2.5.2圆的切线的判定-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练（Word版 含答案）

2.5.2圆的切线的判定
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、下列命题中，假命题是（　　）
A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
2、△ABC中，以AB边上的高为直径作一个圆，则与这个圆相切的直线是(
).
A.
AB
B.
AC
C.
BC
D.
不确定
3、已知⊙O
的半径为
5，直线
EF
经过⊙O
上一点
P（点
E，F
在点
P
的两旁），下列条件能判定直线
EF
与⊙O
相切的是（
）
A．OP＝5
B．OE＝OF
C．O
到直线
EF
的距离是
4
D．OP⊥EF
4、如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（
）
A．以OA为半径的圆
B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆
D．以OD为半径的圆
5、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是(
)
A．
B．
C．
D．
6、如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）
A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
7、如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（
）
A．
B．
C．AC是直径
D．且
8、如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(
)
A．点(0，3)
B．点(1，3)
C．点(6，0)
D．点(6，1)
9、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，若∠A=25°，，若使DC切⊙O于点C，则∠D等于(
)
A.
20°
B.
30°
C.
40°
D.
50°
10、已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E，DE与⊙O(
).
A.
相交
B.
相离
C.
相切
D.
不能确定
二、填空题
11、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____．
12、已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，如图，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，(至少说出两种)：_________________或者________________；
13、如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，当∠BCD＝________时，CD为⊙O的切线．
14、如图，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应满足的条件是________(只填一个即可)．　　　　
15、如图，⊙O的半径为4
cm，BC是直径，若AB＝10
cm，则AC＝_______cm时，AC是⊙O的切线
16、如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝________，则直线BC与⊙O的位置关系为
17、如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠BAC＝50°，当∠ACD＝_______时，CD为⊙O的切线．
18、如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转______________度时与⊙O相切．
三、解答题
19、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
20、如图，在中，为的中点，以为圆心的圆与相切于点，
求证：是的切线．
21、如图，在ABC中，AB=AC,,点D在BC边上，⊙D经过点A和点且与边相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
22、如图，在中，，点是边的中点，点是边上的点，以为圆心，为半径的交，，于点，，，且点是弧的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
23、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
24、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，以点C为顶点作∠BCP＝∠A与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）过点O作半径OD//BC与AC交于点E，若DE﹣OE，AC＝15，求△ABC的周长．
2.5.2圆的切线的判定
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、下列命题中，假命题是（　　）
A．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
B．经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线
C．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
D．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
【答案】A
【分析】根据圆的切线的定义以及性质对各项进行判断即可．
【详解】解：A、经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；可能经过圆心，故本选项错误；
B、圆的切线的判定定理：经过直径的端点且垂直于这条直径的直线是圆的切线；故本选项正确，故不符合题意；
C、圆的切线垂直于经过切点的半径；故本选项正确，故不符合题意；
D、经过切点且垂直于切线的直线为圆的直径，所以它经过圆心；故本选项正确，故不符合题意；
故选：A．
2、△ABC中，以AB边上的高为直径作一个圆，则与这个圆相切的直线是(
).
A.
AB
B.
AC
C.
BC
D.
不确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据切线的判定解答即可.
【详解】经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线,可得AB即为圆的切线,故选A.
3、已知⊙O
的半径为
5，直线
EF
经过⊙O
上一点
P（点
E，F
在点
P
的两旁），下列条件能判定直线
EF
与⊙O
相切的是（
）
A．OP＝5
B．OE＝OF
C．O
到直线
EF
的距离是
4
D．OP⊥EF
【解析】
【分析】根据切线的证明方法进行求解，即可得到答案.
【详解】∵点
P
在⊙O
上，∴只需要
OP⊥EF
即可，
故选：D．
4、如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线a相切的是（
）
A．以OA为半径的圆
B．以OB为半径的圆
C．以OC为半径的圆
D．以OD为半径的圆
【答案】D
【解析】解：于，
以为圆心，为半径的圆与直线相切，故选：D．
5、如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上(不与A，B重合)，于点D，交BC于点F，下列条件中能判别CE是切线的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠B，推出∠OCB+∠ECF=90°，于是得到结论．
【解析】连接OC，∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，
∵DE⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠B+∠DFB=90°，
∵∠EFC=∠BFD，∴∠B+∠EFC=90°，
∵∠ECF=∠EFC，∴∠OCB+∠ECF=90°，∴CE是⊙O的切线．
故选C．
6、如图，点B在⊙A上，点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是⊙A切线的是（　　）
A．∠A＝50°，∠C＝40°
B．∠B﹣∠C＝∠A
C．AB2+BC2＝AC2
D．⊙A与AC的交点是AC中点
【答案】D
【解析】解：A、∵∠A＝50°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
B、∵∠B﹣∠C＝∠A，∴∠B＝∠A+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
C、∵AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°，∴BC⊥AB，
∵点B在⊙A上，∴AB是⊙A的半径，∴BC是⊙A切线；
D、∵⊙A与AC的交点是AC中点，
∴AB＝AC，但不能证出∠B＝90°，∴不能判定BC是⊙A切线；
故选：D．
7、如图，是的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与相切于点A的条件是（
）
A．
B．
C．AC是直径
D．且
【分析】根据切线的判定定理对各个选项进行判断即可.
