14.3
因式分解
【基础训练】
一、单选题
1．若，则代数式的值是（
）
A．0
B．
C．20
D．
【答案】C
【分析】
由得到，再将分组进行因式分解得到，最后代入求值即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∵
=
∴原式==25-5=20，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了因式分解与多项式整体代入求值，关键在于将多项式进行分组以后因式分解，再将已知条件变形以后整体代入．
2．代数式4m2﹣n2因式分解的结果是（
）
A．（2m﹣n）
（2m＋n）
B．4
（m﹣n）
（m＋n）
C．（4m﹣n）
（m＋n）
D．（m﹣2n）
（m＋2n）
【答案】A
【分析】
直接根据平方差公式分解因式得出答案；
【详解】
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，正确掌握运算方法是解题的关键．
3．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（
）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】D
【详解】
略
4．对于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正确的是（
）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
【答案】D
【分析】
根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】
解：①，此项错误；
②，此项正确；
③，此项错误；
④，此项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】
解：A.
没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
B.
没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
C.
没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D.
把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．
6．下列因式分解正确的是（
）
A．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）
B．x2﹣6＝（x﹣2）（x+3）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
D．a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2
【答案】D
【分析】
由因式分解的方法，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝（x+）（x﹣），不符合题意；
C、原式＝x2﹣1，不是分解因式，不符合题意；
D、原式＝（a﹣2b）2，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法进行判断．
7．下列关于的叙述正确的是（
）
A．的次数是0
B．表示的4倍与2的和
C．是单项式
D．可因式分解为
【答案】B
【分析】
根据代数式的意义，多项式定义，以及分解因式方法判断即可．
【详解】
解：4a+2的次数为1次，表示a的4倍与2的和，是多项式，可分解为2（2a+1）．
故选：B．
【点睛】
此题考查了因式分解提公因式法，列代数式，单项式以及多项式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
8．把多项式4a2-4分解因式，结果正确的是( )
A．(2a+2)(2a-2)
B．4(a-1)2
C．4(a+1)2
D．4(a+1)(a-1)
【答案】D
【分析】
提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
．
故选：D．
【点睛】
本题考查分解因式，综合提公因式法和平方差公式进行因式分解是解答本题的关键．
9．运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解，公式中的a可以是（ ）
A．2x2
B．4x2
C．2x
D．4x
【答案】C
【分析】
直接利用完全平方公式得出答案．
【详解】
解：∵4x2+4x+1
=（2x）2+2×2x+1
=（2x+1）2，
∴对上式进行因式分解，公式中的a可以是：2x．
故选：C．
【点睛】
本题考查了公式法分解因式，正确运用完全平方公式是解答本题的关键．
10．因式分解：（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：原式=（a+2）（a-2），
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）．
11．下列各选项中，因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分别对各式因式分解得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式=（x+2）（x-2），不符合题意；
C、原式=（m-2）2，符合题意；
D、原式=-2y（y-3），不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2
B．﹣a2﹣b2
C．a2+b2
D．a2+2ab+b2
【答案】A
【分析】
根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、a2﹣b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
B、﹣a2﹣b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C、a2+b2两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
D、a2+2ab+b2是三项，不能用平方差公式进行因式分解．
故选：A．
【点睛】
本题考查了用平方差公式进行因式分解．熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．平方差公式：．
13．下列因式分解正确的是（
）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）
B．﹣x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab+4b2＝（a+2b）2
D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
【答案】D
【分析】
直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
【详解】
解：A、原式＝3ax（x﹣2），不符合题意；
B、原式＝（﹣x+y）（x+y），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝﹣a（x﹣1）2，符合题意．
故选：D．
【解答】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
14．因式分解a2﹣4的结果是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）
B．（a﹣2）2
C．（a+2）2
D．a（a﹣2）
【答案】A
【分析】
利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：原式＝（a+2）（a﹣2），
故选：A．
【点睛】
本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解题的关键．
15．下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分别利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：A、m2+n2无法分解因式，故此选项错误；
B、x2+2x-1无法分解因式，故此选项错误；
C、a2-a=a（a-1），正确；
D、a2+2a+1=（a+1）2，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
16．因式分解（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】
．
故选C．
【点睛】
本题考查运用公式法进行因式分解，解题关键在于对公式的熟练掌握与应用，题目比较简单．
17．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、原式；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式不能分解．
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练地掌握提公因式法和公式法的综合运用是解题的关键.
