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13.3
等腰三角形
【基础训练】
一、单选题
1．若一个等腰三角形的外角为，则它的顶角度数是（
）
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】
此外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况考虑，再结合三角形的内角和为180°，可求出顶角的度数．
【详解】
解：①若100°是顶角的外角，则顶角=180°-100°=80°；
②若100°是底角的外角，则底角=180°-100°=80°，那么顶角=180°-2×80°=20°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和180°、三角形外角的性质求解．
2．若等腰三角形的周长为26cm，一边为6cm，则腰长为（ ）
A．6cm
B．10cm
C．10cm或6cm
D．以上都不对
【答案】B
【分析】
题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
【详解】
解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26-6-6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当6cm为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10cm，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形；
故腰长为10cm．
故答案为：B．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．
3．下列命题是真命题的为（
）
A．若两角的两边分别平行，则这两角相等
B．若两实数相等，则它们的绝对值相等
C．对应角相等的两个三角形是全等三角形
D．锐角三角形是等边三角形
【答案】B
【分析】
A．
根据两角的两边分别平行，得出这两角相等或互补，即可判断A是假命题；
B．
根据绝对值的意义得出两实数相等，则它们的绝对值相等，即可判断B是真命题；
C．
根据全等三角形的判定定理得出对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，即可判断C是假命题；
D．
根据等边三角形的定义得出锐角三角形不一定是等边三角形，
即可判断D是假命题
【详解】
解：A．
若两角的两边分别平行，则这两角相等或互补，故A是假命题，不符合题意；
B．
若两实数相等，则它们的绝对值相等，故B是真命题，符号题意；
C．
对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，故C是假命题，不符合题意；
D．
锐角三角形不一定是等边三角形，
故D是假命题，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的判定，实数的绝对值，真命题与假命题，解题的关键是熟练掌握相关知识内容．
4．等腰三角形的两边长分别为，，则该三角形的周长为（ ）
A．
B．
C．或
D．以上都不对
【答案】B
【分析】
根据题意得出两种情况，根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再求出周长即可．
【详解】
解：当等腰三角形的三边长是4cm，4cm，8cm时，4+4=8，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边长是4
cm，8
cm，8
cm时，符合三角形的三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长是4+8+8=20（cm），
所以该三角形的周长是20
cm，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
5．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（
）
A．10
B．17
C．13
D．13或17
【答案】B
【分析】
因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考查各情况能否构成三角形．
【详解】
解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，
∵3+3=6＜7，
所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有17．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．21·cn·jy·com
6．下列关于等边三角形的性质的叙述中，错误的是（
）
A．是等腰三角形
B．三个角都相等
C．三条边都相等
D．只有一条对称轴
【答案】D
【分析】
利用等边三角形的性质依次分析即可得出答案．
【详解】
解：A、等边三角形也是等腰三角形，原说法正确，故此选项不合题意；
B、等边三角形三个角都相等，原说法正确，故此选项不合题意；
C、等边三角形三条边都相等，原说法正确，故此选项不合题意；
D、等边三角形有3条对称轴，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的性质以及等边三角形的性质，正确把握相关性质是解题关键．
7．如图，正六边形螺帽，点，，为它的三个顶点，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由多边形的内角和公式即可求出正六边形的每个内角的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出∠ABC的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：连接BC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵正六边形的每个内角的度数为：
＝120°，
∵正六边形，
∴AB=AC，
∴=30°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和、等腰三角形的性质；熟记正六边形与等腰三角形的性质是解决问题的关键．
8．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，若∠DAF=20°，则∠BAC的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．90°
B．100°
C．105°
D．120°
【答案】B
【分析】
根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=BD，AF=CF，即可得∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，又由∠DAF=20°，易求得∠BAD+∠CAF=80°，继而求得∠BAC的度数．
【详解】
解：∵在△ABC中，DE、FG分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AF=CF，
∴∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，
∵∠ADF=∠BAD＋∠B=2∠BAD，∠AFD=∠CAF＋∠C=2∠CAF，
∵∠DAF=20°，
∴∠ADF+∠AFD=180°?∠DAF=160°，
∴2∠BAD+2∠CAF=160°，
∴∠BAD+∠CAF=80°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAF+∠FAD=100°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，此题难度适中，注意数形结合思想和整体思想的运用．
9．如图，平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，2），点N在轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（???
