1.1菱形的性质与判定 同步能力达标测评 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，每小题4分，共计32分）
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（　　）
A．（0，﹣2）
B．（0，﹣1.5）
C．（0，﹣1）
D．（﹣2，0）
2．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝50°，对角线AC，BD交于点O，E为CD的中点，连接OE，则∠AOE的度数是（　　）
A．110°
B．112°
C．115°
D．120°
3．如图，AC是菱形ABCD的对角线，P是AC上一个动点，过点P分别作AB、BC的垂线，垂足分别是F和E．若菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，则PE+PF的值是（　　）
A．1.5
B．1
C．2
D．4
4．四边形ABCD中，AD∥BC，点P，Q是对角线BD上不同的两点，若四边形APCQ是菱形，则下列说法中不正确的是（　　）
A．BP＝DQ
B．∠ABD＝∠ADB
C．AB∥CD
D．∠ABP＝∠BAP
5．如图四边形ABCD为菱形，点E为BC的中点，点F在CD上，若∠DAB＝60°，∠DFA＝2∠EAB，AD＝4，则CF的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线AC＝16，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG长为（　　）
A．13
B．10
C．12
D．5
7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是（　　）
①OG＝AB；②与△DEG全等的三角形共有5个；③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
A．①③④
B．①④
C．①②③
D．②③④
8．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．5
二．填空题（共8小题，每小题4分，共计32分）
9．如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC＝12．过AD的中点E作EG⊥AC交AB于点F，交CB的延长线于点G，则EG的长为
　
　．
10．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点A作AE⊥CB交CB的延长线与点E，连接OE，若S菱形ABCD＝12，BD＝4，则OE的长为
　
　．
11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的长为
　
　．
12．如图，在菱形ABCD中，点E在对角线BD上，AE＝BE，∠C＝120°，若BD＝12cm，则DE＝　
　cm．
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝4，S菱形ABCD＝48，则OE的长为
　
　．
14．在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，E是线段BD上一动点（不与点B、D重合），当△ABE是等腰三角形时，∠DAE的度数为
　
　．
15．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF，连接BF与DE交于点G，若CG＝1，则S四边形BCDG＝　
　．
16．我们定义：联结平行四边形一组对边中点的线段叫做“对边中位线”，联结平行四边形一组邻边中点的线段叫做“邻边中位线”．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线BD＝8，那么“对边中位线”EF与“邻边中位线”EG、FG所围成的△EFG的面积是
　
　．
三．解答题（共7小题，每小题,8分，共计56分）
17．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，
（2）若∠ABC＝90°，EF＝3，AB＝4，当CD为何值时，四边形BCEF是菱形．
18．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点G、H分别是AD、BC的中点，点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F．
（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；
（2）若四边形GEHF是菱形．
①线段AB和BD有何位置关系？请说明理由．
②若AB＝2，BD＝2AB时，求四边形GEHF的面积．
19．如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若CE＝1，CF＝2，，求菱形ABEF的面积．
20．如图，E，F分别是菱形ABCD的边AD，CD的中点，且AB＝5，BD＝6．
（1）求线段EF的长；
（2）探究四边形DEOF是什么特殊四边形？并对结论给予证明．
21．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH．
（1）求证：∠OHD＝∠OAH．
（2）若AC＝8，BD＝6，求BH．
22．已知AC是菱形ABCD的对角线，∠BAC＝60°，点E是直线BC上的一个动点，连接AE，以AE为边作菱形AEFG，并且使∠EAG＝60°，连接CG，当点E在线段BC上时，如图1，易证：AB＝CG+CE．
（1）当点E在线段BC的延长线上时（如图2），猜想AB，CG，CE之间的关系并证明；
（2）当点E在线段CB的延长线上时（如图3），直接写出AB，CG，CE之间的关系．
23．如图1，已知平行四边形ABCD中，BD平分∠CBA．
（1）求证：平行四边形ABCD是菱形；
（2）如图2，E为边AB上一动点，连接CE，作CE的垂直平分线交CE于F，交DB于G，连接AG、EG，
①求证：△AGE为等腰三角形；
②若∠CBA＝60°，求的值．
参考答案
一．选择题（共8小题，每小题4分，共计32分）
1．解：∵A（2，3），
∴OD＝2，AD＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD＝3，
在Rt△ODC中，OC＝＝＝1，
∴C（0，﹣1）．
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠CDO＝∠ADC＝∠ABC＝25°，
∴∠DOC＝90°，
∵点E是CD的中点，
∴OE＝DE＝CD，
∴∠DOE＝∠CDO＝25°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝90°+25°＝115°，
故选：C．
3．解：如图，连接BP，
∵菱形ABCD的周长是12cm，面积是6cm2，
