2020-2021学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷（Word解析版）

2020-2021学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．已知向量，且，则m＝　
　．
2．关于x、y的方程组有无穷多组解，实数m＝　
　．
3．已知三角形的三个顶点是A（6，7），B（4，0），C（0，3），则AB边上的高所在的直线方程为
　
　．
4．已知非零向量、满足，若，则、夹角的大小为
　
　．
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角A的大小为
　
　．
6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6＝0的上方，则t的取值范围是　
　．
7．若b，c，a成等差数列，则直线ax+by+c＝0通过点
　
　．
8．方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，且，则|+|＝　
　．
9．设直线l的方程是ax+3y﹣2＝0，其倾斜角为α，若，则a的取值范围为
　
　．
10．已知等腰直角三角形△ABC中，AB＝AC＝9，Mi（i＝1，2，3，…，8）顺次为线段BC的九等分点，则的最大值为
　
　．
11．在等差数列{an}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，a1+a2≤60，a2+a3≤100，则4a1+2a3的最大值为
　
　．
12．已知平面单位向量，满足，设，，向量与的夹角为θ，则sin2θ的最大值为　
　．
二、选择题
13．行列式中，x的代数余子式的值是（　　）
A．0
B．
C．
D．1
14．若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
15．数列{an}中a1＝1，＝（n，an），＝（an+1，n+1），且⊥，则a100＝（　　）
A．
B．﹣
C．100
D．﹣100
16．已知动直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），且Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（　　）
A．
B．
C．3
D．9
三、解答题
17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝+k（k∈R）．
（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；
（2）若向量＝（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．
18．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）若直线l：ax+y+b+1＝0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．
19．已知首项大于0的等差数列{an}的公差d＝1，且．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：，其中n≥2；
①已知，求证：当n≥2时，数列{cn}为等差数列；
②是否存在实数λ，使得数列{bn}为等比数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
20．已知向量＝（1，3），＝（2，1），||＝||（n∈N+）．
（1）判断△AB0B1的形状，并说明理由；
（2）求数列{||}（n∈N+）的通项公式；
（3）若△ABn﹣1Bn的面积为＝an（n∈N+），求（a1+a2+…+an）．
21．在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．
（1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程；
（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程；
（3）当|PA|?|PB|取最小值时，求直线AB的方程．
参考答案
一、填空题
1．已知向量，且，则m＝　﹣2　．
解：根据题意，向量，
若，则有1×2＝1×（﹣m），
故m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
2．关于x、y的方程组有无穷多组解，实数m＝　4　．
解：若关于x、y的方程组有无穷多组解，
则直线mx+2y＝8与直线2x（m﹣3）y＝m重合
即
解得m＝4
故答案为：4
3．已知三角形的三个顶点是A（6，7），B（4，0），C（0，3），则AB边上的高所在的直线方程为
　2x+7y﹣21＝0　．
解：∵三角形的三个顶点是A（6，7），B（4，0），C（0，3），
∴kAB＝＝，
∴AB边上的高所在的直线的斜率为k＝﹣，且经过点C（0，3），
∴AB边上的高所在的直线方程为：y﹣3＝﹣x，
整理得：2x+7y﹣21＝0．
故答案为：2x+7y﹣21＝0．
4．已知非零向量、满足，若，则、夹角的大小为
