2020-2021学年黑龙江省大庆市龙凤区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2020-2021学年黑龙江省大庆市龙凤区九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，1）
B．（﹣2，﹣1）
C．（﹣2，1）
D．（2，﹣1）
2．抛物线y＝2x2﹣1的图象经过点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y1＜y3
D．y3＜y2＜y1
3．下列说法正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．等弧所对的弦相等
4．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．在同一平面直角坐标中，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．在△ABC中，A，B为锐角，且有sinA＝cosB，则这个三角形是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形
7．已知关于x的二次函数y＝2x2+（m+2）x+m的图象与x轴交于A，B两点，且满足AB＝4，m的值（　　）
A．﹣3或6
B．10或﹣6
C．﹣6或6
D．﹣6
8．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，＝＝，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是（　　）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
9．如图，已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（　　）
A．120°
B．150°
C．180°
D．210°
10．如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，弦BC∥AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝　
　．
12．把抛物线y＝﹣x2+1向左平移3个单位，然后向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为　
　．
13．若二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　
　．
14．已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是　
　．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　
　．
16．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是
　
　．
17．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为　
　．
18．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是　
　．
19．△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝　
　度．
20．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是　
　．
三、解答题（共有8题．共60分）
21．计算：2sin30°﹣3tan45°?sin45°+4cos60°．
22．如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上．
（1）圆心P的坐标是（
　
　），cos∠CAP＝　
　．
（2）求的长度．
23．如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35米的速度沿着与水平方向成75度角的方向飞行，40分钟时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30度，又在A庄测得山顶P的仰角为45度，求A庄与B庄的距离及山高．
24．已知二次函数y1＝x2+bx﹣3的图象与直线y2＝x+1交于点A（﹣1，0）、点C（4，m）．
（1）求y1的表达式和m的值；
（2）当y1＞y2时，求自变量x的取值范围；
（3）将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式．
25．新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如表：
售价x（元/件）
150
160
170
180
日销量y（件）
200
180
160
140
日销售纯利润W（元）
8000
8800
9200
9200
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本．
（1）该商品进价是
　
　元/件；
（2）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）当售价x（元/件）定为多少时，日销售纯利润W（元）最大，求出最大纯利润．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长恰好为方程x2﹣14x+a＝0的两根，且AC﹣BC＝2．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，沿A→B的路线向点B运动（不包括端点）；点Q从点B出发，沿B→C的路线向点C运动（不包括端点）．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒，在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围和S的范围．
27．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．
（1）求证：BD平分∠PBC；
（2）若⊙O的半径为1，PD＝3DE，求OE及AB的长．
