2021-2022学年苏科版九年级数学上册2.5.3直线和圆相切的性质-培优训练（word版、含解析）

2.5.3直线和圆相切的性质
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练
一、选择题
1、如图，是⊙O的切线，切点为，，，则⊙O的半径长为（
）
A．1
B．
C．2
D．3
2、如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，连接AP，交⊙O于C，若∠PBC＝50°，∠ABC＝（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
3、如图，在中，是弦，切于点，交射线于点，若，
则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
4、如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，
则的∠ACB度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
5、如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（
）
A．若，则是⊙O的切线
B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线
D．若是⊙O的切线，则
6、如图，已知是的切线，为切点，与相交于点，B为的中点，为上一点，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
7、如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（
）
A．
B．
C．
D．
8、如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O于点C，∠CAB=27°，则∠B等于（
）.
A．36°
B．54°
C．110°
D．140°
9、如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为2，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．或
二、填空题
10、如图，⊙O的半径为4
cm，BC是直径，若AB＝10
cm，则AC＝_____cm时，AC是⊙O的切线．
11、如图，AB是的弦，AC与相切于点A，连接OA，OB，若，则______．
12、如图，的半径垂直于弦，过点作的切线交的延长线于点，连结，若，则等于__________度.
13、如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，
则的度数是_________．
14、如图，在圆中过作于，连接并延长，交过点的圆的切线于点．若，，，则__________．
15、如图，Rt△ABC中，∠ABC＝Rt∠，点D是BC边上一点，以BD为直径的半圆与边AC相切于点E．若AB＝3，BC＝4，则BD＝_____．
16、如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧上．若∠BAC＝66°，则∠EPF等于___________度．
17、如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的直径为5，CD=4，则弦EF的长为_______．
18、如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D．若的半径为5，点A的坐标是．则点D的坐标是______．
三、解答题
19、如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于E，过点C的切线CF交AB延长线于F，连接CO并延长交AD于G，且CG⊥AD．求证：△CEF≌△DEA．
?
20、如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．
21、如图，为的直径，，交于点C，于D．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的长．
22、如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连结AD．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AC=2，求CD的长．
23、如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，且OD⊥BC，垂足为H，连接DC．
（1）求证：∠BCD＝∠BAC；
（2）延长AB到点E，使EB＝AC，连接DE．若DE与⊙O相切，试判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
24、在中，，点在平分线上，以点为圆心作．
（1）如图，当经过点时，求证：与直线相切；
（2）当同时与直线相切时，求的半径．
2.5.3直线和圆相切的性质
-2021-2022学年苏科版九年级数学上册
培优训练（有答案）
一、选择题
1、如图，是⊙O的切线，切点为，，，则⊙O的半径长为（
）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】C
【分析】连接OA，根据切线的性质得，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出OA即可.
【详解】解：连接OA，如图，
∵是的切线，切点为A，∴，∴，
∵，∴，
即的半径长为2．
故选：C．
2、如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，连接AP，交⊙O于C，若∠PBC＝50°，∠ABC＝（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】B
【解析】解：∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA＝90°，
∵∠PBC＝50°，∴∠ABC＝40°．
故选B．
3、如图，在中，是弦，切于点，交射线于点，若，
则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接CO，根据圆周角定理得到，再根据切线的性质得到，即可求出
的度数．
【详解】连接CO，∵∴
∵切于点，∴
故=
故选B．
4、如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，
则的∠ACB度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【答案】B
【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【详解】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．
故选：B．
5、如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（
）
A．若，则是⊙O的切线
B．若，则是⊙O的切线
C．若，则是⊙O的切线
D．若是⊙O的切线，则
【答案】A
【解析】解：当AB=AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴CD=BD，
∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确；
当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD，
∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD，
∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴CD∥BD，
∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，所以D选项正确；
当CD=BD时，又AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确．
若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误．
故选：A．
6、如图，已知是的切线，为切点，与相交于点，B为的中点，为上一点，，则=（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】连接AB、OA，如图，先利用切线的性质得∠OAP=90°，再根据斜边上的中线等于斜边的一半判
断△OAB为等边三角形，则∠AOP=60°，接着利用平行线的性质得到∠AOP=∠OAC=60°，
则∠AOC=60°，然后计算∠PAC+∠POC．
【详解】解：连接AB、OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，
∵B为OP的中点，∴AB=BP=BO，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOP=60°，
∵AC∥OP，∴∠AOP=∠OAC=60°，∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，∴∠PAC+∠POC=90°+60°+60°+60°=270°．
故选D．
7、如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（
）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
【详解】∵，∴∠APO=70°，
∵，∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC?∠ABO=90°?20°=70°，故答案为：B.
8、如图，⊙O与AB相切于点A，BO与⊙O于点C，∠CAB=27°，则∠B等于（
）.
