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15.2
分式的运算
【提升训练】
一、单选题
1．已知，则等于（
）
A．3
B．
C．
D．2
2．已知，，满足，，那么的值是（
）
A．正数
B．零
C．负数
D．正、负不能确定
3．计算÷?的结果是（
）
A．
B．x
C．
D．2y
4．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列运算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知，则的值是（
）
A．2
B．
C．
D．
7．下列各式计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知为实数且满足，设，则下列两个结论（
）
①时，时，；时，；②若，则．
A．①②都对
B．①对②错
C．①错②对
D．①②都错
9．已知，则代数式的值（
）
A．4
B．9
C．－4
D．－8
10．已知a＝2﹣55，b＝3﹣44，c＝4﹣33，d＝5﹣22，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A．a＜b＜c＜d
B．d＜a＜c＜b
C．a＜d＜c＜b
D．b＜c＜a＜d
11．H7N9病毒直径为30纳米，已知1纳米=0.000
000
001米．用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（
）21世纪教育网版权所有
A．米
B．米
C．米
D．米
12．下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
13．现在汽车已成为人们出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)行的交通工具．李刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低？低多少？下列结论正确的是（ ）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．李刚比王勇低元/升
B．王勇比李刚低元/升
C．王勇比李刚低元/升
D．李刚与王勇的平均单价都是元/升
14．据悉，华为Mate40
Pro和华为Mate40
Pro+搭载业界首款麒麟芯片，其中就是．将数据用科学记数法表示为（
）21·cn·jy·com
A．
B．
C．
D．
15．下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
16．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007毫米2，0.0000007这个数用科学记数法表示为（
）www.21-cn-jy.com
A．
B．
C．
D．
17．若，则下列等式不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
18．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．对于两个非零的实数a，b，定义运算
如下：．例如：．若，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
20．已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
21．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
22．如果，，是正数，且满足，，那么的值为（
）
A．
B．
C．2
D．
23．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．设正数x，y互为倒数，则分式与互为（
）2·1·c·n·j·y
A．二阶分式
B．三阶分式
C．四阶分式
D．六阶分式
24．下列计算结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
25．化简÷(1－)的结果是（
）
A．
B．
C．x+1
D．x-1
26．下列变形不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
27．化简的结果是（
）
A．2
B．
C．
D．
28．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
29．如图，在数轴上表示的值的点是（
）
A．点
B．点
C．点
D．点
30．有下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．已知，则常数__，__．
32．计算：__________（要求结果用正整数指数幂表示）．
33．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____．
34．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为_____．
35．下列语句及写成式子不正确的是______．
①；
②分式、、都是最简分式；
③；
④当时，则代数式．
三、解答题
36．先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
37．先化简，再求值：，其中．
38．已知，求3A－B．
39．先化简，再求值：，其中．
40．先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中
41．计算：
（1）
（2）
42．计算：
（1）；
（2）．
43．先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
44．先化简，再从的范围内选取一个合适的整数a代入求值
45．先化简，再求值（1﹣）÷，其中m2＝1．
46．先化简（﹣）÷，然后从﹣2＜x＜3中选择一个合适的值代入求值．
47．先化简，再求值：，其中a是整数，且满足，请取一个合适的a值代入求值．
48．先化简，再求值：，其中a从中取一个你认为合适的数代入求值．
49．先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
50．计算：
（1）
（2）．
51．先化简，再求值：，其中．
52．先化简，再求值：，其中．
53．计算下列各式
（1）；
（2）．
54．计算：
55．计算：．
56．先化简，再求值：（1﹣），其中x＝﹣3．
57．观察下列各式及证明过程：
①；②；③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．
58．观察下列式子，并探索它们的规律：
（1）根据以上式子填空：
①
．
②
．
（2）当取哪些正整数时，分式的值为整数？
59．（1）计算：__________．__________．
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含、的字母表示：__________；
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是_________
A．
B．
C．
D．
（4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式．
60．阅读材料：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式．那么类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）21教育网
例如：；．
解决下列问题：
（1）分式是_______分式（填“真”或“假”）
（2）将分式化为带分式的形式；
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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15.2
分式的运算
【提升训练】
一、单选题
1．已知，则等于（
）
A．3
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】
根据，可以求得的值，注意的值是正数．
【详解】
解：，
，
或（舍去），
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
2．已知，，满足，，那么的值是（
）
A．正数
B．零
C．负数
D．正、负不能确定
【答案】C
【分析】
根据已知条件得出，再通分计算，判断正负即可．
【详解】
解：，，
，且、、都不为0，
，
，
又、、都不为0，
，
，
又，
，
．
的值是负数．
故选：．
【点睛】
本题考查了分式的运算和完全平方公式，解题关键是熟练运用分式运算法则计算，根据分子分母的符号确定分式的正负．【来源：21·世纪·教育·网】
3．计算÷?的结果是（
）
A．
B．x
C．
D．2y
【答案】A
【分析】
原式从左到右依次计算即可求出值．
【详解】
解：原式＝
＝．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据算术平方根和幂的相关运算分别判断即可．
【详解】
解：A.
