【人教八上数学教学课件】13.1.2 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
第十三章
轴对称
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题讲解
课堂小结
13.1.2
第1课时
线段垂直平分线的性质和判定
知识回顾
1.线段是轴对称图形吗？
2.它的对称轴是什么？
3.什么叫线段的垂直平分线？
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，
叫做这条线段的垂直平分线.
获取新知
如图，直线l
垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l
上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…
到点A
与点B
的距离，你有发现什么吗？请猜想点P1，P2，P3，…
到点A
与点B
的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
P1A
____P1B
P2A
____
P2B
P3A
____
P3B
＝
＝
＝
知识点一：线段垂直平分线的性质
猜想：
点P1，P2，P3，…
到点A
与点B
的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC
=CB，点P
在l
上．求证：PA
=PB．
　证明：∵　l⊥AB，
∴
∠PCA
=∠PCB=90°．
　　又
AC
=CB，PC
=PC，
　　∴
△PCA
≌△PCB（SAS）．
　　∴
PA
=PB．
P
A
B
l
C
验证结论
用几何语言表示为：
∵
CA
=CB，l⊥AB，
（点P在线段AB的垂直平分线上）
∴
PA
=PB．
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
P
A
B
l
C
知识要点
线段垂直平分线的性质
找出图中相等的线段，并说明理由.
（1）点A在BC的垂直平分线上
D
AB=AC
（2）ED是AB
的垂直平分线
EA=EB
练
习
例题讲解
例1
[高频考题]如图13－1－4，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE，△BCE的周长为16，△ABC的周长为24，求AD的长度．
图13－1－4
解：(1)∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝AB.
∵△BCE的周长为16，
∴BC＋CE＋EB＝BC＋CE＋EA＝BC＋AC＝16.
∵△ABC的周长为24，∴BC＋AC＋AB＝24.
∴AB＝8.∴AD＝AB＝4.
知识点二：线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA
=PB，那么点P
是否在线段AB
的垂直平分线上呢？
已知：如图，PA
=PB
求证：点P
在线段AB
的垂直平分线上．
P
A
B
证明：过点P
作AB
的垂线PC，垂足为点C
则∠PCA
=∠PCB
=90°．
在Rt△PCA
和Rt△PCB
中，
∵　PA
=PB，PC
=PC，
∴
Rt△PCA
≌Rt△PCB（HL）．
∴
AC
=BC．
又
PC⊥AB，
∴
点P
在线段AB
的垂直平分线上
P
A
B
C
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵　PA
=PB，
∴　点P
在AB
的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
知识要点
　这些点能组成什么几何图形？
你能再找一些到线段AB
两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB
两端点距离相等的点？
　与A，B
的距离相等的点都在直线l上，所以直线l
可以看成与A、B两点
的距离相等的所有点的集合.
P
A
B
C
l
应用格式：
∵　AB
=AC，MB
=MC，
∴　直线AM
是线段BC
的垂直平分线．
A
B
C
D
M
这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.
例题讲解
例2
已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
例3
尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：直线AB
和AB
外一点C
.
求作：AB
的垂线，使它经过点C
.
A
B
C
例题讲解
A
B
C
D
E
K
F
作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.
（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于
DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
（1）为什么任意取一点K
，使点K
与点C
在直线两旁？
（2）为什么要以大于
的长为半径作弧？
（3）为什么直线CF
就是所求作的垂线？
想一想：
1.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有
（填序号）.
①
②
③
随堂演练
B
2.如图D－17－1，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝5，则线段PB的长为(　　)
A．6　　　　　　　
B．5　　　　　　　
C．4　　　　　　　
D．3
图D－17－1
3．如图D－17－2所示，AB垂直平分CD.若AC＝1.6，BC＝2.3，则四边形ACBD的周长是(　　)
A．3.9
B．7.8
C．4
D．4.6
B
4.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解：AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF.
∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
A
B
C
D
E
F
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
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