A．36°
B．54°
C．110°
D．140°
【答案】A
【解析】解：如下图，连接OA，
∵AB为圆O的切线，∴OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，又∠BAC=27°，∴∠OAC=90°-27°=63°
又∵OA=OC，∴△OAC为等腰三角形，
∴∠AOB=180°-63°-63°=54°，则∠B=90°-54°=36°．
故选A．
9、如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为2，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（
）
A．
B．
C．
D．或
【答案】A
【分析】根据切线的性质以及勾股定理，把要求PB的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质解题即可．
【解析】连接AB，AP，
根据切线的性质定理，得，
根据勾股定理得，，要使PB最小，只需AP最小，
由垂线段最短性质，当轴时，即AP最小，此时的点P即为所求作的点，
即，
故选：A．
二、填空题
10、如图，⊙O的半径为4
cm，BC是直径，若AB＝10
cm，则AC＝_____cm时，AC是⊙O的切线．
【答案】6
【解析】∵⊙O的半径为4
cm，∴BC=8cm，
∵BC是直径，∴∠BCA=90°时,AC是⊙O的切线,
∴.
故答案为6.
11、如图，AB是的弦，AC与相切于点A，连接OA，OB，若，则______．
【答案】65°
【分析】由“AC与⊙O相切于点A“得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA．求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
【详解】解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA．
∵∠O=130°，
∴∠OAB=
=25°，
∴∠BAC=∠OAC-∠OAB=90°-25°=65°．
故选B．
12、如图，的半径垂直于弦，过点作的切线交的延长线于点，连结，若，则等于__________度.
【答案】28
【分析】连接
利用切线的性质求解
利用圆周角定理可得答案．
【详解】解：连接
为的切线，
故答案为：
13、如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，
则的度数是_________．
【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数．
【详解】解：∵是的切线，∴∠OAC=90°
∵，∴∠AOD=50°，∴∠B=∠AOD=25°
故答案为：25．
14、如图，在圆中过作于，连接并延长，交过点的圆的切线于点．若，，，则__________．
【答案】18
【分析】连接OB，根据垂径定理及勾股定理求出半径等于5，再根据切线的性质到△BDO为直角三角形，即可求出OD，故可得到AD的长.
【详解】连接OB，∵，
∴BC=AB=4,
∴AO=BO=
∵BD是切线，∴∠DBO=90°，∴△BDO为直角三角形，
∴OD=，
∴AD=AO+DO=5+13=18
故答案为：18.
15、如图，Rt△ABC中，∠ABC＝Rt∠，点D是BC边上一点，以BD为直径的半圆与边AC相切于点E．若AB＝3，BC＝4，则BD＝_____．
【分析】根据勾股定理求得AC＝5，证得AB是切线，根据切线长定理得出AE＝AB＝3，即可求得EC＝2，然后根据切割线定理即可求得CD，进而求得BD．
【详解】∵Rt△ABC中，∠ABC＝Rt∠，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，
∵BD为直径，BD⊥AB，∴AB是圆的切线，∴AE＝AB＝3，∴CE＝2，
∵CE2＝CD?BC，即22＝CD?4，∴CD＝1，∴BD＝3，
故答案为3．
16、如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧上．若∠BAC＝66°，则∠EPF等于___________度．
【分析】连接OE，OF，由切线的性质可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝114°，即可求∠EPF的度数．
【详解】解：连接OE，OF，
∵⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F∴OE⊥AB，OF⊥AC
又∵∠BAC＝66°,∴∠EOF＝114°
∵∠EOF＝2∠EPF∴∠EPF＝57°,
故答案为57.
17、如图，直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，E，F为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF．若⊙O的直径为5，CD=4，则弦EF的长为_______．
【答案】
【解析】首先连接OA，并反向延长交CD于点H，连接OC，由直线AB与⊙O相切于点A，弦CD∥AB，可求得OH的长，然后由勾股定理求得AC=2，又由∠CDE=∠ADF，可证得EF=AC，继而求得EF=AC=2．
18、如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与相交于点D．若的半径为5，点A的坐标是．则点D的坐标是______．
【答案】（9，2）．
【分析】设圆与x轴，y轴的切点分别是E，F，连接EP，并延长，交AC于点N，连接FP，并延长，交BC于点M，连接PC，PD，利用切线的性质，垂径定理，勾股定理计算PM，CM的长即可．
【详解】如图，设圆与x轴，y轴的切点分别是E，F，连接EP，并延长，交AC于点N，连接FP，并延长，交BC于点M，连接PC，PD，
∵与x轴、y轴都相切，∴PE⊥OB，PF⊥OA，
∵FO⊥OE，PE=PF，∴四边形PFOE是正方形，
∵的半径为5，∴PE=PF=PC=PD=5，
∵四边形AOBC是矩形，∴PN⊥AC，PM⊥BC，
∴四边形AOEN，四边形NEBC都是矩形，
∵点A的坐标是，∴OA=EN=8，∴AF=PN=CM=3，
∴NC==4，
∴AC=OB=AN+NC=9，
∵PM⊥BC，∴CM=DM=3，
∴BD=BC-CD=8-6=2，∴点D的坐标为（9，2）．
故答案为：（9，2）．
三、解答题
19、如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于E，过点C的切线CF交AB延长线于F，连接CO并延长交AD于G，且CG⊥AD．求证：△CEF≌△DEA．
?
