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12.3
角的平分线的性质
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在中，，BE平分，于D，，那么CE等于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
【答案】C
【分析】
根据角平分线到两边的距离相等得出DE=CE，即可得出CE的值．
【详解】
解：∵，，BE平分∠ABC，
∴，
∵
∴；
故选：C．
【点睛】
此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线性质是解本题的关键．
2．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】
根据角平分线的性质直接可得．
【详解】
如图，过点P作，垂足为点G，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，．
故选B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了角平分线的性质；掌握好有关角平分线的基础知识是关键．
3．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点是上一动点，，则的最小值是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
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A．10
B．7
C．5
D．4
【答案】C
【分析】
CE的值固定，所以要求的最小值，只要求出EP的最小值即可，是上一动点，过点E作BC的垂线，设垂足为F，则垂线段EF的长度即为EP的最小值，再结合题意可得DE=EF，故的最小值即可求得．
【详解】
解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵是上一动点，
∴垂线段EF的长度即为EP的最小值，
又∵是边上的高线，平分，
∴EF=DE,
∴的最小值为=CE+DE=CD,
∵,
∴的最小值为5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，角平分线的性质，解题的关键是作出点E到直线BC的距离．
4．下列命题中是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．等边对等角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【答案】B
【分析】
直接利用全等三角形的性质以及三角形的外角、角平分线的性质分别分析得出答案．
【详解】
解：A、全等三角形的对应角相等，是真命题，不合题意；
B、三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，钝角三角形钝角的外角比与它相邻的内角小,故原命题是假命题，符合题意；
C、等边对等角，是真命题，不合题意；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，三角形的外角的性质，角平分线的性质，利用性质选出正确选项即可，属于基础问题.
5．如图，已知于点，于点，且，，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先根据到角的两边距离相等的点在角的平分线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)上得到AD是∠BAC的平分线，求出∠CAD的度数，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠CDA的度数，即可求解．
【详解】
解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵∠BAC=40°，
∴∠CAD=∠BAC=20°，
∴∠CDA=90°-20°=70°，
∵，
∴∠CDG=∠ADG-∠CDA=130°-70°=60°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与直角三角形的两锐角互余的性质，仔细分析图形是解题的关键．
6．如图，在中，，是的角平分线，若，则点到边的距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．
C．2
D．3
【答案】A
【分析】
根据角平分线的性质即可知点D到AB边的距离等于CD长，即可选择．
【详解】
∵AD是的角平分线，
∴点D到AB边的距离等于CD=3．
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质．熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答本题的关键．
7．如图，在中，，平分，，，则点D到AC的距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】A
【分析】
由D在∠BAC的平分线AD上得，点D到AC的距离与点D到AB的距离BD相等，因此求得BD的长即可．
【详解】
解：∵BC=10，CD=6，
∴BD=4．
∵∠B=90°，AD平分∠BAC
．
由角平分线的性质，得点D到AC的距离等于BD=4．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到D到AC的距离即为BD长是解决问题的关键．
8．三角形中，到三边距离相等的点是（
）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【分析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结论．
【详解】
解：三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点
故选C．
【点睛】
此题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键．
9．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（
）21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
【答案】B
【分析】
直接利用角平分线的性质得出DE=EC，进而得出答案．
【详解】
解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，
∴EC=DE，
∴AE+DE=AE+EC=3cm．
故选：B．21·cn·jy·com
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE是解题关键．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C=BC，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，若DE=CD，AB=8cm，则△DEB的周长为（
）
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A．4cm
B．8cm
C．10cm
D．14cm
【答案】B
【分析】
因为DE和CD相等，DE⊥AB，∠C=90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，所以AD平分CAB，可证得△ACD≌△AED，得到AC=AE，再根据△BDE为等腰直角三角形得出DE=BE，从而可得△DEB的周长.
