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11.3
多边形及其内角和
【提升训练】
一、单选题
1．如图，是五边形ABCDE的3个外角，若，则=（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据多边形内角和，结合计算即可．
【详解】
解：，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和，熟知多边形内角和公式是解题关键．
2．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（
）
A．1440°
B．1080°
C．720°
D．360°
【答案】C
【分析】
由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=180°×（6-2）=720°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
3．一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则它是（
）边形．
A．六
B．七
C．八
D．九
【答案】C
【分析】
根据多边形的内角和等于它的外角和的3倍可列方程求得边数．
【详解】
解：设多边形的边数为n，
根据题意得：（n?2）×180°＝360°×3．
解得n＝8．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
4．如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.
【详解】
根据题意,得
(n-2)×180=1260，
解得n=9，
∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：
n-3
=9-3
=6.
故选C.
【点睛】
本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.
5．如图，用一条宽相等的足够长的纸条
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．90°
B．108°
C．120°
D．135°
【答案】B
【分析】
先求出正五边形的内角和，再除以内角的个数即可得到答案．
【详解】
解：正五边形的内角和=，
∴∠BAE=，
故选：B．
【点睛】
此题考查正多边形内角和公式及求正多边形的一个内角的度数，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
6．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【分析】
设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和4倍可得方程180（n﹣2）＝360×4，再解方程即可．
【详解】
解：设多边形有n条边，由题意得：
180（n﹣2）＝360×4，
解得：n＝10，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．
7．下列关于多边形的说法不正确的是（
）
A．内角和外角和相等的多边形是四边形
B．十边形的内角和为1440°
C．多边形的内角中最多有四个直角
D．十边形共有40条对角线
【答案】D
【分析】
根据多边形的内角和、外角和，多边形的内角线，即可解答．
【详解】
A、内角和与外角和相等的多边形是四边形，正确；
B、十边形的内角和为1440°，正确；
C、多边形的内角中最多有四个直角，正确；
D、十边形共有35条对角线，故错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记多边形的有关性质．
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）21·cn·jy·com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10°
B．15°
C．30°
D．40°
【答案】B
【分析】
利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得
的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可．
【详解】
解：，，
．
又的角平分线与的外角平分线相交于点，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是”是解题的关键．
9．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】C
【详解】
试题分析：由一个正多边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数，继而可求得此多边形的边数，则可求得答案．
解：∵一个正多边形的每个内角都为156°，
∴这个正多边形的每个外角都为：180°﹣156°=24°，
∴这个多边形的边数为：360°÷24°=15，
故选C．
考点：多边形内角与外角．
10．如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．90°
B．135°
C．270°
D．315°
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据三角形的外角性质可得，再根据邻补角的定义即可得．
【详解】
如图，由三角形的外角性质得：，
，
，
故选：C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质、邻补角，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
11．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，那么（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据平角的定义分别用∠1，∠2，∠3表示阴影部分三角形的三个外角，然后根据三角形的外角和是360°列式即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，正三角形、正四边形、正五边形的每个内角的度数分别为，
∴中间阴影部分的三角形的三个外角的度数分别为，
∵三角形的外角和为，
∴．
，
故选C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是三角形外角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
12．如图，在五边形中，，，分别平分，，则的度数（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
【答案】A
【分析】
先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数．
【详解】
解：在五边形中，内角和为，
，
，
又、分别平分、，
，
中，．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和且为整数）．
13．五边形对角线的条数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据三角形以及对角线的概
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)念，不难发现：从一个顶点出发的对角线除了和2边不能组成三角形外，其余都能组成三角形，故从一个顶点出发的对角线有（n-3）条．
【详解】
从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，对角线的总数是；
可得五边形的对角线条数为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有（n-3）条．
14．如图是正五边形的三个外角，若则=（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案.
【详解】
解：根据题意，五边形的内角和为：，
∵
，
∵，
∴；
故选：C.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题.
15．如图，在五边形ABCDE中，，DP、CP分别平分、，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据五边形的内角和等于540°，由∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【详解】
∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，
∴∠BCD+∠CDE=540°-α，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=270°-α，
∴∠P=180°-（270°-α）=α-90°．
故选：A．
【点睛】
此题考查多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
16．如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．36°
B．54°
C．60°
D．72°
【答案】B
【分析】
先求出正五边形一个的外角，再求出内角度数，然后在四边形BCDG中，利用四边形内角和求出∠G.
