2020-2021学年上海市松江二中高一（上）期中数学试卷（Word解析版）

2020-2021学年上海市松江二中高一（上）期中数学试卷
一、填空题（共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.
1．已知集合A＝{1，3，x2}，B＝{1，2﹣x}，若B?A，则实数x的值是
　
　．
2．若，则x＝　
　．
3．幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则的值为　
　．
4．已知指数函数y＝（2﹣a）x是严格增函数，则实数a的取值范围是
　
　．
5．若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的　
　条件．（从“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择一个填在横线上）
6．已知不等式log2（5﹣x）≤1，则x的解集是
　
　．
7．若3x＝4y＝36，则＝　
　．
8．若a＞b，ab＝1，则的取值范围是　
　．
9．已知函数，b∈R）的图像关于点（1，1）对称，则a+b＝　
　．
10．设集合，则M∩N＝　
　．
11．已知不等式组的整数解恰好有两个，求a的取值范围是　
　．
12．对于集合M，定义函数fM（x）＝，对于两个集合M、N，定义集合M△N＝{x|fM（x）?fN（x）＝﹣1}，已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，16}，用|M|表示有限集合M中的元素个数，则对于任意集合M，|M△A|+|M△B|的最小值为　
　
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．如果a＞b，下列不等式成立的是（　　）
A．
B．a3＞b3
C．a2+1＞b2+1
D．|a|＞|b|
14．下列函数中图像关于原点对称，并且在（0，+∞）上严格递减的是（　　）
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
15．关于x的方程x2+a|x|+1＝0有4个不同的解，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2]
C．（﹣∞，﹣2）
D．（2，+∞）
16．若函数y＝（）|1﹣x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1
B．﹣1≤m＜0
C．m≥1
D．0＜m≤1
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．已知集合A＝{x|x2﹣mx+m2﹣19＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{2，﹣4}，若A∩B≠?，A∩C＝?，求实数m的值．
18．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm﹣1的定义域为R．
（1）求实数m的值；
（2）若不等式[f（x）]2﹣af（x）+b≤0的解集是[0，6]，求ab的值．
19．经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
20．（16分）（1）解不等式：；
（2）设集合P表示不等式|x﹣1|+|x﹣2a|＞1对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P；
（3）设关于x的不等式ax2+2|x﹣a|﹣20＜0的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式．x2+x﹣2＜0与|2x﹣1|＜x+2的解都属于A，若不存在，说明理由．若存在，请求出满足条件的a的所有值．
21．（18分）对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”，
（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；
（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断之间的大小关系；
（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2017}内的每个m∈N
，总存在k∈N
，使得（m，2017）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2018）的“下位序对”，求正整数n的最小值．
参考答案
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分），考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1．已知集合A＝{1，3，x2}，B＝{1，2﹣x}，若B?A，则实数x的值是
　﹣2　．
解：∵B?A，
∴2﹣x＝3或2﹣x＝x2，
若2﹣x＝3时，x＝﹣1，则A集合中矛盾，舍去；
若2﹣x＝x2时，则x＝1或x＝﹣2，经检验x＝1不符合A集合中元素互异性，舍去，x＝﹣2符合题意，
综上所述x＝﹣2，
故答案为：x＝﹣2．
2．若，则x＝　2　．
解：由，得log2x＝1，则x＝2．
故答案为：2．
3．幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），则的值为　　．
解：设幂函数y＝xα（α∈R），
其函数图象经过点（4，2），
∴4α＝2，
