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12.1
全等三角形
【提升训练】
一、单选题
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若x＝y，则ax＝ay
B．若x＞0，y＞0，则xy＞0
C．锐角三角形是等边三角形
D．全等三角形的对应角相等
【答案】C
【分析】
分别利用全等三角形的判定方法以及等式的基本性质和有理数的乘法运算法则分别判断得出答案．
【详解】
解：A、若，则，逆命题是：若，则，应加条件，故此选项错误；
B、若，，则，逆命题是：若，则，，还有可能：，，故此选项错误；
C、锐角三角形是等边三角形，逆命题是：等边三角形是锐角三角形，故此选项正确；
D、全等三角形的对应角相等，逆命题是：对应角相等的三角形不一定全等，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确写出各命题的逆命题是解题关键．
2．如图，，，，点在线段上，以速度从点出发向点运动，到点停止运动．点在射线上运动，且．若与全等，则点运动的时间为（
）21·cn·jy·com
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A．
B．
C．或或
D．或
【答案】D
【分析】
分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
解：当时，，
点的速度为，
；
当时，当，
点的速度为，
故选：．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
3．如图，已知，平分，若，，则的度数是（
）
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A．50°
B．44°
C．34°
D．30°
【答案】C
【分析】
根据角平分线的性质得到∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D＝∠A＝30°，根据三角形的外角性质求出∠BCD,再求出∠B,然后利用全等三角形的性质求∠E即可．
【详解】
解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝30°，
∵∠CGF＝∠D+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CGF﹣∠D＝58°，
∴∠BCA＝116°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣116°＝34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E＝∠B＝34°，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
4．如图，，，，则(
)
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据全等三角形对应角相等即可求解；
【详解】
∵
，
∴
∠A=∠=110°，
∵∠ABC=30°，
∴∠ACB=180°-110°-30°=40°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形对应角相等是解题的关键；
5．下列命题的逆命题是真命题的是（
）
A．两个全等三角形的对应角相等
B．若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形
C．两个全等三角形的面积相等
D．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数
【答案】D
【分析】
根据原命题分别写出逆命题，然后再判断真假即可．
【详解】
A、两个全等三角形的对应角相等，
逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，是假命题；
B、若一个三角形的两个内角分别为
30°
和
60°
，则这个三角形是直角三角形，
逆命题是：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个内角分别为
30°
和
60°
，是假命题；
C、两个全等三角形的面积相等，
逆命题是：面积相等的两个三角形全等，是假命题；
D、如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数，
逆命题是：如果一个数是无理数，那么这个数是无限不循环小数
，是真命题.
故选：D
【点睛】
本题考查了命题与定理，解决本题的关键是掌握真命题．
6．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28，∠E＝95，∠EAB＝20，则∠BAD等于（
）
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A．75
B．57
C．55
D．77
【答案】D
【分析】
先根据全等三角形的对应角相
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)等得出∠B=∠D=28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=57°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，
∴∠B=∠D=28°，
又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=95°，
∴∠DAE=180°-28°-95°=57°，
∵∠EAB=20°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=77°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B=∠D=28°是解题的关键．
7．下列命题的逆命题是真命题的是（
）．
A．的平方根是3
B．是无理数
C．1的立方根是1
D．全等三角形的周长相等
【答案】C
【分析】
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．
【详解】
A、的平方根是3的逆命题是：3是的平方根，是假命题；
B、是无理数的逆命题是：无理数是，是假命题；
C、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；
D、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；
故选：C．
【点睛】
此题考查了命题的真假判断及互
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．
8．如图，△ACB≌△A′C
B′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（
）
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A．40°
B．35
C．30°
D．45°
【答案】A
【分析】
根据已知ACB≌A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70，再通过∠ACB′=100，继而利用角的和差求得∠BCB′=30，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．
【详解】
解：∵ACB≌A′CB′，
∴∠A′CB′=∠ACB=70，
∵∠ACB′=100，
∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30，
∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
9．下列说法正确的是（
）
A．两个长方形是全等图形
B．形状相同的两个三角形全等
C．两个全等图形面积一定相等
D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】C
【分析】
性质、大小完全相同的两个图形是全等形，根据定义解答．
【详解】
A、两个长方形的长或宽不一定相等，故不是全等图形；
B、由于大小不一定相同，故形状相同的两个三角形不一定全等；
C、两个全等图形面积一定相等，故正确；
D、所有的等边三角形大小不一定相同，故不一定是全等三角形；
故选：C．
【点睛】
此题考查全等图形的概念及性质，熟记概念是解题的关键．
10．图中的小正方形边长都相等，若，则点Q可能是图中的（
）
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A．点D
B．点C
C．点B
D．点A
【答案】A
【分析】
根据全等三角形的判定即可解决问题．
【详解】
解：观察图象可知△MNP≌△MFD．
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故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．如图，若，点、、、在同一条直线上，，，则的长为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF，计算即可．
【详解】
解：∵△DEF≌△ABC，
