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14.3
因式分解
【提升训练】
一、单选题
1．把分解因式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：x3-x=x（x2-1）=x（x+1）（x-1），
故选：C．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．下列因式分解正确的是（
）．
A．x2－xy＋y2＝（x＋y）2
B．x2－5x－6＝（x－2）（x－3）
C．x3－4x＝x（x2－4）
D．9m2－4n2＝（3m＋2n）（3m－2n）
【答案】D
【分析】
按照因式分解的方法逐个计算即可得答案．
【详解】
A.x2－xy＋y2不能因式分解，故该选项错误，
B.x2－5x－6＝（x－6）（x+1），故该选项错误，
C.x3－4x＝x（x2－4）=x(x+2)(x-2)，故该选项错误，
D.9m2－4n2＝（3m）2-（2n）2=（3m＋2n）（3m－2n），故该选项正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用因式分解的方法进行计算，注意：因式分解要彻底．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据平方差公式的定义判断即可；
【详解】
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意；
、原式，能利用平方差公式进行因式分解，符合题意；
、原式不能利用平方差公式进行因式分解，不符合题意，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了平方差公式的应用，准确判断是解题的关键．
4．已知，，是的三条边长，且，则一定是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．以上均不对
【答案】A
【分析】
利用因式分解法得到a+b+c=0或a-b=0，而a+b+c＞0，所以a-b=0，即a=b，从而可判断△ABC一定是等腰三角形．
【详解】
，
或，
，，是的三条边长，
，
，即，
一定是等腰三角形．
故选：．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题．利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．21
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5．代数式因式分解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
解：．
故选：A．
【点睛】
本题考查用平方差公式因式分解，正确使用公式是关键
6．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（
）
A．1
B．7
C．11
D．13
【答案】B
【分析】
将多项式5x2+17x-12进行因式分解后，确定a、b、c的值即可．
【详解】
解：因为5x2+17x-12=（x+4）（5x-3）=（x+a）（bx+c），
所以a=4，b=5，c=-3，
所以a-c=4-（-3）=7，
故选：B．
【点睛】
本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键．21教育名师原创作品
7．下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
分别根据因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐项运算即可．
【详解】
A.
，故该选项不符合题意．
B.
，故该选项符合题意．
C.
，不可以继续分解，故该选项不符合题意．
D.
．故该选项不符合题意．
故选B．
【点睛】
本题考查因式分解．一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
8．多项式与的公因式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先把两个多项式进行因式分解，再根据公因式的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：∵
，
，
∴多项式与的公因式是．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了公因式的判断，掌握因式分解的方法及公因式的概念是解题的关键．
9．在中，若有一个因式为，则k的值为（ ）
A．2
B．
C．6
D．
【答案】A
【分析】
根据因式分解的意义可设，再利用整式乘法计算后得，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．
【详解】
解：设，
∵
，
∴，，
，
解得，，．
故选：A．
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
10．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（
）
A．x3﹣x＝x（x﹣1）
B．x2+6x+9＝（x+3）2
C．（2x+3y）（2x﹣3y）＝4x2﹣9y2
D．x2﹣y2＝（x﹣y）2
【答案】B
【分析】
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
【详解】
解：A、，故此选项不符合题意；
B、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
C、是整式的乘法，故此选项不符合题意；
D、x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．www.21-cn-jy.com
11．多项式与多项式的公因式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
分别将多项式与多项式进行因式分解，再寻找他们的公因式是．
【详解】
解：∵
又∵
∴多项式与多项式的公因式是．
故选A．
【点睛】
本题主要考查的是公因式的确定，先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式．
12．下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
按照因式分解的方法逐个计算即可．
【详解】
解：A.
，故错误，不符合题意；
B.
，故原式错误，不符合题意；
C.
，原式分解不彻底，不符合题意；
D.
，正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用因式分解的方法进行计算，注意：因式分解要彻底．
13．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（
）
A．4x2+1
B．9a2b2-3ab+1
C．x2-x+
D．-x2-y2
【答案】C
【分析】
利用平方差公式，完全平方公式判断即可．
【详解】
解：A.
4x2+1，两个平方项，符号相同，不能因式分解；
B.
9a2b2-3ab+1，有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解；
C.
x2-x+=（x-）2，能用完全平方公式分解；
D.
