中小学教育资源及组卷应用平台
14.2
乘法公式
【提升训练】
一、单选题
1．已知，则代数式的值是（
）
A．
B．20
C．
D．0
【答案】B
【分析】
根据题意得到a﹣2b=-5，将进行因式分解变形为，再把a﹣2b=-5代入计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
＝
当时，
原式＝25-5
＝20．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式，掌握完全平方公式的运算法则是解题的关键．注意整体思想的运用．
2．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
直接利用合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式进行进行判断即可；
【详解】
A、
，故A错误；
B、
，故B错误；
C、
，故C错误；
D、
，故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式，正确掌握计算方法是解题的关键．
3．若是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．18
B．8
C．或22
D．或12
【答案】C
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【详解】
解：∵是一个完全平方式，
∴k-2=±20，
解得：k=-18或k=22，
故选：C．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释．那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是：（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先利用正方形的面积公式确定阴影正方形的面积，再利用整体与部分的关系得到阴影正方形的另一个面积表达式，即可得出正确选项．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：由图可知，阴影正方形的面积为;
由于阴影正方形可以看成是整个图形减去三个长宽分别为a和b的长方形与两个边长为b的正方形；
因此阴影正方形面积还可表示为：
∴;
故选A．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何意义，注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示出阴影正方形的面积是解题的关键．【出处：21教育名师】
5．为了节省材料，某工厂利用岸堤MN（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC＝（x+20）米，则下列4个结论：①AB＝（10﹣1.5x）米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④长方形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
【答案】D
【分析】
设两个相同的小长方形的两边长分别为a，b，通过计算证明①②③，针对④可列出面积S与x的关系式，然后根据完全平方式的非负性说明即可．
【详解】
解：∵三块面积相等的小长方形，
∴EG＝GF，设EG＝FG＝a，AE＝HG＝DF＝b，
则EF＝2a，故BE＝FC＝b，无法得出BC＝2CF，故选项②错误；
此时③AE＝2BE，正确；
可得：b+b+b+b+b＝80﹣2（x+20），
解得：b＝10﹣x，
则AB＝（10﹣x）＝15﹣x，
故选项①错误；
长方形ABCD的面积为：S＝（15﹣x）（20+x）＝﹣x2+300，
∵﹣x2≤0，
∴当x＝0，即BC＝20米时，S的最大值为300平方米，故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查与几何图形相关的整式运算，理解题意，找准图形间的数量关系是解题关键．
6．式子化简的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用添项法，构造平方差公式计算即可．
【详解】
设S=，
∴（2—1）S=（2—1）
∴S=
=
=
=，
故选C．
【点睛】
本题考查了平方差公式的应用，善于观察题目的特点，通过添项构造连续的平方差公式使用条件是解题的关键．
7．下列运算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
分别根据同底数幂的乘法、积的乘方、及整式的混合运算的运算法则进行计算，即可得出结论．
【详解】
解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法、积的乘方及整式混合运算的的运算法则是解题的关键．
8．若，，则的值为（）
A．40
B．36
C．32
D．30
【答案】C
【分析】
根据a+b=6，ab=4，应用完全平方公式，求出a2+ab+b2的值为多少即可．
【详解】
解：∵a+b=6，ab=4，
∴a2+ab+b2
=（a+b）2-ab
=36-4
=32
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式的应用，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要熟练掌握，应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．www-2-1-cnjy-com
9．如图，两个正方形的边长分别为、，如果、满足，，则阴影部分的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．9
C．18
D．27
【答案】A
【分析】
由两个正方形面积之和减去△BEF和△BCD的面积之和即可得到答案．
【详解】
由图可得：，
∴，
将，代入得：，
故选：A．
【点睛】
本题考查乘法公式在几何图形面积计算中的应用，准确表示各部分面积并结合乘法公式进行合理变形是解题关键．
10．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则．
