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15.1
分式
【提升训练】
一、单选题
1．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（
）
A．
B．
C．1
D．2
2．分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若式子有意义，则下列说法正确的是（
）
A．且
B．
C．
D．
4．要使分式有意义，x的取值应满足（
）
A．
B．
C．或
D．且
5．若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．在下列分式中，是最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（
）
A．x＞0
B．x＞-4
C．x≠0
D．x＞-4且x≠0
8．若分式的值等于0，则a的值为（
）
A．
B．0
C．
D．无解
9．化简分式的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
10．下列各分式中，最简分式是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若的值为零，则x的值为（
）
A．-1
B．1
C．
D．0
12．分式有意义的条件是（ ）
A．x≠3
B．x≠9
C．x≠±3
D．x≠﹣3
13．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3
B．3
C．±3
D．0
14．下列各式中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
15．下列变形从左到右一定正确的是(
)．
A．
B．
C．
D．
16．若分式的值为零，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
17．下列判断错误的是（ ）
A．当a≠0时，分式有意义
B．当a＝﹣3时，分式有意义
C．当时，分式的值为0
D．当a＝1时，分式的值为1
18．若分式的值为正数，则需满足的条件是（
）
A．为任意实数
B．
C．
D．
19．如果把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（
）
A．不变
B．缩小5倍
C．扩大2倍
D．扩大5倍
20．下列式子：
①（x+1≠0）；②；③；④中，
其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
21．若分式的值为0，则的值为（
）
A．0
B．-3
C．3
D．3或-3
22．若关于x的分式，当x=1时其值为0,则实数a的取值范围（
）
A．a≠0
B．a≠3
C．a＞0
D．a＞3
23．关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）
A．约分的结果是
B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1
D．化简﹣的结果是1
24．下列分式中，是最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
25．如果分式:中分子、分母的x，y同时扩大为原来的2倍，则分式的值(
)
A．扩大为原来的2倍
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍
D．不变
26．如果分式的值为0，那么的值为（
）
A．-1
B．1
C．-1或1
D．1或0
27．下列变形不正确的是（ ）
A．
B．C．
D．
28．下列分式是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．下列各式中，正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
30．当时，下列各式的值为0的是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．观察：，则________．
32．化简：＝_____．
33．观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．21世纪教育网版权所有
34．已知、、、、、都为正数，，，，，，，则________．
35．在下列几个均不为零的式子，x2﹣4，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简：______．21教育网
三、解答题
36．已知9a2-4b2=0，求代数式--的值．
37．已知+n2+2n+1＝0．
（1）求﹣2m2+6m﹣4n的值；
（2）求m2+﹣n2013的值．
38．先化简，在求值.
（1）,其中,
（2），其中的值从不等式组的整数解中选取.
39．已知：，，求代数式的值．
40．先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝+1．
41．若分式的值为零，求的值.
42．先化简，再求值：，再选择一个使原式有意义的x代入求值．
43．化简并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边且a为整数．
44．计算：-12+（π-3．14）0+（-）-2-．
45．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：
；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
根据你观察到的规律，解决下列问题：
（1）请写出第5个等式：_____________________；
（2）请写出第个等式：___________________________（用含的等式表示），并证明．
46．观察下列等式：
根据上述规律解决下列问题：
①；
②；
③；
④；……
(1)完成第⑤个等式；
(2)写出你猜想的第个等式(用含的式子表示)并证明其正确性．
47．观察下列等式：
，，，……
（1）请写出第四个等式：
；
（2）观察上述等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．
48．观察下列等式：
写出第个等式：
；
写出你猜想的第n个等式：
(用含的等式表示)，并证明．
49．观察下列不等式：①；②；③；…
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第5个不等式：
；
（2）写出你猜想的第n个不等式：
（用含n的不等式表示）
（3）利用上面的猜想，比较和的大小．
50．（1）化简；
（2）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，
Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D；
③过C作CF∥AB交PQ于点F．
求证：△AED≌△CFD；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
51．阅读理解：
类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.
拓展定义：
对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：；
.
理解定义：
（1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号）
①；②；③；④.