【详解】
解：∵∠C=90°，DE⊥AB，DE=CD，
∴∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC=AE，
又∵∠AED=90°，∠B=45°，
可得△EDB为等腰直角三角形，DE=EB=CD，
∴△DEB的周长=DE+
BE
+DB
=CD+DB+
BE
=CB+
BE
=AC+BE
=AE+BE
=AB
=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△BED的周长=AB是解题的关键．
11．角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
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角平分线的作法依据的是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【答案】A
【分析】
根据角平分线的作法步骤，连接CP、DP，由作图可证△OCP≌△ODP，则∠COP＝∠DOP，而证明△OCP≌△ODP的条件就是作图的依据．
【详解】
解：如下图所示：连接CP、DP
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
在△OCP与△ODP中，由作图可知：
∴△OCP≌△ODP（SSS）
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的求证过程，从角平分线的作法中寻找证明三角形全等的条件是解决本题的关键。
12．如图，Rt△ABC中，∠ABC的平分线交于，若，则点到的距离是（
）
A．5cm
B．4cm
C．3cm
D．2cm
【答案】B
【分析】
根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD．
【详解】
解：过点D作DE⊥AB，
∵∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝4cm，
∴点D到AB的距离DE是4cm．
故选B．
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【点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【详解】
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作DE⊥AB于E，
∵AB=10，S△ABD
=15，
∴DE=3，
∵AD平分∠BAC,∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=3，
故选A.
14．如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )
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A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】A
【详解】
试题分析：如图，过点P作PE⊥OB于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，即点P到OB的距离是6．故选A．【版权所有：21教育】
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考点：角平分线的性质
15．用尺规作已知∠ABC的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角平分线，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP，射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（
）21
cnjy
com
A．m>0，n>0
B．m>0，nC．m>0，nD．m>0，n>DE
【答案】D
【分析】
根据角平分线的画法判断即可．
【详解】
解：作∠ABC的平分线的步骤如下：
①以B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E，即m＞0；
②分别以D，E为圆心，以大于DE为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P，即n＞DE；
③画射线BP．
射线BP即为所求．
∴m＞0，n＞DE，
故选：D．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的方法，属于中考常考题型．
16．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（
）
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A．10
B．7
C．5
D．3
【答案】C
【分析】
作于，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：作于，
平分，，，
，
的面积．
故选：C．
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【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．如图，在中，平分，且，则的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9
B．12
C．15
D．18
【答案】C
【分析】
作DE⊥AB，根据角平分线的性质得到DE=
CD=2，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
如图，作DE⊥AB，
∵平分，
∴DE=CD=2
∴S△ABC=S△ABD+S△DBC=AB×DE+BC×CD=×9×2+×6×2=15
故选C．
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【点睛】
此题主要考查三角形的面积求解，解题的关键是熟知角平分线的性质．
18．如图，点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰好是、、三条平分线的交点．上述结论中，正确的个数有（
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A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】D
【分析】
利用角平分线的判定定理分析
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得．2·1·c·n·j·y
【详解】
∵点P到BE，BD的距离相等，∴点P在∠B的平分线上，故①正确；
∵点P到BD、AC的距离相等，∴点P在∠DAC的平分线上，故②正确；
∵点P到BE、AC的距离相等，∴点P在∠ECA的平分线上，故③正确；
∵点P到BE、BD、AC的距离都相等，∴恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三条平分线的交点，故④正确；
综上可得①②③④都正确．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证．21教育名师原创作品
19．如图所示，为外部一点，、分别在、的延长线上，若点到、、的距离都相等，则关于点的说法最佳的是（
）
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A．在的平分线上
B．在的平分线上
C．在的平分线上
D．在、、的平分线上
【答案】D
【分析】
根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可判断．
【详解】
由于点P到BC、BD的距离相等，则点P在∠DBC的平分线上，
点P到BD、CE的距离相等，则点P在∠BAC的平分线上，
点P到BC、CE的距离相等，则点P在∠BCE的平分线上，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定，掌握“到角两边距离相等的点在角的平分线上”是解题的关键．
20．如图，平分交于点，于点，于点．若，，，则的长是（
）
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A．8
B．7
C．6
D．5
【答案】D
【分析】
求出DE的值，代入面积公式得出关于AB的方程，求出即可．
【详解】
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴8=×AB×DE+×AC×DF，
∴16=AB×2+3×2，
∴AB=5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