【详解】
∵正五边形外角和为360°，∴外角，
∴内角，
∵BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF
∴，
在四边形BCDG中，
∴
故选B.
【点睛】
本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便.
17．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45°
B．50°
C．55°
D．80°
【答案】B
【分析】
连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得，，再由等量代换得，先求出即可求出．
【详解】
解：连接AC并延长交EF于点M．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，属于基础题型．
18．下列说法中不正确的是（
）
A．内角和是1080°的多边形是八边形
B．六边形的对角线一共有8条
C．三角形任一边的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形
D．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°
【答案】B
【分析】
根据各选项逐个判断说法是否正确即可.
【详解】
A
根据正多边形的内角和计算公式可得：，因此A说法正确;
B选项说法不正确，六边形的对角线有18条；
C正确，因为每个边上的高是相等的，只要边上的中线则分成的两个三角形的面积相等;
D正确，根据多边形的内角和的计算公式可得每增加一条边，正多边形的内角增加180°.
故选B.
【点睛】
本题主要考查正多边形的性质，这些选项都是基本性质，必须掌握.
19．如图，小明从A点出发，沿直线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（ ）【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100米
B．110米
C．120米
D．200米
【答案】A
【分析】
根据多边形的外角和即可求出答案．
【详解】
解：∵360÷36=10，
∴他需要走10次才会回到原来的起点，即一共走了10×10=100米．
故选A.
【点睛】
本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360?．
20．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）2-1-c-n-j-y
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】D
【分析】
一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形，由此即可解答.
【详解】
当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，
则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．
故选D．
【点睛】
剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条．21教育名师原创作品
21．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（ ）
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A．144°
B．84°
C．74°
D．54°
【答案】B
【详解】
正五边形的内角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，故选B．
22．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（ ）
A．17
B．16
C．15
D．16或15或17
【答案】D
【详解】
多边形的内角和可以表示成
(且n是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据解得：n=16，
则多边形的边数是15，16，17．
故选D．
23．如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（ ）
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A．34cm
B．32cm
C．30cm
D．28cm
【答案】C
【详解】
图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，
所以正六边形的周长是正三角形的周长的,正六边形的周长为90×3×=180cm，
所以正六边形的边长是180÷6=30cm.
故选C.
24．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是（
）
A．30°
B．36°
C．60°
D．72°
【答案】A
【解析】
试题分析：设这个多边形是n边形，它的内
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角和可以表示成（n﹣2）?180°，就得到关于n的方程，求出边数n．然后根据多边形的外角和是360°，多边形的每个内角都相等即每个外角也相等，这样就能求出多边形的一个外角．
解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2）?180°=1800，
解得n=12；
那么这个多边形的一个外角是360÷12=30度，
即这个多边形的一个外角是30度．
故本题选A．
考点：多边形内角与外角．
25．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10
B．11
C．12
D．以上都有可能
【答案】D
【详解】
解：根据内角和可得：多边形的边数=1620°÷180°+2=11，则原来多边形的边数可能为10、11和12.
故选：D．
考点：多边形的内角和
26．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（
）
A．六边形
B．七边形
C．八边形
D．九边形
【答案】C
【详解】
解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）?180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个多边形为八边形．
故选C．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
27．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（
）
A．
B．
C．或
D．或或
【答案】D
【分析】
首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．
【详解】
解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，
∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12：
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故选D．
【点睛】
本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．
二、填空题
28．如果多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形的边数是______．
【答案】10
【分析】
根据题意可知这个多边形是正多边形，先计算外角，再用外角和进行计算即可．
【详解】
解：有题意可知：多边形为正多边形，则每个外角为180°-144°=36°
又因为多边形的外角和为360°，则这个正多边形的边数为：
故答案为：10
【点睛】
本题考查多边形的外角和、正多边形的外角与边数的关系．灵活使用多边形的内角、外角解决问题是难点．
三、解答题
29．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
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【答案】
【分析】
如图，由三角形的外角的性质可得：
可得
再利用三角形的内角和求解
再利用四边形的内角和求解
再求解
从而可得结论．
【详解】
解：如图，由三角形的外角的性质可得：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和，四边形的内角和定理，三角形的外角的性质，平角的定义，掌握以上知识是解题的关键．
30．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）该多边形的边数为8；（2）；．
【分析】
