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12.3
角的平分线的性质
【提升训练】
一、单选题
1．如图，四边形ABCD中，对角线AD平分∠BAC，，，则∠ADB的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．54°
B．50°
C．48°
D．46°
【答案】C
【分析】
过作于，于，于，依据角平分线的性质，即可得到，再根据三角形外角性质，根据角平分线的定义，即可得到．
【详解】
解：如图所示，过作于，于，于，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
平分，于，于，
，
又，，
，，
平分，
又于，于，
，
，
平分，
，
平分，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的判定和性质，解题时注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
2．如图，在△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，下列结论：①CD＝ED；②BD＝CD；③AC＋BE＝AB；④S△BDE：S△ACD＝BD：AC，其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①③
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】
根据角平分线的性质，可得C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D＝ED，易证得△ADC≌△ADE，可得AC＋BE＝AB；又由CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．进而可以判断．
【详解】
解：①正确，因为在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
所以CD＝ED；
②错误，因为在Rt△BDE中，DB＞DE，所以DB≠CD；
③正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB；
④错误，因为△ADC≌△ADE，∴DE＝CD，
所以△ADE和△ACD面积相等，高相等都等于DE，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
3．如图，在四边形ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．6
C．3
D．12
【答案】B
【分析】
根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝6，即可得出选项．
【详解】
解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝6，
∴DP的最小值是6，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短和角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
4．如图，平分，为的中点，，垂足为点，，为上的一个动点，是的延长线与的交点，，则的最小值为（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】A
【分析】
根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM时，CD取最小值，利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3，进而解答即可．
【详解】
解：由题意可得，
当CD⊥OM时，CD取最小值，
∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，
∴AD=AE=3，
∵BC∥OM，
∴∠DOA=∠B，
∵A为OB的中点，
∴AB=AO，
在△ABC与△ADO中，
∴△ABC≌△AOD（ASA），
∴AC=AD=3，
∴CD=AC+AD=3+3=6，
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3．21·世纪
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5．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，BC=10，则PE的最小值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．5
C．4
D．2
【答案】C
【分析】
过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，求出AD⊥CD，根据角平分线的性质求出AE＝DE＝PE，求出AE的长即可．
【详解】
解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，
∴AE＝PE，ED＝PE，
∴AE＝ED＝PE，
∵AD＝8，
∴PE＝4，
即PE的最小值是4，
故选：C．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、垂线段最短，解题关键是恰当的作出辅助线，找到最短线段，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
6．如图，在锐角△ABC?中，,,的平分线交于点，且,点分别是和上的动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】A
【分析】
作BH⊥AC，垂足为H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，根据AD是∠BAC的平分线可知M′H＝M′N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值，最小值为BH的长，进而即可求解．
【详解】
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴M′H＝M′N′，
则BM′＋M′N′=
BM′+
M′H=BH，
∴BH是点B到直线AC上各个点的最短距离，
∴的最小值=
BH，
∵的平分线交于点，且，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=∠ADB=90°，AD=AD，
∴?BAD??CAD，
∴AC=AB=8，
∴AC?BH=，
∴BH=4，即的最小值是4．
故选A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是最短路线问题，解答此类问题
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，化两条线段的和的最小值为一条垂线段的长．
7．下列命题中，是假命题的是（
）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的判定，命题与定理及角平分线的判定等知识一一判断即可．
【详解】
解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是正确；
B、每个命题都有逆命题，所以B选项正确；
C、每个定理不一定有逆定理，所以C选项错误；
D、在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，命题与定理以及角平分线的判定方法，熟练利用这些判定定理是解题关键．
8．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9
B．6
C．3
D．4.5
【答案】C
【分析】
作CN⊥OA，利用面积求出CM，根据角平分线的性质定理可得CN=CM，即可得答案．
【详解】
解：过点C作CN⊥OA，
∵CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，
∴S△COM=，
∴，
∵OC为∠AOB的平分线，CN⊥OA，CM⊥OB，
∴CN=CM=3．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键．
