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13.1
轴对称
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=3，ABC的周长为21，则ABD的周长为（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．14
B．15
C．16
D．17
2．下列图案中是轴对称图形的有（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
3．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．5
C．8
D．11
4．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．118°
C．100°
D．90°
5．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于交的延长线于于F，现有下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中正确的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．若经过点的直线与轴平行，则点关于直线对称的点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，点为的角平分线上一点，过点作一条直线分别与的边交于两点，点为的中点，过作的垂线交的延长线于点，连接，若，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
8．下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
9．如图，在中，，分别是，边的垂直平分线，且分别与交于点，连接，．有下列四个结论：①；②；③与是互为补角；④的周长与边长相等其中正确结论的个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
10．在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（ ）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
11．如图，在中，＝＝6，且，，是的两条高线，是上一动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．6
D．8
12．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
13．下列命题是假命题的是（
）
A．三角形的外角和是360°
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等
14．点关于轴对称的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
15．在下列命题中，真命题是（
）
A．同位角相等
B．到线段距离相等的点在线段垂直平分线上
C．三角形的外角和是360°
D．角平分线上的点到角的两边相等
16．如图，在直角坐标系中，直线是经过点，且平行于轴的直线，点与点关于直线对称，则的值为（ ）．www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．6
C．-2
D．-6
17．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①②③④
C．①②④
D．②④
18．如图，在△ABD中，分别以点A和点D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BD、AD于点C、E．若AE=5cm，△ABC的周长=15cm，则△ABD的周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．35cm
B．30cm
C．25cm
D．20cm
19．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的一动点，则的最小值是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．8
C．10
D．11
20．如图，中，，于D，BE平分，且于E，与CD相交于点F，于H，交BE于G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
21．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法中正确的个数是（
）【版权所有：21教育】
①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
22．如图，在中，垂直平分交于点交于点．若，则的周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
23．如图，在中，的平分线交于点是中点，且，那么的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
24．如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线BP恰好经过点D，则∠A的大小是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．32°
C．36°
D．42°
25．下列图案是轴对称图形的是有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．①④
D．②③
26．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③④
C．①③
D．②③④
27．如图，在中，，平分，交于点．若，，则的值可能是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．7
B．
C．3
D．
28．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（
）
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A．19
B．28
C．29
D．38
29．如图，△ABC中，∠A＝20°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（
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A．27°
B．59°
C．69°
D．79°
30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）21教育网
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
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A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题
31．已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．2·1·c·n·j·y
①作的平分线交于点
②过点作于点且
③取中点，连接
④过点作，垂足为
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32．如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为_____．
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33．如图，在中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF．若AF与PQ的夹角为，则_______°．
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34．把一个图形先沿着一条直线进行
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________．【来源：21·世纪·教育·网】
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35．如图，在△ABC中，∠ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为
F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC
的周长是_____．
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三、解答题
36．如图，在平面直角坐标系中，A
(-1，
4)，
B(3，
2)，
C(-1，0)
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(1)
点A关于y轴的对称点的坐标为
，点B关于x轴的对称点的坐标为
，
线段AC的垂直平分线与y轴的交点D的坐标为
．21
