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11.1
与三角形有关的线段
【提升训练】
一、单选题
1．三角形的两边长分别是4和11，第三边长为，则的取值范围在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
已知两边的长，第三边应该大于任意两边的差，而小于任意两边的和，列不等式进行求解后再进行判断即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，得
11-4＜3+4m＜11+4，
解得1＜m＜3．
故选：A．
【点睛】
此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
2．如图，中，、分别是、的中点，若的面积是10，则的面积是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．5
D．10
【答案】B
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可求出△ABE的面积.
【详解】
∵AD是BC上的中线，
∴
S△ABD=S△ACD=S△ABC
，
∵BE是△ABD中AD边上的中线，
∴
S△ABE=S△BED=S△ABD
，
∴
S△ABE=SΔABC
，
∵△ABC的面积是10，
∴
S△ABE=×10=.
故选:B.
【点睛】
本题考查的是三角形的中线的性质，三角形一边上的中线把原三角形分成的两个三角形的面积相等.
3．下列长度的三条线段中，有组成三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：A、∵3＋4=7<9，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵8＋7＝15，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵12+13=25>24，∴能构成三角形，故本选项符合题意；
D、∵2＋2＝4＜6，∴不能构成三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
4．已知实数x、y满足|x－4|+
＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是（
）
A．20或16
B．20
C．16
D．18
【答案】B
【分析】
根据绝对值与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论．
【详解】
由题意可知：x-4=0，y-8=0，
∴x=4，y=8，
当腰长为4，底边长为8时，
∵4+4=8，
∴不能围成三角形，
当腰长为8，底边长为4时，
∵4+8＞8，
∴能围成三角形，
∴周长为：8+8+4=20，
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根，以及三角形三边关系，解题的关键是正确理解非负性的意义，以及三角形三边关系，本题属于基础题型．
5．下列四个图形中，线段BE表示△ABC的高的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】C
【分析】
根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
6．如图，已知于点，于点，于点，则中边上的高是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
从三角形的一个顶点向它的对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．根据此概念求解即可．
【详解】
A、CF⊥AB，∴线段C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F是△ABC中AB边上的高，此选项不符合题意；
B、BE⊥AC，∴线段BE是△ABC中AC边上的高，此选项不符合题意；
C、CD不是△ABC的高，此选项不符合题意；
D、AD⊥BC，∴线段AD是△ABC中BC边上的高，此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了三角形的高．准确识图并熟记三角形高的定义是解题的关键．
7．如图所示，为的中线，于点，于点，，则等于?
?
?
?
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由为中线得到，根据于点，于点，列得，分别代入计算即可.
【详解】
解：在中，为中线，
∴，
于，于??，，，
∴，
∴
解得，
故选：B.
【点睛】
此题考查三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形.
8．下面四个图形中，线段是的高的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】D
【分析】
根据三角形高的定义进行判断．
【详解】
解：线段AD是△ABC的高，则过点A作对边BC的垂线，则垂线段AD为△ABC的高．
选项A、B、C错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
9．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影等于…（
）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2cm2
B．1cm2
C．cm2
D．cm2
【答案】B
【分析】
根据三角形的中线将三角形面积平分这一结论解答即可．
【详解】
∵在△ABC中，点D是BC的中点，
∴
=2cm2，
∵在△ABD和△ACD中，点E是AD的中点，
∴=1
cm2，=1
cm2，
∴=2
cm2，
∵在△BEC中，点F是CE的中点，
∴=1
cm2，即S阴影=1
cm2
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的中线与三角形面积的关系，熟知三角形的中线将三角形面积平分这一结论是解答的关键．
10．若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+(b﹣3)2=0，则c的值可以为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】A
【分析】
根据非负数的性质列方程求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出c的取值范围，然后解答即可．
【详解】
解：∵|a﹣5|+(b﹣3)2=0，
∴a﹣5=0，b﹣3=0，
解得a=5，b=3，
∵5﹣3=2，5+3=8，
∴2＜c＜8，
∴c的值可以为7．
故选：A．
【点睛】
本题考查了非负数的性质以及三角形的三边关系．注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
11．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】
利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论.