【详解】
解：A.当，则AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切；
B.AC不一定是的直径，所以不能判断EF直线EF与相切；
C.
AC为的直径，但EF不一定垂直AC，所以不能判断EF直线EF与相切；
D.
当，则AC为的直径，且，所以EF直线EF与相切.
故选D.
8、如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是(
)
A．点(0，3)
B．点(1，3)
C．点(6，0)
D．点(6，1)
【答案】B
【解析】∵过格点A，B，C作一圆弧，
∴由垂径定理可得圆心为：O'(2,0)，如图所示，
由切线性质可知当O'B⊥BF时，BF与圆相切，
当△BO'D≌△BFA时，∠O'BF=∠FBA+∠O'BA=∠O'BD+∠O'BA=90°，
此时O'B⊥BF，BF与圆相切，AF=O'D=1，AB=BD=2，
∴F坐标为（1,3），
同理可得F'（5,1），
所以满足条件的F点的坐标为：(5,1)或(1,3)，故选B.
9、如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，若∠A=25°，，若使DC切⊙O于点C，则∠D等于(
)
A.
20°
B.
30°
C.
40°
D.
50°
【答案】C
【解析】如图，连接OC，
∵DC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，
∴∠OCD=90°.
∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=25°．∴∠DOC=∠OCA+∠A=50°，∴∠D=180°-90°-50°=40°.
故选C.
10、已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，且DE⊥AC于点E，DE与⊙O(
).
A.
相交
B.
相离
C.
相切
D.
不能确定
【答案】C
【分析】连接OD，只要证明OD⊥DE即可．此题可运用三角形的中位线定理证OD∥AC，因为DE⊥AC，
所以OD⊥DE．
【详解】证明：连接OD．
∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴OD∥AC，∴∠CED=∠ODE．???????????
∵DE⊥AC，∴∠CED=∠ODE=90°．???∴OD⊥DE，OD是圆的半径，
∴DE是⊙O的切线,故选C.
二、填空题
11、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的_____．
【答案】切线．
【分析】根据圆的切线判定定理内容即可判断.
【详解】经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
故答案为：切线．
12、已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，如图，若AB为⊙O的直径，要使EF成为⊙O的切线，(至少说出两种)：_________________或者________________；
【答案】
(1).
∠BAE＝90°
(2).
∠EAC＝∠ABC
【解析】
【分析】求出∠BAE=90°，再根据切线的判定定理推出即可.
【详解】（1）①∠BAE=90°，②∠EAC=∠ABC，
理由是：①∵∠BAE=90°，∴AE⊥AB，
∵AB是直径，∴EF是⊙O的切线；
②∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵∠EAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90°，即AE⊥AB，
∵AB是直径，∴EF是⊙O的切线；
13、如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠ABC＝40°，当∠BCD＝________时，CD为⊙O的切线．
【答案】
【解析】解：连接OC，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC=40°，
∴当∠BCD=50°时，∠BCD+∠OCB=90°，即OC⊥CD，
∴当∠BCD=50°时，CD为⊙O的切线．故答案为50°．
14、如图，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，则图中的角应满足的条件是________(只填一个即可)．　　　　
【答案】∠BAE＝∠C或∠CAF＝∠B
【解析】所填写的条件只需要使EF垂直于过点A的半径即可.
故答案为∠BAE＝∠C或∠CAF＝∠B.
15、如图，⊙O的半径为4
cm，BC是直径，若AB＝10
cm，则AC＝_______cm时，AC是⊙O的切线
【解析】
【分析】若AC是是⊙O的切线，则∠C=90°，然后根据勾股定理即可求出AC的长.
【详解】∵⊙O的半径为4
cm，∴BC=10
cm，
若AC是是⊙O的切线，则∠C=90°，
∴.
故答案为：6.
16、如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝25°，OD的延长线交直线BC于点C，且∠OCB＝________，则直线BC与⊙O的位置关系为
【答案】40°
【分析】先根据直线BC与⊙O相切，得到∠OBC=90°，再利用同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出∠BOC=2∠A=50°，可求出∠OCB=40°．
【详解】∵直线BC与⊙O相切，∴∠OBC=90°，
∵∠BOC=2∠A=50°，∴∠OCB=40°，答案为:40°.