（1）根据多边形的内角和公式以及外角和为360°建立关于边数的方程，求解即可；
（2）根据角平分线的性质得到，再由三角形的外角性质可得，根据是的高及三角形的外角性质可得．
【详解】
解：（1）设该多边形的边数为n，由已知，得
，
解得，
∴该多边形的边数为8；
（2）∵是的角平分线，且，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查多边形的内角与外角、三角形的外角性质，解题的关键是掌握多边形的内角和定理及三角形外角的性质．
31．阅读材料
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若，互为组角，且，则______．
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图，在镖形ABCD中，优角与钝角互为组角，试探索内角，，与钝角之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．
【答案】（1）225°；（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D，理由见解析．
【分析】
（1）根据互为组角的定义可知∠2=360°-∠1，代入数据计算即可；
（2）理由①：根据四边形内角和定理
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)可得∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，根据周角的定义可得优角∠BCD+钝角∠BCD=360°?，再利用等式的性质得出钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：连接AC并延长，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，
∴∠2=360°-∠1=225°，
故答案为：225°；
（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．
理由如下：
理由①：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360°?，
∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：如下图，连接AC并延长，
∵∠BAC+∠B=∠BCE，∠DAC+∠D=∠DCE（三角形外角的性质），
∴钝角∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D=∠A+∠B+∠D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查三角形的外角，四边形内角和．能正确作出辅助线，将四边形分成两个三角形是理由②的关键．
32．我们常用各种多边形地砖铺砌成
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°?x+120°?y＝360°，化简得x+2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．21cnjy.com
（1）请你仿照上面的方法研究用边长
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；
（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）见解析；（2）能，见解析
【分析】
（1）正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，能进行密铺，说明一个顶点处的各内角之和为360°；www.21-cn-jy.com
（2）任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺，即每个角放在同一顶点处使用2次．
【详解】
解：（1）据题意，可有60°?x+90°?y＝360°，
化简得2x+3y＝12，
∴当x＝3，y＝2时，有图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）如图（5）所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
两种或两种以上几何图形镶嵌成平面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度．
33．已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）54°
【分析】
（1）结论：BE⊥DF，如图1中，延长BE交FD的延长线于H，证明∠DEG+∠EDG=90°即可；
（2）结论：DE//BF，如图2中，连接BD，只要证明∠EDB+∠FBD=180°即可；
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：，利用五等分线的定义可求，由三角形的外角性质得，代入数值计算即可．
【详解】
（1）．
证明：延长BE、FD交于G．在四边形ABCD中，
，，
．
，．
平分，DF平分，
，，
，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG，∠FDN=∠EDG，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∴∠EGD=90°，即BE⊥DF．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）．
证明：连接DB．
，．
又，．
、DF平分、的邻补角，
，，
．
在中，
，
，
，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：
．
、DE分别五等分、的邻补角，
，
由三角形的外角性质得，
，，
，
．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查多边形内角和，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．2·1·c·n·j·y
34．如图，四边形中，和的平分线交于点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请直接写出与的数量关系．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）120°；（2）
【分析】
（1）先由四边形内角和定理求出∠ABC+∠D
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CB=120°，再由角平分线定义得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根据三角形内角和定理求出∠O=120°即可；
（2）方法同（1）
【详解】
解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，
∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°，
∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
，
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°；
（2）
证明：在四边形ABCD中，
∴
∵OB，OC分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
∴
【点睛】
此题主要考查了四边形内角和定理，三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的内角和定理以及角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°；一个角的角平分线把这个角分成两个大小相等的角．
35．如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图2，与分别为的两个外角，则_______（横线上填“>”、“<”或“=”）．
初步应用：（2）如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则_______．
（3）解决问题：如图4，在中，、分别平分外角、，与有何数量关系？请尝试证明．
（4）如图5，在四边形中，、分别平分外角、，请利用上面的结论直接写出与、的数量关系．
【答案】（1）=
（2）
45°
（3）；证明见解析
（4）
【分析】
（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，两式相加可得结论；
（2）利用（1）的结论：∵∠2＋∠1?∠C＝180°，将∠1＝135°代入可得结论；
（3）根据角平分线的定义得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，可得：∠P＝90°?∠A；
