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12.2
三角形全等的判定
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
2．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．4
C．3
D．2
3．如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．下列说法正确的有（
）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
③两边分别相等的两个直角三角形全等
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
A．1
B．2
C．3
D．4
5．如图，点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加下列哪个条件后，仍不能判定出（
）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
6．如图，，，要说明，需添加的条件不能是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
7．如图，已知∠1=∠2，要得到≌还需要从下列条件中补选一个，补上不可能使其全等的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC和△AED共顶点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E．
BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：“△ABM≌△AEN．”那么（
）【版权所有：21教育】
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A．甲、乙都对
B．甲、乙都不对
C．甲对、乙不对
D．甲不对、乙对
9．如图，已知∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
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A．∠A＝∠D
B．∠ACB＝∠DFE
C．AC＝DF
D．BE＝CF
10．如图，两座建筑物，相距160km，小月从点沿BC走向点C，行走ts后她到达点，此时她仰望两座建筑物的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知建筑物的高为，小月行走的速度为，则小月行走的时间的值为（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100
B．80
C．60
D．50
11．如图，AE∥DF，AE＝DF．添加下列的一个选项后．仍然不能证明△ACE≌△DBF的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AB＝CD
B．EC＝BF
C．∠E＝∠F
D．EC∥BF
12．如图，在等腰直角三角形中，，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
13．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；
②；
③≌；④；⑤．其中正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①④⑤
14．直角、如图放置，其中，且．若，，．则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
15．如图，已知，观察图中尺规作图的痕迹，可以判定，其判定的依据是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
16．根据下列条件能唯一画出的是（
）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝11
B．AB＝5，BC＝6，∠C＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°
D．AB＝5，AC＝4，∠C＝45°
17．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
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A．3cm2
B．4.5cm2
C．5cm2
D．6cm2
18．如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在BC边上，BD=DC，∠BED=∠CFD=∠BAC，若S△ABC=30，则阴影部分的面积为（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．10
C．15
D．20
19．如图已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时，的值为（
）21教育名师原创作品
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A．1
B．3
C．1或3
D．2或3
20．如图，在中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上，由C点向A点运动，为了使，点Q的运动速度应为（
）【来源：21cnj
y.co
m】
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A．1厘米/秒
B．2厘米/秒
C．3厘米/秒
D．4厘米/秒
21．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（
）21世纪教育网版权所有
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
22．如图，相交于点，则下列说法中正确的个数是（
）
①；②点到的距离相等；③；④
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
23．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（
）21教育网
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A．或
B．
C．
D．或
24．如图，垂足为，垂足为与交于点，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
25．如图，在和中，，，添加下面的条件：①；②；③；④，其中可以得到的有（
）个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
26．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1＜AD＜6
B．1＜AD＜4
C．2＜AD＜8
D．2＜AD＜4
27．如图1，已知
AB=AC，D为∠B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC
的平分线上一点，连接
BD、
CD；如图2，已知
AB=
AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接
BD、CD、BE、CE；如图3，已知
AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、
BF、CF；…，依次规律，第
n个图形中全等三角形的对数是（
）
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A．n
B．2n-1
C．
D．3（n+1）
28．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为 【来源：21·世纪·教育·网】
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A．
B．
C．
D．以上都有可能
29．如图，D为的外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交BA的延长线于F，则下列结论：
①，②，③，④，其中正确的结论有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
30．程老师制作了如图1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．21·世纪
教育网
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有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
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其中所有正确结论的序号是(
)
A．②③
B．③④
C．②③④
D．①②③④
二、填空题
31．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________