其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
直接利用新定义求解即可判断选项的正误．
【详解】
解：运算a?b=a（1-b），
所以2?（-
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2）=2（1+2）=6，所以①正确；
a?b=a（1-b），
b?a=b（1-a），∴②不正确；21cnjy.com
若a?b=0，a?b=a（1-b）=0，可得a=0，或b=1．所以③不正确；
若a+b=0，则（a?a）+（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)b?b）=a（1-a）+b（1-b）=a+b-（a2+b2）=-（a+b）2+2ab=2ab，所以④正确，正确的两个，
故选B．
【点睛】
本题考查了命题的真假的判断与应用，新定义的理解与应用，基本知识的考查．
11．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（ ）．
A．m＝，n＝
B．m＝，n＝5
C．m＝25，n＝5
D．m＝5，n＝
【答案】A
【分析】
根据完全平方公式和整式的性质计算，得到m和n的关系式，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵x2+5x+m＝（x+n）2＝x2+2nx+n2
∴2n＝5，m＝n2
∴m＝，n＝
故选：A．
【点睛】
本题考查了整式、乘法公式、一元一次方程、乘方的知识；解题的关键是熟练掌握整式、完全平方公式的性质，从而完成求解．
12．下列运算正确的是（
）
A．a6÷a3＝a2
B．（a2）3＝a5
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6
D．（2a＋1）2＝4a2＋2a＋1
【答案】C
【分析】
分别根据同底数幂的除法，幂的乘方，积的乘方以及完全平方公式逐一判断即可．
【详解】
解：A.
a6÷a3=a3，故选项A不合题意；
B.（a2）3=a6，故选项B不合题意；
C.（-2a2b）3=-8a6b3，正确，故选项C符合题意；
D.（2a+1）2=4a2+4a+1，故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了幂的运算以及完全平方公式，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
13．若x2+kx+16能写成一个多项式的平方形式，则k的值为（ ）
A．±8
B．8
C．±4
D．4
【答案】A
【分析】
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【详解】
解：∵x2+kx+16＝x2+kx+42，x2+kx+16能写成一个多项式的平方形式，
∴kx＝±2?x?4，
解得k＝±8．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据完全平方公式即可求出答案．
【详解】
解：A.4x2+2x+1，不是完全平方式，故此选项符合题意；
B.4x2+4x+1=（2x+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；
C.4x2-4x+1=（2x-1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；
D.4x4+4x2+1=（2x2+1）2，是完全平方式，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
15．若的值为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
把进行完全平方，展开计算的值即可.
【详解】
∵=1，
∴=1，
∴-2=1，
∴=3，
∴=8，
故选B.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的展开计算，熟练运用完全平方公式是解题的关键.
16．在括号内填上适当的单项式，使成为完全平方式应填（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可；
【详解】
；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式，准确判断是解题的关键．
17．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
依次利用合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式知识点计算，依次判断即可．
【详解】
A.
，故此项错误；
B.
，故此项错误；
C.
，故此项正确；
D.
，故此项错误；
故选C
【点睛】
本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
18．如图，将大小相同的四个小正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形按照图①和图②所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据图形阴影部分的面积的不同求法可得等式．
【详解】
解：阴影部分的面积是四个阴影小正方形的面积和，由拼图可得四个阴影小正方形可以拼成边长为（a-b）的正方形，因此面积为（a-b）2，
由图2可知，阴影部分的面积等于边长为a的正方形的面积减去之间十字架的面积，即：a2-2ab+b2，
因此有（a-b）2=a2-2ab+b2，
故选：A．
【点睛】
本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同方法表示阴影部分的面积是得出答案的关键．
19．下列计算中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式法、单项式乘以多项式依次求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】
A.
，计算正确，不符合题意；
B.
，计算正确，不符合题意；
C.
，计算正确，不符合题意；
D.