拓展应用：
（2）将分式化成整式与真分式的和的形式；
（3）将假分式化成整式与真分式的和的形式．
52．已知线段，，满足，且．
求，，的值；
若线段是线段，的比例中项，求．
53．设轮船在静水中的速度为v
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?),该船在流水(水流速度为u)中从A顺流到B,再从B逆流返回到A所用的时间为T;假设当河流为静水时,该船从A到B再返回A,所用时间为t,A、B两地之间的距离为s.
(1)用代数式表示时间T.
(2)用代数式表示时间t.
(3)你能确定T与t之间的大小关系吗?说明理由.
54．阅读下面材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：
将分式，化为带分式．
当x取什么整数值时，分式的值也为整数？
55．若三个实数满足，且，则有：
例如：请解决下列问题：
(1)求的值．
(2)设，求的整数部分．
(3)已知，其中，且．当取得最小值时，求的取值范围．
56．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．21cnjy.com
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．21·cn·jy·com
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
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精品试卷·第
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15.1
分式
【提升训练】
一、单选题
1．已知两个不等于0的实数、满足，则等于（
）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】
先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∵两个不等于0的实数、满足，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键．
2．分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据分式分母不为零，计算即可
【详解】
解：根据分式有意义的条件为分母不为零得：
∴
故选:D
【点睛】
本题考查分时有意义的条件，正确理解分式的定义是关键
3．若式子有意义，则下列说法正确的是（
）
A．且
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据分式有意义的条件分母不为零计算即可
【详解】
解：由题意可知：
∴
故选：C
【点睛】
本题考查分式有意义的条件，正确理解分式含义是关键．
4．要使分式有意义，x的取值应满足（
）
A．
B．
C．或
D．且
【答案】D
【分析】
分式有意义的条件：分母不等于零，由此列式计算即可．
【详解】
解：由题意得：，
∴且，
故选：D．
【点睛】
此题考查分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件及掌握计算方法是解题的关键．
5．若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：A、=，故A的值保持不变．
B、，故B的值不能保持不变．
C、，故C的值不能保持不变．
D、，故D的值不能保持不变．
故选：A．【来源：21cnj
y.co
m】
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．
6．在下列分式中，是最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据最简分式的定义即可求出答案．
【详解】
A、原式，故A不是最简分式；
C、原式，故C不是最简分式；
D、原式，故D不是最简分式；
故选：B．
【点睛】
本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，本题属于基础题型．
7．已知分式的值是正数，那么x的取值范围是（
）
A．x＞0
B．x＞-4
C．x≠0
D．x＞-4且x≠0
【答案】D
【分析】
若的值是正数，只有在分子分母同号下才能成立，即x＋4＞0，且x≠0，因而能求出x的取值范围．
【详解】
解：∵＞0，
∴x＋4＞0，x≠0，
∴x＞?4且x≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查分式值的正负性问题，若对于分式（b≠0）＞0时，说明分子分母同号；分式（b≠0）＜0时，分子分母异号，也考查了解一元一次不等式．
8．若分式的值等于0，则a的值为（
）
A．
B．0
C．
D．无解
【答案】D
【分析】
根据分式的值为零的意义具体计算即可.
【详解】
∵分式的值等于0，
∴=0，
∵≥1＞0，
∴=0是不可能的，
∴无解，
故选D.
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件,熟记基本条件和实数的非负性是解题的关键.