28．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C；直线y＝x﹣3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点B，与y轴交于点D，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的﹣个动点．
（1）b＝　
　，c＝　
　；
（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，1）
B．（﹣2，﹣1）
C．（﹣2，1）
D．（2，﹣1）
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），
故选：D．
2．抛物线y＝2x2﹣1的图象经过点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y1＜y3
D．y3＜y2＜y1
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到y1、y2、y3的大小关系．
解：∵二次函数的解析式为y＝2x2﹣1，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵A（﹣3，y1），B（1，y2），C（4，y3），
∴点C离y轴最远，点B离y轴最近，
∵抛物线开口向上，
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
3．下列说法正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直弦并平分弦所对的弧
C．相等的弦所对的圆心角相等
D．等弧所对的弦相等
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对A、C、D进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断．
解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以A选项的说法错误；
B、平分弦（非直径）的直径垂直弦并平分弦所对的弧，所以B选项的说法错误；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角对应相等，所以C选项的说法错误；
D、等弧所对的弦相等，所以D选项的说法正确．
故选：D．
4．如图，⊙O中，OD⊥AB于点C，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】先利用垂径定理得到AC＝BC＝12，然后利用勾股定理计算OC的长．
解：∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×24＝12，
在Rt△OBC中，OC＝＝5．
故选：C．
5．在同一平面直角坐标中，直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据各选项中直线经过的象限可得出a、b的符号，再依此找出二次函数图象的开口、对称轴以及顶点坐标，对照图象即可得出结论．
解：A、∵直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+b开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，b），
∴该选项图象符合题意；
B、∵直线y＝ax+b经过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+b开口向下，对称轴为y轴，顶点为（0，b），
∴该选项图象不符合题意；
C、∵直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+b的交点坐标为（0，b），
∴该选项图象不符合题意；
D、∵直线y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+b开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，b），
∴该选项图象不符合题意．
故选：A．
6．在△ABC中，A，B为锐角，且有sinA＝cosB，则这个三角形是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形
【分析】利用互余两角的三角函数关系sinA＝cos（90°﹣A），来得出∠A＝90°﹣∠B．从而得出此三角形是直角三角形．
解：∵sinA＝cos（90°﹣A），sinA＝cosB，∴∠A＝90°﹣∠B，∴∠A+∠B＝90°，故选：B．
7．已知关于x的二次函数y＝2x2+（m+2）x+m的图象与x轴交于A，B两点，且满足AB＝4，m的值（　　）
A．﹣3或6
B．10或﹣6
C．﹣6或6
D．﹣6
【分析】2x2+（m+2）x+m可分解为（x+1）（2x+m），从而可确定出方程的一个解为x＝﹣1，由AB＝4，可求得m的值，从而可确定出方程的另一个根为x＝3或x＝﹣5，即可求解．
解：令y＝0得：2x2+（m+2）x+m＝0．
∴（x+1）（2x+m）＝0．
∴x1＝﹣1，x2＝﹣m．
∵AB＝4．
∴﹣m+1＝±4．
解得：m＝10或m＝﹣6．
故选：B．
8．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8cm，＝＝，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是（　　）
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得＝，然后求出C′D为直径，从而得解．
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理，＝，
∴＝，
∵＝＝，AB为直径，
∴C′D为直径，
∴CM+DM的最小值是8cm．
故选：B．
9．如图，已知圆锥的母线长为6cm，底面半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（　　）
A．120°
B．150°
C．180°
D．210°
【分析】设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π?3＝，然后解方程即可．
解：设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，
