2.5.4三角形的内切圆-2021-2022学年苏科版九年级数学上册培优训练（Word版 含答案）

2.5.4三角形的内切圆
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2、如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　)
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
3、如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（
）
A．EF＞AE+BF
B．EF＜AE+BF
C．EF=AE+BF
D．EF≤AE+BF
4、如,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE的度数为(　　)
A.70°
B.110°
C.120°
D.130°
5、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，
那么∠EDF等于（
）
A．40°
B．55°
C．65°
D．70°
6、如图,☉O是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是
(　　)
A.65°
B.60°
C.58°
D.50°
7、已知△ABC的周长为14，面积为7，则△ABC的内切圆半径为（
）
A．0.5
B．1
C．2
D．3
8、已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为（　　）
A．5+5
B．12﹣5
C．5﹣5
D．10﹣10
9、《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?
”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为步，股(长直角边)长为步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（
）
A.步
B．步
C．步
D．步
10、如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）
A．56°
B．62°
C．68°
D．78°
二、填空题
11、如图，点I为△ABC的内心，且∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，则∠BIC＝____.
12、直角三角形的两条直角边长为和，则它的外接圆的半径________，内切圆半径________．
13、如图所示的网格是由边长均为1个单位长度的小正方形组成的,点A,B,C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为　　　　.?
14、如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠BEC
=127°，则∠CBD的度数为_______度．
15、如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.连接BD,BE,CE.若∠CBD=33°,
则∠BEC=　　　　°.?
16、如图，△ABC中，若AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的内切圆半径R=_____．
17、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的内切圆的半径是______（分母不含根号）．
18、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是_____________．
三、解答题
19、如图，在中，，，．
的外接圆半径为______；
用直尺和圆规作出的内切圆保留作图痕迹，不写作法，并求出的内切圆半径．
20、如图，已知，．
（1）在图中，用尺规作出的内切圆的圆心O（保留痕迹，不必写作法；三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆）；
（2）画出与边AB，BC，AC的切点D、E、F，连接EF，DF，求的度数．
21、如图,E是△ABC的内心,线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．
(1)求证:ED=BD;
(2)若∠BAC=90°,△ABC的外接圆☉O的直径是6,求BD的长.
22、如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，
且∠DBE＝∠BAD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：DF＝DG．
2.5.4三角形的内切圆
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（　　）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
【详解】
解：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，
故选：B．
2、如图为4×4的正方形网格，A，B，C，D，O均在格点上，点O是(　　)
A．△ACD的外心
B．△ABC的外心
C．△ACD的内心
D．△ABC的内心
【详解】
试题解析：由图可得：OA=OB=OC=，
所以点O在△ABC的外心上，
故选B.
3、如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（
）
A．EF＞AE+BF
B．EF＜AE+BF
C．EF=AE+BF
D．EF≤AE+BF
【解析】连接OA、OB，
∵O是△ABC的内心，∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，
∴∠EAO＝∠OAB，∠ABO＝∠FBO，
∵EF∥AB，∴∠AOE＝∠OAB，∠BOF＝∠ABO，
∴∠EAO＝∠AOE，∠FBO＝∠BOF，
∴AE＝OE，OF＝BF，∴EF＝AE＋BF，
故选C.
4、如,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE的度数为(　　)
A.70°
B.110°
C.120°
D.130°
【答案】.B　
【解析】
∵∠A=50°,∠C=60°,∴∠B=180°-50°-60°=70°.
∵☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∴∠BDO=∠BEO=90°,
∴∠DOE=180°-∠B=110°.
5、如图，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F，已知∠B=50°，∠C=60°，连结OE，OF，DE，DF，
那么∠EDF等于（
）
A．40°
B．55°
C．65°
D．70°
【答案】B
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=50°，∠C=60°，∴∠A=70°，
∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA=∠OFA=90°，
∴∠EOF=360°-∠A-∠OEA-∠OFA=110°，
∴∠EDF=∠EOF=55°．
故选B．
6、如图,☉O是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是
(　　)
A.65°
B.60°
C.58°
D.50°
【答案】B　
【解析】如图,连接OE,OF.