21．如图，在中，，是的平分线，，的面积为12，则的长度为（
）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】
作DE⊥AB于E，如图，先根据三角形面积公式求出DE，然后根据角平分线的性质得到CD的长．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△ABD的面积为12，
∴
×DE×8＝12，解得DE＝3，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴CD＝DE＝3．
故选：A．
【点睛】
本题角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
22．如图，是的三条角平分线的交点，连接、、，若、、的面积分别为、、，则（ ）
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A．
B．
C．
D．无法确定与（）的大小
【答案】A
【分析】
根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知点到边、、的距离相等，再根据三角形的三边关系即可判断出、、三者之间的关系．
【详解】
∵是的三条角平分线的交点，
∴点到边、、的距离相等，
设这个距离为，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、三角形面积、三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是运用角平分线的性质找到三个三角形高的关系．
23．如图，在中，，以为圆心任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．已知，，为上动点，则的最小值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．5
D．8
【答案】B
【分析】
利用基本作图得到AD平分∠BAC，根据角平分线的性质得到点D到AB的距离为3，然后根据垂线段最短得到PD的最小值为3．21cnjy.com
【详解】
解：由作法得AD平分∠BAC，且∠C=90°，
∴点D到AB的距离=CD=3，
由垂线段最短可知，当PD⊥AB时，PD最短，即PD的最小值为3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了基本作图-作已知角的角平分线，角平分线的性质，以及垂线段最短的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．www.21-cn-jy.com
24．如图所示，OA平分∠NOP，OB平分∠MOP，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是（
）
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A．AD＋BC＝AB
B．∠CBO＝∠BAO
C．∠AOB＝90°
D．点O是CD的中点
【答案】B
【分析】
由题意易得BC=BE，AD=AE，由角平分线的定义及平角的意义可得∠AOB的度数，进而根据线段的等量关系及余角可进行排除选项．
【详解】
解：∵OA平分∠NOP，OB平分∠MOP，∠NOP+∠MOP=180°，
∴∠CBO=∠ABO，∠DOA=∠EOA，
∴，即∠AOB=90°，故C不符合题意；
∴∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CBO+∠BAO=90°，
∴∠CBO与∠BAO不一定相等，故B错误，符合题意；
∵AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，
∴BC=BE，
同理可证AD=AE，
∴AB=AE+BE=AD+BC，故A不符合题意；
∵OA=OA，
∴△AEO≌△ADO（SAS），
∴OD=OE，
同理可证OE=OC，
∴OC=OD，
∴点O是CD的中点，故D选项不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
25．如图，Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，垂足为E．若AC=10cm，CE=4cm，则AB的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10cm
B．6cm
C．4cm
D．2cm
【答案】B
【分析】
根据已知条件可证得△ABD≌△AED，得到AB=AE，然后根据已知条件计算即可．
【详解】
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=∠DBA=90°，
在△ABD和△AED中
∴△ABD≌△AED（AAS）,
∴AB=AE=AC-EC=6cm，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线的性质，利用三角形全等性质得到边相等是解题的关键．
26．如图，平分，，点是上的动点，若，则的长可以是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，根据角平分线的性质求出此时PD的长度，再逐个判断即可．
【详解】
解：过P作PD⊥OB于D，则此时PD长最小，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，
∴PD=PC，
∵PC=5cm，
∴PD=5（cm），
即PD的最小值是5cm，
∴选项A、选项B、选项C都不符合题意，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和垂线段最短，注意：垂线段最短，角平分线上的点到角两边的距离相等．
27．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若的面积为4，，为上一动点，则的最小值为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．无法确定
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【分析】
过点作于点，由作图可知，平分，根据角平分线上的点到角两边的距离相等解题．
【详解】
解：过点作于点，
由作图可知，平分，
的面积为4，，
根据垂线段最短可知，的最小值为，
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查基本作图、角平分线的性质、垂线段最短等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
28．如图，在中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO交AB于点G．若，，则的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．30
D．15
【答案】C
【分析】
角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，由题意知平分，过点作，结合可知，最后由角平分线的性质及三角形面积公式解题．
【详解】
解：由题意可知，上述作法是角平分线画法的步骤，
过点作，
平分
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查角平分线，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
29．如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．
下列说法正确的是（
）
A．有最小限制，无限制
B．的长
C．的长
D．连接，则垂直平分
【答案】B
【分析】
直接根据尺规作图作角平分线的方法即可得出结论的长．
【详解】
解：以B为圆心画弧时，半径必须大于0，分别以D，E为圆心，以为半径画弧时，必须大于DE的长，否则两弧没有交点．
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的作图方法，熟练掌握作角平分线的步骤及方法是解题的关键．
30．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是(
)
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A．以C为圆心，以CD长为半径的弧
B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧
C．以D为圆心，以CD长为半径的弧
D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧
【答案】B
【分析】
对照角平分线的尺规作图步骤逐一判断即可.