【详解】
①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B.
【点睛】
此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况.
12．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】B
【分析】
从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．
【详解】
解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；
B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项正确；
C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；
D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
13．如图，A和B两地在
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】D
【分析】
过A作河岸的垂线AH，在直线AH上取点I，使AI等于河宽，连接BI即可得出N，作出MN⊥a即可得到M，连接AM即可．
【详解】
解：根据河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直可知，只要AM＋BN最短就符合题意，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在直线AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB交河岸b于N，作MN垂直于河岸交河岸a于M点，连接AM．
故选D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了最短路线问题以及三角形三边关系定理的应用，关键是找出M、N的位置．
14．已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
先根据三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边求出x的取值范围,然后根据若x为正整数,即可选择答案.
【详解】
,
,
若x为正整数,
的可能取值是9,10,11三个,故这样的三角形共有3个.
所以C选项是正确的.
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系:三角形两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边之和大于第三边，两边差小于第三边;牢记三角形的三边关系定理是解答的关键,注意本题的隐含条件就是x为正整数.【来源：21·世纪·教育·网】
15．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【答案】D
【分析】
根据三角形的分类可直接得到答案．
【详解】
三角形根据边分类
，
∴图中小椭圆圈里的A表示等边三角形．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
16．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．AC是△ABC的高
B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高
D．AD是△ACD的高
【答案】C
【分析】
根据三角形高的定义分别进行判断.
【详解】
解:△ABC中，AC⊥BC,则
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AC是BC边上的高，所以A正确;
△BCD中，DE⊥BC，则DE是BC边上的高，所以B正确;
△ABE中，DE不是△ABE的高，所以C错误;△ACD中，CD⊥AB，则AD是CD边上的高，所以D正确.故答案为:C.21cnjy.com
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中线和高，三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高;三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.
17．若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是(
)【版权所有：21教育】
A．6
B．8
C．8或10
D．10
【答案】D
【分析】
由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．
【详解】
解：∵|m-2|+=0，
∴m-2=0，n-4=0，
解得m=2，n=4，
当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；
当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．
故选D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求m、n的值，再根据m或n作为腰，分类求解．
18．如果一个三角形的三边长分别为1、k、4.
则化简|2k－5|－的结果是……（
）
A．3k－11
B．k+1
C．1
D．11－3k
【答案】A
【详解】
试题解析：∵三角形的三边长分别为1，k，4，
∴，解得3
所以，2k–5>0，k–6<0，
∴|2k–5|–=2k–5–=2k–5–[–（k–6）]=3k–11．
故选A．
19．一定在△ABC内部的线段是（ ）
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
【答案】A
【详解】
试题分析：钝角三角形一条高在三角形内部，另两条高在三角形的外部，三条中线和三条角平分线都在三角形的内部，故B、C错误；
任意三角形的三条角平分线、三条中线、一条高一定在三角形内部，故D错误．
故选A．
20．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．59°
B．60°
C．56°
D．22°
【答案】A
【详解】
根据题意可得，在△ABC中，，则，
又AD为△ABC的角平分线，
又在△AEF中，BE为△ABC的高
∴
考点：1、三角形的内角内角之和的关系
2、对顶角相等的性质.