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32．在△ABC中，AC=8，中线AD=5，那么边AB的取值范围为____．
33．如图，在△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点D为AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF//AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为_____．21cnjy.com
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34．如图，已知，，点、、、在一条直线上，要证，还需添加的条件是：________．（只需添加一个条件）
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35．已知中，，，点为的中点，点、分别为边、上的动点，且，连接，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③；④
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三、解答题
36．平面上有与与相交于点与相交于点与相交于点N，若．
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（1）求证：；
（2），求的度数．
37．在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N．
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（1）如图1，当直线在外时，证明：．
（2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由．
38．已知和均为等腰三角形，且，，．
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（1）如图1，点在上，求证：；
（2）如图2，点在的延长线上，写出，，的数量关系，并说明理由，
39．如图，已知，，，．
求证：．
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40．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌△ACE．
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41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，D为BC上一点，BF＝CD，CE＝BD，求∠EDF的度数．
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42．如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：≌．
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43．如图，点D在BC上，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠1＝∠2，AE＝AC，下面有三个条件：①AB＝AD；②BC＝DE；③∠E＝∠C，请你从所给条件①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE，并进行证明．2-1-c-n-j-y
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44．如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，点P是AD延长线上的一点．
求证：PB＝PC．
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45．如图，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C为AE的中点．
求证：△ABC≌△EAD．
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46．如图，，，，求证：．
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47．如图，点、在上，且，，．求证：．
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48．如图：已知，且，求证：．
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49．如图1，在四边形ABDC中，，，，，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且．
（1）求证：．
（2）在图1中，若G在AB上且，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明．
（3）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，，，E在AB上，，且，若，，求BE的长．（用含a，b的代数式表示，可能用到直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半）．21·cn·jy·com
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50．在△ABC中，AB=AC，点D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．2·1·c·n·j·y
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（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少？说明理由；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？
请直接写出你的结论，不需证明．
51．如图1，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，连接，，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）如图2，点在线段上，作轴于点，交于点，若，求证：．
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52．在ABC和ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，如果点D在BC上，且BD＝5，CD＝3，求DE的长．
（2）如图2，AD与BC相交于点N，点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D在BC下方，连接BD，且AD垂直BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM＝AF，求证：CF＝AN+MN．
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精品试卷·第
2
页
（共
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12.2
三角形全等的判定
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在与中，已知，添加一个条件，不能使得的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
要证明，由已知条件，，再加一个条件，可以根据，来判断．
【详解】
解：根据三角形全等的判定定理，
A，，，，符合，能使得成立，不符合题意；
B，，，，符合，能使得成立，不符合题意；
C，，，，符合，能使得成立，不符合题意；
D，，，，不能使得成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了证明三角形全等的判断定理，解题的关键是：熟练应用三角形全等的判定定理：．
2．如图，，，于点E，于点D，，，则的长是（
）
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A．8
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】
根据已知条件，观察图形得，，然后证后求解．
【详解】
解：，，于，于，
，
，
又，，
．
，，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定方法；题目利用全等三角形的判定和性质求解，发现并利用，，是解题的关键．2·1·c·n·j·y
3．如图，在外找一个点（与点A不重合），并以为一边作，使之与全等，且不是等腰三角形，则符合条件的点有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
本题是开放题，要想使△A′BC与△ABC全等，先确定题中条件，再对应三角形全等条件求解．
【详解】
解：如图：