，原选项计算错误，不符合题意；
B.
，原选项计算错误，不符合题意；
C.
，原选项计算错误，不符合题意；
D.
，原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查算术平方根和幂的相关运算．熟练掌握相关定义是解题关键．
5．下列运算中，正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据分式的运算法则及分式的性质逐项进行计算即可．
【详解】
A：，故不符合题意；
B：，故不符合题意；
C：，故不符合题意；
D：，故不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查分式的性质及运算，熟练掌握分式的性质及运算法则是解题的关键．
6．已知，则的值是（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：∵，
∴，
∴原式＝﹣2，
故选：B．
【点睛】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
7．下列各式计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
运用合并同类项及幂的有关运算法则逐一检查，排除不合题意选项，选出符合题意选项．
【详解】
对于A、运用合并同类项法则得不是，故运算错误；
对于B、运用积的乘法法则和幂的乘方法则得不是，故运算错误；
对于C、运用同底数幂相乘法则得不是，故运算错误；
对于D、运用负指数定义和幂的乘方法则得，故运算正确．
综上所述，只有D选项运算正确，符合题意．
故选：D
【点睛】
此题考查与幂相关的运算法则．不要把同底数幂相乘和合并同类项相混淆，熟悉幂的运算法则和负指数的意义是关键．21cnjy.com
8．已知为实数且满足，设，则下列两个结论（
）
①时，时，；时，；②若，则．
A．①②都对
B．①对②错
C．①错②对
D．①②都错
【答案】C
【分析】
①根据分式的加法法则计算，然后分情况讨论即可得结论；
②根据方式的乘法运算法则计算，再进行分类讨论即可得结论．
【详解】
解：，，
，
，
，
，
①当时，，
，
当时，，
，
当时，，或，
或，
或；
当时，和可能同号，也可能异号，
或，而，
或；
①错；
②
，
原式
，，
，
，
，．
②对．
故选：．
【点睛】
本题考查分式的运算法则，解题的关键是分类讨论思想的熟练运用．
9．已知，则代数式的值（
）
A．4
B．9
C．－4
D．－8
【答案】A
【分析】
由＝3，变形得y-x=3xy，然后整体代入代数式，计算化简，即可得到结论.