21．如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．高
B．角平分线
C．中线
D．不能确定
【答案】C
【详解】
试题分析：三角形ABD和三角形ACD共用一条高，再根据S△ABD=S△ADC，列出面积公式，可得出BD=CD．
解：设BC边上的高为h，
∵S△ABD=S△ADC，
∴，
故BD=CD，即AD是中线．故选C．
考点：三角形的面积；三角形的角平分线、中线和高．
22．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（
）
A．大于零
B．等于零
C．小于零
D．不能确定
【答案】C
【详解】
a2-2ab+b2-c2=（a-b）2-c2=（a+c-b）[a-（b+c）]．
∵a，b，c是三角形的三边．
∴a+c-b＞0，a-（b+c）＜0．
∴a2-2ab+b2-c2＜0．
故选C．
二、填空题
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_____．【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】14°
【分析】
利用垂直的定义得到∠ADC＝90°，再根据三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形内角和计算出∠CAD＝64°，接着利用角平分线的定义得到∠CAE＝50°，然后计算∠CAD﹣∠CAE即可．
【详解】
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．
故答案为14°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、垂线的定义，解题关键是熟练运用相关性质求角．
24．如图，在△ABC中E是BC上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的一点，BC=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2
【分析】
S△ADF-S△BEF=S△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ABD-S△ABE，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因为BC=3BE，点D是AC的中点，且S△ABC=12，就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积．
【详解】
解：∵点D是AC的中点，
∴AD=AC，
∵S△ABC=12，
∴S△ABD=S△ABC=×12=6．
∵BC=3BE，
∴S△ABE=S△ABC=×12=4，
∵S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=S△ADF-S△BEF，2-1-c-n-j-y
即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查三角形的面积，解题的关键是要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化．
25．已知的三边长分别为，，，则______．
【答案】
【分析】
三角形三边满足的条件是：两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此条件来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．
【详解】
解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，
∴，
∴
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
此题考查了三角形三边关系，此题的关键是先根据三角形三边的关系来判定绝对值内式子的正负．
26．如图，是的中线，点、分别为、的中点，若的面积为，则的面积是______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】12
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】
∵
F是CE的中点，
∴
，
∵
E是BD的中点，
∴
，
，
∴
，
∴△ABC的面积=．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
27．如图，在中，于点，于点，且，，，则_________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】
解：根据三角形面积公式可得，，
∵AB=3，BC=6，CE=5，
∴，
解得．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的高以及三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解题的关键．
28．如图，的三边的中线，，的公共点为，且．若，则图中阴影部分的面积是________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】4
【分析】
根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【详解】
解：∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD=2：1，
∴AE=CE，
∴S△CGE=S△AGE=S△ACF，S△BGF=S△BGD=S△BCF，
∵S△ACF=S△BCF=S△ABC=×12=6，
∴S△CGE=S△ACF=×6=2，S△BGF=S△BCF=×6=2，
∴S阴影=S△CGE+S△BGF=4．
故阴影部分的面积为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
29．如图，在中，点分别在三边上，点是的中点，交于一点，则的面积是________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】30
【分析】
根据部分三角形的高相等，由这些三角形面积与底边的比例关系可求三角形ABC的面积．
【详解】
解：在和中，
∵,
∴，，
∴,
∵点是的中点，
∴
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】
本题中由于部分三角形的高相等，可根据这些三角形面积的比等于底边的比例关系来求三角形ABC的面积是解题关键．
30．如图，在△ABC中，E，D，F分别是AD，BF，CE的中点若△DEF的面积是1cm?，则S△ABC=_______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】7
【分析】
连接AF，根据三角形中位线的性质求解.
【详解】
连接AF，
∵E是AD的中点，
∴
∴，
∵点D是BF的中点，
∴,
∵点F是CE的中点，
∴,
同理可得：,
∴=1+2+2+2=7，
故答案为：7.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
此题考查三角形中位线的性质，熟知三角形的中位线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键.