，计算错误，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了平方差公式、完全平方公式、多项式乘以多项式法、单项式乘以多项式，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
20．一个大正方形和四个全等的小正方形按
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（
）（用含有a、b的代数式表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．a-b
B．a+b
C．ab
D．2ab
【答案】C
【分析】
设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，列方程求解，用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可．
【详解】
解：设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，
则：
，
解得：
，
∴阴影面积=（）2﹣4×（）2＝ab．
故选C．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键．
21．多项式是完全平方式，那么的值是（ ）
A．
B．
C．10
D．20
【答案】B
【分析】
由4a2+ma+25是完全平方式，可知此完全平方式可能为（2a±5）2，再求得完全平方式的结果，根据多项式相等，即可求得m的值．
【详解】
解：∵4a2+ma+25是完全平方式，
∴4a2+ma+25=（2a±5）2=4a2±20a+25，
∴m=±20．
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
22．从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形纸片，则剩余部分的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题意列出关系式，化简即可得到结果；
【详解】
根据题意可得：
；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确分析计算是解题的关键．
23．根据等式：，，……的规律，则可以推算得出的末位数字是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用题目给出的规律：把乘（2-1）得出22022-1，研究22022的末位数字规律，进一步解决问题．21·世纪
教育网
【详解】
解：由题目中等式的规律可得：
=（2-1）×
=22022-1，
21的末位数字是2，22的末位数字是4，23的末位数字是8，24的末位数字是6，25的末位数字是2…，
所以2n的末位数字是以2、4、8、6四个数字一循环．
2022÷4=505…2，
所以22022的末位数字是4，
22022-1的末位数字是3．
故选：B
【点睛】
此题考查了平方差公式，乘方的末位数字的规律，尾数特征，注意从简单情形入手，发现规律，解决问题．
24．如果是一个完全平方式，则的值是（
）
A．
B．9
C．
D．12
【答案】A
【分析】
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】
解：∵，
∴
，
解得m=±12．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．21教育名师原创作品
25．···的个位数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
原式中的3变形为22-1，反复利用平方差公式计算即可得到结果．
【详解】
解：3（22+1）（24+1）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4=16，
∴264个位上数字为6，即原式个位上数字为6．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
26．已知，，则的值是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．12
【答案】A
【分析】
先把代入原式，可得=，结合完全平方公式，即可求解．
【详解】
∵，
∴===，
∵，
∴==，
故选A．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，熟练掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键．
27．下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
B．（a﹣）2＝a2﹣
C．﹣2a（3a﹣1）＝﹣6a2+a
D．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2
【答案】D
【分析】
根据整式的乘法逐项判断即可求解．
【详解】
解：A.
（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，原题计算错误，不合题意；
B.
（a﹣）2＝a2﹣a+，原题计算错误，不合题意；
C.
﹣2a（3a﹣1）＝﹣6a2+2a，原题计算错误，不合题意；
D.
（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，计算正确，符合题意．
故选：D
【点睛】
本题考查了单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方式，熟练掌握单项式乘以多项式的法则、乘法公式是解题的关键．
28．已知，则a2+4b2的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
【详解】
解：∵a-2b=10，ab=5，
∴a2+4b2=（a-2b）2+4ab=102+4×5=120．
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
29．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据如图能得到的数学公式是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（a+b）（a-b）=a2-b2
B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．a（a+b）=a2
+ab
D．a（a-b）=a2-ab
【答案】B
【分析】
根据图形得出阴影部分的面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)积是（a-b）2和b2，剩余的矩形面积是（a-b）b和（a-b）b，即大阴影部分的面积是（a-b）2，即可得出选项．
【详解】
解：从图中可知：阴影部分的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)面积是（a-b）2和b2，剩余的矩形面积是（a-b）b和（a-b）b，
即大阴影部分的面积是（a-b）2，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的阅读能力和转化能力，题目比较好，有一定的难度．
30．如图，有A，B两个正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．11
B．9
C．21
D．23
【答案】C
【分析】
设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b，根据图形得到a2+b2＝5+2ab，ab＝8，得到答案．
【详解】
解：设A正方形的边长为a，B正方形的边长为b，
由图甲可知，a2﹣b2﹣b(a﹣b)×2＝5，即a2﹣2ab+b2＝5，
∴a2+b2＝5+2ab，
由图乙可知，(a+b)2﹣a2﹣b2＝16，即ab＝8，
∴a2+b2＝5+2ab＝21，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是完全平方公式的几何背景，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
二、填空题
31．能用完全平方公式因式分解，则的值为_________________．
【答案】5或
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】
解：是一个完全平方式，
，
解得：或，
故答案为：5或．
【点睛】
本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
32．已知，则=_____________
【答案】14
【分析】
首先观察题目的条件和所求的问题，可以发现利用完全平方公式就可以计算得出答案．
【详解】
解：∵
∴
又∵
∴
∴
即
故答案为：14．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式的应用，正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)确运用公式是解题关键．这类题目比较特殊，通过观察所要求的答案和已知条件可以发现，是前后两项进行平方的结果，且采用完全平方来进行计算时，两项相乘可将未知项约去．21·cn·jy·com
33．若，，则__．
【答案】7
【分析】
直接利用同底数幂相乘，底数不
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)变，指数相加，得到a+b的值，利用幂的乘方，底数不变指数相乘，得到ab的值，再将原式进行变形，代入数值后即可求解．
【详解】
，
，
，
，
．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了整式的同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、完全平方公式的变形等内容，解决本题的关键是牢记公式，并灵活运用即可．
34．已知，则代数式的值为________．
【答案】3
【分析】
将（）看作一个整体，原式利用完全平方公式化简，把的值代入计算即可求出值．
【详解】
∵，
∴代数式：
，
故代数式的值为3.