-x2-y2，两个平方项，符号相同，不能因式分解；
故选：C．
【点睛】
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
14．若二次三项式可分解为，则a+b的值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【分析】
利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：（x-2）（x+b）=x2+（b-2）x-2b，
∵二次三项式x2+ax-1可分解为（x-2）（x+b），
∴，
解得：，
∴a+b=
-+=-1．
故选：A．【来源：21cnj
y.co
m】
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，因式分解与整式的乘法互为逆运算，根据对应项系数相等列式是解题的关键．
15．下列多项式：①；②；③；④中，能用公式法分解因式的有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而得出答案．
【详解】
解：①，是提取公因式法分解因式
②，不能用公式法分解因式；
③，符合题意；
④，符合题意．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了公式法以及提取公因式分解因式，正确掌握乘法公式是解题关键．
16．已知满足，，则的值为（
）
A．4
B．1
C．0
D．-8
【答案】C
【分析】
根据题目条件可用x来表示z，并代入代数式中，运用公式法因式分解可得，再根据平方数的非负性可分别求出x，z的值，最后运算即可．
【详解】
解：，，
又，
，
，，
，
，
，
代入得，=0．
故选：C．
【点睛】
本题考查了运用公式法进行因式分解，平方数的非负性，熟练掌握运用公式法因式分解是解决本题的关键．
17．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22
B．﹣1
C．7
D．11
【答案】B
【分析】
由a﹣b＝b﹣c＝2可得a﹣c＝4，然后通过配方求得a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值，最后整体求出ab+bc+ac即可．
【详解】
解：∵a﹣b＝b﹣c＝2，
∴a﹣c＝4，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝
[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]＝12，
∴ab+bc+ac＝a2+b2+c2﹣12＝11-12=﹣1．
故答案为B．
【点睛】
本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键．
18．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】
先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．
【详解】
解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
【点睛】
本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.
19．如果一个正整数能表示为两个连续偶
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此
4，12，20
都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（
）
A．56
B．60
C．62
D．88
【答案】B
【分析】
设这两个连续偶数分别2m、2m
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)+2（m为自然数），则“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，因为m是自然数，要判断一个数是否是“神秘数”，只需根据该数=4(2m+1)列方程求解即可，若解出m是自然数就符合，否则不符合．21·cn·jy·com
【详解】
解：设这两个连续偶数分别2m、2m+2（m为自然数），
∴“神秘数”=（2m+2）2-（2m）2=（2m+2+2m）（2m+2-2m）=4(2m+1)，
A、若4(2m+1)=56，解得m=，错误；
B、若4(2m+1)=60，解得m=7，正确；
C、若4(2m+1)=62，解得m=，错误；
D、若4(2m+1)=88，解得m=，错误；
故选：B．
【点睛】
此题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式以及对题中新定义的理解是解题的关键．
20．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价,现有种方案：①第一次提价,第二次提价；②第一次提价,第二次提价；③第一次、第二次提价均为.其中和是不相等的正数.下列说法正确的是(
)
A．方案①提价最多
B．方案②提价最多
C．方案③提价最多
D．三种方案提价一样多
【答案】C
【分析】
方案①和②显然相同，用方案③的单价减去方案①的单价，利用完全平方公式及多项式乘以多项式的法则化简，去括号合并后再利用完全平方公式变形，根据不等于判定出其差为正数，进而确定出方案③的提价多．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：设，，则提价后三种方案的价格分别为：
方案①:；
方案②:；
方案③:，
方案③比方案①提价多：
，
和是不相等的正数，
，
，
方案③提价最多．
故选：C．
【点睛】
此题考查了整式混合运算的应用，比较代数式大小利用的方法为作差法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3
(m是整数)的因式的是
A．x－2
B．2x＋3
C．x＋4
D．2x2－1
【答案】B
【分析】
将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案.
【详解】
解：根据2x2+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x2+mx-3分解．
2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3；
故选：B.
【点睛】
此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键.
22．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1
B．x+2y﹣1
C．x﹣2y+1
D．x﹣2y﹣1
【答案】C
【分析】
首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】
解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】
此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
23．已知，，则的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
将代数式因式分解，再代数求值即可.