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以B点为圆心，CA为半径上下画弧，C点为圆心，BA为半径上下画弧，两弧相交分别得到点、；以C点为圆心，CA为半径画弧，以B点为圆心，BA为半径画弧，两弧的交点得到点，所以符合条件的点A′有3种可能的位置．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等的判定综合．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法去求证．
4．下列说法正确的有（
）
①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等
②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
③两边分别相等的两个直角三角形全等
④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】
利用全等三角形的判定定理分别对四个选项进行判断得出正确答案即可．
【详解】
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解：①若两个锐角相等的直角三角形，只能证明两直角三角形的三个角对应相等，没有对应边相等，不能证明三角形全等，故此说法错误；
②如上图所示，若AB=E
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F，且∠B=∠F，AC=EG，则△ABC≌△EFG，所以BC=FG，又因为AC、EG分别为BD、FH的中线，所以BD=2BC，FH=2FG，所以BD=FH，所以△ABD≌△EFH，故此说法正确；
③两边分别相等的两个直角三角形，如果其中一条直角边等于另一个三角形的斜边，这种情况两个三角形不全等，故此说话错误；
④如果在两个含30°的直角三角形中，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个三角形就不全等，故此说话错误．
综上所述只有一个说法是正确的，
故选A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是了解全等三角形的几种判定方法，难度不大．
5．如图，点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加下列哪个条件后，仍不能判定出（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先根据平行线的性质得到∠C=∠F，再证明CB=FE，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】
解：，
，
，
，
即，
当添加，即时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断．
故选：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6．如图，，，要说明，需添加的条件不能是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
直接根据三角形证明全等的条件进行判断即可；
【详解】
A、∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEC，∴根据ASA即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
B、∵AC∥DF，∴∠DFE=∠ACB，∴根据AAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
C、AC⊥DE，不符合三角形全等的证明条件，故此选项符合题意；
D、∵AC=DF，∴根据SAS即可判定三角形全等，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形证明全等所需添加的条件，正确掌握知识点是解题的关键；
7．如图，已知∠1=∠2，要得到≌还需要从下列条件中补选一个，补上不可能使其全等的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
∵，
∴
A．根据，和AD=AD能推出△ABD≌△ACD（ASA），故本选项不符合题意；
B．根据，AD=AD和能推出△ABD≌△ACD（AAS），故本选项不符合题意；
C．根据，和AD=AD能推出△ABD≌△ACD（SAS），故本选项不符合题意；
D．根据，和AD=AD不能推出△ABD≌△ACD，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
8．如图，△ABC和△AED共顶点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A，AD＝AC，∠1＝∠2，∠B＝∠E．
BC交AD于M，DE交AC于N，甲说：“一定有△ABC≌△AED．”乙说：“△ABM≌△AEN．”那么（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．甲、乙都对
B．甲、乙都不对
C．甲对、乙不对
D．甲不对、乙对
【答案】A
【分析】
利用AAS判定△ABC≌△AED，则可得到AB=AE，再利用ASA判定△ABM≌△AEN．
【详解】
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠MAC＝∠2+∠MAC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠BAC＝∠EAD，
在△BAC和△EAD中，
,
∴△BAC≌△EAD，
∴甲说的正确；
∵△BAC≌△EAD（AAS），
∴AB=AE，
在△BAM和△EAN中，
,
∴△BAM≌△EAN（ASA），
∴乙说的正确；
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，根据题目的特点，补充适当条件，活用判定定理是解题的关键．
9．如图，已知∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
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A．∠A＝∠D
B．∠ACB＝∠DFE
C．AC＝DF
D．BE＝CF
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定方法一一判断即可；
【详解】
A、根据ASA，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．
B、根据AAS，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．
C、SSA，不能判定三角形全等，本选项符合题意．
D、根据SAS，可以推出△ABC≌△DEF，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；
10．如图，两座建筑物，相距160km，小月从点沿BC走向点C，行走ts后她到达点，此时她仰望两座建筑物的顶点和，两条视线的夹角正好为，且．已知建筑物的高为，小月行走的速度为，则小月行走的时间的值为（
）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100
B．80
C．60
D．50
【答案】A
【分析】
首先证明∠A=∠DEC，然后可利用AAS判定△ABE≌△ECD，进而可得EC=AB=60m，再求出BE的长，然后利用路程除以速度可得时间．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵∠AED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠A+∠AEB=90°，
∴∠A=∠DEC，
在△ABE和△DCE中
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴EC=AB=60m，
∵BC=160m，
∴BE=100m，
∴小华走的时间是100÷1=100（s），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确判定△ABE≌△ECD．
11．如图，AE∥DF，AE＝DF．添加下列的一个选项后．仍然不能证明△ACE≌△DBF的是（ ）
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A．AB＝CD
B．EC＝BF
C．∠E＝∠F
D．EC∥BF
【答案】B
【分析】
结合题目条件，依据三角形全等的判定定理逐一判断即可．
【详解】
∵AE∥DF，
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∴∠A＝∠D，
A、根据SAS，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．
B、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．
C、根据ASA，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．
D、根据AAS，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
12．如图，在等腰直角三角形中，，点B在直线l上，过A作于D，过C作于E．下列给出四个结论：①；②与互余；③．其中正确结论的序号是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【分析】