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com
(2)求(1)中的△的面积．
37．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、．求的长．
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38．如图，在中，，，点在边上且点到点的距离与到点的距离相等．
（1）尺规作图：作出点，不写作法，保留作图痕迹；
（2）求的周长．
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39．如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，BE、CD交于F．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接CE，若BE＝CE，求证：从“①DE⊥AC”、“②DE∥AB”中选择一个填入（2）中，并完成证明
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40．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论．如图，现要在内建一中心医院，使医院到两个居民小区的距离相等，并且到公路和的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．21教育名师原创作品
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41．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
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42．如图．在△ABC中，∠C=90
°，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）【出处：21教育名师】
（2）求证：EB平分∠ABC．
（3）求证：AE=EF．
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43．如图，在中，垂足为，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若是的中点，请判断线段与线段的数量关系，并加以证明．
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44．如图，四边形ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)D中，AD∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC=20°，求∠EBD的度数．21·世纪
教育网
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45．如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．21
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（1）求证：BD=AE；
（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．
46．如图，在中，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G．21cnjy.com
（1）求证：BF=CG；
（2）若AB=12，AC=8，求线段CG的长．
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47．已知，在四边形ABCD中，，，连接，判断的位置关系，并加以证明．
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48．已知，如图，平分，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为点，垂直平分，为垂足，连结，．
求证：．
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49．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
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（1）已知，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是__________________；
（2）若点D的坐标是，其中，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长；
（3）已知点，点，以线段为边在x轴上方作正方形，若点，关于y轴和直线l的二次反射点分别为，且线段与正方形的边有公共点，求a的取值范围．
50．如图，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分线上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
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求证：
（1）AG＝CF；
（2）BC﹣AB＝2FC．
51．小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．
求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到
．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到
．
若连接AD，由
．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
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精品试卷·第
2
页
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13.1
轴对称
【提升训练】
一、单选题
1．如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=3，ABC的周长为21，则ABD的周长为（
）
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A．14
B．15
C．16
D．17
【答案】B
【分析】
根据垂直平分线的性质计算即可；
【详解】
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵△ABC的周长为21，
∴，
∴，
∴ABD的周长，
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键．
2．下列图案中是轴对称图形的有（
）
A．
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B．
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C．
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D．
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【答案】D
【分析】
根据轴对称图形的定义判断即可；
【详解】
A是中心对称图形，不符合题意，
B不是轴对称，不符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，符合题意；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的判定，准确分析判断是解题的关键．
3．如图，在四边形ABCD中，ABDC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（ ）
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A．2
B．5
C．8
D．11
【答案】C
【分析】
由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝3，由线段垂直平分线的性质可得AD＝AF＝8．
【详解】
解：∵E为BC的中点，
∴BE＝EC，
∵AB∥CD，
在△BEF与△CED中，
，
∴△BEF≌△CED（AAS）
∴EF＝DE，BF＝CD＝3，
∴AF＝AB+BF＝8，
∵AE⊥DE，EF＝DE，
∴AF＝AD＝8，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．
4．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（ ）
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A．50°
B．118°
C．100°
D．90°
【答案】B
【分析】
在△ABC中利用三角形内角和定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论．21cnjy.com