9．如图，与交于点，点在上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．点到三边的距离相等
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可以作判断．
【详解】
解：根据作图痕迹可知AE和BF为△ABC的角平分线，O为交点，
根据三角形三条角平分线交于一点，且到三边的距离相等可知点到三边的距离相等，故B选项正确，符合题意，其它选项皆不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了基本作图-角的平分线、角平分线的性质，明确三角形的角平分线交于同一点，且交点到三边的距离相等．
10．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．BD＝CE
B．BD⊥CE
C．AF平分∠CAD
D．∠AFE＝45°
【答案】C
【分析】
作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．证明△BAD≌△CAE，利用全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】
解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N，设AD交EF于O．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故A正确，
∵∠DOF＝∠AOE，
∴∠DFO＝∠EAO＝90°，
∴BD⊥EC，故B正确，
∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∴∠AFE＝45°，故D正确，
若C成立，则∠EAF＝∠BAF，
∵∠AFE＝∠AFB，
∴∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，由题意知，AB不一定等于AD，
所以AF不一定平分∠CAD，故C错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21·cn·jy·com
11．如图，在和△中，，，，，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①；②；③OM平分；④MO平分．
其中一定正确的为（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【分析】
由SAS证明△AOC≌△B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)OD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD即可判断①；由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=40°，即可判断②；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，即可判断④；由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC即可判断③；
【详解】
∵
∠AOB=∠COD=40°，
∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD，
即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故①正确；
∴∠OAC=∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=40°，故②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
则∠OGC=∠OHD=90°，
在△OCG和△ODH中
，
∴
△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG=OH，
∴MO平分∠BMC，故④正确；
∵∠AOB=∠COD，
∴当∠DOM=∠AOM时，OM平分∠BOC，
假设∠DOM=∠AOM，
∵△AOC≌△BOD
∴∠COM=∠BOM，
∵MO平分∠BMC
∴∠CMO=∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA）
∴OB=OC，
∵OA=OB，
∴OA=OC与OA＞OC矛盾，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键；．
12．如图，在四边形中，，，点P是边上的一动点，连接，若，则DP的长不可能是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】
由三角形的内角和定理和角的和差
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)求出∠ABD＝∠CBD，角平分线的性质定理得AD＝DH，垂线段定义证明DH最短，求出DP长的最小值为3，即可得到正确答案
．
【详解】
过点D作DH⊥BC交BC于点H，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠A=∠BDC=90°
，
又∵∠C＋∠BDC＋∠DBC＝180°，∠ADB＋∠A＋∠ABD＝180°，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD是∠ABC的角平分线，
又∵AD⊥AB，DH⊥BC，
∴AD＝DH，
又∵AD＝3，
∴DH＝3，
∴当点P在BC上运动时，点P运动到与点H重合时DP最短，其长度为DH长等于3，即DP长的最小值为3，故DP的长不可能是2，
故选：A．
【点睛】
本题综合考查了三角形的内角和定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．
13．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，，则的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】A
【分析】
由作图可知AD平分∠CAB，点D到AB的距离就等于DC=1，根据公式可求面积．
【详解】
解：由作图可知AD平分∠CAB，点D到AB的距离就等于DC，，，
所以，的面积为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的画法和性质，解题关键是知道AD是角平分线，并根据角平分线的性质求出高．
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B点作BE⊥AD于E，过E作EFAC交AB于F，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．不确定
B．AF=BF
C．AFBF
D．AFBF
【答案】B
【分析】
根据角平分线的定义和两直线平行，内错角相等的性质得到，即可得到AF=EF，再根据BE⊥AD，得到，再根据等角的余角相等得到，根据等边对等角的性质得到BF=EF，即可得解；
【详解】
∵AD平分∠BAC，EFAC，
∴，
∴AF=EF，
∵BE⊥AD，
∴，，
∴，
∴BF=EF，
∴AF=BF；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、三角形的角平分线，准确分析证明是解题的关键．
15．如图是的角平分线，于，点，分别是，上的点，且，与的面积分别是10和3，则的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】
过点D作DH⊥AC于H，根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可．
【详解】
解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF=S△ADH=
∴S△AED=
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．21
cnjy
com