31．如图，在中，D，E分别是BC，AD的中点，，则的值是_______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
中线AD把△ABC分成面积相等的两个三角形，中线BE又把△ABD分成面积相等的两个三角形，所以△ABE的面积是△ABC的面积的．
【详解】
解：∵D、E分别是BC，AD的中点，
∴△ABD是△ABC面积的，△ABE是△ABD面积的，
∴△ABE的面积=4××=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的面积计算，解题的关键是熟悉三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形．
三、解答题
32．如图，点，，都落在网格的格点上．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）写出点，，的坐标；
（2）求的面积：
（3）把先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得，画出．
【答案】（1）点，，的坐标分别是，，；（2）3；（3）见解析
【分析】
（1）根据点，，所在位置直接写出的坐标即可；
（2）先求出BC，点A到BC边的距离，利用面积公式BC边上的高求即可；
（3）先求A′（-4，-4）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′即可．
【详解】
解：（1）点，，的坐标分别是，，；
（2）BC=4-1=3，点A到BC边的距离为：3-1=2，
∴BC边上的高=
；
（3）先把A、B、C三点向左平移4个单位长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)度，再向下平移5个单位长度，得到A′（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三点坐标，再描出A′、B′、C′三点坐标，连结A′B′、B′C′、C′A′，
则为所求如图所示．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查点的坐标，三角形面积，平移性质，掌握点的坐标，三角形面积，平移性质，作图先平移点，再连线得图是解题关键．
33．已知的周长为，是边上的中线，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图，当时，求的长．
（2）若，能否求出的长？为什么？
【答案】（1）6cm；（2）不能求出的长，理由见解析
【分析】
（1）根据，及的周长为，可求得BC，再根据三角形中线的性质解答即可；
（2）利用（1）中的方法，求得BC的长度，然后根据构成三角形的条件，可判断出△ABC不存在，进而可知没法求DC的长．21·世纪
教育网
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
又∵的周长为，
∴，
∴，
又∵是边上的中线，
∴；
（2）不能，理由如下：
∵，，
∴，
又∵的周长为，
∴，
∴，
∴BC+AC=16∴不能构成三角形，故不能求出DC的长．
【点睛】
此题考查三角形的中线、三角形的周长、构成三角形的条件，关键是根据三角形中线的性质解答．
34．已知，的三边长为，，．
（1）求的周长的取值范围；
（2）当的周长为偶数时，求．
【答案】（1）的周长；（2），或．
【分析】
（1）直接根据三角形的三边关系即可得出结论；
（2）根据轴线为偶数，结合（1）确定周长的值，从而确定x的值．21·cn·jy·com
【详解】
解：（1）的三边长分别为，，，
，即，
的周长，
即：的周长；
（2）的周长是偶数，由（1）结果得的周长可以是，或，
的值为，或．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．21教育名师原创作品
35．在中，已知，若第三边的长为偶数，求的周长．
【答案】周长为或．
【分析】
利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边的长为偶数求出符合条件的BC值，即可求出周长．
【详解】
解：在中，，
第三边的取值范围是：
符合条件的偶数是或，
当时，的周长为：；
当时，的周长为：．
的周长为或．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
36．已知，，，且m>n>0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
【答案】（1）a＞b＞c；（2）见解析
【分析】
（1）a、b、c两两作差可得出a、b、c之间的大小关系；
（2）对于任意一个三角形的三边a，b，c，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【详解】
（1）∵a-b=m2+n2-m2=n2＞0；
a-c=m2+n2-mn=（m-n）2+mn＞0；
b-c=
m2-mn=m（m-n）＞0
∴a＞b＞c；
（2）由（1）a＞b＞c可得，a+b＞c
∵a-b=
m2+n2-m2=n2＜mn
∴a-b＜c
∴以a、b、c为边长的三角形一定存在．
【点睛】
本题主要考查了利用差比法比较代数式的大小和用三角形三边关系证明三角形的存在．
37．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4
cm，BC=5
cm，∠CAB=90°．
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(1)求AD的长．
(2)求△ABE的面积．
【答案】（1）cm；（2）3cm2
【分析】
（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；
（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等
【详解】
解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB?AC=BC?AD，
∴（cm），即AD的长度为cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴S△ABC=AB?AC=×3×4=6（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴BE?AD=EC?AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△ABE=S△ABC=3（cm2）．
∴△ABE的面积是3cm2．
【点睛】
本题考查了中线的性质．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD．
38．如图，在ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求ABC各边的长．