　　．
解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴＝，
∴、夹角的大小为．
故答案为：．
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角A的大小为
　　．
解：∵，
∴bc+a2＝b2+c2，
由余弦定理可得cosA＝，
∴A＝，
故答案为：．
6．点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6＝0的上方，则t的取值范围是　t＞　．
解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6＝0的上方，
则﹣4﹣3t+6＜0
则t的取值范围是：t＞
故答案为：t＞
7．若b，c，a成等差数列，则直线ax+by+c＝0通过点
　（﹣，﹣）　．
解：∵若b，c，a成等差数列，
∴2c＝a+b，
∴a+b﹣2c＝0，
∴当x＝﹣，y＝﹣时，ax+by+c＝﹣a﹣b+c＝（﹣a﹣b+2c）＝0，
∴直线ax+by+c＝0恒过定点（﹣，﹣）．
故答案为：（﹣，﹣）．
8．方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，且，则|+|＝　　．
解：设x1，x2是两根，x3，x4是两根，
∵方程（x2﹣3||x+8）（x2﹣3||x+8）＝0的四根组成首项为1的等比数列，
∴不妨设x1＝1，则x2＝8，x3＝2，x4＝4，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
9．设直线l的方程是ax+3y﹣2＝0，其倾斜角为α，若，则a的取值范围为
　（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）　．
解：∵设直线l的方程是ax+3y﹣2＝0，其倾斜角为α，，
∴k＝tanα＝﹣∈（﹣∞，﹣1）∪（，+∞），
∴a＞3或a＜﹣．
∴a的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣）∪（3，+∞）．
10．已知等腰直角三角形△ABC中，AB＝AC＝9，Mi（i＝1，2，3，…，8）顺次为线段BC的九等分点，则的最大值为
　40　．
解：因为Mi（i＝1，2，3，…，8）顺次为线段BC的九等分点，
所以＝＝（﹣），＝＝（﹣），
则＝+＝+（﹣）＝+，
＝+＝+（﹣）＝+，
因为△ABC为等腰直角三角形，所以?＝0，
则＝（+）?（+）＝（||?+||?）＝（9?+9?）＝2i（9﹣i）＝﹣2（i﹣）?+，
因为i＝1，2，3，...，8，
所以当i＝4或5时，取最大值40，
故答案为：40．
11．在等差数列{an}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，a1+a2≤60，a2+a3≤100，则4a1+2a3的最大值为
　200　．
解：由条件有a1+a2＝2a1+d≤60，a2+a3＝2a1+3d≤100
则4a1+2a3＝4a1+2（a1+2d）＝，
当且仅当，时等号成立．
故答案为：200．
12．已知平面单位向量，满足，设，，向量与的夹角为θ，则sin2θ的最大值为　　．
解：由题意，，
又，∴，
即，可得，
设与的夹角为α，得cos．
又，，
∴＝＝3+3cosα，
＝＝2+2cosα，
＝＝5+4cosα．
∴＝
＝＝＝（1﹣）．
∵cos，∴cos2θ，
∴sin2θ≤，即sin2θ的最大值为．
故答案为：．
二、选择题
13．行列式中，x的代数余子式的值是（　　）
A．0
B．
C．
D．1
解：行列式中，x的代数余子式的值：﹣＝﹣（+）＝﹣．
故选：C．
14．若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：由l1∥l2得：＝≠，
解得：a＝﹣1，
∴l1与l2间的距离d＝＝，
故选：B．
15．数列{an}中a1＝1，＝（n，an），＝（an+1，n+1），且⊥，则a100＝（　　）
A．
B．﹣
C．100
D．﹣100
解：由＝（n，an），＝（an+1，n+1），且⊥，
得nan+1+（n+1）an＝0，即nan+1＝﹣（n+1）an．
∵a1＝1≠0，∴．
则，
，
，
…
，
把以上n﹣1个等式累乘得：
，
∴，
则．
故选：D．
16．已知动直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），且Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（　　）
A．
B．
C．3
D．9
解：因为直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），
所以2a+bn+c﹣2＝0，
因为Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，
所以|PQ|＝3，所以（2﹣5）2+n2＝9，解得n＝0，
所以2a+c＝2，
又因为a＞0，c＞0，
所以＝+＝++1≥2+1＝3，
当且仅当a＝，c＝1时，等号成立，
所以的最小值为3．
故选：C．
三、解答题