【详解】
解：由＝3，得=3，即y-x=3xy，x-y=-3xy，
则===4．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了分式化简求值，利用整体代入法是解决本题的关键．
10．已知a＝2﹣55，b＝3﹣44，c＝4﹣33，d＝5﹣22，则这四个数从小到大排列顺序是（ ）
A．a＜b＜c＜d
B．d＜a＜c＜b
C．a＜d＜c＜b
D．b＜c＜a＜d
【答案】D
【分析】
直接利用幂的乘方运算法则以及负指数幂的性质、分数的性质统一各数指数，进而比较即可．
【详解】
解：∵a＝2﹣55＝（2﹣5）11＝，
b＝3﹣44＝（3﹣4）11＝，
c＝4﹣33＝（4﹣3）11＝，
d＝5﹣22＝（5﹣2）11＝
∴b＜c＜a＜d．
故选：D．
【点睛】
本题考查了幂的乘方运算以及负指数幂的性质、分数的性质，正确将各数统一指数是解题关键．
11．H7N9病毒直径为30纳米，已知1纳米=0.000
000
001米．用科学记数法表示这个病毒直径的大小，正确的是（
）21·世纪
教育网
A．米
B．米
C．米
D．米
【答案】B
【分析】
由于1纳米=10-9米，则30纳米=30×10-9米，然后根据幂的运算法则计算即可．
【详解】
解：1纳米=0.000
000
001米=10-9米，
30纳米=30×10-9米=3×10-8米．
故选：B．
【点睛】
本题考查了科学记数法-表示较小的数：用a×10n（1≤a＜10，n为负整数）表示较小的数．
12．下列计算正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据分式的除法，分式的乘方，负整数指数幂及分式加法法则分别计算，从而作出判断．
【详解】
解：A选项：，故A错误；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C错误；
D选项：，故D错误．
故选B．
【点睛】
本题考查分式的加法，分式除法及分式乘方的运算以及负整数指数幂，理解运算法则正确计算是解题关键．
13．现在汽车已成为人们出行
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的交通工具．李刚、王勇元旦那天相约一起到某加油站加油，当天95号汽油的单价为m元/升，他俩加油的情况如图所示．半个月后的某天，他俩再次相约到同一加油站加油，此时95号汽油的单价下调为n元/升，他俩加油的情况与上次相同，请运用所学的数学知识计算李刚、王勇两次加油谁的平均单价更低？低多少？下列结论正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．李刚比王勇低元/升
B．王勇比李刚低元/升
C．王勇比李刚低元/升
D．李刚与王勇的平均单价都是元/升
【答案】A
【分析】
先求解李刚两次加油每次加元的平均单价为每升：元，再求解王勇每次加油升的平均单价为每升：元，再利用作差法比较两个代数式的值，从而可得答案．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：李刚两次加油每次加元，则两次加油的平均单价为每升：
（元），
王勇每次加油升，则两次加油的平均单价为每升：
（元），
由题意得：
＞
＞．
故符合题意，都不符合题意，
故选：
【点睛】
本题考查的是列代数式，分式的加减运算，代数式的值的大小比较，掌握以上知识是解题的关键．
14．据悉，华为Mate40
Pro和华为Mate40
Pro+搭载业界首款麒麟芯片，其中就是．将数据用科学记数法表示为（
）【出处：21教育名师】
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
绝对值小于1的正数用科学记数法表示，一般形式为，其中；
【详解】
0.000000005=
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了科学记数法的形式，正确理解科学记数法是解题的关键；
15．下列各式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据整数指数幂的运算法则计算，然后判断即可．
【详解】
解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了整数指数幂的运算，解题关键是按照整数指数幂的运算法则进行计算，会进行负指数的运算．
16．随着电子制造技术的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.0000007毫米2，0.0000007这个数用科学记数法表示为（
）【版权所有：21教育】
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据科学记数法表示即可；科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．
【详解】
解：0.000
000
7=7×10-7．
故选：A．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
17．若，则下列等式不成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设，则、、，分别代入计算即可．
【详解】
解：设，则、、，
A．，成立，不符合题意；
B．，成立，不符合题意；
C.
，成立，不符合题意；
D.