解得α＝，
∴y＝f（x）＝；
∴f（）＝（）＝．
故答案为：．
4．已知指数函数y＝（2﹣a）x是严格增函数，则实数a的取值范围是
　（﹣∞，1）　．
解：因为指数函数y＝（2﹣a）x是严格增函数，
所以2﹣a＞1，解得a＜1，
则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）．
5．若x，y∈R，则“x＞y”是“x2＞y2”的　既不充分也不必要　条件．（从“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择一个填在横线上）
解：当x＝1，y＝﹣2时，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即充分性不成立，
当x＝﹣2，y＝1时，满足x2＞y2，但x＞y不成立，即必要性不成立，
综上“x＞y”是“x2＞y2”的
既不充分也不必要条件，
故答案为：既不充分也不必要
6．已知不等式log2（5﹣x）≤1，则x的解集是
　[3，5）　．
解：因为log2（5﹣x）≤1，则log2（5﹣x）≤log22，
所以0＜5﹣x≤2，
解得3≤x＜5，
则不等式log2（5﹣x）≤1，则x的解集是[3，5）．
故答案为：[3，5）．
7．若3x＝4y＝36，则＝　1　．
解：∵3x＝4y＝36，
∴x＝log336，y＝log436，
∴+＝2×log363+log364＝log369+log364＝log3636＝1，
故答案为
1．
8．若a＞b，ab＝1，则的取值范围是　[2，+∞）　．
解：若a＞b，ab＝1，则
＝＝（a﹣b）+
≥2＝2，
当且仅当a﹣b＝时取得等号．
故答案为：[2，+∞）．
9．已知函数，b∈R）的图像关于点（1，1）对称，则a+b＝　2　．
解：因为，
则函数的图象关于点（a，b）对称，
由题意可知，函数，b∈R）的图象关于点（1，1）对称，
所以a＝1，b＝1，
则a+b＝2．
故答案为：2．
10．设集合，则M∩N＝　（0，1）　．
解：集合M＝{x|}＝{x|0≤x＜1}，
N＝{y|y＝（）x，x≥0}＝{y|0＜y≤1}，
∴M∩N＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．
故答案为：（0，1）．
11．已知不等式组的整数解恰好有两个，求a的取值范围是　（1，2]　．
解：不等式组，即
，
①当a＝1﹣a时，即a＝时，x无解．
②当a＞1﹣a时，即a＞时，不等式组的解集为（1﹣a，a），
再根据此解集包含2个整数解，可得
1﹣a＜0，且a≤2，解得1＜a≤2．
③当a＜1﹣a时，即a＜时，
若0≤a＜，不等式组的解集为（1﹣2a，1﹣a），无整数解，不满足题意．
若a＜0，不等式组的解集为?，不满足题意．
综上可得，1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．
12．对于集合M，定义函数fM（x）＝，对于两个集合M、N，定义集合M△N＝{x|fM（x）?fN（x）＝﹣1}，已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，2，4，8，16}，用|M|表示有限集合M中的元素个数，则对于任意集合M，|M△A|+|M△B|的最小值为　4　
解：由M△N的定义可知，fM（x）?fN（x）＝﹣1
即M△N∈{x|x∈M∪N}且x∈M∩N，
|M△A|+|M△B|的要取得最小值，需满足A∩B?M?A∪B，
此时，|M△A|+|M△B|的最小值为4，
故答案为：4
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．如果a＞b，下列不等式成立的是（　　）
A．
B．a3＞b3
C．a2+1＞b2+1
D．|a|＞|b|
解：当a＝2，b＝﹣3时，满足a＞b，但＞，a2+1＜b2+1，|a|＜|b|，∴A，C，D错误，
对于B：由于a＞b，所以a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝（a﹣b）[+]＞0，∴B正确．
故选：B．
14．下列函数中图像关于原点对称，并且在（0，+∞）上严格递减的是（　　）
A．y＝x
B．y＝x
C．y＝x
D．y＝x
解：对于A，y＝＝，是偶函数，不符合题意；
对于B，y＝＝，其定义域为[0，+∞），其图象不关于原点对称，不符合题意；
对于C，y＝＝，是奇函数，图像关于原点对称，在（0，+∞）上递增，不符合题意；
对于D，y＝＝，是奇函数，图像关于原点对称，在（0，+∞）上递减，符合题意．
故选：D．
15．关于x的方程x2+a|x|+1＝0有4个不同的解，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2]
C．（﹣∞，﹣2）
D．（2，+∞）
解：原方程可化为|x|2+a|x|+1＝0，
设t＝|x|，则t≥0，
∴t2+at+1＝0，
∵关于x的方程x2+a|x|+1＝0有4个不同的解，
∴关于t的方程t2+at+1＝0有两个不同的正根，
∴，解得a＜﹣2，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2），
故选：C．
16．若函数y＝（）|1﹣x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣1
B．﹣1≤m＜0
C．m≥1
D．0＜m≤1
解：∵，画图象可知﹣1≤m＜0
故选：B．
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17．已知集合A＝{x|x2﹣mx+m2﹣19＝0}，B＝{x|x2﹣5x+6＝0}，C＝{2，﹣4}，若A∩B≠?，A∩C＝?，求实数m的值．