∴BC=EF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BE=CF，
又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5
∵CF=(BF-EC)=(9-5)=2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
12．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=25°，则∠ACA'的度数为（ ）
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A．35°
B．30°
C．25°
D．20°
【答案】C
【分析】
利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB，再利用等式的性质可得答案．
【详解】
解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)′CB′=∠ACB，
∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB，
∴∠ACA′=∠BCB′=25°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．
13．如图，△ABC≌△ADE，AB=AD，AC=AE，∠B=28°，∠E=95°，∠EAB=20°，则∠BAD等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．75°
B．57°
C．55°
D．77°
【答案】D
【分析】
先根据全等三角形的对应角相等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得出∠B＝∠D＝28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE＝57°，然后根据∠BAD＝∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．
【详解】
解：∵ABC≌ADE，
∴∠B＝∠D＝28°，
又∵∠D+∠E+∠DAE＝180°，∠E＝95°，
∴∠DAE＝180°﹣28°﹣95°＝57°，
∵∠EAB＝20°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝77°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B＝∠D＝28°是解题的关键．
14．如图，，BC的延长线交DE于点G，若，，，（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由全等三角形的性质可知∠B=∠D，然后利用角的和差求得∠DAB的度数，然后根据两个三角形内角和求得∠DGB=∠DAB，从而求解．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠D＝24°
∵∠CAB=54°，∠DAC
=16°
∴∠DAB=∠CAB+∠DAC=70°
在△DMF和△BMA中，∠B=∠D，∠BFA=∠DFG
∴∠DGB=∠DAB=70°
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形对应角相等是本题的解题关键．
15．如图，，点和点，点和点是对应点，如果，，，那么的长是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
【答案】B
【分析】
直接根据全等三角形的性质求解．
【详解】
解：∵△ABC≌△BAD，
∴BC=AD，
∵AD=6cm，
∴BC=6cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．
16．如图，，，，则的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用推出BE=，BC=，即可求出答案.
【详解】
∵，
∴BE=，BC=，
∴CE=BC-BE=12cm-5cm=7cm，
故选：B.
【点睛】
此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等.
17．如图，，，垂足分别为点，点，、相交于点O，，则图中全等三角形共有（
）
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A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
【答案】C
【分析】
共有四对．分别为ADO≌AEO，ADC≌AEB，ABO≌ACO，BOD≌COE．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．
【详解】
解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADO＝∠AEO＝90°，
又∵∠1＝∠2，AO＝AO，
∴ADO≌AEO；（AAS）
∴OD＝OE，AD＝AE，
∵∠DOB＝∠EOC，∠ODB＝∠OEC＝90°，OD＝OE，
∴BOD≌COE；（ASA）
∴BD＝CE，OB＝OC，∠B＝∠C，
∵AE＝AD，∠DAC＝∠CAB，∠ADC＝∠AEB＝90°
∴ADC≌AEB；（ASA）
∵AD＝AE，BD＝CE，
∴AB＝AC，
∵OB＝OC，AO＝AO，
∴ABO≌ACO．（SSS）
所以共有四对全等三角形．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21
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18．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．好好学习，天天向上
C．周长和面积相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
【答案】D
【分析】
根据命题的定义以及几何知识逐一判断即可．
【详解】
解：A、相等的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题；
B、好好学习，天天向上，不是命题；
C、周长和面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
D、两点之间线段最短，是真命题；
故选：D．
【点睛】
本题考查命题，掌握命题的定义以及对顶角的性质、全等三角形的判定、两点之间线段最短的基本事实是解题的关键．
19．如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走1，点从向运动，每分钟走2，，两点同时出发，运动______分钟后与全等（
）
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A．4或6
B．4
C．6
D．5
【答案】B
【分析】
分当△CPA≌△PQB时和当△C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)PA≌△PQB时，两种情况进行讨论，求得BQ和BP的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可，满足全等，若不等，则不能成立．
【详解】
解：当△CPA≌△PQB时，BP=AC=4（
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)米），
则BQ=AP=AB-BP=12-4=8（米），
A的运动时间是：4÷1=4（分钟），
Q的运动时间是：8÷2=4（分钟），
则当t=4分钟时，两个三角形全等；
当△CPA≌△QPB时，BQ=AC=4（米），
AP=BP==6（米），
则P运动的时间是：6÷1=6（分钟），
Q运动的时间是：4÷2=2（分钟），
故不能成立．
总之，运动4分钟后，△CPA与△PQB全等，
故选B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，注意分△CPA≌△PQB和△CPA≌△QPB两种情况讨论是关键．
20．如图，，点，，在同一直线上，，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的性质可得，根据三角形外角的性质可得，即可求解．
【详解】
解：∵，
∴，，
∴,
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，根据全等三角形的性质得到是解题的关键．
21．如图，点D，E在BC上，且ABE≌ACD，对于结论：①AB=AC，②∠BAD=∠CAE，③BE=CD，④AD=DE，其中正确的个数是（
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的性质得出即可．
【详解】
∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，BE=CD，AD=AC，
∵∠BAE-∠DAE
=∠CAD-∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
即①②③正确，
没有条件能证明AC等于DE，或AD等于DE，