【详解】
解：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，
∴∠CED＝＝99°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE的度数是解题的关键．
5．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于交的延长线于于F，现有下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中正确的个数为（
）21教育网
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=，DF=，从而可证明②正确；③若DM平分∠ADF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④；
【详解】
如图所示：连接BD、DC，
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴
ED=DF，
∴①正确；
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴
∠EAD=∠FAD=30°，
∵
DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=AD，
同理：DF=，
∴DE+DF=AD，
∴②正确；
③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°，
假设MD平分∠ADF，则∠ADM=30°，则∠EDM=90°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴
∠EBM=90°，
∴∠ABC=90°，
∵∠ABC是否等于90°不知道
∴不能判定MD平分∠ADF，
故③错误；
④∵
DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中
∴Rt△BED≌Rt△CFD，
∴
BE=FC，
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC，
又∵AE=AF，BE=FC，
∴
AB+AC=2AE，
∴
当AE=3时，AB+AC=6，
故④正确；
故选：C．
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【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键；
6．若经过点的直线与轴平行，则点关于直线对称的点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据点A关于直线x=2对称的点与点A的连线平行于x轴，因而纵坐标相同，横坐标的平均数是2，继而求解．
【详解】
解：∵过作y轴的平行线，即直线为直线x=2，
∴点A（4，3），关于直线x=2对称的点与点A的连线平行于x轴，因而纵坐标相同，横坐标的平均数是2，
对称点坐标是（0，3）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了直线对称点的坐标性质，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，进行解题．
7．如图，点为的角平分线上一点，过点作一条直线分别与的边交于两点，点为的中点，过作的垂线交的延长线于点，连接，若，则（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，求出∠EDF，根据角平分线性质求出DE=DF，根据线段垂直平分线性质求出BD=CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB=∠CDF，推出∠BDC=∠EDF，即可得出答案．
【详解】
解：如图：过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，则∠DEB=∠DFC=∠DFO=90°，
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∵∠MON=130°，
∴∠EDF=360°-90°-90°-130°=50°，
∵DE⊥OM，DF⊥ON，OD平分∠MON，
∴DE=DF，
∵P为BC中点，DP⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴∠EDB=∠CDF，
∴∠BDC=∠BDF+CDF=∠BDF+∠EDB=∠EDF=50°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
8．下列选项中的图标，属于轴对称图形的是（
）
A．
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B．
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C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
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【答案】A
【分析】
直接根据轴对称图形的概念进行判断即可；
【详解】
A、是轴对称图形，故A符合题意；
B、不是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，正确掌握知识点是解题的关键；
9．如图，在中，，分别是，边的垂直平分线，且分别与交于点，连接，．有下列四个结论：①；②；③与是互为补角；④的周长与边长相等其中正确结论的个数是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】
根据四边形内角和等于360°，即可得出③正确，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质可得结论①②正确；根据线段的垂直平分线的性质得到，，即可判定④正确．
【详解】
解：∵，分别是，边的垂直平分线，
∴，，
又∵，
∴，故结论③正确；
又∵，
∴，故结论①正确；
直线是的垂直平分线，
，
∴
同理，，，
∵，
∴，
∴，故结论②正确；
的周长为，
∴的周长=，故结论④正确；
综上所述，①②③④正确，共4个．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（ ）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】C
【分析】
直接利用轴对称图形的定义得出符合题意的答案．
【详解】
解：A、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，是轴对称图形，故此选项错误；
B、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，是轴对称图形，故此选项错误；
C、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，不是轴对称图形，故此选项正确；
D、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)，是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题的关键．
11．如图，在中，＝＝6，且，，是的两条高线，是上一动点，则的最小值是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】B
【分析】
连接PB，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质计算即可；
【详解】
连接PB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴AD是等腰△ABC底边BC边的中垂线，
∴，
∴，
又，
∴B，P，E三点共线时，最小，即等于BE的长，
又∵，，
∴；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，结合轴对称的性质计算是解题的关键．
12．下列四个图案中，不是轴对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据轴对称的概念对各选项分析判断即可求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
13．下列命题是假命题的是（
）
A．三角形的外角和是360°
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D．有两边和一个角对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【分析】
根据三角形外角和的性质即可对
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A进行判断；根据垂直平分线的性质即可对B进行判断；根据等边三角形的判定即可对C进行判断；根据三角形全等的证明即可对D进行判断；
【详解】
A、三角形的外角和为360°，故A正确；