根据题意得2π?3＝，
解得n＝180，
即圆锥侧面展开图的圆心角的度数为180°．
故选：C．
10．如图，有一圆形纸片圆心为O，直径AB的长为2，弦BC∥AD，将纸片沿BC、AD折叠，交于点O，那么阴影部分面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】作OM⊥BC于点M，连接CO，求出∠OCM＝30°，CM＝＝，得到∠COB＝2∠COM＝120°，BC＝，再利用阴影部分的面积＝2（S扇形BOC﹣S△BOC），即可得出答案．
解：作OM⊥BC于点M，连接CO，如图所示：
∵OM＝CO＝
∴∠OCM＝30°，CM＝＝，
∴∠COM＝60°，BC＝，
∴∠COB＝2∠COM＝120°，
∴阴影部分的面积＝2（S扇形BOC﹣S△BOC）＝2（﹣××）＝π﹣，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．若y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，则m＝　﹣1　．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
解：由y＝（m﹣1）x|m|+1﹣2x是二次函数，得
，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．把抛物线y＝﹣x2+1向左平移3个单位，然后向上平移2个单位，平移后抛物线的顶点坐标为　（﹣3，3）　．
【分析】直接利用二次函数的平移规律得到平移后抛物线解析式，根据解析式写出顶点坐标．
解：将二次函数y＝﹣x2+1向左平移3个单位，然后向上平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式为：y＝﹣（x+3）2+1+2，即y＝﹣（x+3）2+3．
所以其顶点坐标是（﹣3，3）．
故答案为：（﹣3，3）．
13．若二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是　k≤3，且k≠0　．
【分析】根据二次函数与x轴有交点则b2﹣4ac≥0，进而求出k得取值范围即可．
解：∵二次函数y＝kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴b2﹣4ac＝36﹣4×k×3＝36﹣12k≥0，且k≠0，
解得：k≤3，且k≠0，
则k的取值范围是k≤3，且k≠0，
故答案为：k≤3，且k≠0．
14．已知⊙O的半径为5，直线AB与⊙O相交，则圆心O到直线AB距离d的取值范围是　0≤d＜5　．
【分析】根据直线AB和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径即可得问题答案．
解：∵⊙O的半径为5，直线L与⊙O相交，
∴圆心到直线AB的距离小于圆的半径，
即0≤d＜5；
故答案为：0≤d＜5．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝9，CD＝15，则四边形ABCD的周长为　48　．
【分析】根据切线长定理得到AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，得到AD+BC＝AB+CD＝24，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，
∴AD+BC＝AB+CD＝24，
∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝24+24＝48，
故答案为：48．
16．如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集是
　﹣1＜x＜3　．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c＜n的解集，本题得以解决．
解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴ax2+c＜mx+n的解集是﹣1＜x＜3，
∴ax2﹣mx+c＜n的解集是﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
17．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为　　．
【分析】连接CD，易得CD是直径，在直角△OCD中运用勾股定理求出OD的长，得出cos∠ODC的值，又由圆周角定理，即可求得cos∠OBC的值．
解：连接CD，
∵∠COD＝90°，
∴CD是直径，
即CD＝10，
∵点C（0，6），
∴OC＝6，
∴OD＝＝8，
∴cos∠ODC＝＝＝，
∵∠OBC＝∠ODC，
∴cos∠OBC＝．
故答案为：．
18．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EFA的度数是　66°　．
【分析】根据正五边形和等边三角形的性质得到∠EAF＝108°﹣60°＝48°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：∵正五边形ABCDE，
∴∠EAB＝＝108°，
∵△ABF是等边三角形，
∴∠FAB＝60°，
∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝（180°﹣48°）＝66°，
故答案为：66°．
19．△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝　120　度．
【分析】首先根据∠A＝75°，∠B＝45°，求出∠C＝60°；然后根据△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，可得∠OEC＝∠OFC＝90°，再根据四边形OEFC的内角和等于360°，求出圆心角∠EOF的度数是多少即可．
解：∵∠A＝75°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣75°﹣45°
＝105°﹣45°
＝60°
∵△ABC的内切圆的三个切点分别为D、E、F，
∴∠OEC＝∠OFC＝90°，
∵四边形OECF的内角和等于360°，
∴∠EOF＝360°﹣（90°+90°+60°）
＝360°﹣240°
＝120°