9．化简分式的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先把分子因式分解，再约分即可．
【详解】
解：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的约分，解题关键是先把分子因式分解，再和分母约分．
10．下列各分式中，最简分式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
分式的分子和分母没有公因式的分式即为最简分式，根据定义解答．
【详解】
A、=，故该项不是最简分式；
B、=-x-y，故该项不是最简分式；
C、分子分母没有公因式，故该项是最简分式；
D、=，故该项不是最简分式；
故选：C．
【点睛】
此题考查最简分式定义，化简分式，掌握方法将分式的化简是解题的关键．
11．若的值为零，则x的值为（
）
A．-1
B．1
C．
D．0
【答案】A
【分析】
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【详解】
根据题意知，，
解得：，
所以，
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
12．分式有意义的条件是（ ）
A．x≠3
B．x≠9
C．x≠±3
D．x≠﹣3
【答案】C
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零列出关于x的不等式，解之可得．
【详解】
解：当x2﹣9≠0时，分式有意义，
由x2﹣9≠0得：x2≠9，
则x≠±3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
13．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3
B．3
C．±3
D．0
【答案】A
【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】
解：根据题意，得
x2﹣9＝0且x﹣3≠0，
解得，x＝﹣3；
故选：A．
【点睛】
若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
14．下列各式中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
按照分式的基本性质逐项排除即可．
【详解】
解：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，掌握给分式分子分母同乘（除）一个不为0的数或代数式，原分式大小不变是解答本题的关键．21·cn·jy·com
15．下列变形从左到右一定正确的是(
)．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据分式的基本性质依次计算各项后即可解答．
【详解】
选项A，根据分式的基本性质，分式的分子和分母都乘以或除以同一个不是0的整式，分式的值不变，分式的分子和分母都减去2不一定成立，选项A错误；
选项B，当c≠0时，等式才成立，即，选项B错误；
选项C，隐含着x≠0，由等式的右边分式的分子和分母都除以x，根据分式的基本性质得出，选项C正确；
选项D，当a=2，b=-3时，左边≠右边，选项D错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质的应用，主要检查学生能否正确运用性质进行变形，熟练运用分式的基本性质是解决问题的关键．
16．若分式的值为零，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此列出关于的方程、不等式即可得出答案．
【详解】
∵
∴
∴解得
故选：C
【点睛】
本题考查了分式值为零需满足的条件，分子等于零且分母不等于零，二者缺一不可．
17．下列判断错误的是（ ）
A．当a≠0时，分式有意义
B．当a＝﹣3时，分式有意义
C．当时，分式的值为0
D．当a＝1时，分式的值为1
【答案】B
【分析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，分式有意义进而得出答案．
【详解】
解：A、当a≠0时，分式
有意义，正确，不合题意；
B、当a＝﹣3时，a2﹣9＝0，则分式
无意义，故此选项错误，符合题意；
C、当
时，分式
的值为0，正确，不合题意；
D、当a＝1时，分式
的值为1，正确，不合题意；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义，分式的值为零，正确把握性质是解题关键.
18．若分式的值为正数，则需满足的条件是（
）
A．为任意实数
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
因为分母不可能是负数，所以分子的值是正数就可以了，据此可得解.
【详解】
∵，
∴分式的值为正数时，，
解得：.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了分式的值是正数的条件，是需要熟练掌握的内容．注意分式分母的值不能是0．
19．如果把分式中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（
）
A．不变
B．缩小5倍
C．扩大2倍
D．扩大5倍
【答案】A
【分析】
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个数（或整式），结果不变，可得答案．
【详解】
解：把分式中的x和y都扩大5倍则原式
故选A.
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个数（或整式），结果不变．
20．下列式子：
①（x+1≠0）；②；③；④中，
其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据分式的基本性质，分式的分子、分母乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变,逐项分析即可判别.
【详解】
①∵x+1≠0
∴的分子分母都乘以（x+1），可得，故①正确；
②左边分母因式分解后对分式化简得，与右边相等，故②正确；
③左边的分子分母都乘以﹣1，得，与右边不相等，故③错误；
④左边分母因式分解后对分式化简得，与右边不相等，故④错误．
综上所述，①②正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分式的化简，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
21．若分式的值为0，则的值为（
）
A．0
B．-3
C．3
D．3或-3
【答案】B
【分析】
利用分式特征：分母不为0，即可求得的值.
【详解】
分式的值为0，∵，∴
故选B.
【点睛】
本题考查了分式的性质，熟练掌握“分式中，分母不为0”是解题关键.
22．若关于x的分式，当x=1时其值为0,则实数a的取值范围（
）
A．a≠0
B．a≠3
C．a＞0
D．a＞3
【答案】B
【分析】
根据题意可得x-1=0，且x2-4x+a≠0，再代入x=1的值即可得到a的取值范围．
【详解】
由题意得：x2-4x+a≠0，
1-4+a≠0，
解得：a≠3，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
23．关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（ ）
A．约分的结果是
B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1
D．化简﹣的结果是1
【答案】D
【分析】
根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D．
【详解】
解：A、＝
，故本选项错误；
B、分式与的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；
C、＝
，故本选项错误；
D、﹣＝1，故本选项正确；
故选D．
【点睛】
本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.
