2020-2021学年上海市徐汇区南模高一（上）期中数学试卷（Word解析版）

2020-2021学年上海市徐汇区南模高一（上）期中数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}?M；③π?M；④{π}∈M，其中正确的是
　
　（填序号）．
2．将化为有理数指数幂的形式为
　
　．
3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是　
　．
4．若0＜a＜1，s＜0，则as　
　1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．
5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝　
　．
6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m的取值范围为
　
　．
7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝　
　．
8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是
　
　．
9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为
　
　．
10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是
　
　．
11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝　
　．
12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是
　
　．
二、选择题
13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（　　）
①；②；③；④．
A．4
B．3
C．2
D．1
16．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}?Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（　　）
A．4
B．9
C．16
D．64
三、解答题
17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．
（1）若A∪B＝A，求实数a的值；
（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．
18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P?Q；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．
20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为?，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式；
（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．
21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：a1＝0，且nan＝2（a1+a2+…+an）；
（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．
参考答案
一、填空题
1．集合M＝{x∈R|x≤2020}，有下列四个式子：①π∈M；②{π}?M；③π?M；④{π}∈M，其中正确的是
　①②　（填序号）．
解：因为π≈3.14，
所以元素π∈M，集合{π}?M，
故①②正确，③④错误．
故答案为：①②．
2．将化为有理数指数幂的形式为
　　．
解：∵a＞0，
∴＝＝＝．
故答案为：．
3．陈述句“x＞1或y＞1”的否定形式是　x≤1且y≤1　．
解：命题为全称命题，则“x＞1或y＞1”的否定形式为x≤1且y≤1，
故答案为：x≤1且y≤1．
4．若0＜a＜1，s＜0，则as　＞　1（填符号“＞，≥，＜，≤，”）．
解：∵0＜a＜1时，函数y＝ax为减函数，
∴当s＜0时，as＞a0＝1，
故答案为：＞．
5．已知集合A＝{x，y}，B＝{2x，2x2}，且A＝B，则集合A＝　　．
解：显然x≠0，由A＝B得，解得．
故答案为：{，1}．
6．已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，若x∈P是x∈S的必要条件，则实数m的取值范围为
　[0，3]　．
解：∵P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，
若x∈P是x∈S的必要条件，则S?P，
∴，解得0≤m≤3，∴m的取值范围是[0，3]．
故答案为：[0，3]．
7．关于x的不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），则实数a＝　2　．
解：∵|2x﹣a|+a＜6，
∴a﹣6＜2x﹣a＜6﹣a，即a﹣3＜x＜3，
∵不等式|2x﹣a|+a＜6的解集是（﹣1，3），
∴a﹣3＝﹣1，解得a＝2．
故答案为：2．
8．如果直角三角形的周长为2，则此直角三角形面积的最大值是
　3﹣2（当且仅当时取等号）　．
解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S＝ab．
由已知，得a+b+c＝2，∴a+b+＝2，
∴2＝a+b+≥2+＝（2+），
