2020-2021学年上海市黄浦区格致高二（上）期中数学试卷（Word版，含解析）

2020-2021学年上海市黄浦区格致高二（上）期中数学试卷
一、填空题（共11题，本题4分，满分44分）
1．已知平面上两点A（0，﹣1），B（1，﹣4），则＝　
　．
2．＝　
　．
3．已知向量，满足|，，且λ，则|λ|＝　
　．
4．若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为　
　．
5．若全集U＝R，且不等式≥1的解集为A，则?UA＝　
　．
6．数列1，（1+2），（1+2+22），（1+2+22+23），（1+2+22+23+24），…的前n项之和Sn＝　
　．
7．已知向量，，且，则满足条件的一个＝　
　．
8．过点（3，1）的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则△AOB（O为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为
　
　．
9．已知两点M（﹣1，0），N（1，0），若直线3x﹣4y+m＝0上存在点P满足，则实数m的取值范围是　
　．
10．已知数列{an}满足：a1＝1，，记数列{an}的前n项和为Sn，若对所有满足条件的{an}，S10的最大值为M＝　
　．
11．已知直线PA，PB分别与半径为1的圆O相切于点A，B，|PO|＝2，若点M在圆O的内部（不含边界），且，则实数λ的取值范围是
　
　．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
12．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（　　）
A．系数行列式D≠0
B．直线a1x+b1y＝c1与直线a2x+b2y＝c2不平行
C．
D．＝（a1，a2）与＝（b1，b2）不平行
13．若点P（1，1）到直线x?cosθ+y?sinθ＝2的距离为d，则d的最大值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
14．用数学归纳法证明：f（n）＝1+（n∈N
）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（　　）
A．1项
B．2k﹣1项
C．2k+1项
D．2k项
15．设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，给出下
列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019是数列{Tn}中的最大项；④使Tn＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（　　）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④
三.解答题（本大题共4小题，满分40分）
16．已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量，，且，求∠A的大小．
17．已知△ABC的顶点A（5，1），∠B的平分线所在直线方程为x﹣y＝0，∠C的平分线所在直线方程为x﹣2＝0，
（1）求BC边所在的直线方程；
（2）求∠B．
18．已知向量，（n为正整数），函数f（x）＝，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意正整数n，都有bn?（4an2﹣5）＝1成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，求．
19．数列{an}与{bn}满足a1＝a，bn＝an+1﹣an，Sn是数列{an}的前n项和（n∈N
）．
（1）设数列{bn}是首项和公比都为﹣的等比数列，且数列{an}也是等比数列，求a的值；
（2）设bn+1﹣bn＝2n﹣1，若a＝3且an≥a4对n∈N
恒成立，求a2的取值范围；
（3）设a＝4，bn＝2．?n＝（n∈N
，λ≥﹣2），若存在整数k，1，且k＞l＞1，使得?k＝?l成立，求λ的所有可能值．
参考答案
一、填空题（本题共11题，本题4分，满分44分）
1．已知平面上两点A（0，﹣1），B（1，﹣4），则＝　（1，﹣3）　．
解：因为A（0，﹣1），B（1，﹣4），