16．如图，AB∥CD，BE和CE分别平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且AD⊥AB，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝14，则PE的最小值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．7
B．10
C．6
D．5
【答案】A
【分析】
当EP⊥BC时，EP最短，根据角平分线的性质，可知EP=EA=ED=AD，由AD＝14，求出即可．
【详解】
解：当EP⊥BC时，EP最短，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BE平分∠ABC，AE⊥AB，EP⊥BC，
∴EP=EA，
同理，EP=ED，
此时，EP=AD=×14=7，
故选A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，熟练找到P点位置并应用角平分线性质求EP是解题关键．
17．如图，在中，的面积为10，，BD平分，E、F分别为BC、BD上的动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】
过点作于点，交于点，过点作于，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值．
【详解】
解：过点作于点，交于点，过点作于，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
平分，于点，于，
，
的最小值．
三角形的面积为10，，
，
．
即的最小值为5，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是轴对称最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．
18．如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．125°
B．135°
C．105°
D．100°
【答案】A
【分析】
根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】
解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴∠OBC+∠OCB=
（∠ABC+∠ACB）=
×110°=55°，
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-55°=125°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线判定定理，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用．
19．如图，已知，点O为与的平分线的交点，且于D．若，则四边形ABOC的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．36
B．32
C．30
D．64
【答案】B
【分析】
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，OD＝4，
∴OE＝OD＝4，OF＝OD＝4，
∵AB+AC＝16，
∴四边形ABOC的面积S＝S△ABO+S△ACO＝
＝
＝×（AB+AC）
＝×16
＝32，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出OD＝OE＝OF＝3是解此题的关键．【来源：21cnj
y.co
m】
20．如图，平分，于点，于点，延长，交，
于点，，下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据角平分线的性质定理判断A选项；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)证明△OPC≌△OPD判断B选项；根据△OPC≌△OPD即可判断C选项；证明△DPE≌△CPF判断D选项．
【详解】
∵平分，于点，于点，
∴PC=PD，故A选项正确；
∵∠ODP=∠OCP=，
又∵OP=OP，PC=PD，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD，
∴OC=OD，故B选项正确；
∵△OPC≌△OPD，
∴，故C选项正确；
∵∠PDE=∠PCF=，PD=PC，∠DPE=∠CPF，
∴△DPE≌△CPF，
∴PE=PF，
∵PF>PC，
∴PE>PC，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】
此题考查三角形角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
21．如图所示，已知AB∥CD，与的平分线交于点，于点，且，则点到，的距离之和是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
过点O作MN，MN⊥AB于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可．
【详解】
如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，
∴OM＝OE＝3cm，
∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，
∴ON＝OE＝3cm，
∴MN＝OM＋ON＝6cm，
即AB与CD之间的距离是6cm，
故选B
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．
22．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余
B．全等三角形对应角相等
C．两直线平行，同位角相等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】B
【分析】
先分别写出这些定理的逆命题，再进行判断即可．
【详解】
解：A．直角三角形的两锐角互余的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题；
B．全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题；
C．两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题；
D．角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，是真命题．
故选：B．
【点睛】
此题考查了命题与定理，两个命题中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
23．如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可以是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．3
C．5
D．7
【答案】D
【分析】
过点D作于点F，根据角平分线的性质定理得，而DE的长一定是大于等于点D到AB的距离也就是DF的长，即可得出结果．
【详解】
解：如图，过点D作于点F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AD平分，，，
∴，
∵，
∴，则只有D选项符合．
故选：D．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
24．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．
【详解】
∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
25．如图，在中，，是的平分线，若，，则为(?
?
?
?
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
过D作于，根据角平分线的性质得出＝，再根据三角形的面积公式求出和的面积，最后求出答案即可.
【详解】
解：过点作于,
∵平分，（即），
∴，
设，
在中，，，，
∴，
∴，，
∴：,
故选：B.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出＝是解此题的关键.