【详解】
故选B
【点睛】
本题考查知识点涉及因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解，简化计算是解答本题的关键.
24．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15
B．30
C．60
D．78
【答案】D
【分析】
先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【详解】
解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选D．
【点睛】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
25．已知a=2012x+2011，b
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】
首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．
【详解】
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故选D．
【点睛】
本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．
26．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是(
)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a=b=c，即可解决问题．
【详解】
∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0；
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．
故选B．
【点睛】
本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．21教育网
27．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1
B．4
C．11
D．12
【答案】C
【详解】
分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可.
详解：∵(x＋p)(x＋q)=
x2＋（p+q）x+pq=
x2＋mx－12
∴p+q=m，pq=-12.
∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12【版权所有：21教育】
∴m=-11或11或4或-4或1或-1.
∴m的最大值为11.
故选C.
点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.
28．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，
时，则各个因式的值为，
，
，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，
时，用上述方法产生的密码不可能是（
）【出处：21教育名师】
A．201030
B．201010
C．301020
D．203010
【答案】B
【详解】
解：x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，
组成密码的数字应包括20，30，10，
所以组成的密码不可能是201010．
故选B．
29．把多项式分解因式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：，分解因式为：.
故选B.
30．对二次三项式4x2﹣6xy﹣3y2分解因式正确的是（ ）
A．
B．
C．
??????????????????????
D．
【答案】D
【详解】
解：4x2﹣6xy﹣3y2
=4[x2﹣xy+（y）2]﹣3y2﹣y2
=4（x﹣y）2﹣y2
=（2x﹣y﹣y）（2x﹣y+y）
=（2x﹣y）（2x﹣）
故选D．
【点睛】
本题主要是用配方法来分解因式，但本题的计算，分数，根式多，所以学生还是很容易出错的，注意计算时要细心．21·世纪
教育网
二、填空题
31．已知关于的多式的一个因式是，则的值是__．
【答案】
【分析】
设另一个因式为，根据多项式乘以多项式展开，左右两边对比得到等量关系求解即可；
【详解】
设另一个因式为，
则，
即，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了多项式乘以多项式的应用，准确计算是解题的关键．
32．分解因式_______________．
【答案】
【分析】
把前面三项作为一组，正好是完全平方公式，再用平方差公式分解即可．
【详解】
，
，
，
．
故答案为：(x-y+1)(x-y-1)
【点睛】
本题考查了因式分解中的分组分解法和公式法，关键是正确分组，注意分组时要保证下一步能够进行，分组的方法可以是两项一组，也可以是三项一组．
33．如果因式分解的结果为，则A=__________，B=__________．
【答案】2，
【分析】
根据因式分解的意义，可得：，再根据各项对应相等，可得答案．
【详解】
解：，得
，．
故答案为：2，．
【点睛】
本题考查了因式分解，利用整式的乘法得出相等整式中同类项的系数相等是解题关键．
34．因式分解，其中都为整数，则的最大值是______．
【答案】
【分析】
根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可．21
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【详解】
解：∵(x＋p)(x＋q)=
x2＋(p+q)x+pq=
x2＋mx-6
∴p+q=m，pq=-6，
∴pq=1×=
×6=
×3=2×
=
，
∴m=
或5或1或
，
∴m的最大值为5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．
35．一个四位整数（千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为），若满足，那么，我们称这个四位整数为“类等和数”．
例如：3122是一个“4类等和数”，因为：；
5417不是一个“类等和数”，因为：，，．
（1）写出最小的“3类等和数”是___________，最大的“8类等和数”是___________．
（2）若一个四位整数是“类等和数”，且满足，求满足条件的所有“类等和数”的个数，并把它们写出来．
【答案】1203；
8080；
（2）
满足条件的所有“k类等和数”的个数是3，分别是3214，2323，
1432．
【分析】
(1)根据题意即可得到结论；(2)
根据
，可得b+d=6或16，再分情况写出即可．
【详解】
（1）三类等和数为a+b=c+d=3，当a=
1、b=2、c=0、d=