【详解】
根据角的平分线的尺规作图步骤，弧①是以C为圆心，以大于CD长为半径的弧，
故选B.
【点睛】
本题考查了角平分线的基本尺规作图，熟记尺规作图的基本步骤和要领是解题的关键.
二、填空题
31．如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，DC＝6，则D到AB的距离是___．
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【答案】6
【分析】
作DE⊥AB于E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【详解】
解：作DE⊥AB于E，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=6，
故答案为：6．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
32．如图中，是的角平分线，且．那么与的面积比是_______，________．
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【答案】2：1
6
【分析】
根据CF和BF的关系即可得到△ABF和△ACF的面积之比，再根据角平分线的性质可得高相等，可得AB和AC的关系，从而得到AB．21·世纪
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【详解】
解：∵CF=BF，
∴BF：CF=2：1，
∴S△ABF：S△ACF=2：1，
∵AF平分∠BAC，
∴点F到AB和AC的距离相等，
即△ABF中AB边的高和△ACF中AC边的高相等，
∵AC=3，
∴AB=6，
故答案为：2：1，6．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，角平分线的性质，解题的关键是根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到三角形的高相等．21
cnjy
com
33．如图，在△ABC中，∠C=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)90°，AB=12，AD是△ABC的一条角平分线，E为AB的中点，若CD=4，则△AED的面积为_________．【出处：21教育名师】
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【答案】12
【分析】
过D作DF⊥AB于F，根据角平分线的性质求出DF=CD，根据线段的中点求出AE的长，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
【详解】
解：过D作DF⊥AB于F，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分线，
∴DC=DF，
∵DC=4，
∴DF=4，
∵AB=12，E为AB的中点，
∴AE=AB=6，
∴△AED的面积S=×AE×DF=×6×4=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，线段中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点的定义和三角形的面积等知识点，能根据角平分线的性质求出DF的长是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
34．如图，长方形ABCD中，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B＝1，以点A为圆心，长方形的长AD为半径画弧，交BC于点E，交AB的延长线于点F，若AE恰好平分∠BAD，则阴影部分的面积为_____．
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【答案】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质可得BE=AB＝1，根据勾股定理解得，再结合三角形面积公式、扇形面积公式解题即可．
【详解】
解：恰好平分∠BAD，
故答案为：．
【点睛】
本题考查角平分线的性质、矩形的性质、勾股定理、扇形面积、不规则图形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
35．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则点D到AB的距离为__cm．
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【答案】2．
【分析】
过点作于点，根据角平分线的性质定理得出，代入求出即可．
【详解】
解：如图，过点作于点，则即为所求，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，平分，
（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
，
．
故答案是：2．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
三、解答题
36．如图，，平分交于点．若，求的度数．
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【答案】117°
【分析】
根据∠1求出，再根据平分求出∠ECD，根据，得出∠2．
【详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】
本题考查了平行的性质和角平分线等有关知识，根据条件合理运用性质和定理是解决问题的关键．
37．如图，在中，D是边的中点，于点E，于点F，且．
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求证：平分．
【答案】见解析
【分析】
由于D是BC的中点，那么BD＝CD，而
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BE＝CF，DE⊥AB，DF⊥AC，利用HL易证Rt△BDE≌Rt△CDF，可得DE＝DF，利用角平分线的判定定理可知点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC．
【详解】
证明：∵，D是的中点，
∴．
在和中，
∴，
∴．
又∵，
∴平分．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明Rt△BDE≌Rt△CDF．
38．已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠ABD+∠ACD＝180°．
求证：BD＝CD．
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【答案】见解析．
【分析】
先利用角平分线性质得：DE=DF，然后利用互补的性质得到∠EBD=∠ACD，在由“AAS”可证△BED≌△CFD，可得BD=CD．www-2-1-cnjy-com
【详解】
∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°
，
∵∠ABD+∠ACD=180°，且∠ABD+∠EBD=180°
，
∴∠EBD=∠ACD
，
在△BED和△CFD中
∴△BED≌△CFD(AAS)
，
∴BD=CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
39．如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BF=CE，求证：AD平分∠BAC．
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【答案】见解析
【分析】
根据垂直定义求出，根据推出，根据全等三角形的性质推出，根据角平分线性质求出即可．
【详解】
解：证明：，，
，
在和中
，
，
，，
平分．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能推出是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．2-1-c-n-j-y
40．如图，点、分别在的两边上，是内一点，且，，，，垂足分别为、．求证：．
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【答案】见解析
【分析】
只要证明△ABC≌△ADC（SSS）．推出∠DAC＝∠BAC，再根据角平分线的性质定理即可证明．
【详解】
证明：连接
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，，
（全等三角形对应角相等）
又