）个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．3
B．4
C．5
D．8
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论
【详解】
解：若OM为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若ON为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若NM为底边，则满足条件的点N有2个，在点O的右侧一个，在点O的左侧一个
由上可知，满足条件的点N共有4个
故选：B
【点睛】
本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键
10．已知中，则的周长等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
判断为等边三角形即可求出其周长．
【详解】
根据题意可知为等边三角形，
∴的三条边相等且等于3，
∴的周长为．
故选：D．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质．掌握等边三角形的判定条件是解答本题的关键．
11．在中，，如果，那么的度数为（
）
A．40°
B．70°
C．100°
D．40°或70°
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的性质可得到∠B＝∠C即可求解．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
12．如果等腰三角形的两边长分别为7cm和3cm．那么它的第三边的长是（
）
A．3cm
B．4cm
C．7cm
D．3cm或7cm
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】
解：若7cm为等腰三角形的腰长，
∵3＋7＞7
∴3cm、7cm、7cm能构成三角形，故符合题意；
若3cm为等腰三角形的腰长，
∵3＋3＜7
∴3cm、3cm、7cm不能构成三角形，故不符合题意；
综上：它的第三边的长是7cm
故选C．
【点睛】
此题考查的是等腰三角形的定义和三角形的三边关系，掌握等腰三角形的定义和三角形的三边关系是解题关键．
13．如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由，是等边三角形可得AC=BA=BC，BD=BE，，可得出，即，可得，由全等三角形的性质得AD=CE=3，则BC=AC=AD+CD，即可解题．21教育网
【详解】
解：∵，是等边三角形，
∴AC=BA=BC，BD=BE，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴AD=CE=3，
∴BC=AC=AD+CD=3+1=4．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，本题中求证是解题的关键．
14．已知等腰三角形中，有一个角为80°，则它的另外两个角的度数为（
）
A．60°和60°
B．20°和80°
C．40°和60°
D．50和50°或20°和80°
【答案】D
【分析】
没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析．
【详解】
解：①当这个角是底角时，另外两个角是：80°，20°；
②当这个角是顶角时，另外两个角是：50°，50°；
故选D．2-1-c-n-j-y
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
15．已知等腰三角形的两边长分别6cm和10cm，则它的周长为（
）
A．10cm
B．20
cm
C．15cm
D．22cm或26cm
【答案】D
【分析】
因为等腰三角形的两边分别为6cm和10cm，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：当6cm为底时，其它两边都为6cm
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，10cm、10cm可以构成三角形，周长为26cm；
当6cm为腰时，其它两边为6cm和10cm，可以构成三角形，周长为22cm．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
16．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（
）
A．12或9
B．9
C．12
D．9或7
【答案】C
【分析】
利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．
【详解】
∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，
∴当腰长为2，则，此时不成立，当腰长为5时，则它的周长为：，故选C．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．
17．如图，平分∠，∠=15°，∥，⊥于点，=4，则=(
)．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．2.5
C．3
D．3.5
【答案】A
【分析】
作PE⊥OB于E，根据角平分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠BCP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【详解】
解：作PE⊥OB于E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠BOP=∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OA，
∴∠BCP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查角平分线的性质、平行线的性质和含30°的直角三角形的性质．正确作辅助线是关键．
18．如图，在中，点在边上，，，，则下列结论正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．是的平分线
B．是边上的中线
C．是边上的高
D．与的面积相等
【答案】A
【分析】
根据等腰三角形的性质和高线、角平分线、中线的定义判断即可．
【详解】
解：∵，，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵DA=DB，
∴∠DBA=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=36°，
∴BD是∠ABC的平分线，A选项正确；21教育名师原创作品
无法得出CD=AD，与的面积不一定相等，B、D选项错误；