B、垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故B正确；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故C正确；
D、由两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故D错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题与定理，命题的真假是就命题的内容而言，正确掌握定理是解题的关键．
14．点关于轴对称的点的坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据关于轴对称的点的坐标的变化特征求解即可．
【详解】
解：关于轴对称的点的坐标变化规律是：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，
所以，点关于轴对称的点的坐标是（-1，-2），
故选：C．
【点睛】
本题考查了关于y轴对称点的坐标变化规律，解题关键是树立数形结合思想，掌握坐标变化规律．
15．在下列命题中，真命题是（
）
A．同位角相等
B．到线段距离相等的点在线段垂直平分线上
C．三角形的外角和是360°
D．角平分线上的点到角的两边相等
【答案】C
【分析】
直接利用同位角的定义及线段垂直平分线的判定、多边形的外角和、角平分线的性质等知识分别判断得出答案．
【详解】
解：A.同位角相等，错误，是假命题；
B.不是到线段距离相等的点在线段垂直平分线上，而是到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是假命题；21·cn·jy·com
C.三角形的外角和是360°，是真命题；
D.角平分线上的点到角的两边的距离相等，不是角平分线上的点到角的两边相等，是假命题．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．
16．如图，在直角坐标系中，直线是经过点，且平行于轴的直线，点与点关于直线对称，则的值为（ ）．2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．6
C．-2
D．-6
【答案】D
【分析】
结合题意，根据坐标、轴对称的性质列方程并计算，即可得到答案．
【详解】
∵点与点关于直线对称
∴，
∴
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查了直角坐标系、坐标、轴对称、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握坐标、轴对称的性质，从而完成求解．
17．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①②③④
C．①②④
D．②④
【答案】C
【分析】
①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=AD，DF=AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．
【详解】
解：如图所示：连接BD、DC．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
∴①正确．
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∵∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=AD．
同理：DF=AD．
∴DE+DF=AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．
假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴∠EBM=120°．
∴∠ABC=60°．
∵∠ABC是否等于60°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF，
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE=FC．
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC
又∵AE=AF，BE=FC，
∴AB+AC=2AE．
故④正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
18．如图，在△ABD中，分别以点A和点D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN分别交BD、AD于点C、E．若AE=5cm，△ABC的周长=15cm，则△ABD的周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．35cm
B．30cm
C．25cm
D．20cm
【答案】C
【分析】
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵MN垂直平分线段AD，
∴A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C=DC，AE+ED=AD=10cm，
∵AB+BC+AC=15cm，
∴AB+BC+DC=15cm，
∴△ABD的周长=AB+BC+DC+AD=15+10=25cm，
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．
19．如图，在中，，，，是的垂直平分线，是直线上的一动点，则的最小值是（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．8
C．10
D．11
【答案】B
【分析】
根据题意，设EF与AC的交点为点P，连接BP，由垂直平分线的性质，则BP=CP，得到，即可得到的最小值．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：根据题意，设EF与AC的交点为点P，连接BP，如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵是的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴，
∴的最小值为8；
故选：B．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是正确找出点P的位置，使得有最小值．
20．如图，中，，于D，BE平分，且于E，与CD相交于点F，于H，交BE于G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【分析】
根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AE＝AC，又因为BF＝AC所以CE＝AC＝BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．
在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
连接CG．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故②错误．
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝AC．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC，
∴CE＝AC＝BF，
∴2CE＝BF；
故③正确；
由③可得△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故④正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
21．如图，在中，，，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．则下列说法中正确的个数是（
）
①是的平分线；②；③点在的中垂线上；④
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
根据题意作图可知：是的平分线，由此判断①正确；
先求得∠BAC=，由是的平分线，求得∠CAD=∠BAD=，即可得到，判断②正确；
过点D作DE⊥AB于E，根据∠BAD=，证得△ABD是等腰三角形，得到AE=BE，即可判断③正确；
证明Rt△ACD≌Rt△AED，得到S△ACD=S△AED，根据等底同高得到S△AED=S△BED，即可得到，判断④错误．
【详解】
解：由题意得：是的平分线，故①正确；
∵，，
∴∠BAC=，
∵是的平分线，
∴∠CAD=∠BAD=，
∴，故②正确；
过点D作DE⊥AB于E，
∵∠BAD=，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，
∴AE=BE，
∴点在的中垂线上，故③正确；
∵是的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴CD=DE，∠C=∠AED=，
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴S△ACD=S△AED，
∵AE=BE，DE⊥AB，
∴S△AED=S△BED，
∴，故④错误；