18．多项式因式分解为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
确定公因式，然后用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】
解：，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了用提取公因式法进行因式分解，解题关键是准确确定公因式，正确提取公因式．
19．观察下列树枝分杈的规律图，若第个图树枝数用表示，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律，代入规律求解即可．
【详解】
解：由图可得到：
则：，
∴，
故答案选：B．
【点睛】
本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．多项式因式分解为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先提取公因式，再利用完全平方公式将括号里的式子进行因式分解即可
【详解】
解：
故答案选：A．
【点睛】
本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解．正确应用公式分解因式是解题的关键．
21．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
把一个多项式在一个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解
【详解】
A.结果不是几个整式积的形式，故A不符合题意；
B.
结果不是几个整式积的形式，故B不符合题意；
C.
，因式分解不彻底，故C不符合题意；
D.
，是因式分解，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．因式分解：（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用平方差公式因式分解即可．
【详解】
解：，
故选：A．
【点睛】
本题考查利用平方差公式进行因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．下列四个选项中为多项式的因式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
把多项式分解因式，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵=，
∴是的因式，
故选A．
【点睛】
本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法和十字相乘法分解因式，是解题的关键．
24．下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解后再进行判断即可．
【详解】
解：A、原计算错误，该选项不符合题意；
B、原计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式是正确判断的前提．
25．若，则代数式的值为（
）
A．
B．9
C．7
D．5
【答案】B
【分析】
将代数式前两项提公因式得到，将代入上式，得到的式子再提公因式-3，代入计算即可．
【详解】
解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：．
【点睛】
本题主要考查因式分解，提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键．
26．下列各式：①，②，③，从左到右的变形中，属于因式分解的是（
）
A．②
B．①②
C．①③
D．②③
【答案】C
【分析】
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
【详解】
解：①③为因式分解；②项不属于因式分解；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了因式分解的定义，正确把握因式分解的定义是解题关键．
27．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据同底数幂的乘法、完全平方公式、利用公式法进行因式分解逐项判断即可得．
【详解】
A、，此项错误，不符题意；
B、，此项错误，不符题意；
C、，此项错误，不符题意；
D、，此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了同底数幂的乘法、完全平方公式、利用公式法进行因式分解，熟练掌握各运算法则是解题关键．
28．如图，各式从左到右的变形中，是因式分解的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】
利用整式乘法运算与因式分解的含义逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：
是因式分解，
是整式的乘法运算，
不是整式的乘法，也不是因式分解，
不是整式的乘法，也不是因式分解，
故选：
【点睛】
本题考查的是整式乘法运算与因式分解的含义，掌握因式分解的含义是解题的关键．
29．下列因式分解中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分别利用公式法以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：A、m2+n2无法分解因式，故此选项错误；
B、，提公因式括号内要变号，故此选项错误；
C、a2-a=a（a-1），正确；
D、a2+a+1不能分解因式，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
30．下列分解因式正确的一项是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据提公因式法和公式法逐一判断即可．
【详解】
解：A.
分解因式正确；符合题意；
B.
，题中分解因式不正确，不符合题意；
C.
不能因式分解，不符合题意；
D.