（4）根据平角的定义得：∠EBC＝180°?∠1，∠FCB＝180°?∠2，由角平分线得：∠3＝∠EBC＝90°?∠1，∠4＝∠FCB＝90°?∠2，相加可得：∠3＋∠4＝180°?（∠1＋∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
【详解】
（1）∠DBC＋∠ECB?∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∠ECB＝∠A＋∠ABC，
∴∠DBC＋∠ECB＝2∠A＋∠ACB＋∠ABC＝180°＋∠A，
∴∠DBC＋∠ECB＝∠A＋180°，
故答案为：＝；
（2）∠2?∠C＝45°．
理由是：∵∠2＋∠1?∠C＝180°，∠1＝135°，
∴∠2?∠C＋135°＝180°，
∴∠2?∠C＝45°．
故答案为：45°；
（3）∠P＝90°?∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°?∠CBP?∠BCP＝180°?（∠DBC＋∠ECB），
∵∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，
∴∠P＝180°?（180°＋∠A）＝90°?∠A；
（4）∠P＝180°?（∠A＋∠D）．
理由是：如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠EBC＝180°?∠1，∠FCB＝180°?∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°?∠1，∠4＝∠FCB＝90°?∠2，
∴∠3＋∠4＝180°?（∠1＋∠2），
∵四边形ABCD中，∠1＋∠2＝360°?（∠A＋∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180°?（∠3＋∠4）＝（∠1＋∠2），
∴∠P＝×[360°?（∠A＋∠D）]＝180°?（∠A＋∠D）．
【点睛】
本题是四边形和三角形的综合问
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．21
cnjy
com
36．已知一个n边形的每一个内角都等于120°．
（1）求n的值；
（2）求这个n边形的内角和；
（3）这个n边形内一共可以画出几条对角线？
【答案】（1）6；（2）720°；（3）9条
【分析】
（1）分别用两个式子表示多边形的内角和，列出方程，求解即可；
（2）根据多边形内角和公式即可求解；
（3）根据对角线的定义求出每个顶点的对角线条数，再求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得，
解得
（2），
所以这个多边形的内角和为720°．
（3）六边形每个顶点可以引6-3=3条对角线，
所以一共可画条对角线．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，多边形对角线的定义，熟记多边形的内角和公式，理解对角线的定义是解题关键．www-2-1-cnjy-com
37．如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°．
（1）它是几边形？
（2）这个正多边形的内角和是多少度？
（3）求这个正多边形对角线的条数．
【答案】（1）十二边形；（2）这个正多边形的内角和为；（3）对角线的总条数为54
条．
【分析】
（1）设一个外角为x°，则内角为（4x+30
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x+4x+30=180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数；【出处：21教育名师】
（2）利用多边形内角和公式即可得到答案；
（3）根据n边形有条对角线，即可解答．
【详解】
（1）设这个正多边形的一个外角为，
依题意有，
解得，
∴这个正多边形是十二边形.
（2）这个正多边形的内角和为；
（3）对角线的总条数为(条)
．
【点睛】
本题主要考查多边形内角与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．另外还要注意从n边形一个顶点可以引（n-3）条对角线．
38．如图，网格中每个小正方形的边长为1．
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（1）求阴影部分的面积；
（2）把图中阴影部分通过剪拼形成一个正方形，设正方形的边长为a．已知a的整数部分和小数部分分别是x和y，求xy的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据题图可知，网格中每个小正方形的边长为1，阴影部分可以拼成一个底边是4，高是3的等腰三角形，据此求解即可；21·世纪
教育网
（2）根据题意得，可求得，可得，根据a的整数部分和小数部分分别是x和y，可得，，代入计算即可．
【详解】
解：（1）根据题图可知，网格中每个小正方形的边长为1，阴影部分可以拼成一个底边是4，高是3的等腰三角形，
则；
（2）由题意得，，
，
，
的整数部分和小数部分分别是和，
，，
．
【点睛】
本题是格点问题，考查了算术
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平方根和阴影部分面积的求法；并能估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，从而求出无理数的近似值．
39．如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角(∠BCD)后，得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°．
(1)求六边形ABCDEF的内角和；
(2)求∠BGD的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）720°；（2）100°
【分析】
（1）根据多边形的内角和公式求解即可；
（2）由已知条件和角的和差可求出∠GBC+∠C+∠CDG，再利用四边形BCDG的内角是360°求解即可．
【详解】
解：（1）六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6－2）=720°；
（2）∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=460°，
∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°－460°=260°，
∴∠G=360°－（∠GBC+∠C+∠CDG）=100°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，正确理解题意、掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
40．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形，如图，就是一组正边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
将下面的表格补充完整：
正多边形的边数
的度数
________
________
________
________
根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由；
根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）表格见解析；（2）存在，12；（3）不存在，理由见解析
【分析】
（1）根据多边形外角和公式求出多边形的每个外角，再根据三角形的外角性质以及平角的定义求出即可；
（2）根据（1）的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可；
（3）根据（1）的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）如图ABCDE为正五边形，∠FAE=∠AEG=，∠1=∠2=∠3，
∴
，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
同理可求得正六边形、正七边形、正八边形中的度数；
填表如下：
正多边形的边数
的度数
（2）存在正十二边形，使其中的．
理由是：由（1）得
∴，
解得，
即当多边形是正十二边形时，能使其中的；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正边形使得，
得，
解得，
又是正整数，
所以不存在正边形使得．
【点睛】
本题考查了正多边形的外角问题以及三角形的外角性质，能求出正多边形的每个外角的度数是解此题的关键，注意：正边形的每个外角=．
41．
在△ABC中，∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．