【点睛】
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键
35．如图1，在一个大正方形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)纸板中剪下边长为acm和边长为bcm的两个正方形，剩余长方形①和长方形②的面积和为8cm2．若将剩余的长方形①和②平移进边长为acm的正方形中（如图2），此时该正方形未被覆盖的面积为6cm2，则原大正方形的面积为_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】22cm2．
【分析】
由题意根据图1可知2ab＝8cm2，根据图2可知（a﹣b）2＝6cm2，依此求出（a+b）2的值即可求解．
【详解】
解：根据图1可知2ab＝8cm2，
根据图2可知（a﹣b）2＝6cm2，
则（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝6+2×8＝22（cm2）．
故原大正方形的面积为22cm2．
故答案为：22cm2．
【点睛】
本题考查的图形面积与完全平方公式的关系，掌握利用完全平方公式的变形求解图形面积是解题的关键．
三、解答题
36．先化简，再求值：，其中．
【答案】，-1
【分析】
根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项，最后把a的值代入即可求解．
【详解】
解：原式=
=；
当时，
原式==4×（）+5=．
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．
37．计算
【答案】
【分析】
先计算多项式除以单项式和完全平方公式，再合并即可．
【详解】
解：
＝
【点睛】
本题考查了整式混合运算，解题关键是熟练运用法则和公式进行计算．
38．已知，．求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）101．
【分析】
（1）利用和的完全平方公式展开，代入后变形计算即可；
（2）巧用因式分解法的提取公因式法，把被求代数式用给出的代数式表示，后代入求值即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）原式
．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用，提取公因式化简多项式，代数式的值，熟练用已知代数式变形表示被求代数式是解题的关键．21世纪教育网版权所有
39．计算下列各式．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）9
【分析】
（1）按照幂的运算法则计算即可；
（2）根据整式乘法和乘法公式计算即可．
【详解】
解：（1）原式
（2）原式
．
【点睛】
本题考查了幂的运算和整式的乘法，解题关键是熟练运用幂的运算法则和乘法公式进行准确计算.