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
【点睛】
此题考查角平分线的作图方法及
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质应用，全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟练掌握各部分知识并综合应用是解题的关键．
22．如图，在中，垂直平分交于点交于点．若，则的周长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由题意可知BD=CD，因此的周长=
AB+AC，据此可解．
【详解】
解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴的周长=AD+CD+AC
=
AD+BD+AC
=
AB+AC
=10+8
=18(cm)，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质，关键在于求出BD=CD．
23．如图，在中，的平分线交于点是中点，且，那么的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据角平分线的定义得到，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DC，进而得到，根据三角形内角和定理列式计算即可．www.21-cn-jy.com
【详解】
∵BD平分，
∴，
∵，E是BC中点，
∴DB=DC，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线BP恰好经过点D，则∠A的大小是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．32°
C．36°
D．42°
【答案】B
【分析】
根据题中作图知：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】
由题意得：DM垂直平分AB，BD平分∠ABC，
∵DM垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠A+∠ABD+∠CBD+∠C=，∠C＝84°，
∴∠A=，
故选：B．
【点睛】
此题考查线段垂直平分线作图及性质，角平分线作图及性质，三角形的内角和定理，根据题意得到DM垂直平分AB，BD平分∠ABC是解题的关键．
25．下列图案是轴对称图形的是有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．①④
D．②③
【答案】C
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
26．如图，在中，分别为边上的高，相交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④若，则周长等于的长．其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③④
C．①③
D．②③④
【答案】B
【分析】
证明△BDF≌△ADC，可判
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．
【详解】
解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，
∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，
而∠ADB=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴BF=AC，FD=CD，故①正确，
∵∠FDC=90°，
∴∠DFC=∠FCD=45°，
∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，
∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；
延长CF交AB于H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，
∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，
∴CH⊥AB，
即CF⊥AB，故③正确；
∵BF=2EC，BF=AC，
∴AC=2EC，
∴AE=EC=AC，
∵BE⊥AC，
∴BE垂直平分AC，
∴AF=CF，BA=BC，
∴△FDC的周长=FD+FC+DC
=FD+AF+DC
=AD+DC
=BD+DC
=BC
=AB，
即△FDC的周长等于AB，故④正确，
综上：①③④正确，
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜
27．如图，在中，，平分，交于点．若，，则的值可能是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．7
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】
将△ADC沿AD翻折，使点C落在AB边上E点，根据三角形三边关系可确定的取值范围，然后判断即可．
【详解】
解：将△ADC沿AD翻折，使点C落在AB边上E点，
由翻折可知，，
∵，，
∴BD=5，DE=2，
3＜BE＜7，
四个选项中，只有满足条件，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了轴对称的性质和三角形三边关系，解题关键是通过翻折，转换已知条件，利用三角形三边关系求解．
28．如图，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，若，则的周长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．19
B．28
C．29
D．38
【答案】B
【分析】
连接BD、DC，证△BDE≌△CDF，可得CF=BE，根据角平分线性质可知AE=AF，即可求周长．
【详解】
解：连接BD、DC，
∵AD平分∠
BAC，，
∴DE=DF，
∵AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF=9，
∵DG垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴BE=CF，
的周长=AB+AC+BC=AF-CF+AE+BE+BC=2AF+BC=28，
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是依据已知条件，恰当作辅助线，构造全等三角形．21·世纪
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29．如图，△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠A＝20°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB＝74°，则原三角形的∠C的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．27°
B．59°
C．69°
D．79°
【答案】D
【分析】
由折叠的性质得∠1＝∠2，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，则∠1＝∠2＝∠3，即∠ABC＝3∠3，由三角形内角和定理得∠3＋∠C＝106°，在△ABC中，由三角形内角和定理得∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，得出∠3＝27°，即可得出结果．
【详解】
解：如图所示：
∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CDB＝∠C′DB＝74°，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴∠ABC＝3∠3，
在△BCD中，∠3＋∠C＋∠CDB＝180°，
∴∠3＋∠C＝180°?74°＝106°，
在△ABC中，
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴20°＋2∠3＋106°＝180°，
∴∠3＝27°，
∴∠C＝106°-∠3＝79°．
故选：D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、三角形内角和定理；熟练掌握翻折变换的性质和三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
30．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】
①根据作图的过程可以判定AD是∠BA
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C的角平分线；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④作DH⊥AB于H，由∠1=∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，推出DC=DH即可解决问题；