（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=
______
°（答案直接填在题中横线上）；
（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；
（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）
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【答案】（1）150°
；（2）∠1+∠2=90°+∠α，理由见解析；（3）∠2=90°+∠α+∠1或∠1-∠2=∠α-90°，理由见解析
【分析】
（1）∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，化简即可得出答案；
（3）根据题意画出图形可知，∠CFE是△DPF的外角，根据外角性质可知，∠CFE=∠DPE+∠PDB；另一方面，∠PEA是△CFE的外角，根据外角性质可知，∠PEA=∠C+∠CFE，根据以上两个等式即可得出∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
【详解】
（1）∵∠α=60°，∠C=90°，
∴∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，
又∵四边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)-∠α，
∠C的邻补角为90°，
∵∠1与∠2是四边形DPEC的外角，
∴由四边形外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，
∴∠1+∠2=90°+∠α
（3）如图3所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当PD位于PE上方时，
∴∠CFE=∠DPE+∠PDB=∠α+∠1，
∵∠PEA=∠C+∠CFE，
∴∠2=90°+∠α+∠1．
当PD位于PE下方时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠1=∠α+∠PFD，
∠2=90°+∠CFE，
∠PFD=∠CFE，
∴∠1-∠2=∠α-90°．
【点睛】
考查四边形的外角和与三角形的外角性质，解题关键灵活、综合运用知识．
42．一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____；
（2）该机器人从开始到停止所需时间为_______；
（3）若机器人还差就第次回到点处,则它所走过的路程为_____．
【答案】（1）正八边形；（2）；（3）
【分析】
（1）该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以45°，即可求得正多边形的边数；
（2）求出多边形的周长，利用周长除以速度即可求得所需时间
（3）求出n次的路径长减去4即可．
【详解】
解：（1）由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，
多边形的边数为：360°÷45°=8，
所以，该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是正八边形，
故答案为：正八边形；
（2）该机器人所走的路程是：4×8=32（m），
则所用时间是：32÷2=16（s）．
故答案是：16；21
cnjy
com
（3）已知机器人n次回到原点的路程为：n×32=32n，
还差4m，即：（32n-4）m．
故答案为：（32n-4）m．
【点睛】
本题考查了正多边形的外角和定理，理解经过的路线是正多边形是关键．
43．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】∠CAD＝36°．
【分析】
根据多边形的内角和公式先求出每个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)内角的度数，再根据已知和三角形内角和等于180?分别求出∠1、∠2的度数，从而得到∠ACD与∠ADC的度数，最后由三角形内角和定理求出∠CAD度数．
【详解】
解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE＝∠B＝∠BCD＝∠CDE＝∠E＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠2＝72°，
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD＝72°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝36°．
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查多边形的内角和计算公式，等边对等角的性质及三角形内角和定理，有一定的难度．
44．在△ABC中，已知AC=8，BC=6，AD⊥BC于点D，AD=5，BE⊥AC于点E，∠ACB=70°．
求：（1）BE的长；（2）∠AOB的度数．
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【答案】（1）；（2）∠AOB=110°
【分析】
（1）根据三角形面积计算公式即可解题．
（2）由垂直的定义，得到∠ADC=∠BEC=90°，然后求出∠DOE的度数，即可求出∠AOB的度数．
【详解】
解：（1）∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴AD与BE都是三角形的高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
由三角形的面积公式，则
，
∴，
∴；
（2）由（1）知，∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=70°，
∴，
∴∠AOB=∠DOE=110°．
【点睛】
本题考查了四边形的内角和，三角形面积的计算，考查了学生运用不同方法计算三角形面积的能力．
45．如图1，四边形为一张长方形纸片．
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（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．21教育网
【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．
【分析】
（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；
（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；
（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
【详解】
（1）过E作EH∥AB（如图②）．
∵原四边形是长方形，
∴AB∥CD，
又∵EH∥AB，
∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∵EH∥AB，
∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EH，
∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，
又∵∠1+∠2=∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；
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（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；
（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；
（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．
故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【版权所有：21教育】
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．
46．如图，分别是四边形（四条边不相等）的内角平分线，交于点交于点．
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（1）猜想与有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）与有没有可能相等？若能相等，四边形的边有何特殊要求？若不能相等，请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；（2）与能相等，当时，．
【分析】
（1）根据角平分线的性质得到，，即可求出，，再根据四边形的内角和求出答案；
（2）当时，，推出，即可得到.
