2020-2021学年上海市松江二中高一(上)期中数学试卷
一、填空题(共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分).
1.已知集合A={1,3,x2},B={1,2﹣x},若B?A,则实数x的值是
.
2.若,则x=
.
3.幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则的值为
.
4.已知指数函数y=(2﹣a)x是严格增函数,则实数a的取值范围是
.
5.若x,y∈R,则“x>y”是“x2>y2”的
条件.(从“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择一个填在横线上)
6.已知不等式log2(5﹣x)≤1,则x的解集是
.
7.若3x=4y=36,则=
.
8.若a>b,ab=1,则的取值范围是
.
9.已知函数,b∈R)的图像关于点(1,1)对称,则a+b=
.
10.设集合,则M∩N=
.
11.已知不等式组的整数解恰好有两个,求a的取值范围是
.
12.对于集合M,定义函数fM(x)=,对于两个集合M、N,定义集合M△N={x|fM(x)?fN(x)=﹣1},已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16},用|M|表示有限集合M中的元素个数,则对于任意集合M,|M△A|+|M△B|的最小值为
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13.如果a>b,下列不等式成立的是( )
A.
B.a3>b3
C.a2+1>b2+1
D.|a|>|b|
14.下列函数中图像关于原点对称,并且在(0,+∞)上严格递减的是( )
A.y=x
B.y=x
C.y=x
D.y=x
15.关于x的方程x2+a|x|+1=0有4个不同的解,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
B.(﹣∞,﹣2]
C.(﹣∞,﹣2)
D.(2,+∞)
16.若函数y=()|1﹣x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是( )
A.m≤﹣1
B.﹣1≤m<0
C.m≥1
D.0<m≤1
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.已知集合A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0},B={x|x2﹣5x+6=0},C={2,﹣4},若A∩B≠?,A∩C=?,求实数m的值.
18.已知幂函数f(x)=(m2﹣m﹣1)xm﹣1的定义域为R.
(1)求实数m的值;
(2)若不等式[f(x)]2﹣af(x)+b≤0的解集是[0,6],求ab的值.
19.经过长期观察得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大,最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
20.(16分)(1)解不等式:;
(2)设集合P表示不等式|x﹣1|+|x﹣2a|>1对任意x∈R恒成立的a的集合,求集合P;
(3)设关于x的不等式ax2+2|x﹣a|﹣20<0的解集为A,试探究是否存在a∈N,使得不等式.x2+x﹣2<0与|2x﹣1|<x+2的解都属于A,若不存在,说明理由.若存在,请求出满足条件的a的所有值.
21.(18分)对于四个正数x,y,z,w,如果xw<yz,那么称(x,y)是(z,w)的“下位序对”,
(1)对于2,3,7,11,试求(2,7)的“下位序对”;
(2)设a,b,c,d均为正数,且(a,b)是(c,d)的“下位序对”,试判断之间的大小关系;
(3)设正整数n满足条件:对集合{t|0<t<2017}内的每个m∈N
,总存在k∈N
,使得(m,2017)是(k,n)的“下位序对”,且(k,n)是(m+1,2018)的“下位序对”,求正整数n的最小值.
参考答案
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分),考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.已知集合A={1,3,x2},B={1,2﹣x},若B?A,则实数x的值是
﹣2 .
解:∵B?A,
∴2﹣x=3或2﹣x=x2,
若2﹣x=3时,x=﹣1,则A集合中矛盾,舍去;
若2﹣x=x2时,则x=1或x=﹣2,经检验x=1不符合A集合中元素互异性,舍去,x=﹣2符合题意,
综上所述x=﹣2,
故答案为:x=﹣2.
2.若,则x= 2 .
解:由,得log2x=1,则x=2.
故答案为:2.
3.幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则的值为 .
解:设幂函数y=xα(α∈R),
其函数图象经过点(4,2),
∴4α=2,
解得α=,
∴y=f(x)=;
∴f()=()=.
故答案为:.
4.已知指数函数y=(2﹣a)x是严格增函数,则实数a的取值范围是
(﹣∞,1) .
解:因为指数函数y=(2﹣a)x是严格增函数,
所以2﹣a>1,解得a<1,
则实数a的取值范围是(﹣∞,1).
故答案为:(﹣∞,1).
5.若x,y∈R,则“x>y”是“x2>y2”的 既不充分也不必要 条件.(从“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择一个填在横线上)
解:当x=1,y=﹣2时,满足x>y,但x2>y2不成立,即充分性不成立,
当x=﹣2,y=1时,满足x2>y2,但x>y不成立,即必要性不成立,
综上“x>y”是“x2>y2”的
既不充分也不必要条件,
故答案为:既不充分也不必要
6.已知不等式log2(5﹣x)≤1,则x的解集是
[3,5) .