∵☉O是△ABC的内切圆,E,F是切点,∴OE⊥AB,OF⊥BC,∴∠OEB=∠OFB=90°.
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∴∠EOF=120°,∴∠EPF=∠EOF=60°.
故选B.
7、已知△ABC的周长为14，面积为7，则△ABC的内切圆半径为（
）
A．0.5
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】解：设内切圆的半径是r，
则×14r=7，解得：r=1．
故选：B．
8、已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为（　　）
A．5+5
B．12﹣5
C．5﹣5
D．10﹣10
【解析】
【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．
【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为5，
∴此直角三角形的斜边长为10，两条直角边分别为5，
∴它的内切圆半径为：R=(5+5?10)=5?5；
故选C.
9、《九章算术》中有一题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何?
”其意思是:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为步，股(长直角边)长为步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是（
）
A.步
B．步
C．步
D．步
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径，进而得出直径.
【详解】
根据勾股定理，得
斜边为，
则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径（步），即直径为6步，
故答案为A.
10、如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）
A．56°
B．62°
C．68°
D．78°
【解析】
分析：由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
详解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）=180°﹣2（180°﹣∠AIC）=68°，
又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠B=68°，
故选C．
二、填空题
11、如图，点I为△ABC的内心，且∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，则∠BIC＝____.
【解析】
【分析】根据内心的性质得到IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，则∠IBC=∠ABC=20°，
∠ICB
=∠ACB=35°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠BIC的度数．
【详解】∵点I为△ABC的内心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴∠IBC=∠ABC=×40=20,
∠ICB
=∠ACB
=×70=35，
∴∠BIC
=180?∠IBC
?∠ICB
=125.
故答案为125.
12、直角三角形的两条直角边长为和，则它的外接圆的半径________，内切圆半径________．
【分析】用勾股定理求出斜边.利用直角三角形的斜边是外接圆直径，它的内切圆半径等于两直角边的和与斜边差的一半可得到其外接圆半径和内切圆半径.
【详解】直角三角形的两条直角边长为和，则其斜边为，
所以它的外接圆半径，内切圆半径.
故答案为：（1）；（2）.
13、如图所示的网格是由边长均为1个单位长度的小正方形组成的,点A,B,C在平面直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为　　　　.?
【答案】(2,3)　
【解析】如图,点I即为△ABC的内心.所以△ABC内心的坐标为(2,3).
14、如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD、BE、CE，若∠BEC
=127°，则∠CBD的度数为_______度．
【详解】
分析：根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠ABC+∠ACB=106°,
∠BAC=74°进而求得∠DAC，再由同弧所对的圆周角相等得到∠CBD=∠DAC=37°．
详解：在△BCE中,
∠BEC
=127°，∴∠EBC+∠ECB=180°?127°=53°，
∵点E是△ABC的内心，∠ABC+∠ACB=2(∠EBC+∠ECB)=106°,
∴∠BAC=74°，∴∠DAC=∠BAC
=37°,
∴∠CBD=∠DAC=37°
故答案为37°
15、如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D.连接BD,BE,CE.若∠CBD=33°,
则∠BEC=　　　　°.?
【答案】123　
【解析】在△ABC的外接圆中,∠CBD=∠CAD=33°.
∵点E是△ABC的内心,∴∠BAC=66°.
∴∠EBC+∠ECB=(180°-66°)÷2=57°.
∴∠BEC=180°-57°=123°.
16、如图，△ABC中，若AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的内切圆半径R=_____．
【解析】
【分析】先根据已知条件得出△ABC为直角三角形，再根据三角形的面积公式计算出△ABC的面积，再连接AO,BO,CO，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，设内切圆半径为r，再根据面积公式计算即可得出结论.
【详解】解：∵AB=5，AC=4，BC=3，32+42=52，
∴AB2=AC2+BC2，∴△ABC为直角三角形,
∴S△ABC=×AC×BC=×4×3=6，
设△ABC的内切圆圆心为O，连接AO,BO,CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC，
设内切圆半径为r，则ABr+BCr+ACr=6，
5r+3r+4r=6，
解得r=1.
故答案为1.