【详解】
解：（1），
理由：∵平分，平分，
∴，，
∴，
同理，，
∴.
（2）与能相等，当时，，
理由：当时，，
由（1）得，，
∵，
∴，
即.
【点睛】
此题考查角平分线的性质，四边形的内角和定理，两直线平行同旁内角互补的性质，正确观察图形，理解数形结合的思想是解题的关键.
47．已知：如图，△ABC的两条高线BD、CE相交于H点，∠A＝56°，求∠BHC的度数．
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【答案】124°．
【分析】
由题意可得∠AEH=∠ADH=90°，继而在四边形AEHD中，利用四边形的内角和可求出∠EHD的度数，继而根据对顶角的性质进行求解即可．
【详解】
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEH=∠ADH=90°，
在四边形AEHD中，∠AEH=∠ADH=90°，∠A=56°，
∴∠EHD=360°-∠AEH-∠ADH-∠A=360°-90°-90°-56°=124°，
∵∠BHC与∠EHD是对顶角，
∴∠BHC=∠EHD=124°．
【点睛】
本题考查了三角形的高，四边形内角和，对顶角的性质等，准确识图，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键．
48．阅读下列材料，然后解答后面的问题．
（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．21世纪教育网版权所有
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（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．
（3）性质应用：
如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B=_____°．
【答案】（2）见详解；（3）64
【分析】
（2）延长BC交AD于点M，根据
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形的外角的性质即可解决问题．
（3）利用（2）中结论如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β，列出方程组即可解决问题．
【详解】
（2）延长BC交AD于点M
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∵∠BCD是△CDM的外角，
∴∠BCD=∠CMD+∠D，
同理∠CMD是△ABM的外角，
∴∠CMD=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D；
（3）如图3中，设∠B=x，∠ECB=∠ECD=α，∠EAD=∠EAB=β．
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由（2）可知，
，
解得x=64°
故答案为64．
【点睛】
考查了三角形的外角性质的应用，能综合运用性质进行推理和画图是解此题的关键，综合性比较强．
49．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连结DE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数；
（2）若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE．
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【答案】（1）30°；（2）证明过程见解析．
【分析】
（1）根据四边形的内角和求出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠A+∠BCD=180°，可得∠BCD的度数，根据CE平分∠BCD可得∠BCE的度数，根据三角形内角和定理即可得解；
（2）根据三角形内角和定理及∠A+∠BCD=180°求出∠CDE=∠BCE即可得出答案．
【详解】
（1）解：∵∠B+∠ADC＝180°，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠A＝50°，
∴∠BCD=180°-50°=130°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠BCD=65°，
∵∠B＝85°，
∴∠BEC=180°-∠BCE-∠B=30°；
（2）证明：由（1）知，∠A+∠BCD=180°，
∴∠A+∠BCE+∠DCE=180°，
∵∠CDE+∠DCE+∠1=180°，∠A＝∠1，
∴∠BCE=∠CDE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CDE=∠DCE．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和，角平
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分线定义等知识点．能正确根据多边形的内角和定理进行推理是解题的关键．注意：边数为n的多边形内角和=(n-2)×180°．
50．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE、CD交于G点
（1）求证：∠ABC＋∠ADC＝180°；
（2）求证：∠G＝∠CDF．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据多边形的内角和定理求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠CDF＋∠GBC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)＝90°，根据三角形内角和定理求出∠CDF＋∠DFC＝90°，推出∠DFC＝∠GBC，根据平行线的判定得出BG∥DF，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠A＋∠ABC＋∠C＋∠ADC＝360°，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°；
（2）∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠GBC＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC，
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，
∴∠GBC＋∠CDF＝90°，
∵∠C＋∠CDF＋∠DFC＝180°，∠C＝90°，
∴∠CDF＋∠DFC＝90°，
∴∠GBC＝∠DFC，
∴BG∥DF，
∴∠G＝∠CDF．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，三角形的内角和定理，角平分线定义的应用，能求出BG∥DF是解此题的关键，注意：两直线平行，同位角相等．
51．已知，在四边形中，，，分别为四边形的外角，的平分线．
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（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，交于点，且，，求的度数．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）如图1，过点C作CH∥
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)DF，根据四边形的内角和为360°，求出∠MDC+∠CBN=160°，利用角平分线的定义可得：∠FDC+∠CBE=80°，最后根据平行线的性质可得结论；
（2）如图2，连接GC并延长，同理得：∠MDC+∠CBN=160°，∠FDC+∠CBE=80°，求出∠DGB=40°，可得结论．
【详解】
（1）如图1，过点C作CH∥DF，
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∵BE∥DF，
∴BE∥DF∥CH，
∴∠FDC=∠DCH，∠BCH=∠EBC，
∴∠DCB=∠DCH+∠BCH=∠FDC+∠EBC，
∵BE，DF分别为四边形ABCD的外角∠CBN，∠MDC的平分线，
∴∠FDC=∠CDM，∠EBC=∠CBN，
∵∠A+∠BCD=160°，
∴∠ADC+∠ABC=360°-160°=200°，
∴∠MDC+∠CBN=160°，
∴∠FDC+∠CBE=80°，
∴∠DCB=80°；
（2）如图2，连接GC并延长，
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同理得∠MDC+∠CBN=160°，∠MDF+∠NBG=80°，
∵BE∥AD，DF∥AB，
∴∠A=∠MDF=∠DGB=∠NBG=40°，