26．如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BCOM，则CD的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】A
【分析】
根据两条平行线之间的距离可知
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)当CD⊥OM时，CD取最小值，先利用角平分线的性质得出AD=AE=3，利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3，进而解答即可．
【详解】
解：由题意得，
当CD⊥OM时，CD取最小值，
∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，
∴AD=AE=3，
∵BC∥OM，
∴∠DOA=∠B，
∵A为OB中点，
∴AB=AO，
在△ADO与△ABC中，
∴△ADO≌△ABC(SAS),
∴AC=AD=3，
∴，
故选A．
【点睛】
此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3．21世纪教育网版权所有
27．如图，平分交于点，于点，于点，若，，，则的长是
(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
求出DE的值，代入面积公式得出关于AB的方程，求出即可．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴12=×AB×DE+×AC×DF，
∴24=AB×2+3×2，
∴AB=9，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
28．如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C于F，连接OA，根据角平分线的性质得：OE＝OF＝OD然后根据△ABC的面积是12，周长是8，即可得出点O到边BC的距离．
【详解】
如图，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵点O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴OE＝OD，OF＝OD，即OE＝OF＝OD
∴S△ABC＝S△ABO＋S△BCO＋S△ACO＝AB·OE＋BC·OD＋AC·OF＝×OD×(AB＋BC＋AC)＝×OD×8＝12
OD=3
故选：C
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及三角形面积求法，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，正确表示出三角形面积是解题关键．21教育名师原创作品
29．如图，点在内，且到三边的距离相等．若，则的度数为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．
【详解】
解：∵点到三边的距离相等，
∴平分，平分，
∴
．
故选．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键．
30．如图，在△ABC中，点E和F分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（
）
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A．β＝α+γ
B．β＝2γ﹣α
C．β＝α+2γ
D．β＝2α﹣2γ
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质得到∠B=∠EF
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C=β，由角平分线的定义得到∠ACB=2∠BCD，根据∠ADC是△BDC的外角，得到∠ADC=∠B+∠BCD，由三角形外角的性质得到∠MAC=∠B+∠ACB，于是得到结果．
【详解】
解：∵EF∥AB，∠EFC=β
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，
∴∠B=∠EFC=β，
∵CD平分∠BCA，
∴∠ACB=2∠BCD，
∵∠ADC是△BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∵∠ADC=γ，
∴∠BCD=γ-β，
∵∠MAC是△ABC的外角，
∴∠MAC=∠B+∠ACB，
∵∠MAC=α，
∴α=β+2（γ-β），
∴β=2γ-α，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
31．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（
）
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A．134°
B．124°
C．114°
D．104°
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质和平行线的性质计算即可；
【详解】
∵AE平分∠BAC，∠BAE＝34°，
∴，
∵ED∥AC，
∴，
∵BE⊥AE，
∴，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和平行线的性质，结合周角的定理计算是解题的关键
。
32．如图所示，点A、B分别是、平分线上的点，于点E，于点C，于点D，下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．与∠CBO互余的角有两个
C．
D．点O是CD的中点
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质得，，可以证明A选项正确，同样可得，，可以证明C选项正确，证明得，同理，可以证明D选项正确．
【详解】
解：∵AO平分，，，
∴，
同理，
∴，则A选项正确，
∵AO平分，BO平分，
∴，，
∴，则C选项正确，
在和中，
，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴O是CD中点，则D选项正确，
与互余的角有、、、，则B选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
33．如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
过D作DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
【详解】
解：过D作DF⊥AC于F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF=2，
∵S△ADB=
AB×DE=
×5×2=5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9-5=4，
∴AC×DF=4，
∴AC×2=4，
∴AC=4
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出DF长和三角形ADC的面积．
34．如图，在中，点D是BC边上一点，已知，，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
过点E作于M，于N，于H，如图，先计算出，则AE平分，根据角平分线的性质得，再由CE平分得到，则，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分，再根据三角形外角性质解答即可．
【详解】
解：过点E作于M，于N，于H，如图，
，，
，
平分，
，
平分，
，
，
平分，
，
由三角形外角可得：，
，
，
而，
，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理，解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分．
35．如图，点P为定角∠AOB平分线上的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【分析】
如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．
【详解】
解：如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠PEO=∠PFO=90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在△POE和△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，故①正确，
∴S△PEM=S△PNF，
∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故④正确，
OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故②正确，
在旋转过程中，△PMN是等腰三角形，顶角∠MPN是定值，因为腰PM的长度是变化的，所以底边MN的长度是变化的，故③错误，
故答案为：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是通过添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
36．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；
③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
【答案】C
【分析】
由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HBO≌△EBO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【详解】
解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HBO和△EBO中，，
∴△HBO≌△EBO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×OH+×BC×OD＝（AB+AC+BC）?a＝ab，④正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
37．如图，在△ABC中，∠ABC和∠AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF=BE+CF②∠BOC=90°+∠A③点O到△ABC各边的距离相等
④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，正确的结论有( )个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【分析】
由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90°+∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线的性质得出点O到△ABC各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，故④正确．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF．
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE?OM+AF?OD=OD?(AE+AF)=
mn；故④正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．
故选：D．
【点睛】
此题考查了角平分线的定义与性质，等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
38．如图，点
P
在∠MAN
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的角平分线上，点
B
，C
分别在
AM，AN上，作
PR⊥AM，
PS⊥AN，垂足分别是
R，S．若∠ABP
∠ACP
180，则下面三个结论：①
AS
AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP
．其中正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】C
【分析】
利用角平分线的性质得到PR=PS，再利用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)HL证明△APR≌△APS，得到AS=AR，可判断①；再根据∠ABP
∠ACP
180，得到∠ABP=∠PCS，再利用AAS证明△BRP≌△CSP可判断③；再说明若要PC∥AB，则需要说明AC=PC，无法达成，从而可判断②.