17、如图，AB为⊙O的直径，圆周角∠BAC＝50°，当∠ACD＝_______时，CD为⊙O的切线．
【答案】140°
【分析】利用切线的性质定理得出∠OCD=90°，再利用等边对等角即可得出∠BAC=∠ACO，进而求出∠ACD即可．
【详解】连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD=90°，
∵AO=CO，∴∠BAC=∠ACO，
∵∠BAC=50°，∴∠ACO=50°，∴∠ACD=90°+∠ACO=90°+50°=140°．
故答案为140°．
18、如图，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，当射线BA绕点B按顺时针方向旋转______________度时与⊙O相切．
【答案】60或120
【解析】
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质，切线的判定方法，分两种情况求解即可，①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时；②当B与⊙O相切，且B位于BC下方时.
【详解】如图，
①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB=90°；
在Rt△OPB中，∵OB=2OP，∴∠A′BO=30°；∴∠ABA′=90°-30°=60°；
②当B与⊙O相切，且B位于BC下方时；
同①，可求得∠BO=30°；此时∠AB=90°+30°=120°；
故旋转角α的度数为60°或120°
三、解答题
19、如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB延长线相交于点P．若∠COB＝2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
【答案】证明见解析．
【分析】利用半径OA＝OC可得∠COB＝2∠A，然后利用∠COB＝2∠PCB即可证得结论，再根据圆周角定理，易得∠PCB＋∠OCB＝90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线．
【详解】连接AC，
∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∴∠COB＝2∠ACO．
又∵∠COB＝2∠PCB，∴∠ACO＝∠PCB．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．
∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．
20、如图，在中，为的中点，以为圆心的圆与相切于点，
求证：是的切线．
【解析】解：如解图，连接，过点作，垂足为．
是的切线，．．
，．
为的中点，．
在和中，
．．
又，
是的切线．
21、如图，在ABC中，AB=AC,,点D在BC边上，⊙D经过点A和点且与边相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】(1)证明：连接，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∴是的切线；
(2)解：连接，
∵，∴是等边三角形，
∴，∴，
∴，∴，
∴的半径．
22、如图，在中，，点是边的中点，点是边上的点，以为圆心，为半径的交，，于点，，，且点是弧的中点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为3．
【解析】（1）证明：连接GF交OE于点M，
∵∠B=∠C，∴AB=AC，
又∵点D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∵AF是⊙O的直径，∴∠AGF=∠DGF=90°，
∵点E是弧GF的中点，∴GF⊥OE，
∴四边形GMED是矩形，∴∠MED=90°，∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：设OE=OF=x，则OB=x+2，
∵∠OEB=90°，∴OE2+BE2=OB2，∴x2+42=(x+2)2，解得x=3，
∴⊙O的半径为3．
23、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）AC=5，AD=5；（2）直线PC与⊙O相切
【分析】(1)、连接BD，根据AB为直径，则∠ACB=∠ADB=90°，根据Rt△ABC的勾股定理求出AC的长度，根据CD平分∠ACB得出Rt△ABD是等腰直角三角形，从而得出AD的长度；(2)、连接OC，根据OA=OC得出∠CAO=∠OCA，根据PC=PE得出∠PCE=∠PEC，然后结合CD平分∠ACB得出∠ACE=∠ECB，从而得出∠PCB=∠ACO，根据∠ACB=90°得出∠OCP=90°，从而说明切线.
【详解】解：(1)、①如图，连接BD，
∵AB是直径∴∠ACB=∠ADB=90°，
在RT△ABC中，AC=
②∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD，∴Rt△ABD是直角等腰三角形
∴AD=AB=×10=5cm；
(2)、直线PC与⊙O相切，
理由：连接OC，
∵OC=OA∴∠CAO=∠OCA
∵PC=PE，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PEC=∠CAE+∠ACE
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE=∠ECB，∴∠PCB=∠ACO
∵∠ACB=90°，∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°，
OC⊥PC，
∴直线PC与⊙O相切．
24、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，以点C为顶点作∠BCP＝∠A与AB的延长线交于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）过点O作半径OD//BC与AC交于点E，若DE﹣OE，AC＝15，求△ABC的周长．
【答案】（1）见解析；（2）40．
【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质及圆周角定理可得出∠PCO=90°，则可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得出BC=2OE，设OE=x，由勾股定理得出关于x的方程，解方程即可求出BC=8，AB=17，则可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵AO＝OC，∴∠OCA＝∠A，
∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠OCA，∴∠PCO＝∠ACB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵OD//BC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴OD⊥AC，∴AE＝CE，
∵OA＝OB，∴BC＝2OE，
设OE＝x，则BC＝2x，
∵DE﹣OE，∴DE＝x，∴OD＝2x，∴AB＝4x+1，
在Rt△ABC中，BC2+AC2＝AB2，∴（2x）2+152＝（4x+1）2，
∴x＝4或x（舍去），∴BC＝8，AB＝17，
∴△ABC的周长为8+17+15＝40．