证△ADB≌△BEC即可．
【详解】
证明：∵，
，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∵，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BCE+∠BAD=90°，故②正确；
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC=90°，
∴△ADB≌△BEC，
∴，AD=BE，故①正确；
DE=DB+BE=CE+AD，故③正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是找到并证明全等三角形．
13．如图，是的中线，，分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；
②；
③≌；④；⑤．其中正确的是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①④⑤
【答案】C
【分析】
根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE．21
cnjy
com
【详解】
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD面积相等，故①正确；
∵AD为△ABC的中线，
∴BD=CD，∠BAD和∠CAD不一定相等，故②错误；
在△BDF和△CDE中，，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故③正确；
∴∠F=∠DEC，
∴BF∥CE，故④正确；
∵△BDF≌△CDE，
∴CE=BF，故⑤错误，
正确的结论为：①③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
14．直角、如图放置，其中，且．若，，．则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先利用AAS证明，再根据全等三角形的性质进行线段和差计算即可．
【详解】
解：，，
，，
，
在与中
，
；
，，
∵，，，，
∴
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，确定用定理进行证明是关键．
15．如图，已知，观察图中尺规作图的痕迹，可以判定，其判定的依据是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由作法易得OD＝O1D1，OC＝O1C1，CD＝C1D1，根据SSS得到三角形全等．
【详解】
解：在△COD和△C1O1D1中，
，
∴（SSS）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法SSS的运用，熟练掌握三角形全等的判定是正确解答本题的关键．
16．根据下列条件能唯一画出的是（
）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝11
B．AB＝5，BC＝6，∠C＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°
D．AB＝5，AC＝4，∠C＝45°
【答案】C
【分析】
判断其是否为三角形，即两边之和大于第三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形并不是唯一存在，可能有多种情况存在．
【详解】
解：A：AC
与
BC两边之和不大于第三边，所以不能作出三角形；
B：C
不是
AB，BC
的夹角，故不能唯一画出△ABC
；
C：AB=5，AC=4，∠C=90°，所以BC=3，故能唯一画出△ABC
；
D：C
并不是
AB，AC
的夹角，故可画出多个三角形；
故选：
C
．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
17．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3cm2
B．4.5cm2
C．5cm2
D．6cm2
【答案】B
【分析】
根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP=PE，得出S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，推出S△PBC=S△ABC，代入求出即可．
【详解】
解：延长AP交BC于E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，
∴S△ABP=S△EBP，S△ACP=S△ECP，
∴S△PBC=S△ABC=×9cm2=4.5cm2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在BC边上，BD=DC，∠BED=∠CFD=∠BAC，若S△ABC=30，则阴影部分的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】D
【分析】
根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△ABE的面积相等，可得S△ABE+S△CDF=S△ACD，即可得出答案．
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC，∠BED=∠BAE+∠ABE，
∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠CFD=∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，
在△ABE和△CAF中，，
∴△ABE≌△CAF（ASA），
∴S△ABE=S△ACF，
∴阴影部分的面积为S△ABE+S△CDF=S△ACD，
∵S△ABC=30，BD=DC，
∴S△ACD=20，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．如图已知中，，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为，则当与全等时，的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．3
C．1或3
D．2或3
【答案】D
【分析】
设运动时间为t秒，由题目条件求出BD=AB=6，由题意得BP=2t，则CP=8-2t，CQ=vt，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．
【详解】
解：设运动时间为t秒，
∵，点为的中点．
∴BD=AB=6，
由题意得BP=2t，则CP=8-2t，CQ=vt，
又∵∠B=∠C
∴①当BP=CQ，BD=CP时，≌
∴2t=vt，解得：v=2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
②当BP=CP，BD=CQ时，≌
∴8-2t=2t，解得：t=2
将t=2代入vt=6，解得：v=3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
综上，当v=2或3时，与全等
故选：D
【点睛】
本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
20．如图，在中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上，由C点向A点运动，为了使，点Q的运动速度应为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1厘米/秒
B．2厘米/秒
C．3厘米/秒
D．4厘米/秒
【答案】D
【分析】
根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．
【详解】
解：设△BPD≌△CPQ
时运动时间为t，点Q的运动速度为v，则由题意得：
，
即，
解之得：，
∴点Q的运动速度为4厘米/秒，
故选D
．
【点睛】
本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．
21．芜湖长江三桥是集客运专线、市域轨道交通、城市主干道路于一体的公铁合建桥梁，2020年9月29日公路段投入运营，其侧面示意图如图所示，其中，现添加以下条件，不能判定的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据已知条件可得∠ABC=∠ABD=90°，AB=AB，结合全等三角形的判定定理依次对各个选项判断．
【详解】
解：∵，
∴∠ABC=∠ABD=90°，
∵AB=AB，
∴若添加，可借助AAS证明，A选项不符合题意；
若添加，无法证明，B选项符合题意；
若添加，可借助HL证明，C选项不符合题意；
若添加，可借助ASA证明，D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能结合题上已知条件选取合适的定理是解题关键．
22．如图，相交于点，则下列说法中正确的个数是（
）
①；②点到的距离相等；③；④
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据全等三角形的判定定理得出△ACD≌△ACB，△ABO≌△ADO，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：在△ABC和△ADC中，