不能因式分解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查因式分解，掌握公式法和提公因式法是解题的关键．
二、填空题
31．分解因式：2a2﹣8＝______________．
【答案】2
【分析】
先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：2a2﹣8
＝2（a2﹣4），
＝2．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查因式分解法：将多项式化为几个整式的积的形式叫做将多项式因式分解，因式分解的方法有：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），根据每个多项式的特点选用恰当的解法是解题的关键．
32．分解因式：3xy﹣27y＝_______．
【答案】3y（x﹣9）
【分析】
直接提取公因式3y，进而分解因式即可．
【详解】
解：3xy﹣27y＝3y（x﹣9）．
故答案为：3y（x﹣9）．
【点睛】
此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
33．分解因式：＝______________．
【答案】
【分析】
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：原式＝
＝，
故答案为：
【点睛】
本题考查因式分解，解题的关键熟练掌握公因式法和公式法．
34．因式分解_____________．
【答案】
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式分解．
【详解】
解：
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
35．因式分解：x(x－y)＋y(y－x)=________
【答案】（x-y）2
【分析】
直接提取公因式（x-y）分解因式，即可得出答案．
【详解】
解：x（x-y）+y（y-x）
=x（x-y）-y（x-y）
=（x-y）（x-y）
=（x-y）2．
故答案为：（x-y）2．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
三、解答题
36．先因式分解，再计算求值：，其中．
【答案】，30
【分析】
先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入x的值即可．
【详解】
解：，
当时，原式．
【点睛】
本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键．
37．A＝（2x＋y）2﹣（2x＋y）（2x﹣y）﹣2y2．
（1）化简A；
（2）若点（x，y）在第四象限，请选择合适的整数代入，求此时A的值．
【答案】（1）
；（2）将(3，-2)代入A的值为-24；
【分析】
（1）直接根据提公因式的方法将原式进行化简即可；
（2）将(3，-2)代入化简后的式子进行求值即可；
【详解】
（1）
（2）∵(x，y)在第四象限，则x＞0，y＜0，且x、y均为整数，
取x=3，y=-2，
将(3，-2)代入4xy得：
【点睛】
本题考查了提公因式的方法对多项式进行化简求值，正确掌握计算方法是解题的关键；
38．（1）计算：
（2）因式分解：
【答案】（1）1；（2）．
【分析】
（1）根据数的开方和零次幂的意义计算即可；
（2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】
解：（1）
=1；
（2）
．
【点睛】
本题考查了实数运算和因式分解，掌握相关运算法则和公式是解题关键．
39．因式分解：．
【答案】
【分析】
根据提公因式法及平方差公式可进行因式分解．
【详解】
解：原式=；
【点睛】
本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
40．（1）计算；
（2）分解因式；
（3）解方程组；
（4）解不等式组，并写出它的最大整数解．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），最大整数解为4
【分析】
（1）根据多项式乘法法则运算即可；
（2）先提取公因式，然后利用公式法分解即可；
（3）利用代入消元法求解即可；
（4）先分别求解不等式，然后确定解集中最大整数解即可．
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
（3），
由①得：，
将③代入②得，，
解得，，
将代入③得，，
∴原方程组的解为；
（4），
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：，最大整数解为4．
【点睛】
本题考查整式的乘法与因式分解，解二元一次方程组和一元一次不等式组，掌握相应的运算法则，注意运算顺序是解题关键．
41．因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9
【答案】（x﹣y﹣3）2
【分析】
直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】
解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9
＝（x﹣y）2﹣6（x﹣y）+9
＝（x﹣y﹣3）2．
【点睛】
此题主要考查了运用公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
42．分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3．
【答案】2ab（a﹣b）2
【分析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：原式＝2ab（a2﹣2ab+b2）
＝2ab（a﹣b）2
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
43．将下列多项式进行因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可；
（2）先化简，再利用平方差公式分解因式，即可．
【详解】
解：（1）原式
；
原式
．
【点睛】
本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
44．因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）运用完全平方公式分解即可求解；
（2）先提公式，再运用平方差公式分解即可求解.