3时符合三类等和数，且最小．故最小的三类等和数为1203．
当a=8、b=0、c=
8、d=
0时符合8类等和数，且最大，故最大的8类等和数为8080．
故答案为：①1203； ②8080．
(2)
∵ab+cd=46
(a，
c≠0)，只有当ab=cd=23时，
∴b+d=6或16，
∴b=0，
d=6
(不合题意)
b=1，
d=5
(不合题意)；
b=2，d=4，a=3，c=1即3214；
b=3，
d=3，a=2，c=2即2323；
b=4，
d=2
，a=1，c=3即1432；
b=5，d=1
(不合题意)；
b=6，d=0
(不合题意)；
b=7，d=9
(不合题意)；
b=8，d=8
(不合题意)；
b=9，d=7
(不合题意)；
综上所述，满足条件的所有“k类等和数”的个数是3，分别是3214，2323，
1432．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念“k类等和数”是解题的关键．
三、解答题
36．因式分解：
（1）15a3＋10a2
（2）3ax2＋6axy＋3ay2
（3）（2x＋y）2﹣（x＋2y）2
【答案】（1）5a2（3a＋2）；（2）3a（x＋y）2；（3）3（x＋y）（x﹣y）
【分析】
（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（3）原式利用平方差公式分解即可．
【详解】
（1）原式＝5a2（3a＋2）；
（2）原式＝3a（x2＋2xy＋y2）
＝3a（x＋y）2；
（3）原式＝（2x＋y＋x＋2y）（2x＋y﹣x﹣2y）
＝3（x＋y）（x﹣y）．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，具体考查了
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)提公因式法和公式法，对于多项式的因式分解，首先考虑是否有公因式可提，然后再考虑是否能用公式法，要注意：因式分解必须分解到再也不能分解为止，此外，完全平方公式和平方差公式不要用错．
37．因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）直接提取公因式?5a，进而得出即可；
（2）直接提取公因式（a?3），进而得出即可．
【详解】
解：（1）=；
（2）==
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式得出是解题关键．
38．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式，即可求解；
（2）先利用平方差公式，再合并同类项，即可得到答案．
【详解】
解：（1）原式=
=；
（2）原式=
=
【点睛】
本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和乘法公式，是解题的关键．
39．分解因式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
通过提公因式和公式法及十字相乘法求解．
【详解】
解：（1）原式．
（2）原式．
（3）原式．
【点睛】
本题考查因式分解，解题关键是因式分解多种方法综合运用，注意分解要彻底．
40．将下列各式因式分解：
（1）ab2﹣9a
（2）
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）首先提取公因式a，再由平方差公式进行因式分解；
（2）先整理式子，再利用由平方差公式因式分解，最后利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】
（1）原式
（2）原式
【点睛】
本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法及公式法进行因式分解．
41．将下列各式因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用十字相乘法分解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
42．因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】(1)；(2)；(3)；
(4)
．
【分析】
（1）用提公因式法分解因式．
（2）先提取公因式，然后用平方差公式分解因式．
（3）先用十字相乘法，然后用平方差公式分解因式．
（4）用换元法，把看做，原式写成的形式，用完全平方法分解因式，再把换成即可．
【详解】
（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【点睛】
本题考查了提公因式法分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，十字相乘法分解因式，换元法分解因式，运用适当的方法进行因式分解是解题关键．21cnjy.com
43．因式分解：．
【答案】
【分析】
先提公因式，再按照平方差公式计算．
【详解】
解：
【点睛】
本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的各种方法并灵活运用是解题关键
．
44．分解因式：．
【答案】（x+2）（x-2）
【分析】
先化简整理多项式，再根据公式法即可因式分解；
【详解】
解：（x-4）（x+1）+3x
=x2-3x-4+3x
=x2-4
=（x+2）（x-2）．
【点睛】
本题考查了运用公式法分解因式，解题的关键是熟练运用平方差公式法分解因式．
45．分解因式：
①ax+ay-az
②4
【答案】①a(x+y-z)；②(3m+n)(m+3n)
【分析】
①根据提公因式法进行因式分解即可；
②利用平方差公式进行分解即可．
【详解】
解：①ax+ay－az=a(x+y－z)；
②4
=[2(m+n)+(m－n)][2(m+n)－(m－n)]
=(3m+n)(m+3n)．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法是解题的关键．
46．回答下列各题．
（1）解不等式组：，并把所得解集表示在数轴上．
（2）分解因式：
①a2b－4ab＋4b；
②4（m－n）2－16（m＋n）2
【答案】（1）x＜－2，见解析；（2）①b（a－2）2；②
-4(3m+n)(m+3n)．
【分析】
（1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后把解集在数轴上表示出来；
（2）①先提公因式，再根据完全平方公式分解；
②先根据平方差公式分解，再提公因式．
【详解】
解：（1）原不等式组为：
解①得：x≤2，
解②得：x<-2，
∴原不等式的解集为：x<-2，可在数轴上表示如下：
；
（2）①原式=b(a2-4a+4)
=b(a-2)2；
②原式=[2(m-n)+4(m+n)][2(m-n)-4(m+n)]
=(2m-2n+4m+4n)(2m-2n-4m-4n)