∵，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，
∠DCA=∠BCA
∴点O到CB、CD的距离相等．故②正确
在△ABO与△ADO中
，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴BO=DO，∠BOA=∠DOA
∵∠BOA+∠DOA=180°
∴∠BOA=∠DOA=90°，即
故①④正确；
∵AD≠CD
∴，故③错误
所以，正确的结论是①②④，共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
23．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．或
B．
C．
D．或
【答案】A
【分析】
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围．
【详解】
解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可，
当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；
当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点，
x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合，
所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，
故选为：A．
【点睛】
本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键．
24．如图，垂足为，垂足为与交于点，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先证明△ACD≌△BED，得到CD=ED=2，即可求出AE的长度．
【详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△ACD≌△BED，
∴CD=ED=2，
∴；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，从而进行解题．21世纪教育网版权所有
25．如图，在和中，，，添加下面的条件：①；②；③；④，其中可以得到的有（
）个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据，，，经推到得；再结合全等三角形判定的性质分析，即可得到答案．
【详解】
∵，，
∴
，即
∴，故②符合题意；
，即
∴，故③符合题意；
①和④不构成三角形全等的条件，故错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，从而完成求解．
26．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1＜AD＜6
B．1＜AD＜4
C．2＜AD＜8
D．2＜AD＜4
【答案】B
【分析】
先延长到，且，并连接，由于，，利用易证，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，可得，从而易求．
【详解】
解：延长到，使，连接，则AE=2AD，
∵，，，
∴，
，
在中，，
即，
∴．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选：．
【点睛】
此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
27．如图1，已知
AB=AC，D为∠B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC
的平分线上一点，连接
BD、
CD；如图2，已知
AB=
AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接
BD、CD、BE、CE；如图3，已知
AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、
BF、CF；…，依次规律，第
n个图形中全等三角形的对数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．n
B．2n-1
C．
D．3（n+1）
【答案】C
【分析】
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．21·世纪
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【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
28．如图，中，为的中点，点为延长线上一点，交射线于点，连接，则与的大小关系为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．以上都有可能
【答案】C
【分析】
如图，延长ED到T，使得DT＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DE，连接CT，TF，证明△EDB≌△TDC（SAS），推出BE＝CT，由CT＋CF＞FT，可得BE＋CF＞EF．
【详解】
解：如图，延长到，使得，连接，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
29．如图，D为的外角平分线上一点并且满足，过D作于E，交BA的延长线于F，则下列结论：
①，②，③，④，其中正确的结论有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)距离相等可得DE＝DF，再利用“HL”可证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，然后求出CE＝AB＋AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠DCE，根据三角形内角和是180°和∠AOB=∠COD（设AC交BD于点O），得到∠BDC＝∠BAC；根据三角形内角和是180°易得∠DAE＝∠CBD，再根据角平分线可得∠DAE＝∠DAF，然后求出∠DAF＝∠CBD．
【详解】
∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DE＝DF
在Rt△CDE和Rt△BDF中
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE＝AF
在Rt△ADE和Rt△ADF中
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）
∴AE＝AF
∴CE＝AB＋AF＝AB＋AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF
∴∠DBF＝∠DCE
∵∠AOB=∠COD（设AC交BD于点O）
∴∠BDC＝∠BAC，故③正确；
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°
∠DBF＝∠DCE
∴∠DAE＝∠CBD，
∵∠DAE＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④.
故选D
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两边距离相等的性质、全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
30．程老师制作了如图1所示的学具，用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
有以下结论：
①当∠PAQ=30°，PQ=6时，可得到形状唯一确定的△PAQ
②当∠PAQ=30°，PQ=9时，可得到形状唯一确定的△PAQ
③当∠PAQ=90°，PQ=10时，可得到形状唯一确定的△PAQ
④当∠PAQ=150°，PQ=12时，可得到形状唯一确定的△PAQ
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
其中所有正确结论的序号是(
)
A．②③
B．③④
C．②③④
D．①②③④
【答案】C
【分析】
分别在以上四种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．
【详解】
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如下图，当∠PAQ=30°，PQ=9时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以②正确．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以③正确．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以④正确．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
综上：②③④正确．
故选C．
【点睛】
本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．
