2021-2022学年九年级数学北师大版上册_1.2 矩形的性质与判定（第1课时）课件（word版含答案）

(共21张PPT)
1.2
矩形的性质与判定
（第1课时）
学习目标
1.理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系.
2.能用综合法证明矩形的性质定理以及相关结论，进一步发展推理能力.
新课导入
边
平行四边形的对边平行且相等；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形
在同一平面内两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
角
平行四边形的对角相等，邻角互补；
对称性
中心对称图形
新课导入
下面几幅图片中都含有一些平行四边形.
观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
新课讲授
矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
符号语言：∵ABCD中，∠ABC=90°
∴
ABCD是矩形
合作探究
作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质外，猜想还有哪些特殊性质呢？
猜想1：
A
B
D
矩形的四个角都是直角．
合作探究
已知：四边形ABCD是矩形，
∠B=900
求证：∠A=∠C=∠D=90°
D
C
B
A
证明：∵矩形ABCD是平行四边形（已知）
∴
∠B+∠C=180
°（平行四边形邻角互补）
又
∵
∠B=90°
（已知）
∴
∠C=90
°（等式的性质）
同理：∠D=90°
，∠A=90°
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
合作探究
作为特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质外，猜想还有哪些特殊性质呢？
猜想1：
A
B
C
D
矩形的四个角都是直角．
猜想2：
矩形的对角线相等．
合作探究
已知：四边形ABCD是矩形，求证：
AC
=
BD
A
B
C
D
证明：
∵ABCD是矩形（已知）
∴∠ABC
=
∠DAB
=
90°
BC
=
AD（平行四边形的性质）
∴△ABC≌△BAD（SAS）
∴AC
=
BD（对应边相等）
在△ABC和△BAD中
AB
=
BA
∠ABC
=
∠DAB
=
90°
BC
=
AD
新课讲授
定理：矩形的四个角都是直角
定理：矩形的对角线相等
矩形区别于平行四边形的性质
矩形的对称性：
中心对称图形
轴对称图形
合作探究
问题：
（1）矩形的两条对角线可以把矩形分成几个直角三角形？
（2）BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？
（3）你能借助于矩形加以证明吗？
O
D
C
B
A
4个
中线
BO=
矩形对角线相等且相互平分
新课讲授
??直角三角形斜边上的中线的性质
名称
直角三角形斜边上的中线
图示
性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
?
应用格式
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，则CD=AB=AD=BD
注意
直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论，该性质的前提是直角三角形，对一般的三角形不适用.
典例精析
例1、如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC=120°，AB=6.
求：(1)对角线长
；(2)BC的长
；(3)矩形的面积.
解：　(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB.
∵∠BOC=120°，∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=6，
∴BD=AC=2OA=2×6=12.
(2)在Rt△ABC中，AB=6，AC=12，由勾股定理，得
(3)矩形ABCD的面积=AB·BC=6×6=36?
典例精析
例2、如图，BD，CE是△ABC的高，G，F分别是BC，DE的中点.
求证：FG⊥DE.
证明：如图，连接EG，DG.
∵CE是AB边上的高，∴CE⊥AB.
在Rt△CEB中，G是BC的中点，
∴EG=BC.
同理，DG=
BC.
∴EG=DG.
又∵F是ED的中点，∴FG⊥DE.
典例精析
例3、将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，已知CE=3，AB=8，求图中阴影部分的面积.
解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，AD=BC.
又∵CE=3，∴DE=5，
由折叠知△ADE≌△AFE，∴AD=AF，DE=EF=5.
在Rt△ECF中，由勾股定理，得
FC=
=
=4.
设BF=x，则BC=AD=AF=x+4.
在Rt△ABF中，由勾股定理，得
AB2+BF2=AF2，即82+x2=(x+4)2，解得x=6，即BF=6，
故阴影部分的面积为S△ABF+S△ECF=×6×8+
×3×4=30.
随堂练习
1．下列说法错误的是(　　)
A.矩形的对角线互相平分
B.矩形的对角线相等
C.有一个角是直角的四边形是矩形
D.有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
C
随堂练习
2．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点交O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为(　　)
A.85°
B.80°
C.75°
D.70°
C
随堂练习
3．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(　　)
A.△AFD≌△DCE
B.AF＝AD
C.AB＝AF
D.BE＝AD－DF
B
随堂练习
4．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，AD的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　)
A.
B.
C.
D.不确定
A
随堂练习
5、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC、BD相交于
点O，且BE∶ED=1∶3，AD=6
cm，求AE的长.
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴
BO=OD=BD=OA，∠BAD=90°.
∵BE∶ED=1∶3，ED=OE+OD=OE+OB=OE+BE+OE=BE+2OE，
∴BE∶(BE+2OE)=1∶3，∴BE=OE.
∵AE⊥BD，∴AB=AO=BO，∴∠ABO=60°.
∵∠BAD=90°，∴∠ADB=90°-60°=30°.
又∠AED=90°,
∴AE=
AD=
×6=3(cm).
课堂小结
定理：矩形的四个角都是直角
定理：矩形的对角线相等
矩形区别于平行四边形的性质
??直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半