∴AB＝BC＝＝3（cm），S△ABC＝＝3（cm2），
∵S△ABC＝S△ABP+S△BPC，
∴3＝AB?PF+BC?PE，
∴3＝×3×PE+×3×PF＝（PE+PF），
∴PE+PF＝2（cm），
故选：C．
4．解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AP＝PC＝CQ＝AQ，AQ∥PC，AC⊥BD，
∴∠AQP＝∠CPQ，
∴∠AQD＝∠BPC，
∵AD∥BC，
∴∠ADQ＝∠CBP，
在△ADQ和△CBP中，
，
∴△ADQ≌△CBP（AAS），
∴AD＝BC，BP＝DQ，故选项A不合题意；
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，故选项C不合题意；
∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，故选项B不合题意；
故选：D．
5．解：延长AE，DC交于点G，过点F作FH⊥AD，交AD的延长线于H，
∵CD∥AB，
∴∠EAB＝∠G，∠DAB＝∠HDF＝60°，
∵∠DFA＝2∠EAB＝∠G+∠FAG，
∴∠G＝∠FAG，
∴AF＝FG，
∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE，
在△CEG和△BEA中，
，
∴△CEG≌△BEA（AAS），
∴AB＝CG＝4，
设DF＝x，
∴FC＝4﹣x，
∴FG＝8﹣x＝AF，
∵HF⊥AD，∠HDF＝60°，
∴∠DFH＝30°，
∴DH＝x，HF＝x，
∵AF2＝HF2+AH2，
∴（8﹣x）2＝x2+（4+x）2，
∴x＝，
∴CF＝，
故选：D．
6．解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为10，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝10，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝16，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝8，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，
∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，
∴BD＝EG，
在△COD中，DO＝＝＝6，
∴BD＝2OD＝12，
∴EG＝BD＝12，
故选：C．
7．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝CD＝AB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB＝OD，
∴S△BOG＝S△DOG，
∵四边形ABDE是菱形，
∴S△ABG＝S△DGE，
∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确；
故选：A．
8．解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O，
∵两条纸条宽度相同，
∴AE＝AF．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵S?ABCD＝BC?AF＝CD?AE．
又∵AE＝AF．
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝4，
∴四边形ABCD的面积＝＝4，
故选：A．
二．填空题（共8小题，每小题4分，共计32分）
9．解：如图，连接BD，交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，周长为40，
∴AC⊥BD，AB＝10，AO＝CO＝6，BO＝DO，AD∥BC，
∴BO＝＝＝8，
∴BD＝16，
∵EG⊥AC，BD⊥AC，
∴GE∥BD，
又∵AD∥BC，
∴四边形EGBD是平行四边形，
∴BD＝EG＝16，
故答案为：16．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AC⊥BD，
∵S菱形ABCD＝12，
∴×BD×AC＝12，
∴AC＝6，
∵AE⊥BC，AO＝CO，
∴OE＝AC＝3，
故答案为：3．
11．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝4，OB＝OD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?DH，
∴DH＝＝，
故答案为：．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠BAD＝120°，∠ABC＝60°，∠ABD＝ABC＝30°，AB＝AD，
∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE＝∠ADB＝30°，
∴∠DAE＝90°，
设AE＝BE＝xcm，则DE＝（12﹣x）cm，
∴12﹣x＝2x，
∴x＝4，
∴DE＝8cm，
故答案为：8．
13．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝4，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD＝48＝，
∴AC＝12，
∵CE⊥AD，AO＝CO，
∴OE＝AC＝6，
故答案为6．
14．解：如图，
在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝100°，
∵△ABE是等腰三角形，
∴AE＝BE，或AB＝BE，
当AE＝BE时，
∴∠ABE＝∠BAE＝40°，
∴∠DAE＝100°﹣40°＝60°；
当AB＝BE时，∴∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠DAE＝100°﹣70°＝30°，
综上所述，当△ABE是等腰三角形时，∠DAE＝30°或60°，
故答案为：30°或60°．
15．解：过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD，交GD的延长线于N．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC，
∵AB＝BD，
∴AB＝BD＝AD＝CD＝BC，
∴△ABD为等边三角形，△BCD是等边三角形，
∴∠A＝∠BDF＝60°，∠ADC＝120°，
在△ADE和△DBF中，
，
∴△ADE≌△DBF（SAS），
∴∠ADE＝∠DBF，
∵∠FBC＝60°+∠DBF，∠NDC＝180°﹣（120°﹣∠ADE）＝60°+∠ADE，
∴∠NDC＝∠FBC，
在△CDN和△CBM中，
，
∴△CDN≌△CBM（AAS），
∴CM＝CN，
在Rt△CBM与Rt△CDN中，
，