故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
22．如图，已知△ABC≌△CDA，下面四个结论中，不正确的是（
）
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A．△ABC和△CDA的面积相等
B．△ABC和△CDA的周长相等
C．∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD
D．AD∥BC，且AD=CB
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的性质进行逐项判断即可．
【详解】
A、两个全等三角形△ABC和△CDA的面积相等，故此选项正确，不符合题意；
B、两个全等三角形△ABC和△CDA的周长相等，故此选项正确，不符合题意；
C、∵△ABC≌△CDA，
∴∠B=∠D，∠ACB=∠CAD，
∴∠B+∠ACB＝∠D+∠CAD，即∠B+∠ACB≠∠D+∠ACD，
故此选项错误，符合题意；
D、∵△ABC≌△CDA，
∴∠ACB=∠CAD，AD=BC，
∴AD∥BC，
故此选项正确，不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
23．如图，中，，点在边上，点在边上．已知≌≌，则（
）
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A．45°
B．30°
C．
D．15°
【答案】B
【分析】
先根据≌≌得到∠C=∠CBD=∠ABD,然后再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可．
【详解】
解：∵≌≌
∴∠C=∠CBD=∠ABD
∵在中，
∴∠C+∠ABC=90°，即∠C+∠CBD+∠ABD
=90°
∴3∠C
=90°
∴∠C
=30°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质以及直角三角形的性质，根据全等三角形的性质得到∠C=∠CBD=∠ABD是解答本题的关键．【版权所有：21教育】
24．如图，已知，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正确的有（
）
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A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【分析】
利用得到对应边和对应角相等可以推出①③，根据对应角相等、对应边相等可推出②④⑦，再根据全等三角形面积相等可推出⑤，正确；根据已知条件不能推出⑥．21
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【详解】
解：①∵
∴故①正确；
②∵
∴即：，故②正确；
③∵
∴；
∴即：，故③正确；
④∵
∴；
∴，故④正确；
⑤∵
∴，故⑤正确；
⑥根据已知条件不能证得，故⑥错误；
⑦∵
∴；
∴，故⑦正确；
故①②③④⑤⑦，正确的6个．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解答此题的关键．
25．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（
）
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A．105°
B．110°
C．100°
D．120°
【答案】C
【分析】
延长C′D交AB′于H．利用全等三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC＝∠C′＋∠AHC′，再求出∠C′＋∠AHC′即可解决问题．
【详解】
解：如图延长C′D交AB′于H．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠ABE＝∠AB′E，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′＝∠AB′E，
∴∠ABE＝∠AHC′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′＝∠ACD，
∵∠BFC＝∠DBF＋∠BDF，∠BDF＝∠CAD＋∠ACD，
∴∠BFC＝∠AHC′＋∠C′＋∠DAC，
∵∠DAC＝∠DAC′＝∠CAB′＝40°，
∴∠C′AH＝120°，
∴∠C′＋∠AHC′＝60°，
∴∠BFC＝60°＋40°＝100°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，平行线的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)性质，三角形的外角的性质等知识，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．21教育名师原创作品
26．如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为(
)
A．
B．4
C．3
D．5
【答案】C
【分析】
根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可．
【详解】
此题需要分类讨论．
①若，则，
所以
所以此种情况不符合题意；
②若，则，
所以．
所以此种情况符合题意．
综上所述：
故选C．
【点睛】
此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
27．如图，已知长方形ABCD的边长AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（
）s时，能够使△BPE与△CQP全等．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．1或4
C．1或2
D．3
【答案】B
【分析】
根据题意用时间t表示出线段BP和线段PC的长度，再分类讨论两个三角形全等的不同情况，或，利用全等的性质列式求出t的值．
【详解】
解：∵，，，
∴，，，
当时，有，则，解得，
当时，有，则，解得．
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的动点问题，解题的关键是对全等三角形进行分类讨论，再利用全等三角形的性质求出动点运动的时间．21cnjy.com
28．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（
）
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A．105°
B．100°
C．110°
D．115°
【答案】B
【分析】
延长C′D交AB′于H．利用全等三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质证明∠BFC=∠C′+∠AHC′+∠CAD，再求出∠C′+∠AHC′即可解决问题．
【详解】
解：延长C′D交AB′于H．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△AEB≌△AEB′，
∴∠AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E=∠B′，∠EAB=∠EAB′=40°，
∵C′H∥EB′，
∴∠AHC′=∠B′，
∵△ADC≌△ADC′，
∴∠C′=∠ACD，∠DAC=∠DAC′=40°，
∵∠BFC=∠DBF+∠BDF，∠BDF=∠CAD+∠ACD，
∴∠BFC=∠AHC′+∠C′+∠CAD，
∵∠DAC=∠DAC′=∠CAB′=40°，
∴∠C′AH=120°，
∴∠C′+∠AHC′=60°，
∴∠BFC=60°+40°=100°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握基本性质是解题的关键．
29．已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点，点、分别是线段、的中点.以下个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分.正确的是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
【答案】B
【分析】
①根据∠ACB=∠DCE求出∠ACD=∠BCE,证出即可得出结论，故可判断；
②根据全等求出∠CAD=∠C
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)BE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB，故可判断；
③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS可求出,推出CM=CN，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断的形状；
④在AD上取一点P使得DP=EO,连接CP，根据，可求出∠CEO=∠CDP,根据SAS可求出
,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到
∠COP=∠COE，故可判断.