17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝+k（k∈R）．
（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；
（2）若向量＝（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．
解：（1）＝+k＝（﹣3+k，1﹣2k），2﹣＝（﹣7，4）．
∵与向量2﹣垂直，∴?（2﹣）＝﹣7（﹣3+k）+4（1﹣2k）＝0，解得k＝．
（2）k+＝（k+1，﹣2k﹣1），∵与向量k+平行，
∴（﹣2k﹣1）（﹣3+k）﹣（1﹣2k）（k+1）＝0，解得k＝．
18．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）若直线l：ax+y+b+1＝0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．
解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，且AD与AB垂直，
∴直线AD的斜率为﹣3，
又∵点T（﹣1，1）在直线AD上，
∴AD边所在的直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），
化为一般式可得3x+y+2＝0；
（2）∵直线l：ax+y+b+1＝0平分矩形ABCD的面积，
∴直线l过点M（2，0），∴2a+b+1＝0，
∴原点与（a，b）的距离为
＝＝，
由二次函数的知识可得当a＝﹣时，
原点与（a，b）距离取最小值为．
19．已知首项大于0的等差数列{an}的公差d＝1，且．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：，其中n≥2；
①已知，求证：当n≥2时，数列{cn}为等差数列；
②是否存在实数λ，使得数列{bn}为等比数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．
解：（1）首项大于0的等差数列{an}的公差d＝1，且，
可得（﹣+﹣）＝﹣＝＝，
解得a1＝1或﹣3（舍去），
所以an＝1+n﹣1＝n；
（2）①证明：由题意可得b1＝﹣1，b2＝λ，b3＝﹣b2﹣＝﹣，
bn+1＝bn+，即为nbn+1+（n﹣1）bn＝（﹣1）n﹣1，
Cn+1﹣?n＝﹣＝＝﹣＝1，
所以当n≥2时，数列{cn}是公差为1的等差数列；
②假设存在实数λ，使得数列{bn}为等比数列．
由b1＝﹣1，b2＝λ，可得公比q＝﹣λ，
又b3＝﹣λ2＝﹣，
解得λ＝1或﹣，
当λ＝1时，q＝﹣1，（n﹣1）bn＝（﹣1）n（λ+n﹣2），
即为（n﹣1）bn＝（﹣1）n（n﹣1），
化为bn＝（﹣1）n，成立；
当λ＝﹣时，可得（n﹣1）bn＝（﹣1）n（n﹣），
即bn＝，不成立．
所以存在实数λ，使得数列{bn}为等比数列，且λ的值为1．
20．已知向量＝（1，3），＝（2，1），||＝||（n∈N+）．
（1）判断△AB0B1的形状，并说明理由；
（2）求数列{||}（n∈N+）的通项公式；
（3）若△ABn﹣1Bn的面积为＝an（n∈N+），求（a1+a2+…+an）．
解：（1）由题意可得＝﹣＝（﹣1，2），
∵?＝﹣1×2+2×1＝0，
∴⊥，
∴△AB0B1是直角三角形．
（2））∵||＝||（n∈N+），
∴数列{||}成等比数列，公比为，
∴＝．||＝＝3＝．
∴数列{||}（n∈N+）的通项公式为||＝；
（3）△ABn﹣1Bn的面积为＝an＝＝＝，
∴数列{an}是等比数列，公比q＝，首项．
＝．
21．在平面直角坐标系中，已知射线OA：x﹣y＝0（x≥0），OB：2x+y＝0（x≥0）．过点P（1，0）作直线分别交射线OA，OB于点A，B．
（1）当AB的中点在直线x﹣2y＝0上时，求直线AB的方程；
（2）当△AOB的面积取最小值时，求直线AB的方程；
（3）当|PA|?|PB|取最小值时，求直线AB的方程．
解：（1）设A（a，a），B（b，﹣2b），则线段AB的中点为C（，）；
所以﹣2×＝0，且＝，
分别化为：a＝5b，a+2b﹣3ab＝0．
解得a＝，b＝；
所以直线AB的方程为：y﹣0＝（x﹣1），化为：7x﹣4y﹣7＝0．
（2）设A（a，a），B（b，﹣2b），（a，b＞0）．
a＝b＝1时，A（1，1），B（1，﹣2），S△OAB＝×|OP|×|AB|＝×1×3＝．
a，b≠1时，S△OAB＝×|OP|×（a+2b）＝（a+2b），
又＝，化为a+2b＝3ab，
所以a+2b＝3ab＝?a?2b≤?，解得a+2b≥．
所以S△OAB≥×＝，
当且仅当a＝2b＝时取等号．
综上可得：当△AOB的面积取最小值时，直线AB的方程为：y＝（x﹣1），化为4x﹣y﹣4＝0．
（3）设直线AB的方程为：my＝x﹣1（m≠1，﹣）．
联立，解得A（，），可得|PA|＝＝．
联立，解得B（，），可得|PB|＝＝．
所以|PA|?|PB|＝＝＝，
设f（m）＝，则m＝﹣3时，f（﹣3）＝1；
令m+3＝k≠0，则f（m）＝g（k）＝＝，
k＜0时，g（k）＝≥＝．
k＞0时，g（k）＝≥＝，
而＜，
所以g（k）的最小值为：．
当且仅当k＝﹣时取等号．
所以m＝﹣﹣3，此时直线AB的方程为（﹣﹣3）y＝x﹣1，即x+（3+）y﹣1＝0．