24．下列分式中，是最简分式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式，据此解答即可.
【详解】
A.=，故该选项不是最简分式，不符合题意，
B.==-1，故该选项不是最简分式，不符合题意，
C.==x+2，故该选项不是最简分式，不符合题意，
D.不能化简，是最简分式，符合题意.
故选D.
【点睛】
本题考查最简分式的定义，分子和分母没有公
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)因式的分式叫做最简分式；最简分式首先系数要最简；一个分式是否为最简分式，关键看分子与分母是不是有公因式，但表面不易判断，应将分子、分母分解因式．
25．如果分式:中分子、分母的x，y同时扩大为原来的2倍，则分式的值(
)
A．扩大为原来的2倍
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的4倍
D．不变
【答案】A
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
.
故选A.
【点睛】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
26．如果分式的值为0，那么的值为（
）
A．-1
B．1
C．-1或1
D．1或0
【答案】B
【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【详解】
根据题意，得
|x|-1=0且x+1≠0，
解得，x=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
27．下列变形不正确的是（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】C
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
A.
，正确；B.
，正确；
C.≠,错误；D.
，正确.
故选C．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
28．下列分式是最简分式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
最简分式的标准是分子，分母中不含有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】
A．
=，不符合题意；
B．=，不符合题意；
C．是最简分式，符合题意；
D．，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了最简分式，一个分式的分子
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)与分母没有公因式时，叫最简分式．分式化简时，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．
29．下列各式中，正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据分式的基本性质对选项逐一判断即可．
【详解】
A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．
30．当时，下列各式的值为0的是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据分式的值为零的条件进行判断．
【详解】
A、当时，，由于分式的分母不能为0，故A错误；
B、当时，，分式的分母为0，故B错误；
C、当时，，故C错误；
D、当时，，且，故D正确；
故选D．21cnjy.com
【点睛】
本题考查了分式为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为0；分母不为这两个条件缺一不可.www-2-1-cnjy-com
二、填空题
31．观察：，则________．
【答案】
【分析】
先计算得到a1、a2、a3、a4的值，得到变化规律，根据规律求解即可．
【详解】
解：，
，
，
，
观察发现，每三个一循环，
，
即第674轮的第一个，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
32．化简：＝_____．
【答案】
【分析】
直接利用分式的性质化简得出答案．
【详解】
解：
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
33．观察分析下列方程：①；②；③．请利用它们所蕴含的规律，求关于的方程（n为正整数）的根，你的答案是_____．
【答案】x=n+4或x=n+5
【分析】
根据方程变形后，归纳总结得到一般性规律，求出所求方程的解即可．
【详解】
解：，解得：或；
，解得：或；
，解得：或；
得到规律，的解为：或；
所求方程整理得：，
根据规律得：或，
解得：x=n+4或x=n+5
故答案为：x=n+4或x=n+5
【点睛】
此题考查了分式方程的解，弄清楚题中的规律是解本题的关键．
34．已知、、、、、都为正数，，，，，，，则________．
【答案】
【分析】
根据等式性质及分式性质进行计算即可求得结果．
【详解】
解：由，，，，，，可将每个等式的左右两边相乘得：
，
∴，
，
∴，
同理可得：，，，，，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查等式性质及分式性质，熟练掌握等式性质及分式性质是解题的关键．
35．在下列几个均不为零的式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)子，x2﹣4，x2﹣2x，x2﹣4x+4，x2+2x，x2+4x+4中任选两个都可以组成分式，请你选择一个不是最简分式的分式进行化简：______．2-1-c-n-j-y
【答案】（答案不唯一）
【分析】
在这几个式子中任意选一个作分母，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)任意另选一个作分子，就可以组成分式．因而可以写出的分式有很多个，把分式的分子分母分别分解因式，然后进行约分即可．
【详解】
解：.