，不成立，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了等式的性质，解题关键是通过设参数，得到x、y、z的值，代入判断．
18．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据幂的乘方、同底数幂乘法，合并同类项的运算法则逐一判断即可．
【详解】
，故A选项错误；
，故B选项正确；
，故C选项错误；
，故D选项错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了整式的运算，幂的乘方、同底数幂乘法，合并同类项，关键是掌握各部分的运算法则．
19．对于两个非零的实数a，b，定义运算
如下：．例如：．若，则的值为（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据新定义，把转化为分式的运算即可．
【详解】
解：根据定义运算
，，
，
去分母得，，
代入得，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了新定义运算以及分式运算，解题关键是根据新定义运算找到x、y之间的关系，再整体代入．
20．已知：是整数，．设．则符合要求的的正整数值共有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
先求出y的值，再根据x，y是整数，得出x＋1的取值，然后进行讨论，即可得出y的正整数值．
【详解】
解：∵
∴．
∵x，y是整数，
∴是整数，
∴x＋1可以取±1，±2．
当x＋1＝1，即x＝0时＞0；
当x＋1＝?1时，即x＝?2时，（舍去）；
当x＋1＝2时，即x＝1时，＞0；
当x＋1＝?2时，即x＝?3时，＞0；
综上所述，当x为整数时，y的正整数值是4或3或1．
故选：C．
【点睛】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则，求出y的值是解题的关键．
21．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据单项式单项式、单项式除以单项式、平方差公式和完全平方公式分别对各项计算进行判断即可．
【详解】
解：A.
，原选项计算错误，故不符合题意；
B.，原选项计算错误，故不符合题意；
C.，计算正确，故符合题意；
D.，原选项计算错误，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
22．如果，，是正数，且满足，，那么的值为（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】
先根据题意得出a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式进行计算即可．
【详解】
解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故选：C
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
23．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．设正数x，y互为倒数，则分式与互为（
）2·1·c·n·j·y
A．二阶分式
B．三阶分式
C．四阶分式
D．六阶分式
【答案】A
【分析】
根据题意得出xy＝1，可以用表示y，代入+，计算结果为2即可．
【详解】
由题意得：xy＝1，则y＝，
把?y＝，代入+，得：
原式＝+＝+＝2
∴与互为“2阶分式”，
故选A．
【点睛】
本题是一道新定义型题目，主要考查分式的相关计算，有一定难度，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
24．下列计算结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
结合负整数指数幂和零指数幂的概念和运算法则进行求解即可．
【详解】
解：A、（-1）-1=-1≠1，本选项错误；
B、（-1）0=1≠0，本选项错误；
C、=4≠-4，本选项错误；
D、-（-1）2=-1，本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了负整数指数幂，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．
25．化简÷(1－)的结果是（
）
A．
B．
C．x+1
D．x-1
【答案】A
【分析】
首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
【详解】
解：原式=
，
故选A.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键．
26．下列变形不正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
A、B两项利用同分母分式的加减法法则计算，约分即可得到结果；C、D通过能否继续进行因式分解，继续化简，即可得到答案．21教育网
【详解】
A.
，故此项正确；
B.
，故此项正确；
C.
为最简分式，不能继续化简，故此项错误；
D.
，故此项正确；
故选C．
【点睛】
此题考查了分式的加减法、约分，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．化简的结果是（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
利用乘法分配律计算即可
【详解】
解：原式==1-=，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
28．下列计算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
A、B两项利用同底数幂的乘除法即可求解，C项利用合并同类项法则计算即可，D项利用分式的乘方即可得到结果，即可作出判断．21·cn·jy·com
【详解】
解：A、原式=a3，不符合题意；
B、原式=a4，不符合题意；
C、原式=-a2b，符合题意；
D、原式=
，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
此题考查了分式的乘方，合并同类项，以及同底数幂的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
29．如图，在数轴上表示的值的点是（
）
A．点
B．点
C．点
D．点
【答案】C
【分析】
先进行分式化简，再确定在数轴上表示的数即可．
【详解】
解：
，
，
，
，
=1，
在数轴是对应的点是M，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式化简和数轴上表示的数，熟练运用分式计算法则进行化简是解题关键．
30．有下列计算：①；②；③；④；⑤．其中正确的个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
按照幂的运算法则，仔细计算判断即可.
