【人教九上数学学霸听课笔记】23.1.1 旋转的概念及性质 课件（共34张PPT）

(共34张PPT)
第1课时　旋转的概念及性质
预学浅梳理
探究与应用
随堂小检测
第二十三章　旋转
1.把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,叫做
____________,________叫做旋转中心,转动的角叫做
________.
2.旋转的性质：
(1)对应点到旋转中心的距离________.
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________.
(3)旋转前、后的图形________.
图形的旋转
点O
旋转角
相等
旋转角
全等
目标一　理解旋转的有关概念
思考
如图23－1－1,钟表的指针在不停地转动,从3时到5时,时针转动了多少度?
图23－1－1
如图23－1－2,风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
以上这些现象有什么共同特点呢?
解：从3时到5时,时针转动了60°.
这些现象的共同特点是一个平面图形
绕着一点转动一个角度.
图23－1－2
定义
把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度,
叫做图形的旋转.图23－1－1中,点O是_________,旋转角是
________.点P和点P′是________.
图23－1－1
旋转中心
∠POP′
对应点
例1
如图23－1－3,△ABC是等边三角形,D是BC上的一点,
△ABD逆时针旋转后到达△ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)如果M是线段AB的中点,那么经过
上述旋转后,点M转到了什么位置?
图23－1－3
解：(1)旋转中心是点A.
(2)旋转了60度.
(3)点M转到了线段AC的中点处.
归纳
旋转的“三要素”及确定方法
(1)旋转中心：旋转中心的位置可以是任意的,旋转前后没有
发生变化的点就是旋转中心；
(2)旋转角：对应点与旋转中心所连线段的夹角即旋转角；
(3)旋转方向：旋转方向有顺时针和逆时针两种,若没有明确
指出旋转方向,则应分两种情况讨论.
变式
如图23－1－4所示,△AOB绕着点O顺时针旋转至△A′OB′的位置.
(1)点B的对应点是点________；
(2)旋转中心是________,旋转角为
________________；
(3)∠A的对应角是________,线段OB的对应
线段是线段________.
图23－1－4
B′
点O
∠AOA′或∠BOB′
∠A′
OB′
目标二　理解并掌握旋转的性质
探究
如图23－1－5,在硬纸板上,挖一个三角形洞,再另挖一个小洞O作为旋转中心,硬纸板下面放一张白纸.先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC),然后围绕旋转中心转动硬纸板,再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′),
移开硬纸板.
图23－1－5
△A′B′C′是由△ABC绕点O旋转得到的.线段OA与OA′有什么关系?∠AOA′与∠BOB′有什么关系?△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系?
解：OA＝OA′,∠AOA′＝∠BOB′,△ABC≌△A′B′C′.
图23－1－5
归纳
旋转的性质
(1)对应点到_________的距离相等.
(2)________与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
(3)旋转前、后的图形________.
旋转中心
对应点
全等
例2
[教材P60例题]如图23－1－6,E是正方形ABCD中CD边上任意一点,以点A为中心,把△ADE顺时针旋转90°,画出旋转后的图形.请你尽可能多地说出你的画法.
图23－1－6
解：因为点A是旋转中心,所以它的对应点是它本身.
正方形ABCD中,AD＝AB,∠DAB＝90°,所以旋转后点D与点B重合.
设点E的对应点为点E′.
因为旋转后的图形与旋转前的图形全等,
所以∠ABE′＝∠ADE＝90°,BE′＝DE.
方法一：在CB的延长线上取点E′,使BE′＝DE,则△ABE′为旋转后的图形(如图).
方法二：以点A为圆心,以AE为半径画弧,交CB的延长线于点E′,则△ABE′为旋转后的图形.
方法三：过点A作E′A⊥AE,交CB的延长线于点E′,则△ABE′为旋转后的图形.
方法四：在正方形ABCD的外部作∠BAE′＝∠DAE,交CB的延长线于点E′,则△ABE′为旋转后的图形.(本题画法较多,答案不唯一)
例3
如图23－1－7,△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与DC有什么关系?你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗?
解：BE＝DC.
能.理由：∵△ABD,△AEC都是等边三角形,
∴AB＝AD,AE＝AC,∠BAD＝∠EAC＝60°,
∴△ABE可以看成是由△ADC绕点A逆时针旋转60°得到的.
又∵DC的对应线段是BE,∴BE＝DC.
图23－1－7
可以从旋转角度看问题的图形的特征
　　当图中含有两个形状相同的图形(比如两个等边三角形,
两个正方形,两个等腰直角三角形等)时,可以从旋转的角度
将相等的边的关系看作是旋转而成的位置关系,进而找到部
分图形的旋转变换关系,从而利用旋转的相关性质解决问题.
方法总结
变式
如图23－1－8,如果点A在线段BC上,△ABD,△AEC都是等边三角形,那么BE与DC相等吗?
解：∵△ABD,△AEC都是等边三角形,
∴AB＝AD,AE＝AC,∠BAD＝∠EAC＝60°,
∴△ABE可以看成是由△ADC绕点A逆时针旋转60°得到的.
又∵DC的对应线段是BE,∴BE＝DC.
图23－1－8
延伸
上题条件不变,若AD与BE交于点F,AE与CD交于点G,连接FG,如图J23－1－1.
(1)AF＝AG吗?说明理由；
(2)△AFG是等边三角形吗?为什么?
图J23－1－1
解：(1)AF＝AG.
理由如下：
由变式易知△ABE≌△ADC,
∴∠ABE＝∠ADC.
∵△ABD和△AEC都是等边三角形,
∴AB＝AD,∠BAD＝∠EAC＝60°,
∴∠DAG＝60°＝∠BAF.
∴△ABF≌△ADG(ASA),
∴AF＝AG.
(2)△AFG是等边三角形.理由如下：
∵AF＝AG,且∠DAG＝60°,
∴△AFG是等边三角形.
1.下列运动中,不属于旋转的是(　　)
A.人荡秋千时的运动
B.人行走时手臂的运动
C.跳远运动
D.仰卧起坐运动
C
2.如图23－1－9所示,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,∠B＝60°,△AB′C′可以由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到(点B′与点B是对应点,点C′与点C是对应点),连接CC′,则∠CC′B′的度数是(　　)
A.45°
B.30°
C.25°
D.15°
图23－1－9
D
[解析]
由旋转中心为点A,点C与点C′为对应点可知AC＝AC′.又由∠CAC′＝90°可知△CAC′是等腰直角三角形,所以∠CC′A＝45°.又由∠AC′B′＝∠ACB＝90°－60°＝30°,可得∠CC′B′＝15°.
3.如图23－1－10,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,点C和点E是对应点,点B和点D是对应点,若∠CAE＝90°,AB＝1,则BD＝________.
图23－1－10
4.如图23－1－11,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,F分别在AB,AC上,CF＝CB.连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD,求∠BDC的度数.
图23－1－11
解：(1)证明：∵CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,
∴CD＝CE,∠DCE＝90°.
∵∠ACB＝90°,∴∠BCD＝90°－∠ACD＝∠FCE.
∴△BCD≌△FCE.
(2)由△BCD≌△FCE得∠BDC＝∠E.
∵EF∥CD,∴∠E＝180°－∠DCE＝90°,
∴∠BDC＝90°.
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