40．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】
（1）直接用平方差公式，化二次根式为最简，利用运算法则得出答案；
（2）直接利用完全平方公式展开合并得出答案．www.21-cn-jy.com
（3）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可
（4））分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解来确定不等式组的解集．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
（1）
．
故答案为
（2）
．
故答案为
（3）
将①变形：
，
即……③，
由②＋③得：
．
将代入中，
∴，
则，
∴的解为：
故答案为
（4），
解①得：
，
解②得：
，
由①②得：，
故的解集为：．
【点睛】
本题考察二次根式混合运算，因式分解，解二元一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)次方程组，解不等式组；熟练掌握化二次根式为最简，平方差公式和完全平方公式；加减消元法；正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键2-1-c-n-j-y
41．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）6b+5；（2）-2x2-3x．
【分析】
（1）利用多项式除单项式法则计算即可；
（2）利用平方差公式和去括号法则计算，再合并同类项即可．
【详解】
解：（1）原式=6ab÷a+5a÷a
=6b+5；
（2）原式=x2-9-3x2-3x+9
=-2x2-3x．
【点睛】
本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
42．先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（-2x），其中x=-3，y=﹣2020
【答案】；-2023
【分析】
根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式、多项式除以单项式可化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【版权所有：21教育】
【详解】
解：[(x﹣2y)2+(x﹣2y)(x+2y)﹣2x(2x﹣y)]÷(-2x)
=
．
当x=﹣3，y=﹣2020时，
原式=．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算—化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算的法则．
43．先化简，再求值：
，（其中）
【答案】，13．
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式展开，化简，后代入求值即可．
【详解】
原式
，
当时，
原式
．
【点睛】
本题考查了利用完全平方公式和平方差公式，合并同类项，熟练运用公式，准确合并同类项化简是解题的关键．
44．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接利用整式的混合运算法则计算得出答案；
（2）直接利用整式的混合运算法则计算得出答案；
【详解】
（1）
（2）
【点睛】
本题考查了整式的混合运算法则，熟练掌握知识点是解题的关键；
45．先化简，再求值：，其中，．
【答案】-20x+24y，-8．
【分析】
原式中括号中利用平方差公式，以及完全平方公式化简，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】
原式=
=
=
=
当，时，
原式=
故答案为-20x+24y，-8．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
46．计算：（x+1）（x﹣1）﹣．
【答案】﹣4x﹣5．
【分析】
利用平方差公式和完全平方公式计算即可．
【详解】
（x+1）（x﹣1）﹣
＝﹣1﹣﹣4x﹣4
＝﹣4x﹣5．
【点睛】
本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记并灵活运用两个公式是解题的关键．
47．化简：．
【答案】．
【分析】
原式根据平方差公式和完全平方公式将括号展开，然后再合并同类项即可得到答案．
【详解】
解：
．
【点睛】
此题主要考查了整式的四则运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解答此题的关键．
48．已知a+b=7，ab=11，求代数式的值．
【答案】8
【分析】
由完全平方公式的变形，先把代数式进行化简，然后把a+b=7，ab=11，代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
=
=，
∵a+b=7，ab=11，
∴原式=．
【点睛】
本题考查了整式的加减，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
49．先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】
由平方差公式和完全平方公式进行化简，然后把，代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：原式；
当，时，
原式．
【点睛】
本题考查了实数的运算法则，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行化简．
50．计算
（1）
（2）；
（3）先化简﹐再求值：
，其中
【答案】（1）；（2）；（3）；1
【分析】
（1）根据立方根、平方根的性质计算，即可得到答案；
（2）根据幂的乘方、合并同类项的性质计算，即可得到答案；
（3）根据完全平方公式、平方差公式、整式加减运算的性质计算，即可完成化简；再结合代数式的性质计算，即可得到答案．21
cnjy
com
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）
；
当时，原式．
【点睛】
本题考查了立方根、平方根、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)幂的乘方、合并同类项、乘法公式、整式加减运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握立方根、平方根、幂的乘方、乘法公式、整式加减运算的性质，从而完成求解．
51．计算：（1）
（2）
【答案】（1）2；（3）-3
【分析】
（1）根据平方差公式计算即可；
（2）根据实数混合运算法则计算即可．
【详解】
解：（1）原式
（2）原式
．
【点睛】
本题主要考查了实数的运算以及平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式以及实数混合运算法则．
52．计算：
（1）﹣2﹣1+（2019﹣π）0+|﹣3|﹣（﹣1）2020
（2）（2x+3）（2
x﹣3）﹣4
x（x﹣1）+（x﹣2）2