所以＝（1，﹣4）﹣（0，﹣1）＝（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
2．＝　　．
解：＝＝＝．
故答案为：．
3．已知向量，满足|，，且λ，则|λ|＝　　．
解：向量，满足|，，且λ，
可得λ＝﹣，则|λ|＝||＝＝，
所以|λ|＝．
故答案为：．
4．若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为　（0，3）∪（3，6）　．
解：设等比数列的公比为q，
依题意知|q|＜1且q≠0，
∴Sn＝，
∴Sn＝＝3，
可得q＝1﹣∈（﹣1，1），
即﹣1＜﹣1＜1且﹣1≠0，
解得0＜a1＜3或3＜a1＜6．
故答案为：（0，3）∪（3，6）．
5．若全集U＝R，且不等式≥1的解集为A，则?UA＝　（﹣1，0）　．
解：＝≥1，
化简得，解之得x≥0，或x≤﹣1，
则?UA＝（﹣1，0），
故填：（﹣1，0）．
6．数列1，（1+2），（1+2+22），（1+2+22+23），（1+2+22+23+24），…的前n项之和Sn＝　2n+1﹣n﹣2　．
解：由题意，
∴．
故答案为：2n+1﹣n﹣2．
7．已知向量，，且，则满足条件的一个＝　（1，1）　．
解：∵向量，，设＝（a，a），a＞0，显然满足＝0，
∵＝＝a，∴a＝1，则满足条件的一个＝（1，1），
故答案为：（1，1）．
8．过点（3，1）的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则△AOB（O为坐标原点）面积取得最小值时直线方程为
　　．
解：设直线的方程为y﹣1＝k（x﹣3）（k＜0），整理得y＝kx+1﹣3k，
令y＝0，解得x＝，令x＝0，解得y＝1﹣3k；
故＝＝6，
当且仅当﹣9k＝﹣，即k＝﹣时，等号成立；
故直线的方程为．
故答案为：．
9．已知两点M（﹣1，0），N（1，0），若直线3x﹣4y+m＝0上存在点P满足，则实数m的取值范围是　[﹣5，5]　．
解：∵两点M（﹣1，0），N（1，0）若直线3x﹣4y+m＝0上存在点P满足，
∴此题转化为直线3x﹣4y+m＝0与圆x2+y2＝1相交时m的范围，
即原点（0，0）到直线3x﹣4y+m＝0的距离小于等于半径，
即≤1，
解得﹣5≤m≤5，
∴实数m的取值范围是[﹣5，5]．
10．已知数列{an}满足：a1＝1，，记数列{an}的前n项和为Sn，若对所有满足条件的{an}，S10的最大值为M＝　1023　．
解：数列{an}满足：a1＝1，，
所以：a2﹣a1∈{a1}，即a2﹣a1＝a1，解得：a2＝2；
当a3﹣a2∈{a1，a2}，即a3﹣a2＝1或a3﹣a2＝2，解得a3＝3或4，
当a3﹣a2∈{a1，a2，a3}，即a4﹣a3＝1或2或3或4，
所以a4的最小值为4，最大值为8；
所以：数列S10的最大值为M时，是首项为1，公比为2的等比数列的前10项的和，
所以M＝．
故答案为：1023．
11．已知直线PA，PB分别与半径为1的圆O相切于点A，B，|PO|＝2，若点M在圆O的内部（不含边界），且，则实数λ的取值范围是
　（0，）　．
解：在PA的延长线上取一点Q，使得|PA|＝|AQ|，连接OQ，交圆O于C点，
∵|OB|＝|OA|＝1，|PO|＝2，
∴∠BOP＝∠AOP＝∠AOQ＝60°，|PB|＝|PA|＝，
∴B，O，Q三点共线，且|BQ|＝，即|CQ|＝1，
∵，
∴＝λ，即，
又∵点M在圆O的内部，
∴0＜．
故答案为：（0，）．
二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）
12．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（　　）
A．系数行列式D≠0
B．直线a1x+b1y＝c1与直线a2x+b2y＝c2不平行
C．
D．＝（a1，a2）与＝（b1，b2）不平行
解：当两直线共面时，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组在唯一解
当两直线异面，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组无解，
故直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．
故选：B．
13．若点P（1，1）到直线x?cosθ+y?sinθ＝2的距离为d，则d的最大值是（　　）