∠BDC=∠DBA+∠A=72°≠90°，C选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)高线、角平分线、中线的定义，解答本题的关键是掌握各性质定理的内容，注意已经证明的结论在后面的证明过程可以直接使用．
19．如图，在ABC中，∠B＝50°，点D在BC上，且AB＝BD，AD＝CD，则∠C的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．30°
B．32.5°
C．45°
D．60°
【答案】B
【分析】
根据等腰三角形的性质由AB=BD知∠BDA==65°，再在△ACD中由AD=CD知∠C=∠CAD=∠BDA．
【详解】
解：∵AB=BD，
∴∠BAD=∠BDA==65°，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD=∠BDA=32.5°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
20．如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
【答案】C
【分析】
根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．
【详解】
解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；
当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；
当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；
当BD=BP时，△BDP
是等腰三角形，这时有2个；
综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．
故选：C．
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【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
21．如图所示是跷跷板示意图，横板绕中点O上下移动，立柱与地面垂直，当横板的A端着地时，测得，则在玩跷跷板时，上下最大可以转动的角度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
当B端着地时，如图，∠A′OA即为上下转动的最大角度，利用三角形外角的性质即可解决问题；
【详解】
解：当B端着地时，如图，∠A′OA即为上下转动的最大角度，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB，
∵OA=OB′，
∴∠A=∠B′=28°
∴∠A′OA=∠A+∠B′=56°．
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及邻补角的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
22．如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由等边三角形三线合一即可求出，．再由等腰三角形的性质可求出，最后即可求出．
【详解】
∵是等边三角形，且AD为中线．
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查等边三角形和等腰三角形的性质．掌握等边三角形三线合一是解答本题的关键．
23．等腰三角形一边长为3，另一边长为4，则它的周长等于（
）
A．10
B．11
C．12
D．10或11
【答案】D
【分析】
分3是腰长和底边两种情况讨论求解．
【详解】
解：3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，
它的周长=3+3+4=10，
3是底边时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，
它的周长=3+4+4=11，
综上所述，它的周长等于10或11．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形．
24．如图，在中，为的中点，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
在△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，根据等边对等角与三线合一的性质，即可求得答案．
【详解】
解：∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD=25°，
∴∠BAC=50°，
故选：D．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
25．如图，，点和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的性质得到AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=DB，∠ABC=∠DBE，从而得到∠ABD=α，求出∠BAD，根据平行线的性质得到∠CAD=90°，从而得到关于α和β的关系，化简即可．21cnjy.com
【详解】
解：∵△ACB≌△DEB，
∴AB=DB，∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE=α，
在△ABD中，
∠BAD=（180°-α），
∵AD∥BC，
∴∠CAD=180°-∠C=90°，
∴β+（180°-α）=90°，
∴α=2β，
故选A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是根据全等三角形得到相等的线段和角．
26．如图，在中，，垂足为，垂直平分，交于点，交于点，，若的周长为cm，cm，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
【答案】A
【分析】
根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，能推出2DE+2EC=16，即可求解．
【详解】
解：∵AD⊥BC，BD=DE，EF垂直平分AC
∴AB=AE=EC
∵△ABC周长是26cm，AF=5cm
∴AC=10cm
∴AB+BC=16cm
∴AB+BE+EC=16cm
即2DE+2EC=16cm
∴DE+EC=8cm
∴DC=DE+EC=8cm
故选A．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等时解题的关键．【出处：21教育名师】
27．如图，在中，，且，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由和等腰三角形性质，可求∠ABD=∠ADB，可得∠DAC=∠ACD，由外角性质∠ADB=∠DAC+∠ACD=2∠DAC=70°，可得∠DAC=35°．
【详解】
解：∵，且，
∴∠ABD=∠ADB=，∠DAC=∠ACD，
∵∠ADB=∠DAC+∠ACD=2∠DAC=70°，