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）分别根据0指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行解答即可；【来源：21cnj
y.co
m】
（2）根据整式混合运算的法则计算即可．
【详解】
解：（1）﹣2﹣1+（2019﹣π）0+|﹣3|﹣（﹣1）2020=；
（2）（2
x
+3）（2
x﹣3）﹣4
x（x﹣1）+（x﹣2）2=．
【点睛】
本题考查的是实数的混合运算及整式的化简，熟记0指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方的计算法则及整式混合运算的法则是解答此题的关键．
53．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．
【答案】﹣7
【分析】
根据完全平方公式（a±b）2＝a2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)±2ab+b2，可得a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab，（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，据此计算即可．
【详解】
解：因为（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9，
所以（a﹣b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝16，
所以a2﹣6ab+b2＝（a﹣b）2﹣4ab＝9﹣16＝﹣7．
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
54．先化简，再求值：（2x+y）2﹣（y﹣2x）2，其中．
【答案】8xy，
【分析】
直接利用完全平方公式化简进而合并同类项，再把已知数据代入计算即可．
【详解】
解：（2x+y）2﹣（y﹣2x）2，
＝4x2+4xy+y2﹣（y2+4x2﹣4xy），
＝4x2+4xy+y2﹣y2﹣4x2+4xy，
＝8xy，
当时，
原式＝8××（），
＝﹣．
【点睛】
本题主要考查了用完全平方公式化简求值，熟记公式的几个变形公式是解题关键．
55．计算：
（1）（x3）2?（﹣2x2y3）2；
（2）（a﹣3）（a+3）+（2a+1）2．
【答案】（1）4x10y6；（2）5a2+4a﹣8．
【分析】
（1）根据整式的乘法运算即可求出答案．
（2）根据乘法公式即可求出答案．
【详解】
解：（1）（x3）2?（﹣2x2y3）2
=x6?4x4y6
=4x10y6．
（2）（a﹣3）（a+3）+（2a+1）2
=a2﹣9+4a2+4a+1
=5a2+4a﹣8．
【点睛】
本题考查整式的运算，解题的关键熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
56．综合与实践
读下列材料，完成文后任务．
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足．求
的值，怎么解决呢？小英给出了如下两种方法：方法1：设，，则，
，方法2：，
，，．
任务（1）方法1用到的乘法公式是
（填“平方差公式”或“完全平方公式”）．
（2）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若，求
的值．
（3）如图，在长方形ABCD中，，，E，F是BC，
CD上的点，且，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和
CEMN，若长方形
CEPF的面积为40，求图中阴影部分的面积和．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）完全平方公式；（2）；（3）96．
【分析】
（1）根据方法1中用到的方法，可以知道方法1中用到的乘法公式是完全平方公式；
（2）使用方法1，设，，则可得，，根据完全平方公式化简可得，即有
（3）根据，，，得到，，即有：，，，可得，，利用完全平方公式化简计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）根据方法1中用到的方法，可以知道方法1中用到的乘法公式是完全平方公式；
（2）使用方法1，
设，，
则，
，
∴，
∴，
∴
即：
（3）∵，，，
∴，，
∵长方形CEPF的面积为40，
即有：，
设，，
则，
∴，
∴，
∵四边形CFGH和CEMN均是正方形，
∴图中阴影部分的面积和是：
【点睛】
本题考查整体代入的解题方法和完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行整体代入求解．21教育网
57．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是__________；
（2）用两种不同的方法表示②中阴影部分的面积：
方法1：____________________；方法2：____________________
（3）观察图②，请你写出式子、、ab之间的等量关系：__________；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则的值为多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）69
【分析】
（1）根据图形可知，阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差，写出即可；
（2）①从整体考虑，用大正方形的面积减去四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；
②从局部考虑，根据正方形的面积公式，小正方形的边长的平方就是阴影部分的面积；
（3）把已知条件代入进行计算即可求解．
(4)
利用第
(3)
问得出的式子进行计算即可．
【详解】
解：（1）阴影部分的正方形的边长是：a﹣b；
（2）方法1：大正方形的面积减去四个小矩形的面积：（a+b）2﹣4ab，
方法2：阴影小正方形的面积：（a﹣b）2；
（3）（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；
（4）根据（3）的关系式，（m+n）2=（m﹣n）2+4mn，
∵m﹣n=﹣7，mn=5，
∴（m+n）2=（﹣7）2+4×5=49+20=69．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何背景，以及两个公式之间的关系，从整体与局部两种情况分析并写出面积的表达式是解题的关键．
58．如图，点M是AB的中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a＋b＝8，ab＝6，求图中阴影部分的面积．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】36
【分析】
依据AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，可得AM＝BM＝，再根据S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM，即可得到图中阴影部分的面积．