⑤利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②正确；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③正确；
④作DH⊥AB于H，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④正确，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴S△DAC：S△DAB＝AC?CD：?AB?DH＝1：2；故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
二、填空题
31．已知：如图，点在线段外，且，求证：点在线段的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则下列作法正确的是________．
①作的平分线交于点
②过点作于点且
③取中点，连接
④过点作，垂足为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】①③④
【分析】
利用判断三角形全等的方法判断四个选项是否成立即可．
【详解】
解：①、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，
∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；
②、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，故错误；
③、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，
∴∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；
④、利用HL判断出△PCA≌△PCB，
∴CA=CB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，故正确；
故答案为：①③④．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是解本题的关键．
32．如图，是中边的垂直平分线，若，则的周长为_____．
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【答案】9
【分析】
利用线段垂直平分线的性质得AD=CD，再等量代换即可求得三角形的周长．
【详解】
解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴BD+CD=BD+AD=AB=5cm，
∴△EBC的周长=BC+BD+CD=4+5=9（cm）．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键．
33．如图，在中，，，PQ垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线AF．若AF与PQ的夹角为，则_______°．
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【答案】56°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余得∠BA
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝68°，由角平分线的定义得∠BAM＝34°，由线段垂直平分线可得△AQM是直角三角形，故可得∠AMQ＋∠BAM＝90°，即可求出α．
【详解】
解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°?∠B＝90°?22°＝68°，
由作图知：AM是∠BAC的平分线，
∴∠BAM＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AMQ是直角三角形，
∴∠AMQ＋∠BAM＝90°，
∴∠AMQ＝90°?∠BAM＝90°?34°＝56°，
∴α＝∠AMQ＝56°．
故答案为：56°．
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【点睛】
此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的定义，对顶角相等等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键．
34．把一个图形先沿着一条直线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，存在着很多这种图形变换（如图①）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图②）的对应点所具有的性质是_____________．
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【答案】对应点到对称轴的距离相等
【分析】
由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．
【详解】
解：两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点到对称轴的距离相等．
故答案为：对应点到对称轴的距离相等．
【点睛】
本题主要考查了轴对称及平移的性质，正确把握对应点之间关系是解题的关键．
35．如图，在△ABC中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为
F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC
的周长是_____．
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【答案】16
【分析】
连接AD、DC．证明Rt△DGA≌
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)Rt△DFC（HL）可得出AG＝CF，再证明Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），得出BG＝BF，则可求出答案
【详解】
解：连接AD、DC．
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∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC，
∴DG＝DF．
∵D在AC的中垂线上，
∴DA＝DC．
在Rt△DGA与Rt△DFC中，
∵DG＝DF，DA＝DC，
∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）．
∴AG＝CF．
又∵BD＝BD，DG＝DF．
∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）．
∴BG＝BF．
又∵AG＝CF，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BG﹣AG+BF+FC+AC＝2BG+AC＝2×5+6＝16．
故答案为：16．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，属于中考常考题型．
三、解答题
36．如图，在平面直角坐标系中，A
(-1，
4)，
B(3，
2)，
C(-1，0)
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(1)
点A关于y轴的对称点的坐标为
，点B关于x轴的对称点的坐标为
，
线段AC的垂直平分线与y轴的交点D的坐标为
．
(2)求(1)中的△的面积．
【答案】（1）
、、；（2）5；
【分析】
（1）依据对称的性质可得点的坐标；然后利用垂直平分线的性质可得点D的坐标；
（2）如图所示，将补为直角梯形，直角梯形面积，即可；
【详解】
（1）由题知点关于y对称的点为，由对称性质可得：点的坐标：；
同理可得点于x对称的点为，由对称性质可得：点的坐标：；
又AC的垂直平分线为：y=2，与y轴的交点为D，∴
点；
（2）将补为直角梯形，如下图所示：
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∴
；；
；
∴；
【点睛】
本题考查平面坐标、对称的性质及不规则三角形的面积，关键不规图形的面积割补求法；
37．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于点、．求的长．
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【答案】
【分析】
首先连接BE，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，然后设AE＝x，由勾股定理可得方程：
，继而求得答案．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：连接BE，
在Rt△ABC中，AC＝8，AB＝10
∴BC＝6
∵AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，
∴AE＝BE，AD＝BD＝5