【详解】
解：∵点
P
在∠MAN的角平分上，PR⊥AM，
PS⊥AN，
∴PR=PS，
∵∠ARP=∠ASP=90°，
∴在Rt△APR和Rt△APS中，
，
∴△APR≌△APS（HL），
∴AS=AR，故①正确；
∵∠ABP
∠ACP
180，
∴∠ABP=∠PCS，
又∵PR=PS，∠PRB=∠PSC=90°，
∴△BRP≌△CSP（AAS），故③正确；
若∠MAP=∠CPA，则PC∥AB，
则需要AC=PC得出∠PAN=∠CPA，
从而根据∠MAP=∠PAN，
得出∠MAP=∠CPA，
而题中没有条件说明AC=PC，故②错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的性质和线段平行条件．辅助线是解决本题的关键．
39．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC,
∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．21教育网
二、填空题
40．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，那么△ABE的面积为_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】22.5
【分析】
先根据角平分线的性质得到ED＝EC＝4.5，然后根据三角形面积公式求解．
【详解】
解：∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EC⊥BC，
∴ED＝EC＝4.5，
∴S△ABE＝AB·DE=×10×4.5＝22.5．
故答案为：22.5．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形面积公式，利用角平分线性质转化线段CE=ED求解是解题的关键.
41．如图，已知中，，点在上，，点为垂足，且，联结，则的大小为___________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】112.5°
【分析】
首先根据角平分线的判定方法判定AD是∠BAC的平分线，然后利用外角性质求∠ADB的度数即可.
【详解】
解：∵∠C＝90°，DE⊥AB
∴∠C=∠AED=90°，
在Rt?ACD和Rt?AED中
，
∴Rt?ACD≌Rt?AED，
∴∠CAD=∠EAD，
∴AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°，
∴∠CAD＝22.5°，
∴∠ADB=∠CAD＋∠C＝112.5°.
故答案为：112.5°．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定方法以及三角形外角的性质，角平分线的判定方法是：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
42．已知：如图，在△ABC中CD交AB边于点D，直线DE平分且与直线BE相交于点E，，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：
证明：理由如下：
平分（已知）
（已知）
（等量代换）
又（已知）
（等量代换）
【答案】，AC，DE，同位角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，；EB,内错角相等，两直线平行
【分析】
由平分可得由可得可推出利用平行线性质可得由利用传递性可得利用判定定理可得．
【详解】
证明：理由如下：
平分（已知）
（已知）
（等量代换）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
又（已知）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，角分线性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线性质是解题关键．
43．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CB＝8，BE＝5，则点E到AB的距离为_____．
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【答案】3．
【分析】
根据作图过程可知AE平分∠CAB，根据角平分线的性质即可得出结论．
【详解】
解：根据作图过程可知：AE平分∠CAB，
∵CB＝8，BE＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣5＝3，
∵∠C＝90°，
∴EC⊥AC，
∴点E到AB的距离为3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了作图-基本做图，解决本题的关键是掌握基本的作图方法和理解角平分线的性质．
44．如图，已知△ABC的周长是18，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，△ABC的面积是_____．21cnjy.com
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【答案】9
【分析】
过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC与F，连接OA，根据角平分线的性质求出OE、OF，根据三角形面积公式计算，得到答案．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OD＝1，
同理可知，OF＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△OAB的面积+△OAC的面积+△OBC的面积，
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD，
＝×18×1，
＝9，
故答案为：9．
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【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
三、解答题
45．如图，CA平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的大小；
（2）若AE=2，BE=1，CD=3，求四边形AECD的面积．
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【答案】（1）120°；（2）7
【分析】
（1）根据角平分线性质求出，推出Rt△AFD≌Rt△AEB，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）求出的长，证Rt△AFC≌Rt△AEC，推出，根据三角形的面积公式求出即可．
【详解】
解：（1）平分，，，
，，
在Rt△AFD和Rt△AEB中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AEB（HL），
，
，
；
（2）∵Rt△AFD≌Rt△AEB，
，，
，
平分，
，
，，
，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
，
四边形的面积．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出Rt△AFD≌Rt△AEB和Rt△AFC≌Rt△AEC，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．21
cnjy
com
46．如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积．
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【答案】（1）见解析；
（2）
【分析】
（1）根据角平分线的性质直接可得；
（2）根据已知条件证明，，再根据全等三角形的面积相等，即可求得.
