2021—2022学年北师大版九年级数学上册1.1 菱形的性质与判定课件（第3课时，共17张PPT）

(共17张PPT)
1.1
菱形的性质与判定
（第3课时）
1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.
2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.
1、菱形的性质：
①菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的对角线互相垂直平分.
A
D
B
C
2、菱形的判定：
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③四边相等的四边形是菱形；
④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
问题1
菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积呢?
A
B
C
D
思考
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?
能.
过点A作AE⊥BC于点E，
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
E
问题2
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC
+S△ADC
=
AC·BO+
AC·DO
=
AC(BO+DO)
=
AC·BD.
菱形的面积
=
底×高
=
对角线乘积的一半
例1、如图，将一个长为10
cm、宽为8
cm的长方形纸片对折两次后，沿所得长方形两邻边中点的连线(虚线)剪下，展开后得到菱形ABCD的面积为______cm2.?
　10　
解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，
而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，
所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，
所以S菱形=
×5×4=10?cm2．
例2、如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2
）.
A　
B　
C　
D　
O　
解：∵花坛ABCD是菱形，
∴
AC⊥BD，∠ABO=
∠ABC=30°.
在Rt△OAB中，
AO=
AB=10m，
BO=(m)，
AC=2AO=20(m)，BD=2BO=
≈
34.64(m).
∴
S菱形ABCD=
AC·BD=
×20×20
≈
346.4(m2).
合作探究
如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
是.
由两组对边分别平行知四边形ABCD是平行四边形，
因为纸条等宽，可知BC边上的高和CD边上的高相等，
则△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
E
F
A
C
D
B
所以四边形ABCD是菱形.
例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
证明：（1）∵E是AD的中点
，∴AE＝DE
∵AF∥BC
，
∴∠AFE＝∠DBE
在△AEF和△DEB中：
∴△AEF≌△DEB（AAS）
∴AF＝DB
，∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点
，
∴AD＝CD＝
BC
∴四边形ADCF是菱形；
例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．
解：（2）连接DF
∵AF＝DB，
AF∥DB
∴四边形ABDF是平行四边形
∴DF＝AB＝8
∴S菱形ADCF＝AC?DF=
×6×8=24
1．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．40
B．24
C．20
D．15
B
2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（　　）
A．9.6cm
B．10cm
C．20cm
D．12cm
B
A
C
D
B
3．如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．24
B．32
C．40
D．48
B
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若，CF＝6，则四边形BDFG的周长为________．
20
5.
如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.
解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，
∴S△AOB＝OA·OB＝
×5×12＝30，
∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.
∵AB=
又∵菱形两组对边的距离相等，
∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，
∴13h＝120，得h＝
.
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD
=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
A
B
C
O
D
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
OB=OD=
BD
=
×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴AB
=
BD
=
6.
在RtΔAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，
∴OA
=
=
∴AC=2OA=
（菱形的对角线相互平分）.
课堂小结
菱形的性质与判定的综合性问题
菱形的面积
综合运用
面积=底×高
=两条对角线乘积的一半