【详解】
解：（1），
=；
（2），
=，
=，
=．
【点睛】
本题考查了整式的因式分解，灵活运用提公因式法，公式法是解本题的关键．
45．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）提取公因式；
（2）先利用平方差公式因式分解再利用完全平方公式因式分解．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】
本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
46．分解因式：
【答案】．
【分析】
利用提公因式法分解因式即可得．
【详解】
原式，
，
，
．
【点睛】
本题考查了利用提公因式法分解因式，因式分解的主要方法包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握各方法是解题关键．
47．（1）计算：
（2）因式分解：
【答案】（1）4；（2）
【分析】
（1）先计算0次幂，负指数，余弦值和绝对值，再根据有理数的加减法计算即可得出答案；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出答案．
【详解】
（1）解：原式=
=4
（2）解：原式=
=
【点睛】
本题考查的是实数的运算以及因式分解，比较简单，需要熟练掌握相关基础知识．
48．计算与因式分解：
（1）计算：
①；②(﹣2x﹣y)(y﹣2x)﹣(2x+y)2；
（2）因式分解：
①2x2﹣4x+2；②a2(x﹣y)+9b2(y﹣x)
【答案】（1）①﹣7；②﹣2y2﹣4xy；（2）①2(x﹣1)2；②(x﹣y)(a+3b)(a﹣3b)．
【分析】
（1）①根据负指数幂及零指数幂的运算法则即可求解；②根据整式的乘方公式即可求解；
（2）①先提取2，再利用完全平方公式即可求解；②先提取（x-y），再利用平方差公式即可求解．
【详解】
（1）计算①原式=2+1﹣9﹣1=﹣7．
②(﹣2x﹣y)(y﹣2x)﹣(2x+y)2
=4x2﹣y2﹣4x2﹣4xy﹣y2
=﹣2y2﹣4xy；
（2）因式分解①原式=2(x2﹣2x+1)=2(x﹣1)2；
②原式=a2(x﹣y)﹣9b2(x﹣y)
=(x﹣y)(a2﹣9b2)
=(x﹣y)(a+3b)(a﹣3b)．
【点睛】
此题主要考查负指数幂及零指数幂、整式的运算及因式分解，解题的关键是熟知整式乘法公式的运用．
49．分解因式：．
【答案】
【分析】
首先提公因式3x，然后利用十字相乘法即可分解．
【详解】
【点睛】
本题考查了十字相乘法分解因式，先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
50．分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）两次运用平方差公式分解因式即可；
（2）前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：（1）
，
，
；
（2）
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了用公式法及分组分解法分解因式，解决本题的关键是熟练运用相关因式分解法．
51．因式分解：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）先提取公因式，然后按照完全平方公式分解因式即可；
（2）先按照完全平方公式分解因式，再按照平方差公式分解因式即可；
（3）按照平方差公式分解因式，然后再合并同类项即可．
【详解】
（1）；
（2）；
（3）；
【点睛】
本题主要考查因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
52．（1）解不等式组；
（2）分解因式：．
【答案】（1）-4＜
（2）
【分析】
（1）分别解不等式①，②取两个不等式的解集的公共部分即可得到答案．
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解即可得到答案．
【详解】
解：（1）由①得：＜
所以＜，所以＞
由②得：
所以，所以
所以不等式组的解集是＜
（2）原式＝
【点睛】
本题考查解不等式组与因式分解，掌握解不等式组与因式分解的方法是解题关键．
53．分解因式：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提公因式，再用乘法公式进行运算；
（2）先提公因式，再用乘法公式进行运算.
【详解】
解：（1）原式=
=
=；
（2）原式=
=.
【点睛】
本题考查了因式分解，根据代数式的形式选择合适的方法进行计算是解题的关键.