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【答案】AB＝AC＝8cm，BC＝11cm或AB＝AC＝10cm，BC＝7cm
【分析】
设AB＝xcm，BC＝yc
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)m，则可以把题中边长分为AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm和AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm两种情况列出二元一次方程组求解，解方程组即可得到问题解答．
【详解】
解：设AB＝xcm，BC＝ycm．
则有以下两种情况：
(1)当AB＋AD＝12cm，BC＋CD＝15cm时，，解得
,即AB＝AC＝8cm，BC＝11cm，符合三边关系；
(2)当AB＋AD＝15cm，BC＋CD＝12cm时，，解得
，即AB＝AC＝10cm，BC＝7cm，符合三边关系．
【点睛】
本题考查三角形中线的应用，利用方程求解及把问题分成两种情况讨论是解题关键
．
39．如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．
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（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．
（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．
【答案】（1）详见解析；（2）如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA，详见解析
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACD，根据平行线的性质定理证明结论；
（2）根据题意写出一个真命题，仿照（1）的证明过程证明结论．
【详解】
（1）证明：∵CD平分∠BCA，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．
（2）如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．
证明：∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠DEF，
∵DC∥EF，
∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴∠BCD＝∠ACD，即EF平分∠BED．
【点睛】
本题考查的是平行线性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键．
40．如图，在中，是边上的中线，点是的中点，过点作于点，已知，的面积为24，求的长．
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【答案】3
【分析】
根据三角形的中线的性质和三角形面积公式进行解答即可．
【详解】
解：∵AD是BC边上的中线，△ABC的面积为24，
∴△ADC的面积为12，
∵点E是AD中点，
∴△CDE的面积为6，
∵BC＝8，AD是BC边上的中线，
∴DC＝4，
∵DC×EF＝6，
即×4×EF＝6，
∴EF＝3．
【点睛】
此题考查三角形面积问题，关键是根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分解答．
41．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．
（1）请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．
（2）若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
【答案】（1）9，7，4；（2）6
【分析】
（1）根据三角形三边关系求得第三边的取值范围，即可求解；
（2）找到第三边的取值范围内的正整数的个数，即为所求；www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：（1）两边长分别为9和7
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，设第三边是m，则9-7＜m＜7+9，即2＜m＜16，因为m为偶数，所以m=4，6，8，10，12，14，当第三边长是4（答案不唯一）时，三边为：9，7，4；
（2）∵由（1）得2＜m＜16，
m的值为4，6，8，10，12，14共六个，
∴a=6．
【点睛】
本题考查三角形三边关系定理：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．21
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com
42．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5
cm和11.5
cm两部分，求这个等腰三角形各边的长．莉莉的解答过程如下：
设在中，，BD是中线．
∵中线将三角形的周长分为13.5cm和11.5
cm，如图所示，，，∴，解得，
，
∴三角形三边的长为9cm，9cm，7cm．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．
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【答案】不正确，见解析
【分析】
根据AB和BC的大小关系分类讨论，然后根据三角形的周长差即可分别求出对应的AB和BC，从而得出结论．
【详解】
解：莉莉的解法不正确，理由如下：
假设在中，，BD是中线．
当时，
，
∴
．
解得，
．
当时，
∴，
∴
．
解得
．
综上，这个三角形三边的长分别为9
cm，9
cm，7
cm或．
【点睛】
这道题是用文字叙述的形式
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)给出的，没有图形，也没有字母，因此，可以先根据文字叙述画出图形，标注字母，利用图形减小题目难度，由于腰和底边不相等造成一腰上的中线把三角形的周长分成两个不相等的部分，解题关键是既要考虑到腰比底边长，又要考虑到底边比腰长．21教育网
43．如图，△ABC中，∠C=90
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)°，AC=12，BC=9，AB=15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒.
（1）当t=______时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
（2）当t=5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC=______
（3）当t=______时，△BPC的面积为18.