∴∠DAC=35°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故选A．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和定理和等腰三角形的性质是解题关键．
28．如图，在中，，点D在CA的延长线上，于点E，若，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形两个锐角互余求出即可．
【详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质求出底角的度数．
29．如图，等边中，，点在边上，，，垂足分别为、，设，若用含的式子表示的长，正确的是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用等边三角形的性质可得AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°，再利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可．
【详解】
解：是等边三角形，
，，
，，
∴∠BPD=90°-∠B=30°，∠CDE=90°-∠C=30°
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
30．如图，和都是等边三角形，是的角平分线，下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【答案】B
【分析】
根据等边三角形性质得出AB=AC，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)根据三线合一定理得出①正确；得出AB是线段ED的垂直平分线，判断出②③正确；根据斜边大于直角边，可判断④．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，故①正确；
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC=30，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAF=∠BAD=30，
∴AB是线段ED的垂直平分线，
∴AF⊥DE，故②正确；
∴BE=BD，故③正确；
∵∠ADB=90°，
∴AB>
AD，
∴BC>
DE，故④错误；
综上，正确的个数有3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是灵活应用等腰三角形的三线合一的性质解决问题，属于中考基础题．
二、填空题
31．在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是________．
【答案】50°或65°或80°
【分析】
依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可．
【详解】
解：∠A=180°-130°=50°．
当AB=AC时，∠B=∠C=（180°-50°）=65°；
当BC=BA时，∠A=∠C=50°，则∠B=180°-50°-50°=80°；
当CA=CB时，∠A=∠B=50°．
∠B的度数为50°或65°或80°，
故答案为：50°或65°或80°．
【点睛】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．
32．如图，已知，，则___________．
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【答案】80°
【分析】
根据等边对等角得到∠CAB，根据外角的性质得到∠ACD，再根据等边对等角得到∠D，最后利用三角形内角和得到∠CAD．
【详解】
解：∵BC=AC，∠B=25°，
∴∠CAB=25°，
∴∠ACD=∠CAB+∠B=2∠B=50°，
∵AC=AD，
∴∠D=∠ACD=50°，
∴∠CAD=180°-∠D-∠ACD=80°，
故答案为：80°．
【点睛】
本题考查了等边对等角的性质，三角形外角的性质，三角形内角和，解题的关键是得到∠ACD和∠D的度数．
33．如图，中，，，，分别为，的垂直平分线，则________，的周长为________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】20°
12
【分析】
由EF，MN分别为AB，AC的垂
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直平分线，可得∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，又由∠BAC=100°，求得∠BAF+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC=80°，根据AF=BF，AN=CN，即可得△FAN的周长等于BC，继而求得答案．
【详解】
解：∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，
∵△ABC中，∠BAC=100°，
∴∠BAF+∠CAN=∠B+∠C=180°-∠BAC=80°，
∴∠FAN=∠BAC-（∠BAF+∠CAN）=20°;
∴AF=BF，AN=CN，
∴△FAN的周长为：AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=10cm；
故答案为：20°，12．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
34．如图，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=4，△ACD是等边三角形，连接BD，则△BCD的面积是___
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】4
【分析】
求得△BCD
的边BC上的高，用面积公式求解．
【详解】
如下图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
过D作AC的垂线，垂足为E，
∵∠ACB=90°
∴△BCD
的边BC上的高等于CE；
∵△ACD是等边三角形
∴AD=CD
又DE⊥AC，AC=4
∴；
又BC=4
∴．
答案为：4．
【点睛】
此题考查了正三角形、等腰三角形的性质及三角形面积计算等知识，本题中发现△BCD
的边BC上的高等于AC的一半是关键．
35．如图，在ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝_____．
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【答案】115°
【分析】
由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，由三角形的内角和定理可求出x+y＝65°，则可得出答案．
【详解】
解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