54．将下列各题因式分解：
（1）x（x+y）（x-y）-x（y-x）2
（2）x4-2x2+1
（3）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．
【答案】（1）2xy（x-y）；（2）（x+1）2（x-1）2；（3）-＜x≤2，见解析
【分析】
（1）原式变形后，提取公因式即可得到结果；
（2）原式利用完全平方公式分解即可；
（3）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上即可．
【详解】
解：（1）原式=x（x-y）[（x+y）-（x-y）]=2xy（x-y）；
（2）原式=（x2-1）2=（x+1）2（x-1）2；
（3）不等式组整理得：，
∴不等式组的解集为-＜x≤2，数轴上表示如下：
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
55．对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为.例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和，，所以.
（1）计算：，；
（2）小明在计算时发现几个结果都为正整数，小明猜想所有的均为正整数，你觉得这个猜想正确吗？请判断并说明理由；
（3）若，都是“相异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，求的最大值.
【答案】（1）10；12.（2）猜想正确.理由见解析；（3）.
【分析】
（1）根据“相异数”的定义即可求解；
（2）设的三个数位数字分别为，，，根据“相异数”的定义列出即可求解；
（3）根据，都是“相异数”，得到，，根据求出x，y的值即可求解.
【详解】
（1）；
.
（2）猜想正确.设的三个数位数字分别为，，，即，
.
因为，，均为正整数，所以任意为正整数.
（3）∵，都是“相异数”，
∴；
.
∵，∴，
∴，
∵，，且，都是正整数，
∴或或或，
∵是“相异数”，∴；
∵是“相异数”，∴，
∴满足条件的有，或，或，
∴
或或，
∴的最大值为.
【点睛】
本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．
56．中国古贤常说万物皆自然，而古希腊学者说万物皆数.同学们还记得我们最初接触的数就是“自然数”吧!在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特珠的自然数—“喜数”.
定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的倍（为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”.
例如：24就是一个“4喜数”，因为
25就不是一个“喜数”因为
（1）判断44和72是否是“喜数”？请说明理由；
（2）试讨论是否存在“7喜数”若存在请写出来，若不存在请说明理由.
【答案】（1）44不是一个“喜数”，
72是一个“8喜数”，理由见解析；（2）“7喜数”有4个：21、42、63、84
【分析】
（1）根据“n喜数”的定义解答即可；
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为a，十位数字为b，(a，b为1到9的自然数)，则10b+a=7(a+b)，化简得：b=2a，由此即可得出结论．
【详解】
（1）44不是一个“喜数”，因为，
72是一个“8喜数”，因为；
（2）设存在“7喜数”，设其个位数字为，
十位数字为，(，为1到9的自然数)，
由定义可知：
化简得：因为，为1到9的自然数，
∴，；，；，；，；
∴“7喜数”有4个：21、42、63、84．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用．掌握“n喜数”的定义是解答本题的关键．
57．数学课上老师出一道题，用简便方法计算的值，喜欢数学的小亮举手做出了这道题，他的解题过程如下：
第一步
第二步
第三步
第四步
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误.
（1）你认为小亮的解题过程中，从第________步开始出错.
（2）请你写出正确的解题过程.
【答案】（1）二
；（2）87616
【解析】
【分析】
（1）直接利用完全平方公式判断得出答案；
（2）利用完全平方公式计算得出答案．
【详解】
解：（1）从第二步开始出错；完全平方公式的中间项的-4应该是4.