【详解】
解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质＼全等三角形的判断和性质；解决本题的关键是掌握好全等三角形的判定和性质．
47．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：；
（3）如图3，若，求证：．
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【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】
（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；2·1·c·n·j·y
（2）作，，在上取一点，使，通过证明和得到，从而根据等角对等边判断即可；
（3）延长至，使，连接，通过证明得到，再结合即可得出结论．
【详解】
（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，
∵，分别是和的角平分线，
∴，
∴平分；
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（2）证明：如图，作，，在上取一点，使．
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
在四边形中，，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）证明：延长至，使，连接．
∵，分别是和的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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【点睛】
本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．www-2-1-cnjy-com
48．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD．
（1）
求证：CF＝BE
（2）
若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，即可得出结论；
（2）根据S△ACB=S△ACD+S△ADB结合DC=DE即可求得DE．
【详解】
（1）证明：∵AD平分∠CAB且DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE＝DC
在Rt△DCF和Rt△DEB中
∵
DE＝DC，DF＝BD
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝BE；
（2）由（1）得：CD=DE，
∵S△ACB=S△ACD+S△ADB，
∴S△ABC=AC?CD+AB?DE，
又∵AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．【版权所有：21教育】
49．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是x轴上一点，于D交y轴于点E，
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（1）如图1，图中与全等的三角形是__________；
（2）如图1，小明过点O作于M，于N，证明了平分，请写出证明过程；
（3）如图2，若点C在线段上，过点B作，使，连接交y轴于点G，若点G的坐标为，请直接写出的长．
【答案】（1）△AOE，（2）证明见解析，（3）．
【分析】
（1）根据“角边角”判定；
（2）根据角平分线的判定证OM=ON即可；
（3）过点F作FH⊥y轴，垂足为H，证△FBH≌△CBO，△FHG≌△AOG，可求出OC．
【详解】
解：（1）∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴OA=OB，
∵，
∴∠ADB=∠AOB=90°，
∵∠DEB=∠AEO，
∴∠OBC=∠OAE，
在△BOC和△AOE中，
,
∴，
故答案为：△AOE．
（2）由（1）可知，∠OBC=∠OAE，OA=OB，
∵，，
∴∠OMA=∠ONB=90°，
在△BON和△AOM中，
,
∴，
∴ON=OM,
∴DO平分∠ADC．
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（3）过点F作FH⊥y轴，垂足为H，可得，∠FHB=90°，
∵，
∴∠CBF=90°，
∠CBO+∠FBG=90°，
∠HFB+∠FBG=90°，
∴∠CBO=∠HFB，
在△BOC和△FHB中，
,
∴，
∴FH=OB=OA，HB=OC，
在△AOG和△FHG中，
，
∴，
∴OG=GH=，
OH=，
OC=BH=OB-OH=5-=．
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【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，坐标与图形，解题关键是把握已知条件，适当的作辅助线，构建全等三角形．
50．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝，求S△ABC．
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【答案】（1）60°；（2）20．
【分析】
（1）根据角平分线的性质解答即可；
（2）根据三角形的面积公式解答即可．
【详解】
解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝60°
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝
∵DE⊥AB，
∴∠DEA＝90°
∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°
（2）过点D作DF⊥AC于点F．
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∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DF＝DE＝，
又AB＝10，AC＝8，
∴
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线的性质和三角形面积解答．
51．如图，在中，D是BC的中点，，，垂足分别是E，F，BE=CF．
（1）求证：AD是的角平分线；
（2）若AB=8，，求DE的长．
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【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
根据HL可证≌，根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的判定即可求解；
根据全等三角形的性质可得，根据等角对等边可得，再根据线段的和差求解即可．
【详解】
证明：是BC的中点，
，
，，
和都是直角三角形，
在与中，
，
≌，
，
是的角平分线；
如图，连接AD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
≌，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查学生对角平分线的判定，全等三角形的判定与性质等知识点的灵活运用，关键是证明≌．
52．如图，在中，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．
（1）
，
；
（2）当取何值时，和全等；
（3）在（2）的前提下，若，，求．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）4，2；（2）；（3）cm2．
【分析】
（1）根据角平分线的性质可证Rt△AFD≌Rt△AMD，得AF=AM，从而求出即可；
（2）分两种情况进行讨论
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：①当0＜t＜4时，②当4≤t＜5时，分别根据△DFE≌△DMG，得出EF=GM，据此列出关于t的方程，进行求解即可．【来源：21·世纪·教育·网】