故填：（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查了分式的化简，掌握最简分式的定义及分式化简的方法是解题的关键．
三、解答题
36．已知9a2-4b2=0，求代数式--的值．
【答案】±3
【分析】
原式通分并利用同分母分式的减法法则计
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)算，约分得到最简结果，已知等式利用平方差公式化简，整理得到2b=3a或2b=-3a，代入计算即可求出值．
【详解】
原式=
-
-
=
=
==-2·，
∵9a2-4b2=0，
∴
=
，
∴
=±，
∴原式=-2×=-3或原式=.
点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
37．已知+n2+2n+1＝0．
（1）求﹣2m2+6m﹣4n的值；
（2）求m2+﹣n2013的值．
【答案】（1）6；（2）8
【分析】
利用非负数之和为0的性质得到从而可得答案．
【详解】
解：已知等式整理得：+＝0，
由①得：
由②得：
（1）原式＝
（2）原式＝
【点睛】
本题考查的是非负数之和为0的性质，代数式的求值，掌握整体代入的方法是解题的关键．
38．先化简，在求值.
（1）,其中,
（2），其中的值从不等式组的整数解中选取.
【答案】（1），；（2），-2.
【分析】
（1）先根据分式的运算法则进行化简，再代入x即可求解；
(2)
先根据分式的运算法则进行化简，再求出不等式组的解集，再代入合适的之即可.
【详解】
解：（1）
当时，原式
（2）
当时，
原式
【点睛】
此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知分式的运算法则.
39．已知：，，求代数式的值．
【答案】8
【分析】
先根据分式加减运算法则化简原式，再将代入计算可得．
【详解】
原式，
当，时，
原式．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值，分式中的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
40．先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝+1．
【答案】.
【分析】
先算括号里面的，再算除法，把分式化为最简公式，把x的值代入进行计算即可
【详解】
原式＝
＝
＝
，
当x＝
+1时，原式＝．
【点睛】
此题考查分式的化简求值，掌握运算法则是解题关键
41．若分式的值为零，求的值.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意可列方程，求出方程的根，再根据分式分母不能为零，进而得到x的值.
【详解】
由题意得：且,
得：,
解得：，
，
又∵当时，，
∴.
【点睛】
分式的值为零的条件为：分子为零，且分母不为零；两个条件必须同时具备，缺一不可.
42．先化简，再求值：，再选择一个使原式有意义的x代入求值．
【答案】，当x=1时，原式10．
【详解】
试题分析：首先将括号里面的分式进行通分，然后进行约分化简，选择x的值的时候不能使分式的分母为零.
试题解析：原式==2x+8
当x=1时，原式=2×1+8=10．
考点：分式的化简求值.
43．化简并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边且a为整数．
【答案】
，时，-1.
【分析】
首先将各分式的分子和分母进行因式分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解，然后进行分式的乘除法计算得出化简结果，根据分式的性质、三角形的三边关系定理得出a的值，然后代入化简后的式子即可得出答案．【版权所有：21教育】
【详解】
解：原式==，
∵与、构成的三边，且为整数
∴，
由题可知、、，
∴，
∴原式=．
【点睛】
本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．本题需要注意的是在选择a的值的时候，一定要保证原分式有意义．21教育名师原创作品
44．计算：-12+（π-3．14）0+（-）-2-．
【答案】2．
【解析】
试题分析：分别进行乘方、零指数幂、负整数指数幂等运算，然后合并．
试题解析：原式=-1+1+4-2
=2．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂．
45．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：
；
第3个等式：；
第4个等式：；
…
根据你观察到的规律，解决下列问题：
（1）请写出第5个等式：_____________________；
（2）请写出第个等式：___________________________（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】
（1）根据规律写出第5个等式即可；
（2）依据（1）中的规律，将特殊转化为一半即可；
【详解】
解：（1）；
（2）；
证明：右边左边；
∴等式成立．
【点睛】
本题主要考查了数字找规律，准确计算是解题的关键．
46．观察下列等式：
根据上述规律解决下列问题：
①；
②；
③；
④；……
(1)完成第⑤个等式；
(2)写出你猜想的第个等式(用含的式子表示)并证明其正确性．
【答案】（1）；（2），详见解析
【分析】
(1)根据已知的等式即可写出第⑤个等式；
（2）发现规律即可得到第个等式，根据分式的运算法则即可求解．
【详解】
解：（1）第5个等式为：
（2）猜想：第n个等式为：
