2021--2022学年北师大版九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定课件（第2课时，共22张PPT）

(共22张PPT)
1.1
菱形的性质与判定（第2课时）
学习目标
1.理解并掌握菱形的两个判定方法.
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.
新课导入
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2、菱形的性质：
①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的对角线互相垂直平分.
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理.
合作探究
什么样的四边形是菱形？
有一组邻边相等的平行四边形.
我们还可以从哪些角度考虑？
合作探究
用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形.
转动木条，这个四边形什么时候变成菱形?
可以发现：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明它吗？
合作探究
A
D
B
C
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相较于点O，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD，
∴直线BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
O
新课讲授
菱形的判定
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
∵在□ABCD中，AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).
符号语言：
A
D
B
C
O
合作探究
画一画
如图，分别以AC为圆心，以大于
AC的长为半径做弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形.
A
D
B
C
四边相等的四边形是菱形？
合作探究
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：□ABCD是菱形.
证明：∵AB=CD，
AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=
AD，
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
A
D
B
C
新课讲授
菱形的判定
定理：四边相等的四边形是菱形.
∵AB=BC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形(四边相等的四边形是菱形).
符号语言：
A
D
B
C
合作探究
你能用折纸的方法得到菱形吗？
先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形.
新课讲授
菱形的判定
A
D
B
C
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理：四边相等的四边形是菱形.
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
证明：在△AOB中.
∵AB=
，
OA=2，OB=1.
∴AB2=AO2+OB2.
∴
△AOB是直角三角形，∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴
□ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形).
例1、已知：如右图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1.
求证：
□ABCD是菱形.
A
B
C
O
D
2
例2、已知：如图，在△ABC，AD是角平分线，点E、F分别在AB、
AD上，且AE=AC，EF
=
ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
证明：
∵
∠1=
∠2,
又∵AE=AC,
∴
△ACD≌
△AED
(SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS)
.
∴CD=ED,
CF=EF.
又∵EF=ED,
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
1
例3、在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，延长AD至点E，使DE＝BO，连接OD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AD＝4，∠DAB＝60°，求OE的长．
（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBD＝∠ADB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵∠DAB＝60°，AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，
∴∠AOD＝90°，OD＝ED，
∴∠E＝∠DOE，
∵∠ADO＝∠E+∠DOE，
∴∠E＝∠DOE＝30°，
∵∠DAO＝30°，
∴∠E＝∠EAO，
∴OE＝AO，
∵AD＝4，∴OD=2，∴OE=AO＝=
随堂练习
1．下列说法中错误的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．菱形的对角线长度等于边长
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B
随堂练习
2．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列条件能判定四边形AEDF是菱形的是（　　）
A．AD⊥BC
B．AD为BC边上的中线
C．AD＝BD
D．AD平分∠BAC
D
随堂练习
3．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，若AD＝CB，下面四个结论中：①AD∥CB；②AC⊥BD；③AO＝OC；④AB⊥BC，一定正确的结论的序号是___________．
①②③
随堂练习
4.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AC平分∠BAD，CE∥DA交AB于点E.
求证：四边形ADCE是菱形.
证明：∵AB∥DC，CE∥DA，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAE.
又∵CE∥DA，∴∠ACE=∠CAD.
∴∠ACE=∠CAE.∴AE=CE.
又∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形.
随堂练习
5.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．CD⊥AB，AF平分∠CAB，交CD于点E，交BC于点F．过点F作FG⊥AB交AB于点G，连接EG．
求证：四边形CEGF是菱形.
解：证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，
∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝FG，
在Rt△ACF与Rt△AGF中，AF=AF，CF=GF，
∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），
∴∠AFC＝∠AFG，
∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，
∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴CE＝FG，
∵CE∥FG，∴四边形CEGF是平行四边形，
∵CE＝CF，∴平行四边形CEGF菱形
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理2：四边相等的四边形是菱形.
菱形的判定
定义
定理