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【答案】(1)6.5；(2)1：4；(3)或.
【分析】
（1）根据中线的性质可知，点P在AB中点，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（2）求出当时，与的长，再根据等高的三角形面积比等于底边的比求解即可；
（3）分两种情况：①当P在AC上时；②当P在AB上时．
【详解】
（1）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时
∵点P在AB中点
∴
∴CA+AP=12+7.5=19.5（cm），
∴3t=19.5，
解得t=6.5．
故当t=6.5时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
（2）5×3=15，
AP=15-12=3，
BP=15-3=12，
则S△APC：S△BPC=3：12=1：4；
（3）分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积=18，
∴×9×CP=18，
∴CP=4，
∴3t=4，
∴t=；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积=18，△ABC面积=，
∴
∴3t=12+15×=22，
解得t=．
故t=或秒时，△BCP的面积为18．
故答案为：
或．
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【点睛】
本题考查了三角形的动点问题，掌握中线的性质、等高的三角形面积比等于底边的比、三角形的面积公式是解题的关键．www.21-cn-jy.com
44．如图，在中，、分别是、边上的中线，若，，且的周长为15，求的长.
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【答案】5
【分析】
根据三角形中线的定义求出AB、AC，再利用三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【详解】
解：∵、分别是、边上的中线，，，
∴，
，
∵的周长为15，
∴.
【点睛】
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟记概念并准确识图是解题的关键．
45．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：
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（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【分析】
（1）根据直角三角形的面积计算方法求解即可；
（2）先按图写出两个三角形的周长，再作差计算即可.
【详解】
解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，
∴AB?AC＝BC?AD，
∴AD＝（cm），
即AD的长为cm；
（2）∵AE为BC边上的中线，
∴BE＝CE，
∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+CE+AE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝4﹣3＝1（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是1cm．
【点睛】
本题考查了利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识，难度不大，属于基础题型.
46．如图，
AD
为△
ABC
的中线，
BE
为△
ABD
的中线．
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（1）∠
ABE=15°，∠
BED=55°，求∠
BAD
的度数；
（2）作△
BED
的边
BD
边上的高；
（3）若△
ABC
的面积为
20，
BD=2.5，求△
BDE
中
BD
边上的高.
【答案】(1)∠BAD
=40°；（2）详见解析；（3）BD=2.5.
【分析】
（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；
（2）根据高线的定义，过点E作BD的垂线即可得解；
（3）根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，先求出△BDE的面积，再根据三角形的面积公式计算即可．【出处：21教育名师】
【详解】
（1）在△ABE中，∵∠ABE=15°，∠BAD=40°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+40°=55°；
（2）如图，EF为BD边上的高；
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（3）∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ABD=S△ABC，S△BDE=S△ABD，S△BDE=
S△ABC，
∵△ABC的面积为20，BD=2.5，
∴S△BDE=BD?EF=×5?EF=×20，解得EF=2．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，三角形的面积，利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．21
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47．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
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【答案】⑴4.8cm；⑵12cm?；⑶2cm.