【点睛】
本题考查等边对等角、三角形内角和等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
36．如图，，，，点在线段上．
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（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）110°
【分析】
（1）证出∠BAC=∠EAD，由ASA证明△ABC≌△AED即可．
（2）由全等三角形的性质得出AB=AE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B的度数，再由三角形的外角性质即可得出答案．21
cnjy
com
【详解】
解：（1）证明：∵∠1=∠2=39°，
∴∠1+∠CAE=∠2+∠CAE，
即∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（ASA）．
（2）由（1）得：△ABC≌△AED．
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB=（180°-∠1）=（180°-40°）=70°，
∴∠AEC=∠1+∠B=40°+70°=110°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．
37．如图，中，．
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（1）请画出边垂直平分线，与相交于，与相交于；（尺规画图，保留作图痕迹）
（2）连接，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）50°
【分析】
（1）作AB的垂直平分线即可；
（2）根据三角形内角和求出∠CAB，再根据垂直平分线的性质得到AE=BE，从而有∠B=∠BAE，可得∠CAE．
【详解】
解：（1）如图，DE即为所作；
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（2）∵∠B=20°，∠C=90°，
∴∠CAB=70°，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠B=∠BAE=20°，
∴∠CAE=70°-20°=50°．
【点睛】
本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等边对等角，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，得到线段相等．
38．如图，中，D为的中点，于E，于F，且，求证：．
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【答案】见解析
【分析】
只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，可得BA=BC，即可得到结论．
【详解】
解：证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），
∴∠A=∠C，
∴BA=BC．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是正确寻找全等三角形．
39．如图，甲、乙两个勘探队对A，B，C三处的地质情况进行勘测，发现三处之间的距离两两相等．甲、乙两队分别同时从A处和B处沿着和方向以相同的速度行进，经过t小时后，分别到达P，Q处，连接并延长，交于点G．21·世纪
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（1）证明：．
（2）在甲队从B处到P处，乙队从C处到Q处的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出的大小．
【答案】（1）见解析；（2）的大小不会发生变化，值为120°．
【分析】
（1）根据SAS即可证明；
（2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和得到，故可求解．
【详解】
（1）证明：由题意，得，且，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
在和中，
∴．
（2）解：的大小不会发生变化．
理由如下：∵，
∴．
又∵，
∴．
故的大小不会发生变化，．
【点睛】
此题主要考查等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知三角形的内角和及全等三角形的判定定理．
40．如图，在中，，D为中点，平分交于点E，过点E作交于点F．
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（1）若，求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）；（2）见解析．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和三线合一的性质即可得解；
（2）根据角平分线的性质和平行线的性质进行角的等量代换即可得解．
【详解】
解：（1），
，
，
又D为中点，根据等腰三角形三线合一的性质有：
；
（2）已知平分，
，
又，
，
，
是等腰三角形，
．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，三线合一的性质，角平分线的性质，平行线的性质；熟练掌握相关的性质概念是解题的关键．
41．如图，中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接DF，根据直角三角形的性质得到DF＝AB＝BF，进而证明DC＝DF，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
（2）根据三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论．
【详解】
解：（1）连接DF，
∵AD是边BC上的高，
∴，
∵点F是AB的中点，
∴DF＝AB＝BF，
∵DC＝BF，
∴DC＝DF，
∵点E是CF的中点．
∴；
（2）∵DC＝DF，
∴，
∴，
∵DF＝BF，
∴，
∴．
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【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质；关键在于掌握好相关考点的基础知识，灵活运用．
42．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
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（1）若，求的度数；
（2）连接，若，的周长是，求的长．
【答案】（1）40°；（2）6cm
【分析】