=（6m＋2n）（－2m－6n）
=-4(3m+n)(m+3n)．
【点睛】
本题考查不等式组的求解及因式分解的综合应用，熟练掌握不等式组的解法及因式分解的各种方法是解题关键．
47．因式分解
（1）
（2）
【答案】（１）；（２）．
【分析】
（１）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可；
（２）先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可．
【详解】
解：（1）=；
（2）．
【点睛】
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和步骤是解题关键，因式分解的步骤一般为“一提二看三检查”
．
48．因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）首先提取公因式，再结合完全平方公式计算，即可得到答案；
（2）首先根据完全平方公式的性质，得；再根据平方差公式的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）
；
（2）
．
【点睛】
本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握提取公因式、完全平方公式、平方差公式的性质，从而完成求解．
49．分解因式：
（1）3x3－27x；
（2）2x2y－4xy＋2y
【答案】（1）3x(x+3)(x-3)；（2）2y(x-1)2
【分析】
（1）先提取公因式，在进行平方差公式；
（2）先提取公因式，在进行完全平分公式；
【详解】
（1）原式；
（2）原式；
【点睛】
本题主要考查了因式分解，准确计算是解题的关键．
50．已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．
【答案】，，
【分析】
由题意可假设多项式x3?x2+ax+b
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=(x2+2x+1)(x+m)，则将其展开、合并同类项，并与x3?
x2+ax+b式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定．
【详解】
解：设，
则，
所以，，，
解得，，．
所以
．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好．
51．分解因式：
（1）
；
（2）
．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先提公因式2a，再用平方差公式即可得答案；
（2）先提取公因式，再根据完全平方公式进行二次分解．
【详解】
解：（1）
（2）
【点睛】
本题考查提公因式法与公式法的综合运用，掌握提取公因式的技巧及乘法公式的公式结构正确计算是解题关键．
52．（1）计算：
；
（2）计算：；
（3）因式分解：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据整式乘除法和加减法的性质计算，即可得到答案；
（2）根据整式乘法和加减法的性质计算，即可得到答案；
（3）首先提取公因式，再根据完全平方公式分解，即可完成求解．
【详解】
（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点睛】
本题考查了整式运算和因式分解；解题的关键是熟练掌握整式混合运算的法则、以及提取公因式和完全平方公式，从而完成求解．
53．解答下列各题：
（1）计算：
（2）分解因式：．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用完全平方公式和平方差公式分别计算前后两部分，然后进行加减运算即可；
（2）先提取公因式5m，再利用平方差公式计算．
【详解】
（1）原式
（2）原式
【点睛】
本题考查整式的混合运算和因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式的法则．
54．分解因式
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式进行分解因式即可．
【详解】
（1）原式
（2）原式
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
55．待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：．
因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：
，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，，，，可以求出，，
所以．
（1）若取任意值，等式恒成立，则________；
（2）已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
【答案】（1）1；（2）另一因式为．
【分析】
（1）直接对比系数得出答案即可；
（2）根据多项式有因式设=，根据多项式乘以多项式法则展开，对比系数即可得答案．
【详解】
（1）∵等式恒成立，
∴=2，
解得：=1，
故答案为：1
（2）∵多项式有因式，
∴设==，
∴，，b=3，
解得：，，
∴另一因式为．
【点睛】
此题考查多项式乘以多项式法则、因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键．
56．问题：已知多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
解答：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（其中A为整式），
∴取x＝1，得1+m+n﹣16＝0，①
∴取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0，②
由①、②解得m＝﹣5，n＝20．
根据以上阅读材料解决下列问题：
（1）若多项式3x3+ax2﹣2含有因式（x﹣1），求实数a的值；
（2）若多项式2x2+mxy+ny2﹣4x+2y含有因式（x+y﹣2），求实数m、n的值；
（3）如果一个多项式与某非负数的差含有某
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式x2020+2x1010+3除以一次因式（x+1）的余数．2·1·c·n·j·y
【答案】（1）a=-1；（2）m=1，n=-1；（3）余数为6．
【分析】
（1）设多项式3x3+ax2-2=M（x-1），将x=1代入即可求出a的值；
（2）设多项式2x2+mxy+ny2-4x+2y=N（x+y-2），将x=0，y=2代入可求出n的值，再将x=1，y=1代入可求出m的值；
（3）设非负数为a，另一因式为Q，根据定义得到关系式为x2020+2x1010+3-a=Q（x+1），将x=-1代入，即可求出a的值．