二、填空题
31．如图所示，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=6，则AD的取值范围是__________
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2＜AD＜4
【分析】
此题要倍长中线，再连接，构造全等三角形．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】
解：延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ADC与△EDB中，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴EB=AC，
根据三角形的三边关系定理：6-2＜AE＜6+2，
∴2＜AD＜4，
故AD的取值范围为2＜AD＜4．
【点睛】
本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出6-2＜AE＜6+2是解此题的关键．
32．在△ABC中，AC=8，中线AD=5，那么边AB的取值范围为____．
【答案】2＜AB＜18
【分析】
作出图形，延长AD至E，使DE=AD，然
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【详解】
解：如图，延长AD至E，使DE=AD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=CE，
∵AD=5，
∴AE=5+5=10，
∵10+8=18，10-8=2，
∴2＜CE＜18，
即2＜AB＜18．
故答案为：2＜AB＜18．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
33．如图，在△ABC中，点D为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AB延长线上一点，点E为AC中点，过C作CF//AB交射线DE于F，若BD＝1，CF＝5，则AB的长度为_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】4
【分析】
根据CF∥AB就可以得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，证明△ADE≌△CFE就可以求出答案．
【详解】
∵CF∥AB，
∴∠ADE=∠F，∠FCE=∠A．
∵点E为AC的中点，
∴AE=EC．
∵在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
∴AD=CF=5，
∵BD=1，
∴AB=AD-BD=5-1=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，解答时证明三角形全等是关键．
34．如图，已知，，点、、、在一条直线上，要证，还需添加的条件是：________．（只需添加一个条件）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】或或∥（答案不唯一）．
【分析】
要判定，已知，，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加，利用可证全等．（也可添加其它条件）．
【详解】
解：增加一个条件：，
∵，，
∴．
或添加或∥利用证明全等（答案不唯一）．
故答案为：或或∥（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法并在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取是解题的关键．
35．已知中，，，点为的中点，点、分别为边、上的动点，且，连接，下列说法正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③；④
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】①②④
【分析】
根据补角的性质计算可得①；连接D，证明，根据三角形全等的性质判断可得后面的结果；
【详解】
，
，
，
；
故①正确；
连接AD，
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∵，，
∴，
又∵点为的中点，
∴，，，即，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
在△BED和△AFD中，
，
∴，
∴ED=FD；
故②正确；
∵，
∴，
则，
故④正确；
当点E移动到点A时，此时点F与点C重合，很明显此时EF=AC，FC=0，即；
故③错误；
故答案为①②④．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题
36．平面上有与与相交于点与相交于点与相交于点N，若．
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（1）求证：；
（2），求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BPD=140°．
【分析】
（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质可知：∠A=∠B，再根据已知条件和四边形的内角和为360°，即可求出∠BPD的度数．21教育网
【详解】
解：（1）证明：∵∠ACB=∠ECD，∠ACE=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠A=∠B，∠BCE=∠ACD，
∴∠BCA=∠ECD，
∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，
∴∠BCA+∠ECD=100°，
∴∠BCA=∠ECD=50°，
∵∠ACE=55°，
∴∠ACD=105°
∴∠A+∠D=75°，
∴∠B+∠D=75°，
∵∠BCD=145°，
∴∠BPD=360°-75°-145°=140°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用整体的数学思想求出∠B+∠D=75°．21教育名师原创作品
37．在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N．
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（1）如图1，当直线在外时，证明：．
（2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】
（1）根据题目条件可以证明，然后根据全等的性质就可以证得结论；
（2）依然是证明，再根据全等对应边相等即可得出结论；
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，能熟练运用直角三角形的性质，全等三角形的判定是解决本题的关键，本题图形虽然变了，但解题思路不变．
38．已知和均为等腰三角形，且，，．
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（1）如图1，点在上，求证：；
（2）如图2，点在的延长线上，写出，，的数量关系，并说明理由，
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】
（1）证得∠DAB＝∠EAC，证明△DAB≌△EAC（SAS），由全等三角形的性质得出BD＝CE，则可得出结论；
（2）同（1）证明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD＝CE，则成立的结论是BC＝BD﹣BE．
【详解】
证明：（1），
，
即，
又，，
，
，
；
（2）．
理由：，
，
即，
又，，
，
，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
39．如图，已知，，，．
求证：．
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【答案】见解析
【分析】
首先根据SAS证明，进而得到，即可得出结论．
【详解】
证明：在与中
∴，
∴，
∴，
∴．
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【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
40．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌△ACE．
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【答案】见详解．
【分析】
先求出∠EAC=∠DAB，再利用“边角边”证明即可．
【详解】
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠EAC＝∠DAB，
在△AEC和△ADB中，
∴△AEC≌△ADB（SAS）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，推出∠EAC=∠DAB是解题的关键，本题图形比较复杂，准确识图非常重要．
41．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，D为BC上一点，BF＝CD，CE＝BD，求∠EDF的度数．