证明：∵左边
右边
∴左边=右边
∴原式成立．
【点睛】
此题主要考查分式运算的应用，解题的关键是根据已知的等式找到规律．
47．观察下列等式：
，，，……
（1）请写出第四个等式：
；
（2）观察上述等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．
【答案】（1）4-=42×；（2）第n个等式是，见解析．
【分析】
（1）把前三个等式都看作减法算式的话，每个算式的被减数分别是1、2、3，减数的分母分别是、、，减数的分子分别是，，，差分别是被减数的平方和以减数的分母作分母，以1作分子的分数的乘积；据此判断出第四个等式的被减数是4，减数的分母是8，分子是4的4倍，差等于与的乘积；www.21-cn-jy.com
（2）根据上述等式的规律，猜想第个等式为：，然后把等式的左边化简，根据左边右边，证明等式的准确性即可．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：（1）4-=42×
（2）第n个等式是．
证明：∵左边=
=右边，
∴等式成立．
【点睛】
此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第个等式为：．【来源：21·世纪·教育·网】
48．观察下列等式：
写出第个等式：
；
写出你猜想的第n个等式：
(用含的等式表示)，并证明．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】
（1）根据所给等式的特点，写出第⑥个等式即可；
（2）由所给等式可知：等号左边的被除
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数是1，括号内的两个分数的分子都是1，第一个分数的分母和序数相同，第二个分数的分母比序数大2，然后再加1，而等号右边是比序数大1的数的平方，据此可写出第n个等式，然后根据分式的混合运算法则进行证明．21教育网
【详解】
解：（1）
第⑥个等式为：；
（2）由分析可猜想第n个等式为：，
证明：左边右边，
故等式成立．
【点睛】
本题考查了数字类规律探索、分式的混合运算，根据所给式子，分析变化的部分与不变的部分，正确得出规律是解题的关键．21
cnjy
com
49．观察下列不等式：①；②；③；…
根据上述规律，解决下列问题：
（1）完成第5个不等式：
；
（2）写出你猜想的第n个不等式：
（用含n的不等式表示）
（3）利用上面的猜想，比较和的大小．
【答案】（1）＜；（2）＜；（3）＜．
【分析】
（1）根据给出的不等式找出规律进行求解即可；
（2）根据题意找出规律求解即可；
（3）利用找出的规律将给出的式子进行变形，然后再比较大小即可.
【详解】
解：（1）①；
②；
③；
…
则第5个不等式为：＜，
故答案为：＜；
（2）第n个不等式为：＜，
故答案为：＜；
（3）∵＜＝，
∴＜．
【点睛】
本题主要考查的是不等式的性质，数式规律问题的有关知识，由简单计算找出规律是解答本题的关键.
50．（1）化简；
（2）如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于P，
Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D；
③过C作CF∥AB交PQ于点F．
求证：△AED≌△CFD；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）见解析.
【分析】
（1）先把分子、分母分解因式，再约分即可；
（2）由作法知，PQ是线段AC的垂
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)直平分线，从而可得AD=CD,由平行线的性质得∠A=∠DCF,
∠AED=∠CFD,然后根据“AAS”可证△AED≌△CFD.21
cnjy
com
【详解】
（1）=；
（2）由作法知，PQ是线段AC的垂直平分线，
∴AD=CD,
∵CF∥AB,
∴∠A=∠DCF,
∠AED=∠CFD,
在△AED和△CFD中,
∵∠A=∠DCF,
∠AED=∠CFD,
AD=CD,
∴△AED≌△CFD(AAS),
【点睛】
本题考查了分式的约分，线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)段垂直平分线的性质，平行线的性质及全等三角形的判定等知识.熟练掌握各知识点是解答本题的关键.全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS和HL.21世纪教育网版权所有
51．阅读理解：
类比定义：我们知道：分式和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.
拓展定义：
对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式，
如：；
.
理解定义：
（1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号）
①；②；③；④.
拓展应用：
（2）将分式化成整式与真分式的和的形式；
（3）将假分式化成整式与真分式的和的形式．
【答案】（1）③；①②④；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式；
（2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式；
（3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式．
【详解】
（1）①，是假分式；
②，是假分式.