【详解】
解：（1）设3x3+ax2-2=M（x-1）（其中M为整式），
∴取x=1，得3+a-2=0；
解得a=-1；
（2）设2x2+mxy+ny2-4x+2y=N（x+y-2）（其中N为整式）；
∴取x=0，y=2，得4n+4=0①；
取x=1，y=1，得2+m+n-4+2=0②；
由①②的m=1，n=-1；
（3）设这个非负数为a，另一因式为Q，
∴可得到关系式为x2020+2x1010+3-a=Q（x+1），
将x=-1代入，得1+2+3-a=0；
解得a=6．
故x2020+2x1010+3除以一次因式（x+1）的余数为6．
【点睛】
本题考查对于题干的理解能力和灵活运用能力，解题关键在于能够正确代数，使等式右边值恒为0，再解出方程即可．
57．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________；
（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．
类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；
（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．
（5）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）；（4）；（5）
【分析】
（1）由大的正方体的体积为
截去的小正方体的体积为
从而可得答案；
（2）由利用长方体的体积公式直接可得答案；
（3）提取公因式，即可得到答案；
（4）由（1）（3）的结论结合等体积的方法可得答案；
（5）利用先求解
再利用，再整体代入求值即可得到答案．
【详解】
解：（1）由大的正方体的体积为
截去的小正方体的体积为
所以截去后得到的几何体的体积为：
故答案为：
（2）
由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为，
所以长方体③的体积为
故答案为：，
（3）由题意得：
故答案为：
（4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为：
故答案为：
（5）
，，
，
【点睛】
本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键．
58．先阅读下列材料：我们已经学过将
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．
如①和②：
①
②
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）两个不相等的实数m，n满足．若，，求和k的值．
【答案】（1）；（2），．
【分析】
（1）先分组得，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解；
（2）由已知，两式相减得到，左边分解后可得到，再由已知，两式相加结合即可求得的值．
【详解】
解：（1）
；
（2）∵，，
两式相减得，
∴，即，
因式分解得，
∵，
∴即，
∵，，
两式相加得，即，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键．
59．如图1，在平面直角坐标系中，点A(a，b)，B(c，d)，其中a，b，c，d满足a2＋2ad＋d2＝－b2＋2bc－c2．
（1）求∠OAB的度数；
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC＝OD；
（3）过点O作OMBD交AD于点M，若BC＝3，在图2中根据题意补全图形并求OM的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）图见解析，
【分析】
(1)分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意得，得到OC=BD，AC=OD，推出△AOC≌△OBD，证明△AOB为等腰直角三角形，∠OAB=45；
(2)连接OB，证明△AOC≌△BOD(AAS)即可得到结论；
?(3)由?OM//BD得OM⊥AB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可证AM=?DM，过点D作DT//AO交OM延长线于点T，∠TDO=?180°-?2?AOD=∠BOC，易证△BOC≌△TDO，得到BC=?OT?=2OM，即可求出OM．
【详解】
（1）连接OB，作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
∵a2＋2ad＋d2＝－b2＋2bc－c2，
∴
∴，
∴a+d=0，b-c=0，
∴a=-d，b=c，
∵A(a，b)，B(c，d)，
∴OC=BD，AC=OD，
∵
∴△AOC≌△OBD，
∴OA=OB，∠AOC=∠OBD，
∵∠OBD+∠BOD=，
∴∠AOC+∠BOD=，
∴∠AOB=，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠ABO=；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）连接OB，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=，
∵∠OAB=∠ABO=，
∴∠OBD=∠A=，
∵∠DOC=∠DBC=，∠OED=∠BEC，
∴∠ODB=∠AOC，
又∵OA=OB，
∴△AOC≌△BOD(AAS)，
∴OC=OD；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）?如图，
∵OM//BD，
∴OM⊥AB，
∵OA=OB，
∴AN=BN，
∴AM=?DM，
过点D作DT//AO交OM延长线于点T，作AH⊥x轴于H，
∴∠OAM=∠TDM，∠AOM=∠T，
∴△AOM≌△DTM，
∴OM=TM=OT，TD=OA，
∴TD=OB，
∵∠TDO=?180°-?∠AOD=180°-?∠DOH-∠AOH=-∠AOH，
∵∠AOH+∠BOC=，
∴∠BOC=-∠AOH，
∴∠TDO=∠BOC，
∵OC=OD，
∴△BOC≌△TDO，
∴BC=?OT?=2OM，
∴OM=．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，完全平方
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)公式分解因式，等腰直角三角形的判定及性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，这是一道较难的三角形综合题．【来源：21·世纪·教育·网】
60．教科书中这样写道：“我们把多
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；2-1-c-n-j-y