（3）利用等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得答案．
【详解】
（1）∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，
在Rt△AFD和Rt△AMD中，
，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）；
∴，
，
，，
（2）①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．
EF＝10﹣2t，MG＝4﹣t
∴10﹣2t＝4﹣t，
∴t＝6（不合题意，舍去）；
②当4＜t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．
EF＝10﹣2t，MG＝t﹣4，
∴10﹣2t＝t﹣4，
∴t＝；
综上所述当t＝时，△DFE与△DMG全等；
（3）∵t＝，
∴AE＝2t＝，
∵DF＝DM，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝BD：CD＝119：126，
∵AC＝14，
∴AB＝，
∴BF＝AB﹣AF＝﹣10＝，
∵S△ADE：S△BDF＝AE：BF＝：，S△AED＝28cm2，
∴S△BDF＝cm2．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积公式以及动点问题，解题的难点在于第二问中求运动的时间，此题容易漏解和错解．
21世纪教育网
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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12.3
角的平分线的性质
【提升训练】
一、单选题
1．如图，四边形ABCD中，对角线AD平分∠BAC，，，则∠ADB的度数为（
）
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A．54°
B．50°
C．48°
D．46°
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，下列结论：①CD＝ED；②BD＝CD；③AC＋BE＝AB；④S△BDE：S△ACD＝BD：AC，其中正确的有（
）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①③
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
3．如图，在四边形ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．6
C．3
D．12
4．如图，平分，为的中点，，垂足为点，，为上的一个动点，是的延长线与的交点，，则的最小值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．8
C．10
D．12
5．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，BC=10，则PE的最小值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．5
C．4
D．2
6．如图，在锐角△ABC?中，,,的平分线交于点，且,点分别是和上的动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．6
D．8
7．下列命题中，是假命题的是（
）
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
；
B．每个命题都有逆命题；
C．每个定理都有逆定理；
D．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
8．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9
B．6
C．3
D．4.5
9．如图，与交于点，点在上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．点到三边的距离相等
C．
D．
10．如图，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．则下列结论不正确的是（ ）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．BD＝CE
B．BD⊥CE
C．AF平分∠CAD
D．∠AFE＝45°
11．如图，在和△中，，，，，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①；②；③OM平分；④MO平分．
其中一定正确的为（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
12．如图，在四边形中，，，点P是边上的一动点，连接，若，则DP的长不可能是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
13．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线交于点D，若，，则的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．4
C．6
D．8
14．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B点作BE⊥AD于E，过E作EFAC交AB于F，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．不确定
B．AF=BF
C．AFBF
D．AFBF
15．如图是的角平分线，于，点，分别是，上的点，且，与的面积分别是10和3，则的面积是（
）21cnjy.com
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A．4
B．5
C．6
D．7
16．如图，AB∥CD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且AD⊥AB，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝14，则PE的最小值为（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．7
B．10
C．6
D．5
17．如图，在中，的面积为10，，BD平分，E、F分别为BC、BD上的动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
18．如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．125°
B．135°
C．105°
D．100°
19．如图，已知，点O为与的平分线的交点，且于D．若，则四边形ABOC的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．36
B．32
C．30
D．64
20．如图，平分，于点，于点，延长，交，
于点，，下列结论错误的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
21．如图所示，已知AB∥CD，与的平分线交于点，于点，且，则点到，的距离之和是（
）21·世纪
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A．
B．
C．
D．
22．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余
B．全等三角形对应角相等
C．两直线平行，同位角相等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
23．如图，在中，，是的角平分线，是边上一点，若，则的长可以是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．3
C．5
D．7
24．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（
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A．
B．
C．
D．
25．如图，在中，，是的平分线，若，，则为(?