，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【来源：21cnj
y.co
m】
41．已知，在内求作一点，使点到的三边距离相等．（保留作图痕迹，不要求写作法）
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【答案】见解析
【分析】
作出∠ABC和∠BAC的平分线，两线的交点处就是O点位置．
【详解】
解：如图所示：O点即为所求．
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【点睛】
此题主要考查了复杂作图—作已知角的角平分线以及角平分线的性质，关键是掌握角平分线作法．
42．如图所示，在四边形ABDC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=CD．求证：∠C+∠ABD=180°．
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【答案】见解析
【分析】
由题意易得DE=DF，进而可证Rt△DFC≌Rt△DEB，则有∠C=∠DBE，然后问题可求证．
【详解】
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△DFC和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DFC≌Rt△DEB（HL），
∴∠C=∠DBE，
∵∠DBE+∠ABD=180°，
∴∠C+∠ABD=180°．
【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理及直角三角形全等的判定，熟练掌握角平分线的性质定理及直角三角形全等的判定是解题的关键．
43．如图，在直角中，请用尺规作图法在上求作一点使得点到边的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法)
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【答案】见解析
【分析】
要使点到的距离等于，点到的距离等于，只能是的角平分线，按照角平分线的作图方法作出图形即可．
【详解】
解：作出的角平分线和交于点，利用角平分线的性质，点到边的距离相等，
如图，点即为所求，且．
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【点睛】
本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理以及角平分线的画法是解决本题的关键．
44．如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使点到边，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
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【答案】见解析
【分析】
依据角平分线的性质定理，作∠BAC
的平分线
AD
即可解决问题．
【详解】
解：如解图，点即为所作．
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【点睛】
本题考查尺规作图作角平分线，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．
45．如图，中，，点分别在边，上，，．
求证：
平分．
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【答案】见解析
【分析】
过点作于点，再根据AAS证出，从而得出，再根据角平分线的判定即可得出结论
【详解】
证明：过点作于点．
．
在和中，
．
．
点在的平分线上．
平分．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，正确的识别图形得出是解题的关键．
46．如图，∠ACD是∠ACB的邻补
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．
（1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“????”的形式一一书写出来；
（2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）有三种正确命题，分别是：命题1：①②?③；命题2：①③?②；命题3：②③?①；（2）选择命题2：①③?②，证明见解析．
【分析】
（1）根据题意，结合平行线的性质，角平分线的性质和三角形外角的性质，选择两个条件做题设，一个条件做结论，得到正确的命题．
（2）任选一个命题，根据平行线的性质，角平分线的性质和三角形外角的性质即可证明．
【详解】
（1）上述问题有三种正确命题，分别是：
命题1：①②?③；
证明：∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B．
又∵∠A=∠B，
∴∠ACE=∠ECD．
即CE平分∠ACD．
命题2：①③?②；
证明：∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD．
∴∠A＝∠B．
命题3：②③?①．
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD．
又∵∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B，∠A=∠B
∴∠ACE＝∠A，
∴CE∥AB．
（2）选择命题2：①③?②．
证明：∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECD．
∴∠A＝∠B．
【点睛】
本题考查写出一个命题并求证，正确利用平行线的性质，角平分线的性质以及三角形外角的性质写出命题和求证是解题的关键．
47．线段与射线有一公共端点．完成下列作图，不要求写作法，保留作图痕迹．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）用直尺和圆规作出的角平分线．
（2）用圆规在射线上截取线段，连接．
（3）用直尺和圆规在右侧作出以点为顶点的，使，且与相交于点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AB、AP于M、N；以M为圆心，大于长度为半径画弧；以N为圆心，大于长度为半径画弧，最后两圆弧交于点C，过A作射线AC，AC即为角平分线；
（2）以A为圆心，AB长度为为半径画弧，与AP交于点D，得到AD=AB，连接BD；
（3）以D为圆心，任意长为半径画弧，交DA、DB于E、F；以B为圆心，DE长度为半径画弧交BD于点；以为圆心，EF长度为半径画弧，交前弧于点；过B作射线B，与AC交于点Q；得到．
【详解】
作法如图示：
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（1）射线为所求；
（2）作，连接BD为所求；
（3）作，且与相交于点．
【点睛】
本题考查了基本作图：①角平分线，②作一条线段等于已知线段，③过直线外一点作已知直线的平分线．熟练掌握作图步骤是关键．
48．已知：在△ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；
（2）在（1）的条件下：若∠ABC＝105°，∠C＝45°，求∠EAD的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）作图见解析；（2）
【分析】
（1）以为圆心，任意长为半径画弧，得与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，以为端点，过两弧的交点作射线交于，即可得到答案；
（2）根据三角形的内角和定理求解，再利用角平分线的定义求解，再利用三角形的高的含义与外角的性质求解，最后利用角的和差关系可得答案．
【详解】
解：（1）如图，射线即为所求，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）
平分,
为高，
【点睛】
本题考查的是三角形的高的含义，角平分线的定义与作图，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
49．如图，在的平分线上取点B作于点C，在直线AC上取一动点P，在直线AE上取点Q使得
（1）如图1，当点P在线段AC上运动时，求证：；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）或．
【分析】
（1）作BMAE于点M，根据角平分线的性质得到BM=BC，证明,继而证明解题即可；
（2）作于M，先证明（AAS），继而得到，，，再证明（HL），从而得到，据此解题即可；
（3）分两种情况讨论，当点P在线段AC上时，或当点P在线段AC的延长线上时，分别画出适合的图，再由结合全等三角形的性质即可解题．
【详解】