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【答案】∠EDF＝65°．
【分析】
由SAS可得△FBD≌△DCE，可得∠BFD=∠CDE，由平角的性质和三角形内角和定理可得∠B=∠EDF=65°．
【详解】
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△FBD与△DCE中，
，
∴△FBD≌△DCE（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，
∴∠B=180°-∠BDF-∠BFD=∠EDF=180°-∠BDF-∠CDE，
∵∠B=65°，
∴∠EDF=65°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质问题，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键．【版权所有：21教育】
42．如图，点，，，在同一直线上，，，，求证：≌．
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【答案】见解析．
【分析】
利用平行线的性质，补充证明全等的角元素，立足已知等线段，利用等量加等量和线段，转化新等量线段，为全等提供边元素．
【详解】
证明：∵，
∴，
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∵，
∴，
∵，
∴AF+CF=DE+CF,
∴，
∴≌．
【点睛】
本题考查了平行线条件下的三角形全等，熟练运用平行线的性质，灵活选择三角形全等的方法是解题的关键．
43．如图，点D在BC上，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠1＝∠2，AE＝AC，下面有三个条件：①AB＝AD；②BC＝DE；③∠E＝∠C，请你从所给条件①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE，并进行证明．
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【答案】见解析
【分析】
选择①，先证明∠BAC=∠DAE，然后再利用SAS判定△ABC≌△ADE即可；
选择③，先证明∠BAC=∠DAE，然后再利用ASA判定△ABC≌△ADE即可．
【详解】
解：选择①
证明：∵∠1=∠2
∴∠1+∠DAC
=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE，
选择③
证明，∵∠1=∠2
∴∠1+∠DAC
=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中
∴△ABC≌△ADE，
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．www-2-1-cnjy-com
44．如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，点P是AD延长线上的一点．
求证：PB＝PC．
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【答案】见详解
【分析】
先证明△ABD≌△ACD，得∠BAP＝∠CAP，再证明△ABP≌△ACP，即可得到结论．
【详解】
证明：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAP＝∠CAP，
在△ABP和△ACP中，
，
∴△ABP≌△ACP，
∴PB＝PC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
45．如图，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C为AE的中点．
求证：△ABC≌△EAD．
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【答案】见解析
【分析】
根据中点的定义，再根据AAS证明△ABC≌△EAD解答即可．
【详解】
证明：∵C为AE的中点，AE＝4，DE＝2，
∴AC＝AE＝2＝DE，
又∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠E，
在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定，关键是根据AAS证明△ABC≌△EAD解答．
46．如图，，，，求证：．
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【答案】见解析
【分析】
直接利用SAS证明，再根据全等三角形的性质即可求解；
【详解】
证明：∵
∴
即
∴在与中
∴
∴
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【点睛】
本题考查了全等三角形的证明以及全等三角形的性质，正确掌握知识点是解题的关键；
47．如图，点、在上，且，，．求证：．
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【答案】证明见解析．
【分析】
根据题中的平行条件
AC//BD
，可得内
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)错角
∠A=∠B
，结合已知条件，恰能证明
ΔACF
≌
ΔBDE
，故有
∠AFC=∠BED
，也为一对内错角，从而证得
CF//DE.2-1-c-n-j-y
【详解】
证明：∵AC//BD
∴∠A=∠B
，
∵AE=BF，
∵AE+EF=BF+EF，
∴AF=BE，
又∵∠C=∠D
，
∴ΔACF
≌
ΔBDE(AAS)，
∴∠AFC=∠BED
，
∴CF//DE
．
【点睛】
平行线的性质与判定；全等三角形的判定与性质.解题的关键是熟悉平行线的性质与判定，以及全等三角形的性质与判定.
48．如图：已知，且，求证：．
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【答案】见解析
【分析】
由AD=BE可求得AB=DE，再结合条件可证明△ABC≌△DEF．
【详解】
证明：∵
∴
∴
又∵
∴
在和中
∴（SAS）
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．【出处：21教育名师】
49．如图1，在四边形ABDC中，，，，，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且．
（1）求证：．
（2）在图1中，若G在AB上且，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明．
（3）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，，，E在AB上，，且，若，，求BE的长．（用含a，b的代数式表示，可能用到直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半）．
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【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）．
【分析】
（1）根据已知推出，根据证明，即可得出结论；
（2）连接，根据证，可得，根据可证，推出即可得出结论；
（3）过C作交的延长线于M，根据全等三角形的性质得出，由（1）（2）可知，分别用含a，b的代数式表示，，最后代入即可得出结论．
【详解】
（1）∵，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
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在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）如图，过作交的延长线于，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在和中，
∴，
∴，，
由（1）（2）可知：，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定综合．（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1）解题的关键是证明全等三角所需对应角相等；（2）证明两线段和等于一条线段时，通常将两条线段转移到同一条已知线段中，再证明已知线段与求和后的线段相等即可；（3）解题关键在于构造辅助线证明三角形全等．
50．在△ABC中，AB=AC，点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
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（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少？说明理由；
（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？
请直接写出你的结论，不需证明．