【详解】
①正确，理由如下：
∵,
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
即∠ACD=∠BCE,
又∵CA=CB,CD=CE,
∴(SAS),
∴AD=BE,
故①正确；
②正确，理由如下：
由①知，，
∴∠CAD=∠CBE,
∵∠DOB为的外角,
∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC,
∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,
∴∠CBA+∠BAC=180°-α,
即∠DOB=180°-α,
故②正确；
③错误，理由如下：
∵点、分别是线段、的中点,
∴AM=
AD,BN=
BE,
又∵由①知，AD=BE,
∴AM=BN,
又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,
∴(SAS),
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN,
∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,
∴为等腰三角形且∠MCN=α,
∴不是等边三角形，
故③错误；
④正确，理由如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
如图所示，在AD上取一点P使得DP=EO,连接CP，
由①知，，
∴∠CEO=∠CDP,
又∵CE=CD,EO=DP,
∴(SAS),
∴∠COE=∠CPD,CP=CO,
∴∠CPO=∠COP,
∴∠COP=∠COE,
即OC平分∠AOE,
故④正确；
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.
30．如图，已知
AD
为△ABC
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
的高线，AD=BC，以
AB
为底边作等腰
Rt△ABE，连接
ED，
EC，延长CE
交AD
于F
点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．①③
B．①②④
C．①②③④
D．②③④
【答案】C
【分析】
①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△AD
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．
【详解】
∵AD为△ABC的高线，
∴∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
在△DAE和△CBE中，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；
故①正确；
②∵△ADE≌△BCE，
∴∠EDA=∠ECB，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE；
故②正确；
③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，
∴∠BDE=∠AFE，
∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，
∴∠BED=∠AEF，
在△AEF和△BED中，
∴△AEF≌△BED（AAS），
∴BD=AF；
故③正确；
④∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S△AEF=S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故④正确；
综上①②③④都正确，故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．
二、填空题
31．如图，，且，，，____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】95
【分析】
由全等三角形的性质可得，进而可求出，然后利用三角形外交的性质求解即可．
【详解】
解：，
，
，，
，
，
故答案为：95．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．
32．如图，△ABC≌△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)ADE，①若△ABC周长为24，AD=6，AE=9，则BC=______；②若∠BAD=42°，则∠EFC=______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】9
42°
【分析】
①根据全等三角形对应边相等可得AB=AD，AC=AE，再根据三角形的周长的定义列式计算即可得解；
②根据全等三角形对应角相等可得∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，再求出∠CAE=∠BAD，然后根据三角形的内角和定理可得∠EFC=∠CAE．
【详解】
解：①∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD=6，AC=AE=9，
∵△ABC周长为24，
∴BC=24-6-9=9；
②∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，∠C=∠E，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，
即∠CAE=∠BAD=42°，
∴∠EFC=∠CAE=42°．
故答案为：9；42°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．
33．如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是______°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】60
【分析】
根据全等三角形的性质得到∠DFE=∠ACB=30°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE=∠ACB=30°，
∵∠AMF是△MFC的一个外角，
∴∠AMF=∠DFE+∠ACB=60°，
故答案为：60．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质、三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
34．如图，，，，，则______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】3
【分析】
根据全等三角形对应边相等可得AC=BD，再求出AB=CD，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】
解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC=DB，
∴AC-BC=BD-BC，
即AB=CD，
∵AD=8，BC=2，
∴AB=（AD-BC）=×（8-2）=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边，然后求出AB=CD是解题的关键．
35．如图，，B、E、C、F在同一直线上，，，则CF的长为___________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】3
【分析】
直接用全等三角形的性质可得CF=EF-CE=BC-CE，然后进行求解即可；
【详解】
∵△ABC≌△DEF，
∴
BC=EF，
∵
BC=7，EC=4，
∴
CF=7-4=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质以及应用，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．
36．如图，已知，若，，则________度．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】30
【分析】
先根据全等三角形的性质得到∠BAC=∠F=105°，然后根据三角形内角和计算∠B的度数．
【详解】
解：∵△ABC≌△FDE，
∴∠BAC=∠F=105°，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠B=180°-105°-45°=30°．
故答案为30．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
三、解答题
37．如图，已知△ABC≌△EBD，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；
（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数．
【答案】（1）2；（2）78°．
【分析】
（1）根据△ABC≌△EBD，得AB=BE=6,根据AD=AB-BD计算即可；