【分析】
（1）利用直角三角形面积的两种
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)求法求线段AD的长度即可；（2）先求△ABC的面积，再根据△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，由此即可求得△ABE的面；（3）由AE是中线，可得BE=CE，根据△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长-△ABE的周长=AC-AB，即可求解．
【详解】
∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴AB?AC=BC?AD，
∴AD=
=4.8（cm），
即AD的长度为4.8cm；
（2）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，
∴S△ABC=AB?AC=×6×8=24（cm2）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴BE?AD=EC?AD，即S△ABE=S△AEC，
∴S△ABE=S△ABC=12（cm2）．
∴△ABE的面积是12cm2．
（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），
即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．
【点睛】
本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用直角三角形面积的两两种表达方式求线段AD的长．
48．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．
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【答案】∠BAD=40°，∠AOC=115°．
【分析】
先根据直角三角形的两个锐角互余，求得再根据角平分线的定义，求得最后根据三角形内角和定理，求得中的度数．
【详解】
∵AD是高,
中,
∴△ABC中,
∵AE，CF是角平分线，
∴△AOC中,
49．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）a=
；b=
；直角三角形AOC的面积为
．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若∠DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．
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【答案】（1）6；8；24；（2）存在时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC，见解析
【分析】
（1）利用非负性即可求出a，b即可得出结论,即可求出△ABC的面积；
（2）先表示出OQ，OP，利用那个面积相等，建立方程求解即可得出结论；
（3）先判断出∠OAC=∠AOD，进而判断出OG∥AC，即可判断出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠GOD，即可得出结论．
【详解】
解：(1)
解：（1）∵，
∴a-6=0，b-8=0，
∴a=6，b=8，
∴A（0，6），C（8，0）；
∴S△ABC=6×8÷2=24,
故答案为（0，6），（8，0）；
6；8；24
(2)
∵
由时,
∴存在时,使得△ODP与△ODQ的面积相等
(3)
）∴2∠GOA+∠ACE=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠OHC，理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°
∴∠OAC+∠ACO=90°
又∵∠DOC=∠DCO
∴∠OAC=∠AOD
∵y轴平分∠GOD
∴∠GOA=∠AOD
∴∠GOA=∠OAC
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC
∴∠FHC=∠ACE
同理∠FHO=∠GOD，
∵OG∥FH，
∴∠GOD=∠FHO，
∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC
即∠GOD+∠ACE=∠OHC，
∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．
∴∠GOD+∠ACE=∠OHC．
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【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了非负性的性质，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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11.1
与三角形有关的线段
【提升训练】
一、单选题
1．三角形的两边长分别是4和11，第三边长为，则的取值范围在数轴上表示正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，中，、分别是、的中点，若的面积是10，则的面积是（
）
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A．
B．
C．5
D．10
3．下列长度的三条线段中，有组成三角形的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知实数x、y满足|x－4|+
＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形周长是（
）
A．20或16
B．20
C．16
D．18
5．下列四个图形中，线段BE表示△ABC的高的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
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6．如图，已知于点，于点，于点，则中边上的高是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，为的中线，于点，于点，，则等于?
?
?
?
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A．
B．
C．
D．
8．下面四个图形中，线段是的高的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
9．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则S阴影等于…（
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A．2cm2
B．1cm2
C．cm2
D．cm2
10．若a，b，c为△ABC的三边长，且满足|a﹣5|+(b﹣3)2=0，则c的值可以为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
11．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（ ）21·cn·jy·com
A．4
B．5
C．6
D．7
12．如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（
）
A．
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B．C．
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D．
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13．如图，A和B两地在一条河的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）2·1·c·n·j·y
A．
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B．
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C．
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D．
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14．已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
15．三角形按边分类可以用集合来表示，如图所示，图中小椭圆圈里的A表示（ ）
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A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
16．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是( )
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A．AC是△ABC的高
B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高
D．AD是△ACD的高
17．若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是(
)www-2-1-cnjy-com
A．6
B．8
C．8或10
D．10
18．如果一个三角形的三边长分别为1、k、4.