【答案】见解析
【分析】由CF是⊙O的切线，易得CG⊥CF，证得CF∥AD，得出∠ECF＝∠EDA，∠F＝∠A，根据垂径定理得出CE＝DE，然后根据AAS即可证得△CEF≌△DEA．
【详解】证明：∵CF是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，∴CG⊥CF，
又∵CG⊥AD，∴CF∥AD，∴∠ECF＝∠EDA，∠F＝∠A，
∵直径AB垂直弦CD，∴CE＝DE，
在△CEF和△DEA中，
，
∴△CEF≌△DEA（ASA）．
20、如图，AB是⊙O的直径，点P是弦AC上一动点（不与A，C重合），过点P作PE⊥AB，垂足为E，射线EP交于点F，交过点C的切线于点D．
（1）求证：DC=DP；
（2）若∠CAB=30°，当F是的中点时，判断以A，O，C，F为顶点的四边形是什么特殊四边形？说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）菱形，理由见解析．
【解析】解：（1）连接BC、OC，
∵AB是⊙O的直径，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠OCA=∠OAC，∠B=∠OCB，∴∠OAC+∠B=90°，
∵CD为切线，∴∠OCD=90°，∴∠OCA+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，
∵PE⊥AB，∴∠APE=∠DPC=∠B，
∴∠DPC=∠ACD，∴AP=DC；
（2）以A，O，C，F为顶点的四边形是菱形．理由如下：
∵∠CAB=30°，∴∠B=60°，∴△OBC为等边三角形，∴∠AOC=120°，
连接OF，AF，
∵F是的中点，∴∠AOF=∠COF=60°，∴△AOF与△COF均为等边三角形，
∴AF=AO=OC=CF，
∴四边形OACF为菱形．
21、如图，为的直径，，交于点C，于D．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：（1）证明：连接，如图，
∵，∴，
∵，∴，∴；
∵，∴，
∴，∴，∴，
又∴是的半径，∴直线是的切线．
（2）解：连接，
∵为直径，∴，∴，
∵，∴，
∵，
∴．
22、如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连结AD．
（1）求证：ED是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AC=2，求CD的长．
【答案】（1）
见解析；（2）CD=
【解析】（1）证明：如图，连结OD，如图所示：
∵，∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，∴AE∥OD，
∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，
∵OD为⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，交OD于点F，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵⊙O的半径为3，∴AB=6，
∵AC=2，∴BC=，
∵AE∥OD，OA=OB，∴BF=CF
=，OF=AC=1，∠BFO=∠ACB=90°，
∴FD=OD-OF=3-1=2，
在Rt△CFD中，CD=．
23、如图，△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，且OD⊥BC，垂足为H，连接DC．
（1）求证：∠BCD＝∠BAC；
（2）延长AB到点E，使EB＝AC，连接DE．若DE与⊙O相切，试判断四边形BCDE的形状，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）平行四边形．
【分析】（1）连接AD，BD，根据等弧所对的圆周角相等得出∠BAD=∠CAD=∠BAC，再根据∠BCD=∠BAD得出结论；
（2）先证明△BED≌△CAD，得出∠BDE=∠ADC，再根据∠BDE=∠BAD，得出BE∥CD，
最后利用平行四边形的判定得出结论．
【解析】（1）证明：连接AD，BD，
∵OD⊥BC，∴，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，
∵∠BCD=∠BAD，∴∠BCD=∠BAC．
（2）四边形BCDE为平行四边形．
理由：∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，
又∵OD⊥BC，∴DE∥BC，
∵，∴BD=CD，
∵∠EBD=∠ACD，BE=AC，∴△BED≌△CAD，∴∠BDE=∠ADC，
∵DE为⊙O的切线，∴∠BDE=∠BAD，∴BE∥CD，
又∵DE∥DC，∴四边形BCDE为平行四边形．
24、在中，，点在平分线上，以点为圆心作．
（1）如图，当经过点时，求证：与直线相切；
（2）当同时与直线相切时，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）1或3
【分析】如图，过点作⊥，交于点，由，可证由平分，可得；
当同时与直线相切时，点在或的角平分线上，存在如图所示两种情况①当在△ABC内部分别与直线相切时，可证P1E=P1G，可得可得，②当在△ABC外部，分别与直线相切时，可证P2Q=P2M，可得，可得即可．
【详解】证明：如图，过点作⊥，交于点，
，，，
平分，
，
与直线相切；
当同时与直线相切时，点在或的角平分线上，
存在如图所示两种情况：
①当在△ABC内部分别与直线相切时，
过P1作P1E⊥AB于E，P1G⊥BC于G，P1F⊥AC于F，
∵点P1在∠ABC的平分线上，P1E⊥AB，P1G⊥BC，
∴P1E=P1G，，
，
；
②当在△ABC外部，分别与直线相切时，
过P2作P2Q⊥AB于Q，P2M⊥BC于M，P2N⊥AC于N，
∵点P2在∠ABC的平分线上，P2Q⊥AB，P2M⊥BC，
∴P2Q=P2M，，
，
．
综上，的半径为或．