（2）根据△ABC≌△EBD，得∠A=30°，利用∠ACE=∠A+∠B计算即可．
【详解】
（1）∵△ABC≌△EBD，
∴AB=BE=6,
∵AD=AB-BD，BD=4，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴AD=6-4=2；
（2）∵△ABC≌△EBD，
∴∠A=∠E=30°，
∵∠ACE=∠A+∠B，∠B=48°，
∴∠ACE=30°+48°
=78°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形外角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和三角形外角和定理是解题的关键．2·1·c·n·j·y
38．如图所示，，，三点在同一直线上，且．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，？
【答案】（1）证明见解析；（2）为直角时，
【分析】
（1）根据全等三角形的性质求出BD=AE，AD=CE，代入求出即可；
2）根据全等三角形的性质求出∠E=∠BDA=
，推出∠BDE=
，根据平行线的判定求出即可．
【详解】
（1）证明：∵，
∴AE=BC，AC=DE，
又∵，
∴．
（2）若，则，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即当满足为直角时，．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和平行线的判定的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论．
39．如图所示，，，，的延长线交于点，交于点，，，，求的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】60°
【分析】
根据推出，，由此求出∠ACF的度数，根据三角形的内角和定理得到，代入数值求出答案．
【详解】
解：，
，，
，
由三角形的内角和定理得，，
，
解得．
【点睛】
此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理，熟记三角形全等的性质是解题的关键．2-1-c-n-j-y
40．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△QFC全等？请说明理由．【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等，理由见解析
【分析】
推出CP=CQ，①P在AC上，Q在BC上，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)推出方程6-t=8-3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6-t=3t-8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC时，此时不存在，④当Q到A点，与A重合，P在BC上时，求出即可得出答案．【出处：21教育名师】
【详解】
解：设运动时间为t秒时，△PEC与△QFC全等，
∵△PEC与△QFC全等，
∴斜边CP＝CQ，
有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
CP＝6﹣t，CQ＝8﹣3t，
∴6﹣t＝8﹣3t，
∴t＝1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴CP＝6﹣t＝3t﹣8，
∴t＝3.5；
③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；
④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵CQ＝CP，CQ＝AC＝6，CP＝t﹣6，
∴t﹣6＝6
∴t＝12
∵t＜14
∴t＝12符合题意
答：点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等．
【点睛】
本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
41．如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，求∠BAC的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】∠CAB＝75°
【分析】
根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D，求出∠DAB＝∠EAC
=50°，即可得到∠BAC的度数．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D，
∴∠EAD﹣∠CAD＝∠CAB﹣∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，
∴∠DAB＝∠EAC（125°﹣25°）＝50°，
∴∠CAB＝50°+25°＝75°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质求出∠EAD=∠CAB，∠B=∠D是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
42．如图，在中，厘米，厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为多少时，能够在某一时刻使与全等．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】当点Q的速度为cm/s或2cm/s时，使得△BPD与△CQP全等．
【分析】
设点P的运动时间为t秒，点Q的运动速度为vcm/s，根据题意易得BP=2t厘米，CP=（7-2t）厘米，BD=4cm，CQ=vt厘米，则由与全等，可分BP=PC和PB=CQ，然后分别求解即可．
【详解】
解：设点P的运动时间为t秒，点Q的运动速度为vcm/s，
∵厘米，厘米，点D为AB的中点，
∴BD=4cm，
∴BP=2t厘米，CP=（7-2t）厘米，CQ=vt厘米，
由与全等，则有：
①当BP=PC时，则有BD=CQ=4cm，
∴，
解得：，
∴，
解得：；
②当PB=CQ时，则有BD=CP=4cm，
∴，
解得：，
∴，
解得：；
综上所述：当点Q的速度为cm/s或2cm/s时，使得△BPD与△CQP全等．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
43．如图，在中，线段的端点位于平面直角坐标系的网格点上，点C的坐标为．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请在平面直角坐标系中，画出，使得与全等；（画出所有可能，点C，不重合）
（2）直接写出点的坐标．
【答案】（1）作图见解析；（2）（-2，5），（-2，-1），（7，-1）．
【分析】
（1）借助平面直角坐标系和全等三角形的性质即可得出所有的；
（2）根据所画的点即可写出它的坐标．
【详解】
解：（1）如下图所示；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（2）点的坐标为：（-2，5），（-2，-1），（7，-1）．
【点睛】
本题考查作全等图形，坐标与图形．注意有三种结果，不要漏掉．
44．如图，△EFG≌△
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)NMH，E，H，G，N在同一条直线上，EF和NM，FG和MH是对应边，若EH＝1.1cm，NH＝3.3cm．求线段HG的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】2.2
cm
【分析】
根据，可得，从而有，再计算HG的长即可．
【详解】
解：（1），EF和NM，FG和MH是对应边，
，
，
又EH＝1.1cm，NH＝3.3cm，
cm，
答：线段HG的长为2.2
cm；
【点睛】
本题考查了全等三角形全等的性质，熟练找出两个全等三角形的对应边是解此题的关键．
45．如图，，，，求的长；
如图，在中，是边上的高，点是上一点，交于点，且，求证：是直角三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）5；（2）见解析
【分析】
（1）通过全等三角形的对应边转化为AD=AC，而使AF+DF=AC-AE可利用已知的AD与AE的差求得；
（2）根据对顶角相等得到∠CMD=∠AEM，根据三角形内角和定理得到∠AEC=∠ADC=90°，即可证明结论．
【详解】
（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵AD是BC边上的高，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∴∠ADC=90°，
∵∠DCM=∠MAE，∠CMD=∠AME，
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴△ACE是直角三角形．www-2-1-cnjy-com