则化简|2k－5|－的结果是……（
）
A．3k－11
B．k+1
C．1
D．11－3k
19．一定在△ABC内部的线段是（ ）
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
20．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（
）
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A．59°
B．60°
C．56°
D．22°
21．如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（
）
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A．高
B．角平分线
C．中线
D．不能确定
22．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式a2-2ab+b2-c2的值（
）
A．大于零
B．等于零
C．小于零
D．不能确定
二、填空题
23．如图，在△ABC中，∠BAC＝10
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C＝26°，则∠DAE的度数为_____．【来源：21cnj
y.co
m】
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24．如图，在△ABC中E是BC上的一点，B
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C=3BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF﹣S△BEF=____．【版权所有：21教育】
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25．已知的三边长分别为，，，则______．
26．如图，是的中线，点、分别为、的中点，若的面积为，则的面积是______．
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27．如图，在中，于点，于点，且，，，则_________．
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28．如图，的三边的中线，，的公共点为，且．若，则图中阴影部分的面积是________．2-1-c-n-j-y
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29．如图，在中，点分别在三边上，点是的中点，交于一点，则的面积是________．
21教育名师原创作品
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30．如图，在△ABC中，E，D，F分别是AD，BF，CE的中点若△DEF的面积是1cm?，则S△ABC=_______．
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31．如图，在中，D，E分别是BC，AD的中点，，则的值是_______．
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三、解答题
32．如图，点，，都落在网格的格点上．
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（1）写出点，，的坐标；
（2）求的面积：
（3）把先向左平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得，画出．
33．已知的周长为，是边上的中线，．
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（1）如图，当时，求的长．
（2）若，能否求出的长？为什么？
34．已知，的三边长为，，．
（1）求的周长的取值范围；
（2）当的周长为偶数时，求．
35．在中，已知，若第三边的长为偶数，求的周长．
36．已知，，，且m>n>0．
（1）比较a，b，c的大小；
（2）请说明以a，b，c为边长的三角形一定存在．
37．如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=3cm，AC=4
cm，BC=5
cm，∠CAB=90°．
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(1)求AD的长．
(2)求△ABE的面积．
38．如图，在ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把ABC的周长分成12cm和15cm两部分，求ABC各边的长．21cnjy.com
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39．如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．
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（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．
（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．21教育网
40．如图，在中，是边上的中线，点是的中点，过点作于点，已知，的面积为24，求的长．www.21-cn-jy.com
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41．已知三角形的三条边为互不相等的整数，且有两边长分别为7和9，另一条边长为偶数．
（1）请写出一个三角形，符合上述条件的第三边长．
（2）若符合上述条件的三角形共有a个，求a的值．
42．等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5
cm和11.5
cm两部分，求这个等腰三角形各边的长．莉莉的解答过程如下：【来源：21·世纪·教育·网】
设在中，，BD是中线．
∵中线将三角形的周长分为13.5cm和11.5
cm，如图所示，，，∴，解得，
，
∴三角形三边的长为9cm，9cm，7cm．
请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请给出理由．
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43．如图，△ABC中，∠C=90°，AC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=12，BC=9，AB=15，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为t秒.21
cnjy
com
（1）当t=______时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分；
（2）当t=5时，CP把△ABC分成的两部分面积之比是S△APC：S△BPC=______
（3）当t=______时，△BPC的面积为18.
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44．如图，在中，、分别是、边上的中线，若，，且的周长为15，求的长.
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45．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：
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（1）AD的长；
（2）△ACE和△ABE的周长的差．
46．如图，
AD
为△
ABC
的中线，
BE
为△
ABD
的中线．
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（1）∠
ABE=15°，∠
BED=55°，求∠
BAD
的度数；
（2）作△
BED
的边
BD
边上的高；
（3）若△
ABC
的面积为
20，
BD=2.5，求△
BDE
中
BD
边上的高.
47．如图所示，已知AD，AE分别是△ADC和△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：【出处：21教育名师】
（1）AD的长；
（2）△ABE的面积；
（3）△ACE和△ABE的周长的差．
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48．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．21
cnjy
com
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49．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）a=
；b=
；直角三角形AOC的面积为
．
（2）已知坐标轴上有两动点P，Q同时出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)发，P点从C点出发以每秒2个单位长度的速度向点O匀速移动，Q点从O点出发以每秒1个单位长度的速度向点A匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（4，3），设运动时间为t秒．问：是否存在这样的t，使得△ODP与△ODQ的面积相等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DOC=∠DCO，点G是第二象限中一点，并且y轴平分∠GOD．点E是线段OA上一动点，连接接CE交OD于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，并证明你的结论(三角形的内角和为180)．21·世纪
教育网
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精品试卷·第
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