【详解】
∵，
∴①错误；
∵，
∴②错误；
∵，
∴③正确，
∵，
∴④错误，
∵，
∴⑤正确.
故选C.
【点睛】
本题考查了幂的计算，熟练掌握幂的运算法则，灵活进行相应的计算是解题的关键.
二、填空题
31．已知，则常数__，__．
【答案】5
1
【分析】
先将原式右边通分，可得进而可得A和B的值．
【详解】
解：由已知得，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：5，1．
【点睛】
本题考查了分式的加减法，解答本题的关键是准确进行分式的加减运算．
32．计算：__________（要求结果用正整数指数幂表示）．
【答案】
【分析】
先利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，再利用负整数指数幂的性质，将结果用正整数指数幂表示即可．
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查负整数指数幂和同底数幂的乘法法则，解答本题的关键是利用运算法则解答问题．
33．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝_____．
【答案】0
【分析】
先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可．
【详解】
解：
＝
＝
＝，
∵＝，且A、B为常数，
∴，
∴，
解得：，
∴A+3B＝3+3×(-1)=0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键．
34．已知为整数，且为整数，则所有符合条件的值的和为_____．
【答案】
【分析】
先将原分式进行通分变形，约分化简，然后求得符合题意的解即可．
【详解】
解：
，
∵，为整数
∴，或或或
∴或或或
∴
∴所有符合条件的值的和为：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查分式的化简与分式的整数值，解此题的关键在于熟练掌握分式相关知识点．
35．下列语句及写成式子不正确的是______．
①；
②分式、、都是最简分式；
③；
④当时，则代数式．
【答案】①②③
【分析】
根据最简分式的定义、分式的加法和分式的性质分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】
解：，故①错误；
，故②错误；
，故③错误；
当时，则代数式
，故④正确．
故答案为：①②③．
【点睛】
此题考查了最简分式，最简分式的标准是分子、分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，从而进行约分．21教育名师原创作品
三、解答题
36．先化简，再求值：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】，2
【分析】
先运用分式的混合运算法则化简，然后再选择合适的x代入求值即可．
【详解】
解：原式
．
∵且为整数,
∴，0，1，2，
要使分式有意义，
∴、0、1，
∴，
∴原式．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，根据分式有意义的条件确定x的值成为解答本题的关键．
37．先化简，再求值：，其中．
【答案】；2．
【分析】
先根据分式运算法则进行化简，再代入数值计算即可．
【详解】
解：
当时，原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练运用分式运用法则进行化简，代入数值后，准确进行计算．
38．已知，求3A－B．
【答案】3
【分析】
把已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件列方程组即可得答案．
【详解】
∵＝，
∴，
解得：，
∴3A－B＝3×2－3＝3．
【点睛】
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则，并根据题意得出关于A、B的方程组．
39．先化简，再求值：，其中．
【答案】x+1；2022．
【分析】
根据分式的混合运算法则化简得出最简结果，代入x的值计算即可得答案．
【详解】
，
当时，原式．
【点睛】
本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
40．先化简，再求值：
（1），其中．
（2），其中
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据分式化简的基本步骤：通分、约分、化为最简后利用条件求值；
（2）根据分式化简的基本步骤：括号里先通分、除以一个数等于乘上一个数的倒数、约分、化为最简后利用条件求值．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：（1）原式
当时，
原式．
（2）原式
，
，
则原式．
【点睛】
本题考查了分式的化简和求值，解题的关键是：根据分式化简的基本步骤，将分式化简后，再求值．
41．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）2；（2）3
【分析】
（1）根据正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂计算法则计算即可；
（2）原式变形后，根据同分母分式的加减法则计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）原式；
（2）原式，
，
．
【点睛】
本题主要考查分式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂计算法则是解题关键．21