∴Rt△CBM≌Rt△CDN（HL），
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN．S四边形CMGN＝2S△CMG，
∵∠CGM＝60°，
∴GM＝CG＝，CM＝CG＝，
∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN＝2S△CMG＝2×××＝，
故答案为：．
16．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴S△ABD＝×BD2＝16，
∴菱形ABCD的面积＝32，
∵EF是对边中位线，
∴AE＝AD，BF＝BC，
∴AE＝BF，
且AE∥BF，
∴四边形AEFB是平行四边形，
∴?AEFB的面积＝16，EF∥AB，
∵EG是邻边中位线，
∴S△EFG＝S?AEFB＝8，
故答案为8．
三．解答题（共7小题，每小题8分，共计56分）
17．解：（1）在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）当时，四边形BCEF是菱形．
理由如下：
连接BE，交CF与点H，
∵AC＝DF，
∴AC﹣FC＝DF﹣FC，
即AF＝CD，
若四边形BCEF是菱形时，
∴BE⊥CF，，EF＝BC＝3．
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴．
∵，
即．
在Rt△BCH中，，BC＝3，
∴．
∴，
∴，
∴当时，四边形BCEF是菱形．
18．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，
∴E，F分别为OB，OD的中点，
∵G是AD的中点，
∴GF为△AOD的中位线，
∴GF∥OA，GF＝OA，
同理EH∥OC，EH＝OC，
∴EH∥GF，EH＝GF，
∴四边形GEHF是平行四边形；
（2）①AB⊥BD，理由如下：
如图，连接GH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点G、H分别是AD、BC的中点，
∴AG＝AD，BH＝BC，
∴AG＝BH，
∴四边形AGHB是平行四边形，
∴AB∥HG，
∵四边形GEHF是菱形，
∴GH⊥EF，
∴AB⊥EF，即AB⊥BD；
②∵AB＝2，BD＝2AB，
∴BD＝4，
∵点E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，
∴EO＝OF＝1，
∴EF＝2，
∵四边形AGHB是平行四边形，
∴GH＝AB＝2，
∵四边形GEHF是菱形，
∴四边形GEHF的面积＝×EF×GH＝×2×2＝2．
19．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠EAF＝∠EAB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF＝∠FBE，∠AFB＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）连接CF，
CE＝1，CF＝2，AB＝，
∵AB＝EF＝，
CE2+CF2＝EF2，
∴CF⊥BC，
∴菱形ABEF的面积＝×2＝．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝AC，OB＝OD＝BD＝3，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴OA＝＝＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF＝BD＝4，
（2）四边形DEOF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，OA＝OC，OB＝OD，
∴O是AC，BD的中点，
∵E，F分别是菱形ABCD的边AD，CD的中点，
∴DE＝DA，DF＝DC，OE，OF分别是△ACD和△CDA的中位线，
∴DE＝DF，OE∥FD，OF∥DE，
∴四边形DEOF平行四边形，
∵DE＝DF，
∴四边形DEOF是菱形．
21．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，
又∵DH⊥AB，
∴DO＝BO＝OH，∠BDH+∠DBH＝90°＝∠DBH+∠HAO，
∴∠OHD＝∠ODH，∠BDH＝∠HAO，
∴∠OHD＝∠OAH；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO＝3，AO＝CO＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵S△ADB＝×BD×AO＝×AB×DH，
∴6×4＝5DH，
∴DH＝，
∴BH＝＝＝．
22．解：（1）AB＝CG﹣CE，
理由如下：∵四边形ABCD是菱形，四边形AEFG是菱形，
∴AB＝BC，AE＝AG，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠BAC＝∠EAG＝60°，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAG+∠CAE．即∠BAE＝∠CAG，
在△ABE和△ACG中，
，
∴△ABE≌△ACG（SAS），
∴BE＝CG，
∵AB＝BC＝BE﹣CE，
∴AB＝CG﹣CE；
（2）AB＝CE﹣CG，
理由如下：理由如下：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC．
∴∠BAC＝∠EAG＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAG＝∠EAG﹣∠BAG，即∠BAE＝∠CAG，
在△ABE和△ACG中，
，
∴△ABE≌△ACG（SAS），
∴BE＝CG，
∵AB＝BC＝CE﹣BE，
∴AB＝CE﹣CG；
23．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴DC＝BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）①∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝DA，∠CDG＝∠ADG，
在△ADG和△CDG中
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG，
∵GF是EC的垂直平分线，
∴CG＝EG，
∴AG＝EG，
即△AGE是等腰三角形；
②连接AC交BD于O，
∵GC＝GE，
∴∠GCE＝∠GEC，
∵AG＝CG＝GE，
∴∠GCA＝∠GAC，∠GAE＝∠GEA，
∵∠CBA＝60°，BC＝AB，
∴∠CAB＝∠ACB＝60°，
∴∠GAC+∠GAE＝60°，
∴∠GAC+∠GCA+∠GAE+∠GEA＝120°，
∴∠AGC+∠AGE＝240°，
∴∠CGE＝120°，
∴∠GCE＝30°，
∴CG＝2GF，
∴AG＝2GF，
∴＝．