故答案为：二；
（2）正确的解题过程是：
．
【点睛】
此题主要考查了完全平方公式，正确运用公式是解题关键．
58．我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的影子
我们把形如aa，bcb，bccb，abcba的正整数叫“轴对称数”，例如：33，151，2442，.56765，…
（1）写出一个最小的四位“轴对称数”：
．
（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为ABA，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．为了让同学们更好的解答本题，王老师给出了一些提示，如图所示
33﹣3×11＝3×10+3﹣3×11＝0
151﹣1×11＝1×100+5×10+1﹣1×11＝140
2442﹣2×11＝2×1000+44×10+2﹣2×11＝2420
①请根据上面的提示，填空：56765﹣5×11=
．
②写出（2）的证明过程．
【答案】（1）1001；（2）①56710；②证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题意即可得出结果；
（2）①由提示进行计算即可；
②由提示进行计算，得出ABA﹣11A＝10[A×（10n﹣2﹣1
）+B]，即可得出结论．
【详解】
（1）解：由题意得：最小的四位“轴对称数”为1001；
故答案为1001；
（2）解：①56765﹣5×11＝5×10000+676×10+5﹣5×11＝56710；
故答案为56710
②证明：ABA﹣11A．
＝A×10n﹣1+B×10+A﹣11A
＝A×10n﹣1+B×10+（﹣10）A
＝10[A×（10n﹣2﹣1
）+B]
∵A，B为整数，n≥3，
∴原式能被10整除．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用以及“轴对称数”，理解题目中的提示是解题的关键．
59．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的x，y二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1?a2，把y2项系数c分解成两个因数，c1，c2的积，即c＝c1?c2，并使a1?c2+a2?c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）
例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2
解：如右图，其中1＝1×1，﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×（﹣4）+1×2∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y），而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，
如图1，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；
例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
解：如图2，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；
而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2+3×1，3＝1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：6x2﹣7xy+2y2＝
x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6＝
（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+4y＝﹣1，求x，y．
【答案】（1）（2x﹣1）（3x﹣2）；（x﹣2y﹣2）（x﹣4y﹣3）（2）43或者﹣78（3）当x＝﹣7时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝0
【解析】
【分析】
（1）结合题意画出图形，即可得出结论；
（2）结合题意画出图形，即可得出结论；
（3）将等式左边先用十字相乘法分解因式，再提取公因式，将右边﹣1改写成1×（﹣1）的形式，由x、y均为整数可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图3，
其中6＝2×3，2＝（﹣1）×（﹣2）；而﹣7＝2×（﹣3）+3×（﹣1）；
∴6x2﹣7xy+2y2＝（2x﹣y）（3x﹣2y）．
如图4，
其中1×1＝1，（﹣2）×（﹣4）＝8，（﹣2）×（﹣3）＝6；
而﹣6＝1×（﹣4）+1×（﹣2），﹣5＝1×（﹣3）+1×（﹣2），14＝（﹣2）×（﹣3）+（﹣4）×（﹣2）；
∴x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6＝（x﹣2y﹣2）（x﹣4y﹣3）．
故答案为（2x﹣1）（3x﹣2）；（x﹣2y﹣2）（x﹣4y﹣3）．
（2）如图5，
∵关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在：其中1×1＝1，9×（﹣2）＝﹣18，（﹣8）×3＝﹣24；
而7＝1×（﹣2）+1×9，﹣5＝1×（﹣8）+1×3，m＝9×3+（﹣2）×（﹣8）＝43或m＝9×（﹣8）+（﹣2）×3＝﹣78．
故若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，m的值为43或者﹣78．
（3）∵x2+3xy+2y2+2x+4y＝（x+2y）（x+y）+2（x+2y）＝（x+2y）（x+y+2）＝﹣1＝1×（﹣1），且x、y为整数，
∴有，或，
解得：或．
故当x＝﹣7时，y＝4；当x＝﹣1时，y＝0．
【点睛】
本题考查了因式分解中的十字相乘法分解因式，解题的关键是：依照题意找到相应的十字相乘的图形．本题难度不大，（1）（2）小问问题不大，（3）中用到十字相乘法与提取公因式法，再将等式右边?1分解成1×（?1），由x、y均为整数来得出二元一次方程组．
60．阅读例题，回答问题：
例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，则x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n．
∴
∴
∴另一个因式为x﹣7，m＝21．
仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值．
【答案】另一个因式为(x+4)，k的值为20．
【分析】
设另一个因式为(x+n)，得2x2+5x﹣k＝(2x﹣3)(x+n)＝2x2+(2n﹣3)x﹣3n，可知2n﹣3＝5，k＝3n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【详解】
解：设另一个因式为(x+n)，得2x2+3x﹣k＝(2x﹣5)(x+n)＝2x2+(2n﹣5)x﹣5n，