【详解】
解：∵a＋b＝8，a
b＝6，
∴S阴影部分＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△AMD﹣S△MBE，
＝，
＝
，
=，
＝64﹣12﹣，
＝64﹣12﹣16，
＝36．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
59．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图1、图2，请你写出、、之间的等量关系；
（2）根据（1）中的结论，若，，试求的值；
（3）拓展应用：若，求的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）；（3）-15．
【分析】
（1）由长方形的面积公式解得图1的面积，图2中白色部分面积为大正方形面积与小正方形面积的差，又由图1与图2中的空白面积相等，据此列式解题；
（2）由（1）中结论可得，将，整体代入，结合平方根性质解题；
（3）将与视为一个整体，结合（1）中公式，及平方的性质解题即可．
【详解】
解：（1）由图可知，图1的面积为，图2中白色部分的面积为
∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等
∴
（2）根据（1）中的结论，可知
∵，
∴
∴
∴
（3）∵
∴
∴
∵
∴
∴．
【点睛】
本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
60．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于________．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式，，ab之间的等量关系为________．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）或者；（2）；或；或；（3）2或；（4）．
【分析】
（1）直接写出边长：长边减短边=a-b，进而可得周长；
（2）根据阴影正方形的面积
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=大正方形的面积-4个长方形的面积解答，或利用大正方形的面积=阴影方形的面积+4个长方形的面积解答，或利用4个长方形的面积=大正方形的面积-阴影方形的面积解答；
（3）根据求解即可；
（4）设，，则，，由可得，，然后把的两边平方求解即可．
【详解】
解：（1）由图可知，阴影部分正方形的边长为：a-b，
∴阴影部分的正方形的周长等于或者，
故答案为：或者；
（2）；或（；
或；
（3）∵，，
∴，
∴，
∴的值为2或．
（4）设，，则，，
由可得，，而，
而，
∵，
∴，
又∴，
∴，
∴，
即，阴影部分的面积为．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式的几何背景，利用图形的面积是解决此题的关键，利用数形结合的思想，注意观察图形．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
14.2
乘法公式
【提升训练】
一、单选题
1．已知，则代数式的值是（
）
A．
B．20
C．
D．0
2．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．18
B．8
C．或22
D．或12
4．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式．例如图1可以用来解释．那么通过图2中阴影部分面积的计算验证的恒等式是：（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
5．为了节省材料，某工厂利用岸
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)堤MN（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形ABCD区域（如图），若BC＝（x+20）米，则下列4个结论：①AB＝（10﹣1.5x）米；②BC＝2CF；③AE＝2BE；④长方形ABCD的最大面积为300平方米．其中正确结论的序号是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②
B．①③
C．②③
D．③④
6．式子化简的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
7．下列运算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．若，，则的值为（）
A．40
B．36
C．32
D．30
9．如图，两个正方形的边长分别为、，如果、满足，，则阴影部分的面积为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．9
C．18
D．27
10．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①；
②；
③若，则；
④若，则．
其中正确结论的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．若x2+5x+m＝（x+n）2，则m，n的值分别为（ ）．
A．m＝，n＝
B．m＝，n＝5
C．m＝25，n＝5
D．m＝5，n＝
12．下列运算正确的是（
）
A．a6÷a3＝a2
B．（a2）3＝a5
C．（﹣2a2）3＝﹣8a6
D．（2a＋1）2＝4a2＋2a＋1
13．若x2+kx+16能写成一个多项式的平方形式，则k的值为（ ）
A．±8
B．8
C．±4
D．4
14．将多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，下列添加单项式错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
15．若的值为，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
16．在括号内填上适当的单项式，使成为完全平方式应填（
）
A．
B．
C．
D．
17．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
18．如图，将大小相同的四个小正方形按照图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)①和图②所示的两种方式放置于两个正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，可以验证的公式是（
）21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
19．下列计算中，错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．一个大正方形和四个全等的小正方形按
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（