③是真分式；
④，是假分式；
（2）====，
（3）.
【点睛】
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题．
52．已知线段，，满足，且．
求，，的值；
若线段是线段，的比例中项，求．
【答案】⑴、、；⑵．
【解析】
试题分析：(1)、首先设a=3k
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，则b=2k，c=6k，然后根据题意求出k的值，从而得出a、b和c的值；(2)、根据比例中项的性质得出x的值.【出处：21教育名师】
试题解析：(1)、设a=3k，则b=2k，c=6k
∴3k+4k+6k=26
解得：k=2
∴a=6，b=4，c=12
(2)、根据比例中项的性质可得：=ab=24
则x=2.
考点：比的性质
53．设轮船在静水中的速度为v,该
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)船在流水(水流速度为u)中从A顺流到B,再从B逆流返回到A所用的时间为T;假设当河流为静水时,该船从A到B再返回A,所用时间为t,A、B两地之间的距离为s.
(1)用代数式表示时间T.
(2)用代数式表示时间t.
(3)你能确定T与t之间的大小关系吗?说明理由.
【答案】(1)T=+.
(2)t=.
(3)T＞t.
【解析】
(1)由航行时间=，顺水速度是v+μ，顺水时间为，逆水速度是v-μ，逆水时间为，总时间为T=+.
(2)由航行时间=，路程为2s，速度为v，时间为t=.
(3)T=+==，t==，分子相同，只要比较分母即可，分母越小，分式的值越大，v2-μ2＜v2，所以T＞t.
54．阅读下面材料：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题：
将分式，化为带分式．
当x取什么整数值时，分式的值也为整数？
【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数．
【分析】
（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值．
【详解】
解：（1），
；
（2），
当，即；
当，即；
当，即；
当，即，
综上，，3，，时，分式的值也为整数．
【点睛】
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
55．若三个实数满足，且，则有：
例如：请解决下列问题：
(1)求的值．
(2)设，求的整数部分．
(3)已知，其中，且．当取得最小值时，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)2019；(3)
【分析】
(1)仿照例题计算即可；
(2)仿照例题，利用绝对值的性质去掉绝对值符号，前后抵消得到，即可求得S的整数部分；
(3)由已知得：，且，对原式化简得到，根据绝对值的意义，确定分点，分类讨论后化简多项式，即可得到结果．
【详解】
(1)；
(2)
，
∴的整数部分2019；
(3)由已知得：，且，
，
∵，
∴原式，
当时，
；
当时，
；
∴当，即时，取得最小值为2，
∴代数式取得最小值时，的取值范围是：．
【点睛】
本题考查了绝对值的化简、绝对值的意义、分式的求值，解决第(3)问的关键是利用整体的思想分类讨论．
56．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4∴x+＝4∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则
根据材料回答问题：
（1）已知，求x+的值．
（2）已知，（abc≠0），求的值．
（3）若，x≠0，y≠0，z≠0，且abc＝7，求xyz的值．
【答案】（1）5；
（2）；
（3）
【分析】
（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，代入所求式子即可；
（3）本题介绍两种解法：
解法一：（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），化简得：①，②，③，相加变形可得x、y、z的代入＝中，可得k的值，从而得结论；
解法二：取倒数得：＝＝，拆项得，从而得x＝，z＝，代入已知可得结论．
【详解】
解：（1）∵＝，
∴＝4，
∴x﹣1+＝4，
∴x+＝5；
（2）∵设＝＝＝k（k≠0），则a＝5k，b＝2k，c＝3k，
∴＝＝＝；
（3）解法一：设＝＝＝（k≠0），
∴①，②，③，
①+②+③得：2（）＝3k，
＝k④，
④﹣①得：＝k，
④﹣②得：，
④﹣③得：k，
∴x＝，y＝，z＝代入＝中，得：
＝，
，
k＝4，
∴x＝，y＝，z＝，
∴xyz＝＝＝；
解法二：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
将其代入中得：
＝
＝，y＝，
∴x＝，z＝＝，
∴xyz＝＝．
【点睛】
本题考查了以新运算的方式求一个式子的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.21·世纪
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精品试卷·第
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（共
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