解：由B中方程变形得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x＝2或x＝3，即B＝{2，3}，
∵A＝{x|x2﹣mx+m2﹣19＝0}，C＝{2，﹣4}，且A∩B≠?，A∩C＝?，
∴将x＝3代入集合A中方程得：m2﹣3m﹣10＝0，即（m﹣5）（m+2）＝0，
解得：m＝5或m＝﹣2，
当m＝5时，A＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}，此时A∩C＝{2}，不合题意，舍去；
当m＝﹣2时，A＝{x|x2+2x﹣15＝0}＝{3，﹣5}，满足题意，
则m的值为﹣2．
18．已知幂函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm﹣1的定义域为R．
（1）求实数m的值；
（2）若不等式[f（x）]2﹣af（x）+b≤0的解集是[0，6]，求ab的值．
解：（1）∵函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm﹣1为幂函数，
∴m2﹣m﹣1＝1，∴m2﹣m﹣2＝0，∴m＝2或m＝﹣1，
∵定义域为R，∴m＝2．
（2）由（1）得f（x）＝x，
∴不等式[f（x）]2﹣af（x）+b≤0的解集是[0，6]
?x2﹣ax+b≤0的解集是[0，6]，
∴，∴，∴ab＝1．
19．经过长期观察得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为
（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大，最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
解：由题意有y＝＝≤＝
当且仅当v＝，即v＝30时上式等号成立，
此时ymax＝≈11.3（千辆/小时）　　
（2）由条件得＞10，整理得v2﹣68v+900＜0，
即（v﹣50）（v﹣18）＜0，
∴18＜v＜50
故当v＝30千米/小时时车流量最大，且最大车流量为11.3千辆/小时
若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在18＜v＜50所表示的范围内．
20．（16分）（1）解不等式：；
（2）设集合P表示不等式|x﹣1|+|x﹣2a|＞1对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P；
（3）设关于x的不等式ax2+2|x﹣a|﹣20＜0的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式．x2+x﹣2＜0与|2x﹣1|＜x+2的解都属于A，若不存在，说明理由．若存在，请求出满足条件的a的所有值．
解：（1）设f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣2|，
当x＞2时，f（x）＝x﹣1﹣（x﹣2）＝1＞，符合题意，
当1≤x≤2时，f（x）＝x﹣1+x﹣2＝2x﹣3＞，解得x＞，
故，
当x＜1时，f（x）＝1﹣x+x﹣2＝﹣1＞，无解，
综上所述，|x﹣1|﹣|x﹣2|＞的解集为．
（2）根据三角不等式可得，|x﹣1|+|x﹣2a|＝|x﹣1|+|2a﹣x|≥|x﹣1+2a﹣x|＝|2a﹣1|，
∵不等式|x﹣1|+|x﹣2a|＞1对任意x∈R恒成立，
∴|2a﹣1|＞1，解得a＞1或a＜0，
故集合P＝{a|a＞1或a＜0}．
（3）由x2+x﹣2＜0可得，﹣2＜x＜1，由|2x﹣1|＜x+2可得，＜x＜3，
故（﹣2，3）∈A，
若a＝0，2|x|＜20，解得﹣10＜x＜10，符合题意，
若a≠0，设g（x）＝ax2+2|x﹣a|﹣20，
∵a＞0，a∈N，
∴，即，解得a＝1或2，
综上所述，a＝0或a＝1或a＝2．
21．（18分）对于四个正数x，y，z，w，如果xw＜yz，那么称（x，y）是（z，w）的“下位序对”，
（1）对于2，3，7，11，试求（2，7）的“下位序对”；
（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序对”，试判断之间的大小关系；
（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0＜t＜2017}内的每个m∈N
，总存在k∈N
，使得（m，2017）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2018）的“下位序对”，求正整数n的最小值．
解：（1）∵3×7＜11×2，
∴（2，7）的下位序对是（3，11）．
（2）∵（a，b）是（c，d）的“下位序对”，
∴ad＜bc，
∵a，b，c，d均为正数，故﹣＝＞0，即﹣＞0＞0，
∴＞；
同理＜，
综上所述，＜＜；．
（3）依题意，得，
注意到m，n，l整数，故，
于是2017（mn+n﹣1）≥2017×2018k≥2018（mn+1），
∴n≥，
该式对集合{t|0＜t＜2017}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立
∴n≥＝4035，
∵＜＜，
∴＜＜，
∴＜＜，
∴对集合{t|0＜t＜2017}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得（m，2017）是（k，n）的“下位序对”，且（k，n）是（m+1，2018）的“下位序对”．
正整数n的最小值为4035．