）（用含有a、b的代数式表示）．www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．a-b
B．a+b
C．ab
D．2ab
21．多项式是完全平方式，那么的值是（ ）
A．
B．
C．10
D．20
22．从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形纸片，则剩余部分的面积是（
）
A．
B．
C．
D．
23．根据等式：，，……的规律，则可以推算得出的末位数字是（
）
A．
B．
C．
D．
24．如果是一个完全平方式，则的值是（
）
A．
B．9
C．
D．12
25．···的个位数是（
）
A．
B．
C．
D．
26．已知，，则的值是（ ）
A．7
B．8
C．9
D．12
27．下列计算正确的是（ ）
A．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2
B．（a﹣）2＝a2﹣
C．﹣2a（3a﹣1）＝﹣6a2+a
D．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2
28．已知，则a2+4b2的值是（
）
A．
B．
C．
D．
29．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．根据如图能得到的数学公式是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．（a+b）（a-b）=a2-b2
B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．a（a+b）=a2
+ab
D．a（a-b）=a2-ab
30．如图，有A，B两个正方形，现
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和16，则正方形A，B的面积之和为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．11
B．9
C．21
D．23
二、填空题
31．能用完全平方公式因式分解，则的值为_________________．
32．已知，则=_____________
33．若，，则__．
34．已知，则代数式的值为________．
35．如图1，在一个大正方形纸板
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中剪下边长为acm和边长为bcm的两个正方形，剩余长方形①和长方形②的面积和为8cm2．若将剩余的长方形①和②平移进边长为acm的正方形中（如图2），此时该正方形未被覆盖的面积为6cm2，则原大正方形的面积为_____．21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
36．先化简，再求值：，其中．
37．计算
38．已知，．求下列各式的值．
（1）；
（2）．
39．计算下列各式．
（1）；
（2）．
40．计算：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
41．计算：
（1）；
（2）．
42．先化简，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷（-2x），其中x=-3，y=﹣2020
43．先化简，再求值：
，（其中）
44．计算：
（1）
（2）
45．先化简，再求值：，其中，．
46．计算：（x+1）（x﹣1）﹣．
47．化简：．
48．已知a+b=7，ab=11，求代数式的值．
49．先化简，再求值：，其中，．
50．计算
（1）
（2）；
（3）先化简﹐再求值：
，其中
51．计算：（1）
（2）
52．计算：
（1）﹣2﹣1+（2019﹣π）0+|﹣3|﹣（﹣1）2020
（2）（2x+3）（2
x﹣3）﹣4
x（x﹣1）+（x﹣2）2
53．已知（a+b）2＝25，（a﹣b）2＝9．求a2﹣6ab+b2．
54．先化简，再求值：（2x+y）2﹣（y﹣2x）2，其中．
55．计算：
（1）（x3）2?（﹣2x2y3）2；
（2）（a﹣3）（a+3）+（2a+1）2．
56．综合与实践
读下列材料，完成文后任务．
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足．求
的值，怎么解决呢？小英给出了如下两种方法：方法1：设，，则，
，方法2：，
，，．
任务（1）方法1用到的乘法公式是
（填“平方差公式”或“完全平方公式”）．
（2）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若，求
的值．
（3）如图，在长方形ABCD中，，，E，F是BC，
CD上的点，且，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和
CEMN，若长方形
CEPF的面积为40，求图中阴影部分的面积和．21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
57．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．21cnjy.com
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是__________；
（2）用两种不同的方法表示②中阴影部分的面积：
方法1：____________________；方法2：____________________
（3）观察图②，请你写出式子、、ab之间的等量关系：__________；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，，则的值为多少？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
58．如图，点M是AB的中点，点P在M
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a＋b＝8，ab＝6，求图中阴影部分的面积．2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
59．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）观察图1、图2，请你写出、、之间的等量关系；
（2）根据（1）中的结论，若，，试求的值；
（3）拓展应用：若，求的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
60．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于________．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式，，ab之间的等量关系为________．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且，，试求的值．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．www-2-1-cnjy-com
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