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理．掌握全等三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
46．如图，点，，在同一直线上，点在上，且
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
求证：；
判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）垂直，理由见解析
【分析】
（1）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答；
（2）根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和定理进行解答．
【详解】
证明：∵，
．
又，，在同一条直线上，
，
即．
解：直线与直线垂直．
理由：延长交于，如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
．
在中，
，
则，
∴，
即．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答的关键．
47．如图，已知，的延长线交于点，交于点，，，，求的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
先根据全等三角形的性质得∠B=∠D，∠AED=∠ACB，根据三角形外角性质可得∠AFB，根据对顶角相等可得∠DFG，再根据直角三角形两锐角互余即可求得．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵，，，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质．三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，能正确识图是解题关键．
48．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）①△BPD与△CQP全等，②点Q的运动速度是cm/s．（2）经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．
【分析】
（1）①根据SAS即可判断；②利用全等三角形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的性质，判断出对应边，根据时间．路程、速度之间的关系即可解决问题；（2）求出Q的运动路程，与根据三角形ABC周长的整数倍进行比较，即可得出相遇点的位置．
【详解】
（1）①△BPD与△CQP全等，
∵点P的运动速度是1cm/s，
∴点Q的运动速度是1cm/s，
∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，
∵BC=6cm，
∴CP=5cm，
∵AB=10，D为AB的中点，
∴BD=5，
∴BD=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP．
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，
若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，
此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，
∴点Q的运动速度是cm/s．
（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，
∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，
∴10+10+t=t，
解得：t=30，
此时点Q的路程=30×=50（厘米），
∵50＜2×26，
∴此时点Q在BC上，
∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形的性质以及数形结合思想的运用，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．解题时注意全等三角形的对应边相等．
49．已知ABC≌DEF，B、E、C、F在同一直线上．
（1）若∠BED=150°，∠D=80°，求∠ACB的度数；
（2）若2BE=EC，EC=6，求BF的长．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）70°；（2）12
【分析】
（1）根据三角形的外角的性质求出∠F，再根据全等三角形的对应角相等解答；
（2）根据题意求出BE、BC，再根据全等三角形的性质解答．
【详解】
解：（1）∵∠BED＝150°，∠D＝80°，
∴∠F＝∠BED－∠D＝70°，
∵ABC≌DEF，
∴∠ACB＝∠F＝70°；
（2）∵2BE＝EC，EC＝6，
∴BE＝3，
∴BC＝BE＋EC＝9，
∵ABC≌DEF，
∴EF＝BC＝9，
∴BF＝EF＋BE＝12．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
50．如图，在等腰
中，∠C=90°，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持
.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：求证
是等腰直角三角形；
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【答案】证明见解析
【分析】
根据等腰直角三角形的性质
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)：CF=AF，∠A=∠BCF，再由全等三角形判定SAS得△ADF≌△CEF，由全等三角形性质：全等三角形对应边、对应角相等得DF=EF，∠DFA=∠CFE，等量代换即可求得∠EFD=90°，从而得证.
【详解】
解：连接CF，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵在等腰直角三角形ABC中.
∠ACB=90°，F是AB边上中点
∴CF=AF，∠A=∠B=45°，∠ACF=∠BCF=45°
∴∠A=∠BCF
在△ADF与△CEF中
∴
∴
DF=EF
即
∴
为等腰直角三角形
【点睛】
此题主要考察三角形全等及等腰直角三角形，熟练掌握三角形全等判定及性质是解题关键.
51．如图，在平面直角坐标系中，O
为坐标原点
A、B
两点的坐标分别
A（m，0），B（0，n），且|m
n
3|
0
，点
P
从
A
出发，以每秒
1
个单位的速度沿射线
AO
匀速运动，设点
P
运动时间为
t
秒．
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（1）求
OA、OB
的长；
（2）连接
PB，若△POB
的面积不大于
3
且不等于
0，求
t
的范围；
（3）过
P
作直线
AB
的垂线
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，垂足为
D，直线
PD
与
y
轴交于点
E，在点
P
运动的过程中，
是否存在这样的点
P，使△EOP≌△AOB?若存在，请求出
t
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）或；（3）或
【分析】
（1）利用绝对值和算术平方根的非负性求出n和m的值，就得到OA和OB的长；
（2）分两种情况讨论，P再线段AO上和P再线段AO的延长线上，用t表示AP和PO长，从而表示出的面积，再根据的面积不大于3且不等于0，列不等式解不等式，求出t的取值范围；
（3）分情况画出对应的图象，利用全等三角形的性质求出P运动的路程，得到使得的时间t的值．
【详解】
解：（1）∵，，且，
∴，，即，，
∴，；
（2）分情况讨论：①当P在线段AO上时，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，
，
∵的面积不大于3且不等于0，
∴，解得；
②当P在线段AO的延长线上时，如图，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，，
，
∵的面积不大于3且不等于0，
∴，解得；
（3）①如图，，
∴，
则；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
②如图，，
∴，，
则，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
综上：存在，或．
【点睛】
本题考查动点问题，涉及绝对值和算
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)术平方根的非负性，解不等式，全等三角形的性质，解题的关键是根据动点的运动时间t设出线段长，去按题目要求列式求解．
52．如图，A(m，0)，B(0，n)，以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．
(1)求C点的坐标.