故答案为：120．
20．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是　＜AP＜或AP＝　．
【分析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断；
解：如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，
设AP＝x，则BP＝5﹣x，PE＝x，
∵⊙P与边BC相切于点E，
∴PE⊥BC，∵AB⊥AC，
∴AC⊥PE，
∴AC∥PF，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，AP＝；
①如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．．
S平行四边形ABCD＝2××3×4＝5PE，
PE＝，
观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、B、C三点．，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP＝，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝．
故答案为：＜AP＜或AP＝．
三、解答题（共有8题．共60分）
21．计算：2sin30°﹣3tan45°?sin45°+4cos60°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
解：原式＝2×﹣3×1×+4×
＝1﹣+2
＝．
22．如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上．
（1）圆心P的坐标是（
　﹣2，1　），cos∠CAP＝　　．
（2）求的长度．
【分析】（1）直接利用圆的性质得出圆心位置进而利用勾股定理以及勾股定理逆定理得出答案；
（2）直接利用弧长公式计算得出答案．
解：（1）如图所示：圆心P的坐标为：（﹣2，1），
∵AP＝PC＝，AC＝2，
∴AP2+PC2＝AC2，
∴△APC是等腰直角三角形，
∴∠CAP＝45°，
∴cos∠CAP＝，
故答案为：﹣2，1，；
（2）的长度为：．
23．如图，在小山的东侧A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35米的速度沿着与水平方向成75度角的方向飞行，40分钟时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30度，又在A庄测得山顶P的仰角为45度，求A庄与B庄的距离及山高．
【分析】此题要先作AD⊥BC于D，PE⊥AB于E，则先求得AC的长，再求得AD的长、AB的长，然后在△PBA中，利用∠B和∠PAB的值求得PE的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，
AC＝35×40＝1400（米），
∴AD＝AC?sin45°＝700（米）．
在Rt△ABD中，∠B＝30°，
AB＝2AD＝1400（米）．
又过点P作PE⊥AB，垂足为E，
则AE＝PE?tan45°＝PE，
BE＝PE?tan60°＝PE，
∴PE＝1400，
∴PE＝700（）（米）．
答：A庄与B庄的距离是1400米，山高是700（）米．
24．已知二次函数y1＝x2+bx﹣3的图象与直线y2＝x+1交于点A（﹣1，0）、点C（4，m）．
（1）求y1的表达式和m的值；
（2）当y1＞y2时，求自变量x的取值范围；
（3）将直线AC沿y轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式．
【分析】（1）把点A、C两点代入两个函数表达式中即可求解；
（2）根据图象即可得到当y1＞y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AC平移后的表达式为y＝x+k，使y＝y1，根据判别式求出k从值即可．
解：（1）把A（﹣1，0）代入y1得b＝﹣2，
把C（4，m）代入y2得，m＝5．
所以y1＝x2﹣2x﹣3．
答：y1的表达式为y1＝x2﹣2x﹣3和m的值为5．
（2）如图：
根据图象可知：当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．
答：自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞4．
（3）设直线AC平移后的表达式为y＝x+k，
得：x2﹣2x﹣3＝x+k，
令Δ＝0，解得k＝﹣．
答：平移后的直线表达式为y＝x﹣．
25．新冠疫情期间，某网店销售的消毒用紫外线灯很畅销，该网店店主结合店铺数据发现日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如表：
售价x（元/件）
150
160
170
180
日销量y（件）
200
180
160
140
日销售纯利润W（元）
8000
8800
9200
9200
另外，该网店每日的固定成本折算下来为2000元．
注：日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本．
（1）该商品进价是
　100　元/件；
（2）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）当售价x（元/件）定为多少时，日销售纯利润W（元）最大，求出最大纯利润．
【分析】（1）①用待定系数法即可求解；
②根据日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，求出进价；由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000，利用函数的性质，求出函数的最大值；
解：（1）设进价是a元，
∵日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本，
∴8000＝200×（150﹣a）﹣2000，
解得：a＝100，
故答案为：100；
（2）设一次函数的表达式为y＝kx+b，
将点（150，200）、（160，180）代入上式得
，
解得
k＝﹣2，b＝500，
故y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+500；