【答案】（1）90°；（2）①α＋β＝180°，理由见详解；②点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β．
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况画出图形，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°；
（2）①α＋β＝180°，
理由：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC?∠DAC＝∠DAE?∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB．
∵∠ACE＋∠ACB＝β，
∴∠B＋∠ACB＝β，
∵α＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴α＋β＝180°；
②如图1：当点D在射线BC上时，α＋β＝180°，
连接CE，
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∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝∠BAC＋∠BCE＝180°，
即：∠BCE＋∠BAC＝180°，
∴α＋β＝180°，
如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．
连接BE，
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∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB＋∠BCE，
∴∠ABD＋∠ABC＝∠ACE＋∠ABC＝∠ACB＋∠BCE＋∠ABC＝180°，
∵∠BAC＝180°?∠ABC?∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE．
∴α＝β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，证明△ABD≌△ACE是解本题的关键．
51．如图1，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，连接，，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）如图2，点在线段上，作轴于点，交于点，若，求证：．
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【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）由非负性可求a，b的值，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ABP≌△BCQ
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，可得AB=BC，∠BAP=∠CBQ，可证△ABC是等腰直角三角形，可得∠BAC=45°，可得结论；
（3）由“AAS”可证△ATO≌
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)△EAG，可得AT=AE，OT=AG，由“SAS”可证△TAD≌△EAD，可得TD=ED，∠TDA=∠EDA，由平行线的性质可得∠EFD=∠EDF，可得EF=ED，即可得结论．
【详解】
解：（1）∵a2-2ab+2b2-16b+64=0，
∴（a-b）2+（b-8）2=0，
∴a=b=8，
∴b-6=2，
∴点C（2，-8）；
（2）∵a=b=8，
∴点A（0，6），点B（8，0），点C（2，-8），
∴AO=6，OB=8，
如图1，过点B作PQ⊥x轴，过点A作AP⊥PQ，交PQ于点P，过点C作CQ⊥PQ，交PQ于点Q，
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∴四边形AOBP是矩形，
∴AO=BP=6，AP=OB=8，
∵点B（8，0），点C（2-8），
∴CQ=6，BQ=8，
∴AP=BQ，CQ=BP，
又∠APB=∠BCQ
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴AB=BC，∠BAP=∠CBQ，
∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠ABP+∠CBQ=90°，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠OAD+∠ADO=∠OAD+∠BAC+∠ABO=90°，
∴∠OAC+∠ABO=45°；
（3）如图2，过点A作AT⊥AB，交x轴于T，连接ED，
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∴∠TAE=90°=∠AGE，
∴∠ATO+∠TAO=90°=∠TAO+∠GAE=∠GAE+∠AEG，
∴∠ATO=∠GAE，∠TAO=∠AEG，
又∵EG=AO，
∴△ATO≌△EAG（AAS），
∴AT=AE，OT=AG，
∵∠BAC=45°，
∴∠TAD=∠EAD=45°，
又∵AD=AD，
∴△TAD≌△EAD（SAS），
∴TD=ED，∠TDA=∠EDA，
∵EG⊥AG，
∴EG∥OB，
∴∠EFD=∠TDA，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
∴EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD，
∴EF=AG+OD．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
52．在ABC和ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AB＝AC，AD＝AE．
（1）如图1，如果点D在BC上，且BD＝5，CD＝3，求DE的长．
（2）如图2，AD与BC相交
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)于点N，点D在BC下方，连接BD，且AD垂直BD，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，点M是CA延长线上一点，且CM＝AF，求证：CF＝AN+MN．
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【答案】（1）；（2）见解析
【分析】
（1）连接CE，证△ABD≌△ACE，利用全等三角形的性质可得CE⊥CD，在直角△CED中用勾股定理可求得DE的长．
（2）过A作AG∥BC交CF于点G，证明四边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形ANCG为平行四边形，则CG=AN，这样证CF=MN+AN=CG+GF，转化为证GF=MN，为此证△AGF≌△CNM问题即解决．
【详解】
（1）如图，连结CE
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∵∠BAC=∠DAE=90?
∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90?
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴CE=BD=5，∠ACE=∠B
∵∠BAC=90?
∴∠B+∠ACB=90?
∴∠ACE+∠ACB=90?
即CE⊥CD
在Rt△ECD中，CD=3,CE=5，由勾股定理得：
所以DE的长为．
（2）如图，过点A作AG∥BC交CF于点G
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则∠FAG=∠ABC，∠AGE+∠BCF=180?
∵AD⊥BD，AD⊥AE
∴AE∥BD
∴∠FAE=∠ABD
∴∠FAE?∠FAG=∠ABD?∠ABC
即∠GAE=∠NBD
∵∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90?
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴∠CEA=∠BDA=90?
∴∠AEC=90?
∴∠ANC=∠BND=90??∠NBD=90??∠GAE=∠AGE
∴∠ANC+∠BCF=180?
∴AN∥CF
∴四边形ANCG是平行四边形
∴CG=AN，AG=CN
∵AB=AC
∴∠ABC=∠CAN
∴∠FAG=∠ACN
在△FAG和△MCN中
∴△FAG≌△MCN(SAS)
∴MN=GF
∵CF=CG+GF
∴CF=AN+MN
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，以及辅助线的作法．难点在辅助线的作法，特别是第二问的辅助线如何作许多学生无从下手．本题第二问是证两条线段的和等于另一条线段，此类典型问题的解决方法有两种：一是在长线段上截取一线段等于两较短线段中的一条，再证余下线段等于另一线段即可，称之为截长法；二是把其中一条较短线段补长，再证线段相等，称之为补短法．【来源：21·世纪·教育·网】
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精品试卷·第
2
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