（1）由AB=AC可得∠C=∠ABC=70°，由三角形内角和可得∠A=40°；
（2）由（1）可知BN=AN，由此可得BN+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)NC=AN+NC=AC=AB=8cm，再由C△BNC=BN+CN+BC=14cm，可得BC=14-8=6（cm）．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°；
（2）MN是的垂直平分线，
∴AN=BN，
∴BN+CN=AN+CN=AC，
∵AB=AC=8cm，
∴BN+CN=8cm，
∵C△BNC=BN+CN+BC=14（cm），
∴BC=14﹣8=6（cm）．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，三角形内
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角和，线段垂直平分线性质，三角形周长，掌握等腰三角形性质，三角形内角和，线段垂直平分线性质，三角形周长是解题关键．
43．如图，在中，，的垂直平分线交于N，交于M．
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（1）若，则的度数是_______；若，则的度数是_______；
（2）若，你认为与怎样的数量关系？说出你的理由；
（3）连接，若，的周长是．求的长；
【答案】（1）50°，70°；（2），理由见详解；（3）
【分析】
（1）由题意易得，则有，进而可得，然后可根据直角三角形的两个锐角互余及题意可进行求解；
（2）由（1）可得，，进而问题可求解；
（3）连接BM，由题意易得AM=BM，则有，然后根据的周长可进行求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当，则有，
∴，
当，则有，
∴，
故答案为50°，70°；
（2），理由如下：
由（1）可得，，
∵，
∴，
∴；
（3）连接BM，如图所示：
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∵的垂直平分线交于N，交于M，
∴，
∵cm，
∴，
∵的周长是，即，
∴．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握等腰三角形的性质及线段的垂直平分线的性质定理是解题的关键．21
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com
44．如图，在ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．
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【答案】108°
【分析】
由BD＝CD，可设∠BCD＝∠CBD=x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，然后由三角形的外角和AB=AD可知∠ABD＝∠ADB＝2x°，即可得到∠ABC＝3x°，然后根据三角形内角和为180°进行求解计算即可．
【详解】
解：∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD，
设∠BCD＝∠CBD＝x°，
∵AB＝BC＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，
∠A＝∠C＝x°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝3x°，
∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180，
解得x＝36，
∴∠C＝36°
∴∠ABC＝3∠C＝108°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，注意等边对等角是解题的关键．
45．已知点在直角坐标系中的位置如图．
（1）点的坐标为______，点与点之间的距离为______．
（2）在图中画一个等腰三角形，使点，分别落在轴，轴上，且各顶点的横，纵坐标都是整数．
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【答案】（1），；（2）见解析
【分析】
（1）根据图像，可得点A的坐标，根据勾股定理可以求出点
A
与点
O
之间的距离，
（2）根据等腰三角形的性质和判定即可作出图形．
【详解】
（1）如图，点A的坐标为（3，5）
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AO=，
故答案为：（3，5），
（2）（参考图如下，画出一种即可）
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【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系，坐标
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与图形，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是掌握点的坐标的特征，以及掌握等腰三角形的性质和判定，以及规范作图．21世纪教育网版权所有
46．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点
E、F，BE＝CF．求证：AD垂直平分EF．www-2-1-cnjy-com
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【答案】见解析
【分析】
先由HL证得Rt△BDE≌Rt△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CDF，得出DE=DF，∠B=∠C，则AB=AC，推出AE=AF，得出点A、D在EF的垂直平分线上，即可得出结论．
【详解】
证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵BE＝CF，
∴AB﹣BE＝AC﹣CF，
∴AE＝AF，
∴点A、D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
47．如图，点
C、E、F、B在同一直线上，CE＝BF，AB＝CD，AB∥CD．
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（1）求证∠A＝∠D；
（2）若AB＝BE，∠B＝40°，求∠D的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）70°
【分析】
（1）由平行线的性质可得∠C＝∠B，再由等式的性质可得CF＝BE，然后由SAS证得△AEB≌△DFC，即可得出结论；
（2）由AB＝BE，得∠A＝∠AEB，由三角形内角和定理得∠A＝∠AEB（180°﹣∠B）＝70°，由（1）结论即可得出结果．
【详解】