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42．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先把除法转化为乘法，然后化简即可；
（2）根据分式的减法法则可以解答本题．
【详解】
解：（1）
＝
＝；
（2）
＝﹣（a＋b）
＝
＝
＝．
【点睛】
本题考查了分式乘除运算，加减运算等知识，熟练掌握分式的加减乘除运算法则是解题关键．
43．先化简，再求值：（）÷，其中x＝﹣1．
【答案】x+2，1．
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．21
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【详解】
解：（）÷
＝
＝x+2，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
44．先化简，再从的范围内选取一个合适的整数a代入求值
【答案】
，
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：
，
∵，为整数，且，，，
∴取，原式．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．注意本题的值只能为-1．
45．先化简，再求值（1﹣）÷，其中m2＝1．
【答案】，当时，原式=．
【分析】
先计算括号内的，再将除法化为乘法后，给各部分因式分解后约分，再求得，根据分母不能为0，将代入计算即可．
【详解】
解：原式＝
=
=，
∵m2＝1，
∴，
又∵分式的分母不为0，即，
∴当时，原式=．
【点睛】
本题考查分式的化简求值．注意运算顺序和约分法则．还需注意分式的分母不能为0．
46．先化简（﹣）÷，然后从﹣2＜x＜3中选择一个合适的值代入求值．
【答案】，当x=2时，原式=2．
【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取一个合适的数作为x的值代入进行计算即可．
【详解】
原式=，
∵x≠0，x≠1，x≠-1，且﹣2＜x＜3，
∴x取x=2，
∴当x=2时，．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解答此题的关键．
47．先化简，再求值：，其中a是整数，且满足，请取一个合适的a值代入求值．
【答案】；当时，原式
【分析】
根据分式的性质进行化简，再代入求值即可；
【详解】
解：，
，
，
，
∵a是整数，且满足，
∴，
由题意得，，
∴当时，原式；
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，准确计算是解题的关键．
48．先化简，再求值：，其中a从中取一个你认为合适的数代入求值．
【答案】-a-1，2．
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从-3，-2，-1中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：原式=
=
=
=-（a+1）
=-a-1，
∵（a+2）（a-2）≠0，a+1≠0，
∴a≠±2，a≠-1，
∴a=-3，
当a=-3时，原式=-（-3）-1=3-1=2．
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
49．先化简，再求值：，其中是不等式组的整数解．
【答案】
【分析】
首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，再解一元一次不等式组，求出整数解，最后代值计算．
【详解】
解：原式
．
不等式组：
解不等式组得：-1≤a≤2，
∴a的整数解是-1，0，1，2．
又∵a≠1且a≠0，a≠-1，a为整数，
∴a可取值为2．
当a=2时，原式=
故答案为．
【点睛】
考查了分式的混合运算和一元一次不等式组
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的整数解，分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
50．计算：
（1）
（2）．
【答案】(1)，(2)
；
【分析】
(1)先把分母变成相同，再根据同分母分式加法计算即可；
(2)先计算括号内的分式减法，再与括号外的分式进行计算即可．
【详解】
解:(1)
，
=，
=，
=．
(2)
．
=，
=，
=．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确计算．
51．先化简，再求值：，其中．
【答案】；．
【分析】
根据分式的混合运算法则，先算括号里的再算乘除，把原式化简，把x的值代入计算即可．
【详解】
解：原式
．
当时，
原式．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
52．先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【分析】
先根据分式运算的法则进行化简，再代入数值计算即可．
【详解】
解：，
=，
=，
=，
=，
把代入，原式=．
【点睛】
本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行准确化简，代入数值正确计算．
53．计算下列各式
（1）；
（2）．
【答案】（1），（2）；
【分析】
(1)按照分式的乘法法则进行计算即可；
(2)按照分式乘除混合运算顺序和法则进行计算即可．
【详解】
解：(1)；
（2），
=，
=．
【点睛】
本题考查了分式的运算，解题关键是熟练运用分式运算法则，正确进行计算．
54．计算：
【答案】-1
【分析】
根据分式的性质计算即可；
【详解】
原式，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了分式的加减运算，准确计算是解题的关键．
55．计算：．
【答案】