则
解得：n＝4，k＝20，
故另一个因式为(x+4)，k的值为20．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解．中小学教育资源及组卷应用平台
14.3
因式分解
【基础训练】
一、单选题
1．若，则代数式的值是（
）
A．0
B．
C．20
D．
2．代数式4m2﹣n2因式分解的结果是（
）
A．（2m﹣n）
（2m＋n）
B．4
（m﹣n）
（m＋n）
C．（4m﹣n）
（m＋n）
D．（m﹣2n）
（m＋2n）
3．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（
）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
4．对于：
①；
②；
③；
④．
其中因式分解正确的是（
）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④
5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．下列因式分解正确的是（
）
A．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）
B．x2﹣6＝（x﹣2）（x+3）
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
D．a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2
7．下列关于的叙述正确的是（
）
A．的次数是0
B．表示的4倍与2的和
C．是单项式
D．可因式分解为
8．把多项式4a2-4分解因式，结果正确的是( )
A．(2a+2)(2a-2)
B．4(a-1)2
C．4(a+1)2
D．4(a+1)(a-1)
9．运用公式a2+2ab+b2＝（a+b）2直接对整式4x2+4x+1进行因式分解，公式中的a可以是（ ）
A．2x2
B．4x2
C．2x
D．4x
10．因式分解：（
）
A．
B．
C．
D．
11．下列各选项中，因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2
B．﹣a2﹣b2
C．a2+b2
D．a2+2ab+b2
13．下列因式分解正确的是（
）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）
B．﹣x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab+4b2＝（a+2b）2
D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
14．因式分解a2﹣4的结果是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）
B．（a﹣2）2
C．（a+2）2
D．a（a﹣2）
15．下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
16．因式分解（
）
A．
B．
C．
D．
17．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．多项式因式分解为（
）
A．
B．
C．
D．
19．观察下列树枝分杈的规律图，若第个图树枝数用表示，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
20．多项式因式分解为（
）
A．
B．
C．
D．
21．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（
）
A．
B．
C．
D．
22．因式分解：（
）
A．
B．
C．
D．
23．下列四个选项中为多项式的因式是（
）
A．
B．
C．
D．
24．下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
25．若，则代数式的值为（
）
A．
B．9
C．7
D．5
26．下列各式：①，②，③，从左到右的变形中，属于因式分解的是（
）
A．②
B．①②
C．①③
D．②③
27．下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
28．如图，各式从左到右的变形中，是因式分解的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
29．下列因式分解中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
30．下列分解因式正确的一项是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．分解因式：2a2﹣8＝______________．
32．分解因式：3xy﹣27y＝_______．
33．分解因式：＝______________．
34．因式分解_____________．
35．因式分解：x(x－y)＋y(y－x)=________
三、解答题
36．先因式分解，再计算求值：，其中．
37．A＝（2x＋y）2﹣（2x＋y）（2x﹣y）﹣2y2．
（1）化简A；
（2）若点（x，y）在第四象限，请选择合适的整数代入，求此时A的值．
38．（1）计算：
（2）因式分解：
39．因式分解：．
40．（1）计算；
（2）分解因式；
（3）解方程组；
（4）解不等式组，并写出它的最大整数解．
41．因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9
42．分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3．
43．将下列多项式进行因式分解：
（1）
（2）
44．因式分解：
（1）；
（2）．
45．分解因式：
（1）
（2）
46．分解因式：
47．（1）计算：
（2）因式分解：
48．计算与因式分解：
（1）计算：
①；②(﹣2x﹣y)(y﹣2x)﹣(2x+y)2；
（2）因式分解：
①2x2﹣4x+2；②a2(x﹣y)+9b2(y﹣x)
49．分解因式：．
50．分解因式：
（1）；
（2）．
51．因式分解：
（1）
（2）
（3）
52．（1）解不等式组；
（2）分解因式：．
53．分解因式：（1）
（2）
54．将下列各题因式分解：
（1）x（x+y）（x-y）-x（y-x）2
（2）x4-2x2+1
（3）解不等式组：并把它的解集表示在数轴上．
55．对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”.将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为.例如，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和，，所以.21世纪教育网版权所有
（1）计算：，；
（2）小明在计算时发现几个结果都为正整数，小明猜想所有的均为正整数，你觉得这个猜想正确吗？请判断并说明理由；21教育网
（3）若，都是“相异数”，其中，（，，、都是正整数），当时，求的最大值.