∵∠A+∠BCD=160°，
∴∠BCD=160°-40°=120°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及其判定，多边形的内角和公式，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用多边形的内角和公式和平行线的性质是解题关键．
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精品试卷·第
2
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（共
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页）
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11.3
多边形及其内角和
【提升训练】
一、单选题
1．如图，是五边形ABCDE的3个外角，若，则=（
）
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A．
B．
C．
D．
2．一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为（
）
A．1440°
B．1080°
C．720°
D．360°
3．一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则它是（
）边形．
A．六
B．七
C．八
D．九
4．如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（ ）条对角线．
A．
B．
C．
D．
5．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（ ）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．90°
B．108°
C．120°
D．135°
6．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
7．下列关于多边形的说法不正确的是（
）
A．内角和外角和相等的多边形是四边形
B．十边形的内角和为1440°
C．多边形的内角中最多有四个直角
D．十边形共有40条对角线
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的邻补角的平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．10°
B．15°
C．30°
D．40°
9．若一个正n边形的每个内角为156°，则这个正n边形的边数是（
）
A．13
B．14
C．15
D．16
10．如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．90°
B．135°
C．270°
D．315°
11．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，那么（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
12．如图，在五边形中，，，分别平分，，则的度数（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．70°
B．65°
C．60°
D．55°
13．五边形对角线的条数为（
）
A．
B．
C．
D．
14．如图是正五边形的三个外角，若则=（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
15．如图，在五边形ABCDE中，，DP、CP分别平分、，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
16．如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．36°
B．54°
C．60°
D．72°
17．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45°
B．50°
C．55°
D．80°
18．下列说法中不正确的是（
）
A．内角和是1080°的多边形是八边形
B．六边形的对角线一共有8条
C．三角形任一边的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形
D．一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的内角和就增加180°
19．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（ ）21教育网
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A．100米
B．110米
C．120米
D．200米
20．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（ ）21cnjy.com
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
21．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（ ）21·cn·jy·com
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A．144°
B．84°
C．74°
D．54°
22．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（ ）
A．17
B．16
C．15
D．16或15或17
23．如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（ ）www.21-cn-jy.com
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A．34cm
B．32cm
C．30cm
D．28cm
24．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是（
）
A．30°
B．36°
C．60°
D．72°
25．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A．10
B．11
C．12
D．以上都有可能
26．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（
）
A．六边形
B．七边形
C．八边形
D．九边形
27．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（
）
A．
B．
C．或
D．或或
二、填空题
28．如果多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形的边数是______．
三、解答题
29．小红把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，求的度数．
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30．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．
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31．阅读材料
在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．21世纪教育网版权所有
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（1）若，互为组角，且，则______．
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图，在镖形ABCD中，优角与钝角互为组角，试探索内角，，与钝角之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．2·1·c·n·j·y
32．我们常用各种多边形地砖铺
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空白，又不互相重叠，这在几何里叫做平面密铺（镶嵌）．我们知道，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和为360°时，就能够拼成一个平面图形．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：如果用x个正三角形、y个正六边形进行平面密铺，可得60°?x+120°?y＝360°，化简得x+2y＝6．因为x、y都是正整数，所以只有当x＝2，y＝2或x＝4，y＝1时上式才成立，即2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）、（3）．2-1-c-n-j-y