解:因为log2(5﹣x)≤1,则log2(5﹣x)≤log22,
所以0<5﹣x≤2,
解得3≤x<5,
则不等式log2(5﹣x)≤1,则x的解集是[3,5).
故答案为:[3,5).
7.若3x=4y=36,则= 1 .
解:∵3x=4y=36,
∴x=log336,y=log436,
∴+=2×log363+log364=log369+log364=log3636=1,
故答案为
1.
8.若a>b,ab=1,则的取值范围是 [2,+∞) .
解:若a>b,ab=1,则
==(a﹣b)+
≥2=2,
当且仅当a﹣b=时取得等号.
故答案为:[2,+∞).
9.已知函数,b∈R)的图像关于点(1,1)对称,则a+b= 2 .
解:因为,
则函数的图象关于点(a,b)对称,
由题意可知,函数,b∈R)的图象关于点(1,1)对称,
所以a=1,b=1,
则a+b=2.
故答案为:2.
10.设集合,则M∩N= (0,1) .
解:集合M={x|}={x|0≤x<1},
N={y|y=()x,x≥0}={y|0<y≤1},
∴M∩N={x|0<x<1}=(0,1).
故答案为:(0,1).
11.已知不等式组的整数解恰好有两个,求a的取值范围是 (1,2] .
解:不等式组,即
,
①当a=1﹣a时,即a=时,x无解.
②当a>1﹣a时,即a>时,不等式组的解集为(1﹣a,a),
再根据此解集包含2个整数解,可得
1﹣a<0,且a≤2,解得1<a≤2.
③当a<1﹣a时,即a<时,
若0≤a<,不等式组的解集为(1﹣2a,1﹣a),无整数解,不满足题意.
若a<0,不等式组的解集为?,不满足题意.
综上可得,1<a≤2,
故答案为:(1,2].
12.对于集合M,定义函数fM(x)=,对于两个集合M、N,定义集合M△N={x|fM(x)?fN(x)=﹣1},已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16},用|M|表示有限集合M中的元素个数,则对于任意集合M,|M△A|+|M△B|的最小值为 4
解:由M△N的定义可知,fM(x)?fN(x)=﹣1
即M△N∈{x|x∈M∪N}且x∈M∩N,
|M△A|+|M△B|的要取得最小值,需满足A∩B?M?A∪B,
此时,|M△A|+|M△B|的最小值为4,
故答案为:4
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13.如果a>b,下列不等式成立的是( )
A.
B.a3>b3
C.a2+1>b2+1
D.|a|>|b|
解:当a=2,b=﹣3时,满足a>b,但>,a2+1<b2+1,|a|<|b|,∴A,C,D错误,
对于B:由于a>b,所以a3﹣b3=(a﹣b)(a2+ab+b2)=(a﹣b)[+]>0,∴B正确.
故选:B.
14.下列函数中图像关于原点对称,并且在(0,+∞)上严格递减的是( )
A.y=x
B.y=x
C.y=x
D.y=x
解:对于A,y==,是偶函数,不符合题意;
对于B,y==,其定义域为[0,+∞),其图象不关于原点对称,不符合题意;
对于C,y==,是奇函数,图像关于原点对称,在(0,+∞)上递增,不符合题意;
对于D,y==,是奇函数,图像关于原点对称,在(0,+∞)上递减,符合题意.
故选:D.
15.关于x的方程x2+a|x|+1=0有4个不同的解,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
B.(﹣∞,﹣2]
C.(﹣∞,﹣2)
D.(2,+∞)
解:原方程可化为|x|2+a|x|+1=0,
设t=|x|,则t≥0,
∴t2+at+1=0,
∵关于x的方程x2+a|x|+1=0有4个不同的解,
∴关于t的方程t2+at+1=0有两个不同的正根,
∴,解得a<﹣2,
∴实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2),
故选:C.
16.若函数y=()|1﹣x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是( )
A.m≤﹣1
B.﹣1≤m<0
C.m≥1
D.0<m≤1
解:∵,画图象可知﹣1≤m<0
故选:B.
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.已知集合A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0},B={x|x2﹣5x+6=0},C={2,﹣4},若A∩B≠?,A∩C=?,求实数m的值.