（3）由题意得：W＝y（x﹣100）﹣2000＝（﹣2x+500）（x﹣100）﹣2000＝﹣2x2+700x﹣52000，
∵﹣2＜0，故W有最大值，
当x＝﹣＝175（元/件）时，W的最大值为9250（元）．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长恰好为方程x2﹣14x+a＝0的两根，且AC﹣BC＝2．
（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，沿A→B的路线向点B运动（不包括端点）；点Q从点B出发，沿B→C的路线向点C运动（不包括端点）．若点P、Q同时出发，速度都为每秒2个单位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒，在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围和S的范围．
【分析】（1）由根与系数关系，得AC+BC＝14，结合已知AC﹣BC＝2，可求AC、BC的值，由AC?BC＝a求a的值；
（2）由勾股定理得AB＝10，则PB＝10﹣2t，CQ＝6﹣2t，通过数据线系数求得PH＝（10﹣2t），即可根据数据线面积公式求得S与t之间的函数关系式，根据线段BC求得t的取值，根据t的取值求得S的取值．
解：（1）∵AC、BC的长为方程x2﹣14x+a＝0的两根，
∴AC+BC＝14，
又∵AC﹣BC＝2，
∴AC＝8，BC＝6，
∴a＝8×6＝48；
（2）作PH⊥BC，垂足为H，
∵∠ACB＝90°，
∴．
∵PH∥AC，
∴△BHP∽△BCA，
∴，即，
解得，
∴＝1.6t2﹣12.8t+24，
当0＜t＜3时，0＜S＜24．
27．如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，PB是⊙O的切线，B为切点，OP⊥BC，垂足为E，交⊙O于D，连接BD．
（1）求证：BD平分∠PBC；
（2）若⊙O的半径为1，PD＝3DE，求OE及AB的长．
【分析】（1）由∠PBD+∠OBD＝90°，∠DBE+∠BDO＝90°利用等角的余角相等即可解决问题．
（2）利用面积法首先证明＝＝，再证明△BEO∽△PEB，得＝，即＝＝，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：连接OB．
∵PB是⊙O切线，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PBD+∠OBD＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵OP⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴∠DBE+∠BDE＝90°，
∴∠PBD＝∠EBD，
∴BD平分∠PBC．
（2）解：作DK⊥PB于K，
∵＝＝，
∵BD平分∠PBE，DE⊥BE，DK⊥PB，
∴DK＝DE，
∴＝＝（也可以利用sinP＝＝＝，推出＝），
∵∠OBE+∠PBE＝90°，∠PBE+∠P＝90°，
∴∠OBE＝∠P，∵∠OEB＝∠BEP＝90°，
∴△BEO∽△PEB，
∴＝，
∴＝＝，
∵BO＝1，
∴OE＝，
∵OE⊥BC，
∴BE＝EC，∵AO＝OC，
∴AB＝2OE＝．
28．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C；直线y＝x﹣3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点B，与y轴交于点D，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的﹣个动点．
（1）b＝　2　，c＝　3　；
（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，x＝3求出点B和点D坐标，再根据点D和点C关于原点对称，从而求出C（0，3），再把C，D坐标代入y＝﹣x2+bx+c，从而求出b、c的值；
（2）由四边形BOCP面积＝S△OBC+S△PHC+S△PHB＝×OB?OC+×PH×OB＝×3×3+×3×（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x+，即可求解；
（3）分∠PBD为直角、∠PDB为直角两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
解：（1）∵直线y＝x﹣3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点B，与y轴交于点D，
∴令x＝0，则y＝﹣3，令y＝0，则x＝3，
∴点B坐标为（3，0），D点坐标（0，﹣3），
又∵点D与点C关于x轴对称，
C点坐标为（0，3），
∴c＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+bx+3，
把（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3得，
﹣9+3b+3＝0，
解得：b＝2，
故答案为：2，3；
（2）由（1）知抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
∵点B（3，0）、点C（0，3），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，
解得，，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则四边形BOCP面积＝S△OBC+S△PHC+S△PHB＝＝＝＝﹣（x2﹣3x）+＝﹣+，
∵，
故四边形BOCP面积存在最大值，当时，四边形BOCP面积最大值为，
此时﹣x2+2x+3＝﹣+2×+3＝，
∴点；
（3）存在，理由：
由点B，点C，点D坐标知：OB＝OC＝OD＝3，
∴∠ODB＝∠OBD＝∠OCB＝45°，
①当∠PBD为直角时，此时点P与点C重合，点P的坐标为（0，3）；
②当∠PDB为直角时，
∵∠ODB＝45°，
∴∠PDO＝45°，
则直线PD与x轴负半轴交于点E，∠OED＝45°，
∴OE＝3，即点E（﹣3，0）
∴直线PD的表达式为y＝﹣x﹣3，
联立直线PD和抛物线解析式得，
，
解得：或，
故点P的坐标为或，
综上，点P的坐标为（0，3）或或．