设AE＝x，则BE＝x，EC＝AC?AE＝8?x，
∵Rt△BCE中，∠C＝90°，BE=x，EC＝8?x，BC＝6，
∴
解得：，
故答案为：，
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【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
38．如图，在中，，，点在边上且点到点的距离与到点的距离相等．
（1）尺规作图：作出点，不写作法，保留作图痕迹；
（2）求的周长．
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【答案】（1）见解析；（2）8
【分析】
（1）作AB的垂直平分线即可；
（2）根据作图得到AD=BD，把周长转化为AC+BC即可．
【详解】
（1）用尺规作出线段的垂直平分线，交于点．
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（2）由作图可知，AD=BD，
△BDC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+3=8．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的作法与性质，解题关键是熟练的进行尺规作图，根据垂直平分线的性质准确计算．
39．如图，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，BE、CD交于F．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接CE，若BE＝CE，求证：从“①DE⊥AC”、“②DE∥AB”中选择一个填入（2）中，并完成证明
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据“SAS”证明△BAE≌△CAD，然后根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定可知CA垂直平分DE，进而可证明结论成立．
【详解】
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠DAE＋∠DAB＝∠BAC＋∠DAB，
即∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝CD，BE＝CE，
∴CE＝CD，
又∵AD＝AE，
∴CA垂直平分DE，
∴DE⊥AC（可得①），
又∵∠BAC＝90°，
∴DE//AB（可得②）．
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【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．也考查了线段垂直平分线的判定、平行线的判定等知识．【出处：21教育名师】
40．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论．如图，现要在内建一中心医院，使医院到两个居民小区的距离相等，并且到公路和的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】见解析
【分析】
根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．
【详解】
解：作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，
则P为这个中心医院的位置．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．
41．如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）22°；（2）19．
【分析】
（1）利用三角形内角和求得
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠C＝40°，利用垂直平分线的性质，求得∠DAC＝40°，最后计算∠BAD的度数即可；（2）利用周长的定义，垂直平分线的性质计算即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠CAD＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°；
（2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练运用定理和性质是解题的关键．
42．如图．在△ABC中，∠C=90
°，∠A=30°．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，连接EB．（不写作法，保留作图痕迹）21
cnjy
com
（2）求证：EB平分∠ABC．
（3）求证：AE=EF．
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【答案】见解析
【分析】
（1）先作线段AB的垂直平分线DE，再延长BC即可；
（2）先利用直角三角形的性质求∠ABC=
60，再垂直平分线的性质得到∠ABE=∠A=30，再求出∠EBC=∠ABC-∠ABE=30，即可得到∠EBC=∠ABE，得到答案；
（3）证明：先利用直角三角形的性质求∠DEB=90-∠ABE
=60再利用三角形外角的性质求∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30，进而得∠EFB=∠EBC，证得BE=EF，又因为AE=
BE，利用等量代换即可求得答案．
【详解】
（1）如图，即为所求；
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（2）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴AE=BE
∵∠A=30，∠ACB=90
∴∠ABE=∠A=30，∠ABC=90-∠A=60
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=60-30=30
∴∠EBC=∠ABE
∴EB平分∠ABC．
（3）证明：∵DE是AB的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠DEB=90-∠ABE
=60
∴∠EFB=∠DEB-∠EBC=60-30=30
∴∠EFB=∠EBC
∴BE=EF
又∵AE=
BE
∴AE=EF
【点睛】
本题考查了尺规作图和垂直平分线性质得应用，解决此题的关键利用尺规作图，画出图形．
43．如图，在中，垂足为，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若是的中点，请判断线段与线段的数量关系，并加以证明．
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【答案】（1）证明见详解；（2）AG=AC，证明见详解．
【分析】
（1）由是的角平分线，可得∠BAF=∠GAF，由，FE⊥AB，∠B=∠G，可证△AFB≌△AFG（AAS）即可；
（2）线段与线段的数量关系是：AG=AC，由是的中点，，可得AB=AC，由（1）知△AFB≌△AFG，可得AB=AG，利用传递性可得AG=AC．
【详解】
（1）证明：∵是的角平分线，
∴∠BAF=∠GAF，
∵，FE⊥AB，
∴∠BEF=∠GDF=90°，
∵∠EFB=∠DFG，
∴∠B=90°-∠EFB=90°-∠DFG=∠G，
∵AF=AF，
∴△AFB≌△AFG（AAS），
∴BF=GF；
（2）证明：线段与线段的数量关系是：AG=AC，
∵是的中点，，
∴AB=AC，
由（1）知△AFB≌△AFG，
∴AB=AG，
∴AG=AC．
【点睛】
本题考查角平分线性质，余角性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，掌握角平分线性质，余角性质，三角形全等判定与性质，线段垂直平分线性质，关键是仔细观察图形，发现角之间关系．
44．如图，四边形ABCD中，AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∥BC，DC⊥BC，将四边形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点E处，若∠EBC=20°，求∠EBD的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】
【分析】
根据AD∥BC，DC⊥BC，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)EBC=20°，再利用三角形外角的性质，可求得∠DEB的度数，由折叠的性质，可得：∠A=∠DEB=110°，∠ABD=∠EBD，继而求得∠EBD的度数．21
cnjy
com
【详解】
解：∵AD∥BC，DC⊥BC，
∴∠C=90°，
∵∠EBC=20°，
∴∠DEB=∠EBC
+∠C=20°+90°=110°，
由折叠的性质可得：∠A=∠DEB
=110°，∠ABD=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=180°-110°=70°，
∴∠EBD=．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