17、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的内切圆的半径是______（分母不含根号）．
【分析】首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示AF和BF，而它们的和等于AB，得到关于r的方程，即可求出．
【详解】解：如图，设△ABC的内切圆与各边相切于D，E，F，连接OD，OE，OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，OD⊥AC，
设半径为r，CD=CE=r，
∵∠C=90°，AC=4，BC=2，∴AB=，
∴BE=BF=2-r，AF=AD=4-r，
∴4-r+2-r=，∴r=．
∴△ABC的内切圆的半径为．
故答案为：．
18、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是_____________．
【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r?，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，∴r=2，∴S四边形AEOF=r?=4，
三、解答题
19、如图，在中，，，．
的外接圆半径为______；
用直尺和圆规作出的内切圆保留作图痕迹，不写作法，并求出的内切圆半径．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的外心是斜边的中点，即可求出答案．
（2）作两角的平分线，交点为圆心，以交点到边的距离为半径作出圆即可．根据三角形面积公式求出
内切圆半径即可．
【详解】
解：在中，，，，由勾股定理得：，
即三角形的外接圆的半径长是，
故答案为．
如图所示：即为所求
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
设内切圆的半径长为r，则，
由
得：
解得：，
即该三角形内切圆的半径长是1．
20、如图，已知，．
（1）在图中，用尺规作出的内切圆的圆心O（保留痕迹，不必写作法；三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆）；
（2）画出与边AB，BC，AC的切点D、E、F，连接EF，DF，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°
【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到O即为三角形ABC的三个角平分线的交点；
（2）连接OD，利用内切圆的性质得到∠ODB=∠OEB=90°，从而得到∠DBE+∠DOE=180°，再根据圆周角定理求解即可得到答案.
【详解】解：（1）如图所示，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别于AB，BC交于MN，再分别以M、N为圆心，以大于MN长的一半为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长，BP即为∠ABC的角平分线，同理作出∠ACB的角平分线，与AP延长线交于O，以O为圆心，以OC的长为半径画弧，与BC交于点Q，再分别以Q、C为圆心，以大于QC长的一半为半径画弧，两者交于T，连接OT交BC于E，再以O为圆心，以OE的长为半径画圆，分别于AB，AC交于D、F，即为所求；
（2）如图，连接OD，
∵圆O是三角形ABC的内切圆，且与边AB，BC，AC的切点D、E、F，
∴∠ODB=∠OEB=90°，∴∠DBE+∠DOE=180°，
∵∠DBE=40°，∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=∠DOE=70°
21、如图,E是△ABC的内心,线段AE的延长线交△ABC的外接圆于点D．
(1)求证:ED=BD;
(2)若∠BAC=90°,△ABC的外接圆☉O的直径是6,求BD的长.
试题分析：（1）根据点E是△ABC的内心得出∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，求出∠BED=∠EBD，即可得出答案；
（2）求出BC为△ABC的直径，求出BD=DC，解直角三角形求出即可．
试题解析：（1）∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD，∴∠BED=∠ABE+∠BAD，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD=∠CBD，
∵∠EBD=∠CBE+∠CBD，∴∠BED=∠EBD，∴ED=BD；
（2）连接CD，
∵∠BAC=90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，
∵⊙O的直径=6，∴BC=6，
∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD=DC，
∴BD=DC=BC=3．
22、如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，
且∠DBE＝∠BAD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：DF＝DG．
【解析】证明：（1）∵点D为△BCE的内心，
∴BD平分∠EBC．∴∠EBD＝∠CBD．
又∵∠DBE＝∠BAD，∴∠CBD＝∠BAD．
又∵AB是〇O直径，∴∠BDA＝90°．
在Rt△BAD中，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．
又∵AB为直径，∴BC是〇O的切线；
（2）连接ED，如图，则ED平分∠BEC，∴∠BED＝∠CED．
∵∠EFD为△BFD的外角,
∴∠EFD＝∠ADB+∠EBD＝90°+∠EBD，
又∵四边形ABDG为圆的内接四边形，
∴∠EGD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（90°﹣∠CBD）＝90°+∠CBD，
又∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EFD＝∠EGD
又∵ED＝ED，∴△DFE≌△DGE（AAS
）．∴DF＝DG．