（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B，
∵CE＝BF，
∴CE+EF＝FB+EF，
即CF＝BE，
在△AEB和△DFC中，
，
∴△AEB≌△DFC（SAS），
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵AB＝BE，
∴∠A＝∠AEB，
∵∠B＝40°，
∴∠A＝∠AEB（180°﹣∠B）（180°﹣40°）＝70°，
∴∠D＝∠A＝70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．www.21-cn-jy.com
48．在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于．
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（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；
【分析】
（1）依题证明△ADF为等腰三角形，只需要证明，即可；
（2）利用含有30°角的直角三角形的性质（30°所对直角边长是斜边长的一半），即可．
【详解】
（1）∵是的角平分线，∴
；
∵
，∴
，
∴
，
∴
，
∴
是等腰三角形
（2）∵
是等腰三角形，为底边的中点，
∴
，，
∵
，
∴
；
∴
∵
中，，
∴
∵
中，，
∴
．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形及直角三角形的性质，关键在于熟练应用含30°角的直角三角形求解边长．
49．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝10，求CD的长．
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【答案】DC的长是5
【分析】
在Rt△ABC中利用∠C＝90°，∠A＝3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0°易求∠ABC＝60°，再利用角平分线性质可求∠ABD＝∠DBC＝30°，从而可得∠ABD＝∠A，进而可求BD，在Rt△BDC中，利用30°的角所对的边等于斜边的一半可求CD．
【详解】
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠A，
∴BD＝AD＝10，
又∵∠DBC＝30°，∠C＝90°，
∴DC＝BD＝5．
即DC的长是5．
【点睛】
本题考查了含有30°角的直角三角形、角平分线的性质．解题的关键是得出BD＝AD＝10．
50．如图，已知，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=4cm，求AC的长．【版权所有：21教育】
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【答案】12cm
【分析】
由题意易得∠ABC=60°，进而可得∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=∠ABD=30°，则有∠CBD=30°，然后根据含30°直角三角形的性质可得AD=BD=8cm，进而问题可求解．
【详解】
解：∵，
∴∠ABC=60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=30°，
∵CD=4cm，
∴BD=2CD=8cm，
∴AD=8cm，
∴AC=CD+AD=12cm．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质及含30°直角三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质及含30°直角三角形的性质是解题的关键．
51．如图，在△ABC中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，∠ACB＝90°，CA＝CB．点E为△ABC外一点，CE＝CA，且CD平分∠ACB交AE于点D，且∠CDE＝60°，求∠DCE的度数．
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【答案】105°
【分析】
首先利用等腰三角形的性质得出，∠CAE＝∠CEA，再利用外角的性质得出∠BCE的度数，进而利用角的和差关系得出答案．
【详解】
解：∵CA＝CB，CE＝CA，
∴BC＝CE，∠CAE＝∠CEA，
∵CD平分∠ACB交AE于D，且∠CDE＝60°，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DAC+∠ACD＝∠EDC＝60°，
∴∠DAC＝∠CEA＝15°，
∴∠ACE＝150°，
∴∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝105°．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角的性质及角平分线的定义是解题的关键．
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精品试卷·第
2
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13.3
等腰三角形
【基础训练】
一、单选题
1．若一个等腰三角形的外角为，则它的顶角度数是（
）
A．
B．
C．或
D．或
2．若等腰三角形的周长为26cm，一边为6cm，则腰长为（ ）
A．6cm
B．10cm
C．10cm或6cm
D．以上都不对
3．下列命题是真命题的为（
）
A．若两角的两边分别平行，则这两角相等
B．若两实数相等，则它们的绝对值相等
C．对应角相等的两个三角形是全等三角形
D．锐角三角形是等边三角形
4．等腰三角形的两边长分别为，，则该三角形的周长为（ ）
A．
B．
C．或
D．以上都不对
5．若等腰三角形的两边长为3和7，则该等腰三角形的周长为（
）
A．10
B．17
C．13
D．13或17
6．下列关于等边三角形的性质的叙述中，错误的是（
）
A．是等腰三角形
B．三个角都相等
C．三条边都相等
D．只有一条对称轴
7．如图，正六边形螺帽，点，，为它的三个顶点，则（
）
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A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，若∠DAF=20°，则∠BAC的度数是（
）
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A．90°
B．100°
C．105°
D．120°
9．如图，平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，2），点N在轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（???