56．中国古贤常说万物皆自然，而古希腊学者说万物皆数.同学们还记得我们最初接触的数就是“自然数”吧!在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的自然数进行研究，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特珠的自然数—“喜数”.21cnjy.com
定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的倍（为正整数），我们就说这个自然数是一个“喜数”.www.21-cn-jy.com
例如：24就是一个“4喜数”，因为
25就不是一个“喜数”因为
（1）判断44和72是否是“喜数”？请说明理由；
（2）试讨论是否存在“7喜数”若存在请写出来，若不存在请说明理由.
57．数学课上老师出一道题，用简便方法计算的值，喜欢数学的小亮举手做出了这道题，他的解题过程如下：21·cn·jy·com
第一步
第二步
第三步
第四步
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误.
（1）你认为小亮的解题过程中，从第________步开始出错.
（2）请你写出正确的解题过程.
58．我们生活在一个充满轴对称的世界中，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的影子2·1·c·n·j·y
我们把形如aa，bcb，bccb，abcba的正整数叫“轴对称数”，例如：33，151，2442，.56765，…
（1）写出一个最小的四位“轴对称数”：
．
（2）设任意一个n（n≥3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）位的“轴对称数”为ABA，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．为了让同学们更好的解答本题，王老师给出了一些提示，如图所示【来源：21·世纪·教育·网】
33﹣3×11＝3×10+3﹣3×11＝0
151﹣1×11＝1×100+5×10+1﹣1×11＝140
2442﹣2×11＝2×1000+44×10+2﹣2×11＝2420
①请根据上面的提示，填空：56765﹣5×11=
．
②写出（2）的证明过程．
59．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)对于形如ax2+bxy+cy2的x，y二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1?a2，把y2项系数c分解成两个因数，c1，c2的积，即c＝c1?c2，并使a1?c2+a2?c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2＝（a1x+c1y）（a2x+c2y）
例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2
解：如右图，其中1＝1×1，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)﹣8＝（﹣4）×2，而﹣2＝1×（﹣4）+1×2∴x2﹣2xy﹣8y2＝（x﹣4y）（x+2y），而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，
如图1，将a分解成mn乘积作为一列
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np＝b，pk+qj＝e，mk+nj＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝（mx+py+j）（nx+qy+k）；21·世纪
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例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2
解：如图2，其中1＝1×1，﹣3＝（﹣1）×3，2＝1×2；
而2＝1×3+1×（﹣1），1＝（﹣1）×2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+3×1，3＝1×2+1×1；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2＝（x﹣y+1）（x+3y+2）
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）分解因式：6x2﹣7xy+2y2＝
x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6＝
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（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．
（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+4y＝﹣1，求x，y．
60．阅读例题，回答问题：
例题：已知二次三项式：x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝(x+3)(x+n)，则x2﹣4x+m＝x2+(n+3)x+3n．
∴
∴
∴另一个因式为x﹣7，m＝21．
仿照以上方法解答下面的问题：
已知二次三项式2x2+3x+k有一个因式是2x﹣5，求另一个因式以及k的值．
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精品试卷·第
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