∴≤＝2﹣，∴ab≤（2﹣）2＝6﹣4，
∴S＝ab≤3﹣2，当且仅当a＝b＝2﹣时，S取最大值3﹣2．
故答案为：3﹣2（当且仅当时取等号）．
9．若实数a，b，m满足2a＝72b＝m，且＝2，则m的值为
　7　．
解：∵2a＝72b＝m，
∴a＝log2m，2b＝log7m，
∴b＝＝＝log49m，
∴+＝2，
∴logm2+logm49＝2，
∴logm98＝2，
∴m2＝98，
∴m＝7．
故答案为：7．
10．已知正数x，y满足4x+9y＝xy且x+y＜m2﹣24m有解，则实数m的取值范围是
　（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）　．
解：∵正数x，y满足4x+9y＝xy，∴+＝1，
∴x+y＝（x+y）（+）＝++13≥2+13＝25，
当且仅当＝，即x＝15，y＝10时取等号，
∴x+y的最小值为25，
∵x+y＜m2﹣24m有解，∴25＜m2﹣24m，
即m2﹣24m﹣25＞0，解得m＞25或m＜﹣1，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（25，+∞）．
11．不等式（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，其中a，b∈Z，则a+b＝　10或4　．
解：当b≤0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，
可得ax+3＜0对x∈（﹣∞，0）恒成立，则a不存在；
当b＞0时，由（ax+3）（x2﹣b）≤0对x∈（﹣∞，0）恒成立，
令f（x）＝ax+3，g（x）＝x2﹣b，
又g（x）的大致图象如图所示，
所以，
又a，b∈Z，
所以或，
所以a+b＝4或a+b＝10．
故答案为：4或10．
12．已知实数a＞b＞c，且满足：a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，则s＝b+c的取值范围是
　　．
解：∵a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，
∴b+c＝1﹣a，bc＝[（b+c）2﹣（b2+c2）]＝a2﹣a﹣1，
∵bc＜，
∴a2﹣a﹣1＜，
∴3a2﹣2a﹣5＜0，
即，
∴＜1﹣a＜2，
∴＜b+c＜2，
下面精确a的下限，
假设a＜1，由a＞b＞c，由
﹣＜b＜a＜1，﹣＜c＜a＜1，
所以a2＜1，b2＜1，c2＜1，
因此a2+b2+c2＜3，矛盾，故a＞1，所以b+c＝1﹣a＜0，
综上可得＜b+c＜0，
故答案为：．
二、选择题
13．已知a1a2b1b2≠0，陈述句P：关于x的一元一次不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0有相同的解集；陈述句，则P是Q（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
解：∵若＝时，如取a1＝b1＝1，a2＝b2＝﹣1，
关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0即不等式x+1＞0与﹣x﹣1＞0的解集不相同，
∴“＝”不能推出“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”，
反之，“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”?“＝”，
∴P是Q的充分非必要条件．
故选：A．
14．设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：由lg2＝a，lg3＝b，
得log1225＝＝．
故选：D．
15．若a，b为非零实数，则以下不等式中恒成立的个数是（　　）
①；②；③；④．
A．4
B．3
C．2
D．1
解：a，b为非零实数，
①∵（a﹣b）2≥0，展开可得；
②∵（a﹣b）2≥0，展开可得a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，∴；
③取a＝b＝﹣1，则不成立；
④取ab＜0，则不成立．
综上可得：成立的只有①②．
故选：C．
16．已知，集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}?Z，且c1≤c2≤c3≤c4，则c4﹣c1不可能的值是（　　）
A．4
B．9
C．16
D．64
解：∵集合M＝{x|f（x）＝0}＝{x1，x2，…，x7}?Z，
则函数f（x）有7个解，且全是整数，
又∵x2﹣4x+m＝0
中两个解满足x1+x2＝4，x1?x2＝m，
∴可知解为2和2，3和1，4和0，5和﹣1，6和﹣2，7和﹣3，8和﹣4，9和﹣5，10和﹣6，..．
∴m＝4，3，0，﹣5，﹣12，﹣21，﹣32，﹣45，﹣60..．
∵c1≤c2≤c3≤c4，
∴C4＝4，则C1＝﹣5，或﹣12，或﹣21，或﹣32，或﹣45，或﹣60，..．
则c4﹣c1不可能的值是4，
故选：A．
三、解答题
17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+a﹣1＝0}，C＝{x|x2+2（m+1）x+m2﹣5＝0}．
（1）若A∪B＝A，求实数a的值；
（2）若A∩C＝C，求实数m的取值范围．
解：（1）由x2﹣3x+2＝0得x＝1或2，所以A＝{1，2}，
由x2﹣ax+a﹣1＝0得x＝1或a﹣1，所以1∈B，a﹣1∈B，
因为A∪B＝A，所以B?A，
所以a﹣1＝1或2，所以a＝2或3；
（2）因为A∩C＝C，所以C?A，