例如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
原式=2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8．可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8．
（1）分解因式：=______．
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数．
（3）当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）当，时，多项式有最小值，最小值为5．
【分析】
（1）仿样例对含字母的项进行配方化成完全平方式，再运用平方差公式进行分解因式；
（2）先用配方法把原式化成完全平方式与常数的和的形式，再利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质进一步得最小值．
【详解】
（1）
；
（2）
，
∵，
∴，
∴原式的值总为正数；
（3）
，
当，即，时，原式取最小值5．
∴当，时，多项式有最小值5．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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14.3
因式分解
【提升训练】
一、单选题
1．把分解因式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列因式分解正确的是（
）．
A．x2－xy＋y2＝（x＋y）2
B．x2－5x－6＝（x－2）（x－3）
C．x3－4x＝x（x2－4）
D．9m2－4n2＝（3m＋2n）（3m－2n）
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是
A．
B．
C．
D．
4．已知，，是的三条边长，且，则一定是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．以上均不对
5．代数式因式分解为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若多项式可因式分解为，其中、、均为整数，则的值是（
）
A．1
B．7
C．11
D．13
7．下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．多项式与的公因式是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．在中，若有一个因式为，则k的值为（ ）
A．2
B．
C．6
D．
10．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（
）
A．x3﹣x＝x（x﹣1）
B．x2+6x+9＝（x+3）2
C．（2x+3y）（2x﹣3y）＝4x2﹣9y2
D．x2﹣y2＝（x﹣y）2
11．多项式与多项式的公因式是（
）
A．
B．
C．
D．
12．下列因式分解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
13．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（
）
A．4x2+1
B．9a2b2-3ab+1
C．x2-x+
D．-x2-y2
14．若二次三项式可分解为，则a+b的值为（
）
A．
B．1
C．
D．2
15．下列多项式：①；②；③；④中，能用公式法分解因式的有（
）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
16．已知满足，，则的值为（
）
A．4
B．1
C．0
D．-8
17．已知a﹣b＝b﹣c＝2，a2+b2+c2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A．﹣22
B．﹣1
C．7
D．11
18．若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
A．﹣1
B．0
C．1
D．2
19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此
4，12，20
都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（
）
A．56
B．60
C．62
D．88
20．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价,现有种方案：①第一次提价,第二次提价；②第一次提价,第二次提价；③第一次、第二次提价均为.其中和是不相等的正数.下列说法正确的是(
)21世纪教育网版权所有
A．方案①提价最多
B．方案②提价最多
C．方案③提价最多
D．三种方案提价一样多
21．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3
(m是整数)的因式的是
A．x－2
B．2x＋3
C．x＋4
D．2x2－1
22．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1
B．x+2y﹣1
C．x﹣2y+1
D．x﹣2y﹣1
23．已知，，则的结果为（
）
A．
B．
C．
D．
24．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．15
B．30
C．60
D．78
25．已知a=2012x+2011，b=2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
26．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是(
)
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．不能确定
27．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（ ）
A．1
B．4
C．11
D．12
28．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，
时，则各个因式的值为，
，
，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，
时，用上述方法产生的密码不可能是（
）21教育网
A．201030
B．201010
C．301020
D．203010
29．把多项式分解因式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
30．对二次三项式4x2﹣6xy﹣3y2分解因式正确的是（ ）
A．
B．
C．
??????????????????????