(2)在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由.
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【答案】(1)点C的坐标为(﹣n，n﹣m)；(2)存在，P点坐标为(n，n+m)或(m+n，m).
【分析】
(1)过点C作CD⊥y轴于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC=90°、AB=BC，通过角的计算即可得出∠ABO=∠BCD，再结合∠CDB=∠BOA=90°即可利用AAS证出△ABO和△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标；
(2)△PAB与△ABC全等分两种情况：①当
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠ABP=90°时，根据∠ABC=∠ABP=90°、△ABC≌△ABP，即可得出点C、P关于点B对称，结合点B、C的坐标即可得出点P的坐标；②当∠BAP=90°时，由∠ABC=∠BAP=90°即可得出BC∥AP，根据△ABC≌△BAP即可得出BC=AP，进而可找出四边形APBC为平行四边形，结合点A、B、C的坐标即可找出点P的坐标.综上即可得出结论.
【详解】
解：(1)过点C作CD⊥y轴于点D，如图1所示.
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∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，AB=BC.
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB=∠BOA=90°.
∵∠CBD+∠ABO=90°，∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ABO=∠BCD.
∴△ABO≌△BCD(AAS)，
∴BD=AO，CD=BO，
∵A(m，0)，B(0，n)，
∴BD=﹣m，CD=n，
∴点C的坐标为(﹣n，n﹣m).
(2)△PAB与△ABC全等分两种情况：
①当∠ABP=90°时，如图2所示.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠ABC=∠ABP=90°，△ABC≌△ABP，
∴点C、P关于点B对称，
∵C(﹣n，n﹣m)，B(0，n)，
∴点P的坐标为(n，n+m)；
②当∠BAP=90°时，如图3所示.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵△ABC≌△BAP，
∴∠ABC=∠BAP=90°，BC=AP，
∴BC∥AP，
∴四边形APBC为平行四边形.
∵A(m，0)、B(0，n)，C(﹣n，n﹣m)，
∴点P的坐标为(m+n，m).
综上所述：在y轴右侧的平面内存在一点P，使△PAB与△ABC全等，P点坐标为(n，n+m)或(m+n，m).
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)判定，等腰直角三角形的性质和应用及点的坐标的求法，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，要注意分类讨论的思想.21教育网
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精品试卷·第
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12.1
全等三角形
【提升训练】
一、单选题
1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若x＝y，则ax＝ay
B．若x＞0，y＞0，则xy＞0
C．锐角三角形是等边三角形
D．全等三角形的对应角相等
2．如图，，，，点在线段上，以速度从点出发向点运动，到点停止运动．点在射线上运动，且．若与全等，则点运动的时间为（
）21cnjy.com
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A．
B．
C．或或
D．或
3．如图，已知，平分，若，，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．50°
B．44°
C．34°
D．30°
4．如图，，，，则(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
5．下列命题的逆命题是真命题的是（
）
A．两个全等三角形的对应角相等
B．若一个三角形的两个内角分别为和，则这个三角形是直角三角形
C．两个全等三角形的面积相等
D．如果一个数是无限不循环小数，那么这个数是无理数
6．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28，∠E＝95，∠EAB＝20，则∠BAD等于（
）
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A．75
B．57
C．55
D．77
7．下列命题的逆命题是真命题的是（
）．
A．的平方根是3
B．是无理数
C．1的立方根是1
D．全等三角形的周长相等
8．如图，△ACB≌△A′C
B′，∠ACB＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（
）21
cnjy
com
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A．40°
B．35
C．30°
D．45°
9．下列说法正确的是（
）
A．两个长方形是全等图形
B．形状相同的两个三角形全等
C．两个全等图形面积一定相等
D．所有的等边三角形都是全等三角形
10．图中的小正方形边长都相等，若，则点Q可能是图中的（
）
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A．点D
B．点C
C．点B
D．点A
11．如图，若，点、、、在同一条直线上，，，则的长为（
）
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A．
B．
C．
D．
12．如图，△ACB≌△A'CB'，∠BCB'=25°，则∠ACA'的度数为（ ）
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A．35°
B．30°
C．25°
D．20°
13．如图，△ABC≌△ADE，AB=AD，AC=AE，∠B=28°，∠E=95°，∠EAB=20°，则∠BAD等于（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．75°
B．57°
C．55°
D．77°
14．如图，，BC的延长线交DE于点G，若，，，（
）
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A．
B．
C．
D．
15．如图，，点和点，点和点是对应点，如果，，，那么的长是（
）
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A．5cm
B．6cm
C．7cm
D．8cm
16．如图，，，，则的长度为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
17．如图，，，垂足分别为点，点，、相交于点O，，则图中全等三角形共有（
）
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A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
18．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．好好学习，天天向上
C．周长和面积相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
19．如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走1，点从向运动，每分钟走2，，两点同时出发，运动______分钟后与全等（
）21世纪教育网版权所有
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A．4或6
B．4
C．6
D．5
20．如图，，点，，在同一直线上，，，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
21．如图，点D，E在BC上，且ABE≌ACD，对于结论：①AB=AC，②∠BAD=∠CAE，③BE=CD，④AD=DE，其中正确的个数是（
）21教育网
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A．1
B．2
C．3
D．4
22．如图，已知△ABC≌△CDA，下面四个结论中，不正确的是（
）
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A．△ABC和△CDA的面积相等
B．△ABC和△CDA的周长相等
C．∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD
D．AD∥BC，且AD=CB
23．如图，中，，点在边上，点在边上．已知≌≌，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．45°
B．30°
C．
D．15°
24．如图，已知，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正确的有（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．个
B．个
C．个
D．个