（1）证明：过点B作于M
∵BA平分，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴
在和中
∴（HL）
∴
又∵
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴
（2）解：
理由如下：如图2，作于M
∵
∴
在和中
∴（AAS）
∴，，
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在和中
∴（HL）
∴
∴
（3）当点P在线段AC上时，如图1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
理由如下：∵
∴
由（2）可知：
∴
当点P在线段AC的延长线上时，如图3，
理由如下：作于M
∵
∴
由（2）可知：
∴
故答案为：或．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
50．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）请用尺规作图法，作∠B的角平分线BD交边AC于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）如果AB＝4，求BD的长．
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【答案】（1）见解析
（2）4
【分析】
（1）利用角平分线的作法作出线段BD即可；
（2）根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图，线段BD为所求出；
（2）∵在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBC＝＝30°，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，
∴∠A＝∠ADB，
∴BD＝AB＝4．
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【点睛】
本题主要考查了角平分线的做法及三角形内角和定理，准确分析是解题的关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
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12.3
角的平分线的性质
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在中，，BE平分，于D，，那么CE等于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
cm
B．2
cm
C．3
cm
D．4
cm
2．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．
D．4
3．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点是上一动点，，则的最小值是（
）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．7
C．5
D．4
4．下列命题中是假命题的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．三角形的外角大于任何一个内角
C．等边对等角
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
5．如图，已知于点，于点，且，，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
6．如图，在中，，是的角平分线，若，则点到边的距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．
C．2
D．3
7．如图，在中，，平分，，，则点D到AC的距离为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．6
C．8
D．10
8．三角形中，到三边距离相等的点是（
）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
9．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
10．如图，在△ABC中，∠C=90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，AC=BC，D为BC上一点，且DE⊥AB于E，若DE=CD，AB=8cm，则△DEB的周长为（
）21·世纪
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4cm
B．8cm
C．10cm
D．14cm
11．角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
角平分线的作法依据的是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
12．如图，Rt△ABC中，∠ABC的平分线交于，若，则点到的距离是（
）
A．5cm
B．4cm
C．3cm
D．2cm
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
14．如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．5
C．4
D．3
15．用尺规作已知∠ABC的角平分线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，步骤如下：①以B为圆心，以m为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；②分别以D，E为圆心，以n为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；③画射线BP，射线BP即为所求．对m，n的描述，正确的是（
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A．m>0，n>0
B．m>0，nC．m>0，nD．m>0，n>DE
16．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10
B．7
C．5
D．3
17．如图，在中，平分，且，则的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．9
B．12
C．15
D．18
18．如图，点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰好是、、三条平分线的交点．上述结论中，正确的个数有（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．个
B．个
C．个
D．个
19．如图所示，为外部一点，、分别在、的延长线上，若点到、、的距离都相等，则关于点的说法最佳的是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．在的平分线上
B．在的平分线上
C．在的平分线上
D．在、、的平分线上
20．如图，平分交于点，于点，于点．若，，，则的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8
B．7
C．6
D．5
21．如图，在中，，是的平分线，，的面积为12，则的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．6
22．如图，是的三条角平分线的交点，连接、、，若、、的面积分别为、、，则（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．无法确定与（）的大小
23．如图，在中，，以为圆心任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．已知，，为上动点，则的最小值为（
）【出处：21教育名师】
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A．2
B．3
C．5
D．8
24．如图所示，OA平分∠NOP，OB平分∠MOP，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是（
）【版权所有：21教育】
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A．AD＋BC＝AB
B．∠CBO＝∠BAO
C．∠AOB＝90°
D．点O是CD的中点
25．如图，Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，垂足为E．若AC=10cm，CE=4cm，则AB的长度为（
）21
