(1-
x
)
a
(1-
x
)2
a
(1+
x
)2
=
b
a
+
a
(1-
x
)
+
a
(1-
x
)2
=
c
知识点3：传播问题
问题：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解：设平均一个人传染了x个人．则第一轮后（1+x）人患流感，第二轮后[1+x+x(1+x)
]人患流感.
依据题意得：1+x+x(1+x)=121.
解得：x1=10，
x2=－12（舍去）.
答：平均一个人传染了10个人
知识点3：传播问题
传播类题目关键两点：
（一）传染源
（二）传染的速度．
若开始时传染源是1，传染的速度是x
类似的分裂问题
(一)分裂源
（二）分裂的速度．
若开始时分裂源是1，分裂的速度是x
则
n
轮传染后是________________.
(1＋x)n.
则
n
轮分裂后是：________________
xn
知识点3：传播问题
某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，
依题意得：(1＋x)2＝81，
解得
x1＝8,
x2＝－10(舍去)．
(1＋x)3＝(1＋8)3＝729>700.
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三
轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
课堂练习
2.如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后人数翻一番？（只列式，不解答）
解：设这第一年的平均增长率为x，则第二年的平均增长率为2x，根据题意，
1×(1+x)×(1+2x)
=2
1.我校计划在两年后实现人数翻一番，那么这两年中人数的平均年增长率应为多少？（只列式，不解答）
解：设这两年人数的平均增长率为x，
1×(1+x)2=2
课堂练习
3.某生物实验室培育一群有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培植后，有益菌总和达24000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌．
(1)每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
课堂练习
解（1）设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌，根据题意，得
60(1＋x)2＝24
000.
解得x1＝19，x2＝－21(不合题意，舍去)．
答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌．
（2）60×(1＋19)3＝60×203＝480
000(个)．
答：经过三轮培植后共有480
000个有益菌．
课堂小结
列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为六个字：
审、设、列、解、验、答．
(1)
设未知数有直接设元和间接设元两种方式，一般采用直接设元，在直接设元比较困难，或所列方程较复杂时所采用的间接设未知数的方法．
(2)
循环问题、变化率问题、传播问题的公式
完毕·感谢
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22.3
实践与探索
第22章
一元二次方程
第2课时
面积、数字、利润问题
学习目标
学会用一元二次方程解一般应用问题
1.面积问题
2.数字问题
3.利润问题
知识点1：图形面积问题
如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.
80
60
60-2x
80-2x
x
x
(80－2x)(60－2x)＝1500
得x1＝55，x2＝15
解：设截去的小正方形的边长xcm，则长和宽分别为（80-2x）cm、（60-2x）cm.
检验：当x1＝55时
长为80－2x＝-30cm
宽为60－2x＝-50cm．
想想，这符合题意吗？
不符合．
舍去．
当x2＝15时
长为80－2x＝50cm
宽为60－2x＝30cm．
符合题意
所以只能取x＝15．
答：截取的小正方形的边长是15cm.
练习
1
某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为( )
A．x(x－11)＝180
B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180
D．2x＋2(x＋11)＝180
2
如图是由三个边长分别为6，9和x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是( )
A．1或9 B．3或5
C．4或6 D．3或6
练习
3
学校生物小组有一块长32
m、宽20
m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540
m2，小道的宽应是多少？
解：设小道宽为x
m，则两条小道的面积分别为
32x
m
2和20x
m
2，其中重叠部分小正方形的面积为x2
m2，根据题意，得
32×20－32x－20x＋x2＝540.
知识点2：数字问题
问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为_____________.
x+2，x+4
问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n，其余的
为________________________
n+2，n+1，n-1，n-2
问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，
则这个两位数是
.
10a+b
问题4：一个三位数，百位x，十位y，个位z，
表示为
.
100x+10y+z
练习
例：两个连续奇数的积为63，求这两个数.
解：设两个奇数为x和x+2
x(x+2)=63
解得
x1=-9，x2=7.
x+2=-7，x+2=9
答：这个两个数为7、9或者-7、-9.
练习
1.三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数.
解：设这三个连续整数为x-1，x，x+1，
(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587
x-1
=
13
x+1=
15
x-1=
-15
x+1=
-13
答：这三个数为13,14,15或-13，-14，-15。
3x2-588=0
x1=14,x2=-14.
练习
2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原来的两位数之积为736，求这个两位数.
分析：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为（5
-
x）
十位
个位
两位数
原两位数
新两位数
5
-
x
5
-
x
x
x
10（5
-
x）+
x
10x
+
5
-
x
解：由题意得[10(5-x)+x](10x+5-x)=736,
整理得x2-5x+6=0,
解得x1=2,x2=3.
答：这个两位数是23或32.
知识点3：利润问题
例：山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100
kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20
kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
解：（1）设每千克核桃应降价x元，根据题意，得
化简，得x2-10x+24=0,
解得x1=4,x2=6.
答：每千克核桃应降价4元或6元；
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元，此时，售价为60-6=54（元),54÷60=90％.
答：该店应按原售价的九折出售.
知识点3：利润问题
5.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元(x为整数)．据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2
100元？
解：(2)设每件商品降价x元时，商场日盈利可达到2100元．
根据题意，得(50－x)(30＋2x)＝2
100，
化简，得x2－35x＋300＝0，
解得x1＝15，x2＝20.
答：在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价15元或20元时，商场日盈利可达到2
100元．
课堂小结
列一元二次方程解应用题的步骤:
审，设，列，解，验，答
注意：要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
利润问题
基本关系：(1)利润＝售价－________；
(3)总利润＝____________×销量
进价
单个利润
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