当C＝?时，Δ＝4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，解得m＜﹣3，
当C＝{1}时，，无解，
当C＝{2}时，，解得m＝﹣3，
当C＝{1，2}时，，无解，
综上，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]．
18．经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P＝3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．
（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）
当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减
促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，
所以x＝a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；
当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（注：当a≥1时，也可：，
当且仅当时，上式取等号）
19．（1）设集合P＝{n|n＝3k+1，k∈N}，集合Q＝{n|n＝3m﹣2，m∈N}，求证：P?Q；
（2）已知a＞0，b＞0，c＞0，当函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为6时，求证：++≥12．
【解答】证明：（1）先证P?Q，任取n∈P，存在m＝k+1∈N，
使得n＝3k+1＝3（k+1）﹣2＝3m﹣2∈Q，
∵P?Q，
又∵﹣2∈Q，﹣2?P，
∴P?Q，即得证．
（2）证明：∵f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）+（b﹣x）|+c＝a+b+c＝6，
∴
＝，
当且仅当a＝b＝c＝2时取等号，
故．
20．（16分）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为?，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式；
（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围．
解：（1）当a＝4时，﹣1≥0无解，满足题意，
当a＝﹣4时，8x﹣1≥0有解，舍去，
当a≠±4时，解得，
综上，实数a的取值范围是；
（2）由得，
即（x+2）[（m﹣1）x﹣（3m+2）]≥0且x≠﹣2，
当m＝1时，，解集为x∈（﹣∞，﹣2），
当m＞1时，，且x≠﹣2，解集为，
当m＜1时，且x≠﹣2，
当0＜m＜1时，解集为，
当m＝0时，解集为?，
当m＜0时，解集为，
综上，当m＝1时，解集为x∈（﹣∞，﹣2），
当m＞1时，解集为，
当0＜m＜1时，解集为，
当m＝0时，解集为?，
当m＜0时，解集为；
（3）由（1）得A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，
当A∩B中有且只有三个元素，显然0≤m≤1不可能，
当m＞1时，
因为，不合题意，舍去，
当m＜0时，，
因为A∩B中有且只有三个元素，
所以，，解得，
综上，实数m的取值范围是．
21．（18分）已知集合A＝{a1，a2，…，an}（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{0，1，3，4}与{0，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）证明：a1＝0，且nan＝2（a1+a2+…+an）；
（3）当n＝5时，若a2＝3，求集合A．
【解答】（1）解：因为0+1，0+3，0+4，1+3，4﹣1，4﹣3都属于数集{0，1，3，4}，
所以数集{0，1，3，4}具有性质P，
因为2+3和3﹣2均不属于数集{0，2，3，6}，
所以数集{0，2，3，6}不具有性质P；
（2）证明：令i＝j＝n，因为ai+aj与aj﹣ai两数中至少有一个属于A，
所以an+an不属于A，所以an﹣an属于集合A，即0∈A，
所以a1＝0，
令j＝n，i＞1，因为ai+aj，与aj﹣ai两数中至少有一个属于A，
所以ai+aj不属于A，所以aj﹣ai属于集合A，
令i＝n﹣1，则an﹣an﹣1是集合A中的某一项，
若an﹣an﹣1＝a2，符合题意，
若an﹣an﹣1＝a3，则an﹣a3＝an﹣1，
所以an﹣a2＞an﹣a3＝an﹣1，矛盾，
同理an﹣an﹣1等于其他项均矛盾，所以an﹣an﹣1＝a2，
同理，令i＝n﹣2，n﹣3，?，2，可得an＝ai+an+1﹣i，
倒序相加得，
即nan＝2（a1+a2+a+?+an）；
（3）解：当n＝5时，令j＝5，当i≥2时，ai+a5＞a5，
因为集合A具有性质P，所以a5﹣ai∈A，
所以a5﹣ai∈A，i＝1，2，3，4，5，
所以a5﹣a1＞a5﹣a2＞a5﹣a3＞a5﹣a4＞a5﹣a5＝0，
所以a5﹣a1＝a5，a5﹣a2＝a4，a5﹣a3＝a3，
所以a2+a4＝a5，a5＝2a3，所以a2+a4＝2a3，
即0＜a4﹣a3＝a3﹣a2＜a3，
又因为a3+a4＞a2+a4＝a5，所以a3+a4?A，所以a4﹣a3∈A，
所以a4﹣a3＝a2＝a2﹣a1，
所以a5﹣a4＝a2＝a2﹣a1，
所以a5﹣a4＝a4﹣a3＝a3﹣a2＝a2﹣a1＝a2，
即a1，a2，a3，a4，a5是首项为0，公差为a2＝3的等差数列，
所以A＝{0，3，6，9，12}．