25．如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且，BE、CD交于点F．若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（
）www.21-cn-jy.com
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A．105°
B．110°
C．100°
D．120°
26．如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为(
)21·世纪
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A．
B．4
C．3
D．5
27．如图，已知长方形ABCD的边
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)长AB=20cm，BC=16cm，点E在边AB上，AE=6cm，如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C向运动，同时，点Q在线段CD上从点C到点D运动．则当时间t为（
）s时，能够使△BPE与△CQP全等．www-2-1-cnjy-com
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A．1
B．1或4
C．1或2
D．3
28．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．105°
B．100°
C．110°
D．115°
29．已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点，点、分别是线段、的中点.以下个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分.正确的是(
)21教育名师原创作品
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A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．①②③④
30．如图，已知
AD
为△ABC
的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)高线，AD=BC，以
AB
为底边作等腰
Rt△ABE，连接
ED，
EC，延长CE
交AD
于F
点，下列结论：①△ADE≌△BCE；②CE⊥DE；③BD=AF；④S△BDE=S△ACE，其中正确的有（
）
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A．①③
B．①②④
C．①②③④
D．②③④
二、填空题
31．如图，，且，，，____．
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32．如图，△ABC≌△ADE，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)①若△ABC周长为24，AD=6，AE=9，则BC=______；②若∠BAD=42°，则∠EFC=______．【来源：21·世纪·教育·网】
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33．如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是______°．
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34．如图，，，，，则______．
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35．如图，，B、E、C、F在同一直线上，，，则CF的长为___________．
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36．如图，已知，若，，则________度．
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三、解答题
37．如图，已知△ABC≌△EBD，
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（1）若BE=6，BD=4，求线段AD的长；
（2）若∠E=30°，∠B=48°，求∠ACE的度数．
38．如图所示，，，三点在同一直线上，且．
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（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，？
39．如图所示，，，，的延长线交于点，交于点，，，，求的度数．
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40．如图，△ABC中，∠A
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)CB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与△QFC全等？请说明理由．21·cn·jy·com
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41．如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，求∠BAC的度数．
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42．如图，在中，厘米，厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，当点Q的运动速度为多少时，能够在某一时刻使与全等．
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43．如图，在中，线段的端点位于平面直角坐标系的网格点上，点C的坐标为．
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（1）请在平面直角坐标系中，画出，使得与全等；（画出所有可能，点C，不重合）
（2）直接写出点的坐标．
44．如图，△EFG≌△NMH，E，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)H，G，N在同一条直线上，EF和NM，FG和MH是对应边，若EH＝1.1cm，NH＝3.3cm．求线段HG的长．2·1·c·n·j·y
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45．如图，，，，求的长；
如图，在中，是边上的高，点是上一点，交于点，且，求证：是直角三角形．
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46．如图，点，，在同一直线上，点在上，且
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求证：；
判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
47．如图，已知，的延长线交于点，交于点，，，，求的度数．
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48．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．【来源：21cnj
y.co
m】
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．【出处：21教育名师】
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49．已知ABC≌DEF，B、E、C、F在同一直线上．
（1）若∠BED=150°，∠D=80°，求∠ACB的度数；
（2）若2BE=EC，EC=6，求BF的长．
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50．如图，在等腰
中，∠C=90°，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持
.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：求证
是等腰直角三角形；
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51．如图，在平面直角坐标系中，O
为坐标原点
A、B
两点的坐标分别
A（m，0），B（0，n），且|m
n
3|
0
，点
P
从
A
出发，以每秒
1
个单位的速度沿射线
AO
匀速运动，设点
P
运动时间为
t
秒．
21
cnjy
com
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（1）求
OA、OB
的长；
（2）连接
PB，若△POB
的面积不大于
3
且不等于
0，求
t
的范围；
（3）过
P
作直线
AB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
的垂线，垂足为
D，直线
PD
与
y
轴交于点
E，在点
P
运动的过程中，
是否存在这样的点
P，使△EOP≌△AOB?若存在，请求出
t
的值；若不存在，请说明理由．2-1-c-n-j-y
52．如图，A(m，0)，B(0，n)，以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．
(1)求C点的坐标.
(2)在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使△PAB与△ABC全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由.【版权所有：21教育】
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