【分析】
分别计算负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值和二次根式，再相加减即可．
【详解】
解：原式=
=．
【点睛】
本题考查实数的混合运算．主要考查负整数指数幂、零指数幂、化简绝对值和二次根式，能分别正确计算是解题关键．【来源：21cnj
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m】
56．先化简，再求值：（1﹣），其中x＝﹣3．
【答案】，
【分析】
先将括号内的通分计算，再进行除法运算，同时进行因式分解，化简原式后，代入数值即可解答．
【详解】
解：（1﹣）
=
=，
将x＝﹣3代入，则原式＝
＝．
【点睛】
本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，掌握分式的化简步骤是解答的关键．
57．观察下列各式及证明过程：
①；②；③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，请写出两个类似的等式，并选择其中一个写出验证过程；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为自然数，且n≥1）表示的等式，并验证．
【答案】（1）；（答案不唯一），证明见解析；（2），证明见解析
【分析】
（1）直接仿照题干写出两个等式即可；
（2）利用规律写出不等式并验证即可．
【详解】
（1）答案不唯一，如：；
证明：；
（2）
证明：
【点睛】
本题主要考查规律，读懂题干并找到规律是关键．
58．观察下列式子，并探索它们的规律：
（1）根据以上式子填空：
①
．
②
．
（2）当取哪些正整数时，分式的值为整数？
【答案】（1）①；②
；（2）1或3
【分析】
（1）观察可发现，原式子将分式化为“整式+分式”的形式，分别利用得出的规律化简即可；
（2）利用所得规律化简原分式，再探究当x取什么值时，的值为整数．即可得到答案．
【详解】
解：（1）①．
故答案为．
②
故答案为．
（2）
当为正整数，且为5的约数时，的值为整数，
即或时，的值为整数．
∴，．
即当x为1或3时，的值为整数．
【点睛】
本题考查规律型：分式的变化规律，分式的加减运算法则的逆用，解答本题的关键是根据所给式子找出规律，并利用规律解答．
59．（1）计算：__________．__________．
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式，请用含、的字母表示：__________；
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是_________
A．
B．
C．
D．
（4）利用所学知识以及（2）所得等式，化简代数式．
【答案】（1）；；（2）；（3）A；（4）．
【分析】
（1）利用多项式乘法进行计算即可；
（2）根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据（1）中的结果确定答案；
（3）根据（2）发现的计算公式进行分析即可；
（4）逆运用新公式，把m3-n3变形为（m+n）（m2-mn+n2），再化简分式．
【详解】
解：（1）（a+2）（
a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2-2a+4）=a3-2a2+4a+2a2-4a+8=a3+8；
（2x+y）（4x2-2xy+y2）=8x3-4x2y+2xy2+4x2y-2xy2+y3=8x3+y3．
故答案为：a3+8，8x3+y3；
（2）（a+b）（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3．
故答案为：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3．
（3）给出的各式，只有A符合新公式特点，能用发现的乘法公式计算．
故答案为：A．
（4）
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式法
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)则及分式的化简等知识，掌握和理解新运算的公式，是解决本题的关键．乘法的立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；乘法的立方差公式：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3．
60．阅读材料：定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式．如，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式．那么类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
例如：；．
解决下列问题：
（1）分式是_______分式（填“真”或“假”）
（2）将分式化为带分式的形式；
（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】（1）真；（2）；（3）2或0
【分析】
（1）根据真分式的定义判断即可；
（2）将分子配出分母的形式，然后化简即可；
（3）将分子上减去1再加上1，然后利用平方差公式化简即可，再根据分式的值为整数即可得出x的值．
【详解】
解：（1）分式是真分式；
故答案为：真；
（2）；
（3），
，
．
分式的值为整数，且为整数，
，
或0．
【点睛】
本题考查了分式的加减，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义是解题的关键．
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