（1）请你仿照上面的方法研
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，并按图（4）中给出的正方形和正三角形的大小大致画出密铺后图形的示意图（只要画出一种图形即可）；
（2）如果用形状、大小相同的如图（5）方格纸中的三角形，能进行平面密铺吗？若能，请在方格纸中画出密铺的设计图．21
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com
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33．已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．
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34．如图，四边形中，和的平分线交于点．
（1）如果，，求的度数；
（2）请直接写出与的数量关系．
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35．如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？【来源：21cnj
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m】
尝试探究：
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（1）如图2，与分别为的两个外角，则_______（横线上填“>”、“<”或“=”）．
初步应用：（2）如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，则_______．
（3）解决问题：如图4，在中，、分别平分外角、，与有何数量关系？请尝试证明．
（4）如图5，在四边形中，、分别平分外角、，请利用上面的结论直接写出与、的数量关系．【版权所有：21教育】
36．已知一个n边形的每一个内角都等于120°．
（1）求n的值；
（2）求这个n边形的内角和；
（3）这个n边形内一共可以画出几条对角线？
37．如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°．
（1）它是几边形？
（2）这个正多边形的内角和是多少度？
（3）求这个正多边形对角线的条数．
38．如图，网格中每个小正方形的边长为1．
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（1）求阴影部分的面积；
（2）把图中阴影部分通过剪拼形成一个正方形，设正方形的边长为a．已知a的整数部分和小数部分分别是x和y，求xy的值．www-2-1-cnjy-com
39．如图，将六边形纸片ABCDEF沿虚线剪去一个角(∠BCD)后，得到∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝460°．
(1)求六边形ABCDEF的内角和；
(2)求∠BGD的度数．
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40．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形，如图，就是一组正边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．21教育名师原创作品
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将下面的表格补充完整：
正多边形的边数
的度数
________
________
________
________
根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由；
根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
41．
在△ABC中，∠C=9
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．
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（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=
______
°（答案直接填在题中横线上）；
（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；
21
cnjy
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（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）
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42．一个机器人以的速度在平地上按如下要求行走，
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（1）该机器人从开始到停止所走过的路程形成的图形是_____；
（2）该机器人从开始到停止所需时间为_______；
（3）若机器人还差就第次回到点处,则它所走过的路程为_____．
43．如图，五边形ABCDE的内角都相等，且AB＝BC，AC＝AD，求∠CAD的度数．
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44．在△ABC中，已知AC=8，BC=6，AD⊥BC于点D，AD=5，BE⊥AC于点E，∠ACB=70°．
求：（1）BE的长；（2）∠AOB的度数．
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45．如图1，四边形为一张长方形纸片．
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（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（），则__________°．
（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（），则__________°．
（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（），则___________°．
（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
46．如图，分别是四边形（四条边不相等）的内角平分线，交于点交于点．
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（1）猜想与有怎样的数量关系，并说明理由．
（2）与有没有可能相等？若能相等，四边形的边有何特殊要求？若不能相等，请说明理由．
47．已知：如图，△ABC的两条高线BD、CE相交于H点，∠A＝56°，求∠BHC的度数．
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48．阅读下列材料，然后解答后面的问题．
（1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．
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（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．
（3）性质应用：
如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B=_____°．
49．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连结DE．
（1）若∠A＝50°，∠B＝85°，求∠BEC的度数；
（2）若∠A＝∠1，求证：∠CDE＝∠DCE．
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50．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，BE、CD交于G点
（1）求证：∠ABC＋∠ADC＝180°；
（2）求证：∠G＝∠CDF．
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51．已知，在四边形中，，，分别为四边形的外角，的平分线．
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（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，若，交于点，且，，求的度数．
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