?
?
?
)
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A．
B．
C．
D．
26．如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C是DA延长线与BC的交点，BCOM，则CD的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．8
C．10
D．12
27．如图，平分交于点，于点，于点，若，，，则的长是
(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
28．如图，点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
29．如图，点在内，且到三边的距离相等．若，则的度数为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
30．如图，在△ABC中，点E和F
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠MAC＝α，∠EFC＝β，∠ADC＝γ，则α、β、γ三者间的数量关系是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．β＝α+γ
B．β＝2γ﹣α
C．β＝α+2γ
D．β＝2α﹣2γ
31．如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．134°
B．124°
C．114°
D．104°
32．如图所示，点A、B分别是、平分线上的点，于点E，于点C，于点D，下列结论错误的是（
）21·cn·jy·com
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A．
B．与∠CBO互余的角有两个
C．
D．点O是CD的中点
33．如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
34．如图，在中，点D是BC边上一点，已知，，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（
）21
cnjy
com
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A．
B．
C．
D．
35．如图，点P为定角∠AOB平分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
36．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；
③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．②③
C．①②③
D．①③
37．如图，在△ABC中，∠ABC和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．
①EF=BE+CF②∠BOC=90°+∠A③点O到△ABC各边的距离相等
④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn，正确的结论有( )个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
38．如图，点
P
在∠MAN的角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平分线上，点
B
，C
分别在
AM，AN上，作
PR⊥AM，
PS⊥AN，垂足分别是
R，S．若∠ABP
∠ACP
180，则下面三个结论：①
AS
AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP
．其中正确的是（
）
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A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
39．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（
）
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
40．如图，在Rt△ABC中，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10，那么△ABE的面积为_____．21世纪教育网版权所有
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41．如图，已知中，，点在上，，点为垂足，且，联结，则的大小为___________．2·1·c·n·j·y
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42．已知：如图，在△ABC中CD交AB边于点D，直线DE平分且与直线BE相交于点E，，．
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求证：
证明：理由如下：
平分（已知）
（已知）
（等量代换）
又（已知）
（等量代换）
43．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CB＝8，BE＝5，则点E到AB的距离为_____．21教育网
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44．如图，已知△ABC的周长是18，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，△ABC的面积是_____．【来源：21·世纪·教育·网】
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三、解答题
45．如图，CA平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的大小；
（2）若AE=2，BE=1，CD=3，求四边形AECD的面积．
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46．如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积．
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47．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：；
（3）如图3，若，求证：．
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48．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD．
（1）
求证：CF＝BE
（2）
若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长
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49．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是x轴上一点，于D交y轴于点E，
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（1）如图1，图中与全等的三角形是__________；
（2）如图1，小明过点O作于M，于N，证明了平分，请写出证明过程；
（3）如图2，若点C在线段上，过点B作，使，连接交y轴于点G，若点G的坐标为，请直接写出的长．www.21-cn-jy.com
50．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）求∠EDA的度数；
（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝，求S△ABC．
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51．如图，在中，D是BC的中点，，，垂足分别是E，F，BE=CF．
（1）求证：AD是的角平分线；
（2）若AB=8，，求DE的长．
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52．如图，在中，，，，，，动点E以的速度从A点向F点运动，动点G以的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．www-2-1-cnjy-com
（1）
，
；
（2）当取何值时，和全等；
（3）在（2）的前提下，若，，求．
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精品试卷·第
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