45．如图，在△ABC中，AB边的中垂线PQ与△ABC的外角平分线交于点P，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E．
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（1）求证：BD=AE；
（2）若BC=6，AC=4．求CE的长度．
【答案】（1）见解析；（2）CE=1
【分析】
（1）连接PA、PB，根据角平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线的性质得到PD=PE，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB，证明Rt△AEP≌Rt△BDP，根据全等三角形的性质得到AE=BD；
（2）结合图形计算得到答案．
【详解】
（1）连接PA、PB，
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∵CP是∠BCE的平分线，PD⊥BC，PE⊥AC，
∴PD=PE，
在Rt△CDP和Rt△CEP中，
，
∴Rt△CDP≌Rt△CEP（HL）
∴CD=CE，
∵PQ是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在Rt△AEP和Rt△BDP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BDP（HL），
∴AE=BD；
（2）AC+CE+CD=BD+CD=BC=6，
∴．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21教育名师原创作品
46．如图，在中，已知D是BC的中点，过点D作BC的垂线交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G．
（1）求证：BF=CG；
（2）若AB=12，AC=8，求线段CG的长．
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【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】
（1）连接EC、EB，根据AE是∠CAB的平分线，得出EG=EF，再根据ED垂直平分BC，得出Rt△CGE≌△BFE，从而证出BF=CG；
（2）根据全等三角形的性质得到AF=AG，求得AG=10，于是得到结论．
【详解】
（1）连接EC、EB．
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∵AE是∠CAB的平分线，
EF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴EG=EF，
又∵ED垂直平分BC，
∴EC=EB，
∴Rt△CGE≌Rt△BFE（HL），
∴BF=CG；
（2）在Rt△AEF和Rt△AEG中，，
∴△AEF≌△AEG（HL），
∴AF=AG，
∵BF=CG，
∴AB+AC=AF+BF+AG-CG=2AG，
∵AB=12，AC=8，
∴AG=10，
∴CG=AG-AC=2．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，在解题时要注意全等三角形的判定和性质的灵活应用以及与角平分线的性质的联系是本题的关键．
47．已知，在四边形ABCD中，，，连接，判断的位置关系，并加以证明．
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【答案】，见解析
【分析】
根据垂直平分线的判定证明即可．
【详解】
解：；
证明：∵，
∴点A在BD的垂直平分线上，
∵，
∴点C在BD的垂直平分线上，
∴AC垂直平分BD，
即．
【点睛】
本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上和两点确定一条直线证明是解题关键．
48．已知，如图，平分，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为点，垂直平分，为垂足，连结，．
求证：．
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【答案】见解析
【分析】
利用角平分线的性质得出，再利用线段垂直平分线的性质得出，最后证明Rt△BEF≌Rt△CEG即可．
【详解】
证明：平分，，，
，
垂直平分，
，
，，
，
在和中，
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,
角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．【版权所有：21教育】
49．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过点，且平行于y轴给出如下定义：点先关于y轴对称得点，再将点关于直线l对称得点，则称点是点P关于y轴和直线l的二次反射点．
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（1）已知，则它们关于y轴和直线l的二次反射点，，的坐标分别是__________________；
（2）若点D的坐标是，其中，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点，求线段的长；
（3）已知点，点，以线段为边在x轴上方作正方形，若点，关于y轴和直线l的二次反射点分别为，且线段与正方形的边有公共点，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）6；（3）或．
【分析】
（1）先求关于y轴对称点的坐标，再求关于直线l对称点的坐标即可；
（2）根据题意，表示出点的坐标即可；
（3）表示为两点的坐标，再根据与正方形有交点列不等式组即可．
【详解】
解：（1）关于y轴对称的点的坐标分别为：，
它们关于直线l对称，纵坐标不变，横坐标加上3的2倍与原横坐标的差，即为：
，
故答案为：．
（2）由（1）可知，
．
．
（3）由（1）可知，，
当与有公共点时，
，∴．
当与有公共点时，
，∴，∴或．
【点睛】
本题考查了关于y轴对称和关于平行于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)y轴的直线对称点的坐标变化规律以及正方形、不等式等知识，能够发现关于平行于y轴的直线对称点的坐标变化规律是解题关键．
50．如图，△ABC中，BE平分∠ABC，E在AC垂直平分线上，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：
（1）AG＝CF；
（2）BC﹣AB＝2FC．
【答案】见详解．
【分析】
（1）连接AE、EC，证明RT△AGE≌RT△CFE，即可证明AG=CF．
（2）先证BG=BF，现由（1）的结论得BC-AB=BF+FC-AB=BG-AB+FC=AG+CF=2CF．
【详解】
证明：（1）如图1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
连接AE、EC
∵E在AC的垂直平分线上
∴AE=CE
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，
∴GE=FE
在RT△AGE和RT△CFE中
∵
∴RT△AGE≌RT△CFE（斜边直角边对应相等的直角三角形全等）
∴AG＝CF．
（2）由（1）知GE=EF
在RT△BGE和RT△BFE中
∵
∴RT△BGE≌RT△BFE（斜边直角边对应相等的直角三角形全等）
∴BG=BF
∴BC-AB=BF+FC-AB
=BG-AB+FC
=GA+FC
由（1）知GA=FC代入得
BC﹣AB＝2FC．
【点睛】
本题综合考查角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理．本题关键是寻找条件运用“斜边直角边对应相等的直角三角形全等”证明全等．
51．小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．
求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到
．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那么就可以得到
．
若连接AD，由
．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
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【答案】BC，DC，线段的垂直平分线的判定
【分析】
在线段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．
【详解】
解：如图，△AOC即为所求．
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故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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精品试卷·第
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