A．
B．2
C．
D．
解：点P（1，1）到直线x?cosθ+y?sinθ＝2的距离为d＝＝，
当（k∈Z），故．
故选：A．
14．用数学归纳法证明：f（n）＝1+（n∈N
）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（　　）
A．1项
B．2k﹣1项
C．2k+1项
D．2k项
解：∵f（n）＝1+（n∈N
），
∴f（k）＝1+共2k项，
f（k+1）＝1+共2k+1项，
∴f（k+1）比f（k）共增加了2k+1﹣2k＝2k项，
故选：D．
15．设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，给出下
列结论：①0＜q＜1；②a2019a2021﹣1＞0；③T2019是数列{Tn}中的最大项；④使Tn＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（　　）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②③④
解：∵a1＞1，a2019a2020＞1，＜0，
∴a2019＞1，a2020＜1．
∴0＜q＜1，故①正确；
a2019a2021＝＜1，∴a2019a2021﹣1＜0，故②不正确；
∵a2020＜1，∴T2019是数列{Tn}中的最大项，故③正确；
T4039＝a1a2?…?a4038?a4039＝＜1，
T4038＝a1a2?…?a4037?a4038＝＞1，
∴使Tn＞1成立的最大自然数等于4038，故④不正确．
∴正确结论的序号是①③．
故选：B．
三.解答题（本大题共4小题，满分40分）
16．已知A，B，C为△ABC的三个内角，向量，，且，求∠A的大小．
解：∵△ABC中，向量，，且，
∴（﹣2）?＝﹣2＝1﹣2（cosBcosC﹣sinBsinC）＝1﹣2cos（B+C）＝1+2cosA＝0，
∴cosA＝﹣，∴∠A＝120°．
17．已知△ABC的顶点A（5，1），∠B的平分线所在直线方程为x﹣y＝0，∠C的平分线所在直线方程为x﹣2＝0，
（1）求BC边所在的直线方程；
（2）求∠B．
解：（1）作点A（5，1）关于∠B的平分线y＝x的对称点A1（1，5），
作点A（5，1）关于∠C的平分线的对称点A2（﹣1，1），
由题意可得B、A1、A2、C四点共线，
根据两点式可得BC的直线方程为
，即y＝2x+3；
（2）由，可得B（﹣3，﹣3），
由，可得C（2，7），
由两点间的距离公式可得AB＝，，，
由余弦定理得，
所以．
18．已知向量，（n为正整数），函数f（x）＝，设f（x）在（0，+∞）上取最小值时的自变量x取值为an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意正整数n，都有bn?（4an2﹣5）＝1成立，设Sn为数列{bn}的前n项和，求．
解：（1）向量，（n为正整数），
函数f（x）＝＝（x2+1）?2x，
函数y＝f（x）的图象是一条抛物线，抛物线的顶点横坐标为x＝＞0，
开口向上，在（0，+∞）
上，当x＝时函数取得最小值，
所以an＝；
（2）将（1）中{an}的表达式代入bn?（4an2﹣5）＝1，
得bn＝＝＝[]．
∴Sn＝＝，
所以所求的极限为：＝＝．
19．数列{an}与{bn}满足a1＝a，bn＝an+1﹣an，Sn是数列{an}的前n项和（n∈N
）．
（1）设数列{bn}是首项和公比都为﹣的等比数列，且数列{an}也是等比数列，求a的值；
（2）设bn+1﹣bn＝2n﹣1，若a＝3且an≥a4对n∈N
恒成立，求a2的取值范围；
（3）设a＝4，bn＝2．?n＝（n∈N
，λ≥﹣2），若存在整数k，1，且k＞l＞1，使得?k＝?l成立，求λ的所有可能值．
解：（1）数列{bn}是首项和公比都为﹣的等比数列，所以．
数列{an}与{bn}满足a1＝a，bn＝an+1﹣an，所以．
所以，，
由于数列{an}也是等比数列，所以，整理得，解得a＝．
（2）由bn+1﹣bn＝2n﹣1，所以＝．
由于b1＝a2﹣3，
所以．
再利用累加法，
得到：，
依题意：an≥a4对n∈N
恒成立，
所以，
令n＝1，2，3，4，5，得到a2∈[﹣8，﹣1]．
（3）由于a＝4，bn＝2．所以an+1﹣an＝2，整理得an＝2n+2．
故．
所以?n＝＝，假设存在整数k，1，且k＞l＞1，使得?k＝?l成立，
故＝，
当或时，满足条件．