）个21cnjy.com
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A．3
B．4
C．5
D．8
10．已知中，则的周长等于（
）
A．
B．
C．
D．
11．在中，，如果，那么的度数为（
）
A．40°
B．70°
C．100°
D．40°或70°
12．如果等腰三角形的两边长分别为7cm和3cm．那么它的第三边的长是（
）
A．3cm
B．4cm
C．7cm
D．3cm或7cm
13．如图，是等边三角形，点为边上一点，以为边作等边，连接．若，则长为（
）
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A．
B．
C．
D．
14．已知等腰三角形中，有一个角为80°，则它的另外两个角的度数为（
）
A．60°和60°
B．20°和80°
C．40°和60°
D．50和50°或20°和80°
15．已知等腰三角形的两边长分别6cm和10cm，则它的周长为（
）
A．10cm
B．20
cm
C．15cm
D．22cm或26cm
16．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（
）
A．12或9
B．9
C．12
D．9或7
17．如图，平分∠，∠=15°，∥，⊥于点，=4，则=(
)．
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A．2
B．2.5
C．3
D．3.5
18．如图，在中，点在边上，，，，则下列结论正确的是（
）
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A．是的平分线
B．是边上的中线
C．是边上的高
D．与的面积相等
19．如图，在ABC中，∠B＝50°，点D在BC上，且AB＝BD，AD＝CD，则∠C的度数为（
）
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A．30°
B．32.5°
C．45°
D．60°
20．如图，有一种电子游戏，其规则为：电子屏幕上有一正方形，点P沿直线从右往左移动，当出现点P与正方形四个顶点中的两个顶点构成等腰三角形时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点P有（
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A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
21．如图所示是跷跷板示意图，横板绕中点O上下移动，立柱与地面垂直，当横板的A端着地时，测得，则在玩跷跷板时，上下最大可以转动的角度为（
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A．
B．
C．
D．
22．如图，是等边的中线，点E在上，，则的度数为（ ）
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A．
B．
C．
D．
23．等腰三角形一边长为3，另一边长为4，则它的周长等于（
）
A．10
B．11
C．12
D．10或11
24．如图，在中，为的中点，，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
25．如图，，点和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（
）
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A．
B．
C．
D．
26．如图，在中，，垂足为，垂直平分，交于点，交于点，，若的周长为cm，cm，则（
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A．cm
B．cm
C．cm
D．cm
27．如图，在中，，且，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
28．如图，在中，，点D在CA的延长线上，于点E，若，则（
）
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A．
B．
C．
D．
29．如图，等边中，，点在边上，，，垂足分别为、，设，若用含的式子表示的长，正确的是（
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A．
B．
C．
D．
30．如图，和都是等边三角形，是的角平分线，下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（
）21
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com
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A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二、填空题
31．在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是________．
32．如图，已知，，则___________．
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33．如图，中，，，，分别为，的垂直平分线，则________，的周长为________．【来源：21cnj
y.co
m】
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34．如图，在△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=4，△ACD是等边三角形，连接BD，则△BCD的面积是___
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35．如图，在ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝_____．【出处：21教育名师】
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三、解答题
36．如图，，，，点在线段上．
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（1）求证：；
（2）求的度数．
37．如图，中，．
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（1）请画出边垂直平分线，与相交于，与相交于；（尺规画图，保留作图痕迹）
（2）连接，若，求的度数．
38．如图，中，D为的中点，于E，于F，且，求证：．
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39．如图，甲、乙两个勘探队对A，B，C三处的地质情况进行勘测，发现三处之间的距离两两相等．甲、乙两队分别同时从A处和B处沿着和方向以相同的速度行进，经过t小时后，分别到达P，Q处，连接并延长，交于点G．21·cn·jy·com
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（1）证明：．
（2）在甲队从B处到P处，乙队从C处到Q处的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出的大小．www-2-1-cnjy-com
40．如图，在中，，D为中点，平分交于点E，过点E作交于点F．
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（1）若，求的度数；
（2）求证：．
41．如图，中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
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42．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
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（1）若，求的度数；
（2）连接，若，的周长是，求的长．
43．如图，在中，，的垂直平分线交于N，交于M．
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（1）若，则的度数是_______；若，则的度数是_______；
（2）若，你认为与怎样的数量关系？说出你的理由；
（3）连接，若，的周长是．求的长；
44．如图，在ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．
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45．已知点在直角坐标系中的位置如图．
（1）点的坐标为______，点与点之间的距离为______．
（2）在图中画一个等腰三角形，使点，分别落在轴，轴上，且各顶点的横，纵坐标都是整数．
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46．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点
E、F，BE＝CF．求证：AD垂直平分EF．21世纪教育网版权所有
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47．如图，点
C、E、F、B在同一直线上，CE＝BF，AB＝CD，AB∥CD．
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（1）求证∠A＝∠D；
（2）若AB＝BE，∠B＝40°，求∠D的度数．
48．在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于．
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（1）证明：是等腰三角形；
（2）若，求的长．
49．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝10，求CD的长．
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50．如图，已知，在△ABC中，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=4cm，求AC的长．2·1·c·n·j·y
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51．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，CA＝CB．点E为△ABC外一点，CE＝CA，且CD平分∠ACB交AE于点D，且∠CDE＝60°，求∠DCE的度数．【来源：21·世纪·教育·网】
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精品试卷·第
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