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A．10cm
B．6cm
C．4cm
D．2cm
26．如图，平分，，点是上的动点，若，则的长可以是（
）
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A．
B．
C．
D．
27．如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若的面积为4，，为上一动点，则的最小值为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．无法确定
B．4
C．3
D．2
28．如图，在中，，以点C为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线CO交AB于点G．若，，则的面积为（
）
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A．
B．
C．30
D．15
29．如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）．
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尺规作图具体步骤如下，
第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点；
第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第3步：画射线．射线即为所求．
下列说法正确的是（
）
A．有最小限制，无限制
B．的长
C．的长
D．连接，则垂直平分
30．如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OP的过程中，弧①是(
)
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A．以C为圆心，以CD长为半径的弧
B．以C为圆心，以大于CD长为半径的弧
C．以D为圆心，以CD长为半径的弧
D．以D为圆心，以大于CD长为半径的弧
二、填空题
31．如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，DC＝6，则D到AB的距离是___．
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32．如图中，是的角平分线，且．那么与的面积比是_______，________．
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33．如图，在△ABC中，∠C=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)90°，AB=12，AD是△ABC的一条角平分线，E为AB的中点，若CD=4，则△AED的面积为_________．21教育网
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34．如图，长方形ABCD中，AB＝1，以点
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A为圆心，长方形的长AD为半径画弧，交BC于点E，交AB的延长线于点F，若AE恰好平分∠BAD，则阴影部分的面积为_____．21教育名师原创作品
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35．已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=2cm，则点D到AB的距离为__cm．
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三、解答题
36．如图，，平分交于点．若，求的度数．
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37．如图，在中，D是边的中点，于点E，于点F，且．
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求证：平分．
38．已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且∠ABD+∠ACD＝180°．
求证：BD＝CD．
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39．如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BF=CE，求证：AD平分∠BAC．
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40．如图，点、分别在的两边上，是内一点，且，，，，垂足分别为、．求证：．
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41．已知，在内求作一点，使点到的三边距离相等．（保留作图痕迹，不要求写作法）
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42．如图所示，在四边形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABDC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=CD．求证：∠C+∠ABD=180°．2-1-c-n-j-y
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43．如图，在直角中，请用尺规作图法在上求作一点使得点到边的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法)【来源：21·世纪·教育·网】
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44．如图，已知，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使点到边，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
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45．如图，中，，点分别在边，上，，．
求证：
平分．
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46．如图，∠ACD是∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ACB的邻补角，请你从下面的三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，得出一个真命题．①CE∥AB；②∠A＝∠B；③CE平分∠ACD．
（1）由上述条件可得哪几个真命题？请按“????”的形式一一书写出来；
（2）请根据（1）中的真命题，选择一个进行证明．
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47．线段与射线有一公共端点．完成下列作图，不要求写作法，保留作图痕迹．
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（1）用直尺和圆规作出的角平分线．
（2）用圆规在射线上截取线段，连接．
（3）用直尺和圆规在右侧作出以点为顶点的，使，且与相交于点．
48．已知：在△ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；
（2）在（1）的条件下：若∠ABC＝105°，∠C＝45°，求∠EAD的度数．
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49．如图，在的平分线上取点B作于点C，在直线AC上取一动点P，在直线AE上取点Q使得
（1）如图1，当点P在线段AC上运动时，求证：；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系．21cnjy.com
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50．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）请用尺规作图法，作∠B的角平分线BD交边AC于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）如果AB＝4，求BD的长．
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精品试卷·第
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