D．
二、填空题
31．已知关于的多式的一个因式是，则的值是__．
32．分解因式_______________．
33．如果因式分解的结果为，则A=__________，B=__________．
34．因式分解，其中都为整数，则的最大值是______．
35．一个四位整数（千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为），若满足，那么，我们称这个四位整数为“类等和数”．21cnjy.com
例如：3122是一个“4类等和数”，因为：；
5417不是一个“类等和数”，因为：，，．
（1）写出最小的“3类等和数”是___________，最大的“8类等和数”是___________．
（2）若一个四位整数是“类等和数”，且满足，求满足条件的所有“类等和数”的个数，并把它们写出来．21·cn·jy·com
三、解答题
36．因式分解：
（1）15a3＋10a2
（2）3ax2＋6axy＋3ay2
（3）（2x＋y）2﹣（x＋2y）2
37．因式分解：
（1）
（2）
38．分解因式：
（1）
（2）
39．分解因式：
（1）
（2）
（3）
40．将下列各式因式分解：
（1）ab2﹣9a
（2）
41．将下列各式因式分解：
（1）
（2）
42．因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
43．因式分解：．
44．分解因式：．
45．分解因式：
①ax+ay-az
②4
46．回答下列各题．
（1）解不等式组：，并把所得解集表示在数轴上．
（2）分解因式：
①a2b－4ab＋4b；
②4（m－n）2－16（m＋n）2
47．因式分解
（1）
（2）
48．因式分解：
（1）
（2）
49．分解因式：
（1）3x3－27x；
（2）2x2y－4xy＋2y
50．已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．
51．分解因式：
（1）
；
（2）
．
52．（1）计算：
；
（2）计算：；
（3）因式分解：．
53．解答下列各题：
（1）计算：
（2）分解因式：．
54．分解因式
（1）
（2）
55．待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．www.21-cn-jy.com
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解：．
因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．
故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：
，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等，，，，可以求出，，
所以．
（1）若取任意值，等式恒成立，则________；
（2）已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．
56．问题：已知多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
解答：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（其中A为整式），
∴取x＝1，得1+m+n﹣16＝0，①
∴取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0，②
由①、②解得m＝﹣5，n＝20．
根据以上阅读材料解决下列问题：
（1）若多项式3x3+ax2﹣2含有因式（x﹣1），求实数a的值；
（2）若多项式2x2+mxy+ny2﹣4x+2y含有因式（x+y﹣2），求实数m、n的值；
（3）如果一个多项式与某非负数的差含有某个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式x2020+2x1010+3除以一次因式（x+1）的余数．2·1·c·n·j·y
57．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为的大正方体进行以下探索：【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）在大正方体一角截去一个棱长为的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________；
（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵，，，∴长方体①的体积为．
类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；
（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．
（5）已知，，求的值．
58．先阅读下列材料：我们
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法．21·世纪
教育网
如①和②：
①
②
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）两个不相等的实数m，n满足．若，，求和k的值．
59．如图1，在平面直角坐标系中，点A(a，b)，B(c，d)，其中a，b，c，d满足a2＋2ad＋d2＝－b2＋2bc－c2．www-2-1-cnjy-com
（1）求∠OAB的度数；
（2）如图2，延长AB交x轴于点C，过点B作BD⊥AC交y轴于点D，求证：OC＝OD；
（3）过点O作OMBD交AD于点M，若BC＝3，在图2中根据题意补全图形并求OM的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
60．教科书中这样写道：“我们把多项式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式=x2+2x-3=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；2-1-c-n-j-y
例如：求代数式2x2+4x-6的最小值．
原式=2x2+4x-6=2(x2+2x-3)=2(x+1)2-8．可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8．
（1）分解因式：=______．
（2）试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数．
（3）当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
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精品试卷·第
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