解:由B中方程变形得:(x﹣2)(x﹣3)=0,
解得:x=2或x=3,即B={2,3},
∵A={x|x2﹣mx+m2﹣19=0},C={2,﹣4},且A∩B≠?,A∩C=?,
∴将x=3代入集合A中方程得:m2﹣3m﹣10=0,即(m﹣5)(m+2)=0,
解得:m=5或m=﹣2,
当m=5时,A={x|x2﹣5x+6=0}={2,3},此时A∩C={2},不合题意,舍去;
当m=﹣2时,A={x|x2+2x﹣15=0}={3,﹣5},满足题意,
则m的值为﹣2.
18.已知幂函数f(x)=(m2﹣m﹣1)xm﹣1的定义域为R.
(1)求实数m的值;
(2)若不等式[f(x)]2﹣af(x)+b≤0的解集是[0,6],求ab的值.
解:(1)∵函数f(x)=(m2﹣m﹣1)xm﹣1为幂函数,
∴m2﹣m﹣1=1,∴m2﹣m﹣2=0,∴m=2或m=﹣1,
∵定义域为R,∴m=2.
(2)由(1)得f(x)=x,
∴不等式[f(x)]2﹣af(x)+b≤0的解集是[0,6]
?x2﹣ax+b≤0的解集是[0,6],
∴,∴,∴ab=1.
19.经过长期观察得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大,最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
解:由题意有y==≤=
当且仅当v=,即v=30时上式等号成立,
此时ymax=≈11.3(千辆/小时)
(2)由条件得>10,整理得v2﹣68v+900<0,
即(v﹣50)(v﹣18)<0,
∴18<v<50
故当v=30千米/小时时车流量最大,且最大车流量为11.3千辆/小时
若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在18<v<50所表示的范围内.
20.(16分)(1)解不等式:;
(2)设集合P表示不等式|x﹣1|+|x﹣2a|>1对任意x∈R恒成立的a的集合,求集合P;
(3)设关于x的不等式ax2+2|x﹣a|﹣20<0的解集为A,试探究是否存在a∈N,使得不等式.x2+x﹣2<0与|2x﹣1|<x+2的解都属于A,若不存在,说明理由.若存在,请求出满足条件的a的所有值.
解:(1)设f(x)=|x﹣1|﹣|x﹣2|,
当x>2时,f(x)=x﹣1﹣(x﹣2)=1>,符合题意,
当1≤x≤2时,f(x)=x﹣1+x﹣2=2x﹣3>,解得x>,
故,
当x<1时,f(x)=1﹣x+x﹣2=﹣1>,无解,
综上所述,|x﹣1|﹣|x﹣2|>的解集为.
(2)根据三角不等式可得,|x﹣1|+|x﹣2a|=|x﹣1|+|2a﹣x|≥|x﹣1+2a﹣x|=|2a﹣1|,
∵不等式|x﹣1|+|x﹣2a|>1对任意x∈R恒成立,
∴|2a﹣1|>1,解得a>1或a<0,
故集合P={a|a>1或a<0}.
(3)由x2+x﹣2<0可得,﹣2<x<1,由|2x﹣1|<x+2可得,<x<3,
故(﹣2,3)∈A,
若a=0,2|x|<20,解得﹣10<x<10,符合题意,
若a≠0,设g(x)=ax2+2|x﹣a|﹣20,
∵a>0,a∈N,
∴,即,解得a=1或2,
综上所述,a=0或a=1或a=2.
21.(18分)对于四个正数x,y,z,w,如果xw<yz,那么称(x,y)是(z,w)的“下位序对”,
(1)对于2,3,7,11,试求(2,7)的“下位序对”;
(2)设a,b,c,d均为正数,且(a,b)是(c,d)的“下位序对”,试判断之间的大小关系;
(3)设正整数n满足条件:对集合{t|0<t<2017}内的每个m∈N
,总存在k∈N
,使得(m,2017)是(k,n)的“下位序对”,且(k,n)是(m+1,2018)的“下位序对”,求正整数n的最小值.
解:(1)∵3×7<11×2,
∴(2,7)的下位序对是(3,11).
(2)∵(a,b)是(c,d)的“下位序对”,
∴ad<bc,
∵a,b,c,d均为正数,故﹣=>0,即﹣>0>0,
∴>;
同理<,
综上所述,<<;.
(3)依题意,得,
注意到m,n,l整数,故,
于是2017(mn+n﹣1)≥2017×2018k≥2018(mn+1),
∴n≥,
该式对集合{t|0<t<2017}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立
∴n≥=4035,
∵<<,
∴<<,
∴<<,
∴对集合{t|0<t<2017}内的每个m∈N+,总存在k∈N+,使得(m,2017)是(k,n)的“下位序对”,且(k,n)是(m+1,2018)的“下位序对”.
正整数n的最小值为4035.