2019-2020学年上海市闵行区七校高二（上）期中数学试卷（A卷）（Word解析版）

2019-2020学年上海市闵行区七校高二（上）期中数学试卷（A卷）
一.填空题（共12小题）.
1．＝　
　．
2．已知，则与它同向的单位向量＝　
　（用坐标表示）．
3．经过点（1，2）且平行于直线的直线方程是　
　．
4．已知数列{an}为等差数列，a9＝5，则S17＝　
　．
5．已知向量，，则在方向上的投影为　
　．
6．若数列{an}为等比数列，且a1＝2，，则a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝　
　．
7．若数列{an}的所有项都是正数，且（n∈N
），则该数列的通项公式an＝　
　．
8．已知坐标平面内两个不同的点P1（1，1），（a∈R），若直线P1P2的倾斜角是钝角，则a的取值范围是　
　．
9．已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，所有项的和为S，且，则其首项a1的取值范围　
　．
10．在正△ABC中，若AB＝6，，则＝　
　．
11．已知，数列{an}满足，对于任意n∈N
都满足an+2＝f（an），且an＞0，若a20＝a18，则a2018+a2019＝　
　．
12．在直角△ABC中，，AB＝2，AC＝4，M是△ABC内一点，且，若（λ，μ∈R），则λ+2μ的最大值为　
　．
二.选择题
13．等差数列{an}中，公差d＝1，且a1、a3、a4成等比数列，则a1＝（　　）
A．﹣4
B．﹣6
C．﹣8
D．﹣10
14．数列{an}中，（k∈N
），则数列{an}的极限为（　　）
A．0
B．2
C．0或2
D．不存在
15．有下列命题：
①若与是非零向量，则；
②若且，则；
③若∥，∥，则∥；
④．
其中正确命题的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
16．已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N
，设θn为和的夹角，则（　　）
A．θn随着n的增大而增大
B．θn随着n的增大而减小
C．随着n的增大，θn先增大后减小
D．随着n的增大，θn先减小后增大
三.解答题
17．已知，，其中、分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量．
（1）若∥，求k的值；
（2）若，求k的值；
（3）若与的夹角为锐角，求k的取值范围．
18．已知数列{an}满足：，．
（1）计算数列的前4项；
（2）求{an}的通项公式．
19．已知平行四边形OABC中，若P是该平面上任意一点，则满足（λ，μ∈R）．
（1）若P是BC的中点，求λ+μ的值；
（2）若A、B、P三点共线，求证：λ+μ＝1．
20．如图，已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、B3（3，y3）、…、Bn（n，yn）（n∈N
）依次为函数y＝图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N
）依次为x轴正半轴上的点，其中x1＝a（0＜a＜1），对于任意n∈N
，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形．
（1）证明：数列{yn}是等差数列；
（2）证明：xn+2﹣xn为常数，并求出数列{xn}的前2n项和S2n；
（3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若存在，求出a值，若不存在，请说明理由．
21．已知＝（Sn，2），＝（1，1﹣an），对任意n∈N
，有⊥成立．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn+1＝2bn﹣2n+1，b1＝8，Tn是数列{bn}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N
，Tk≥Tn恒成立；
（3）设cn＝，Rn是数列{cn}的前n项和，若对任意n∈N
均有Rn＜λ恒成立，求λ的最小值．
参考答案
一.填空题
1．＝　0　．
解：依题意，当n→∞时，→0，
所以＝0，
故答案为：0．
2．已知，则与它同向的单位向量＝　　（用坐标表示）．
解：根据题意，已知，设与它同向的单位向量＝（3t，﹣4t），（t＞0），
则有（3t）2+（﹣4t）2＝1，
解可得：t＝，
则＝（，﹣）；
故答案为：（，﹣）．
3．经过点（1，2）且平行于直线的直线方程是　　．
解：由得3x﹣2y﹣7＝0，
∵直线和3x﹣2y+7＝0平行，∴设直线方程为3x﹣2y+c＝0，
∵直线过点（1，2），
∴3﹣4+c＝0，得c＝1，
即直线方程为3x﹣2y+1＝0，
法2：直线的方向向量为（2，3），
∵经过点（1，2）且平行于直线，
∴直线的点向式方程为＝，
故答案为：＝．
4．已知数列{an}为等差数列，a9＝5，则S17＝　85　．
解：由等差数列的性质可得：a1+a17＝2a9．
∴S17＝＝17a9＝17×5＝85．
故答案为：85．
5．已知向量，，则在方向上的投影为　　．
解：根据投影的定义：在方向上的投影为乘以的单位向量，
由＝，
故答案为：﹣
6．若数列{an}为等比数列，且a1＝2，，则a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝　4（1﹣）　．
解：数列{an}为等比数列，a1＝2，，可得q2＝．
则a1+a3+a5+…+a2n﹣1＝＝4（1﹣）．
故答案为：4（1﹣）．
7．若数列{an}的所有项都是正数，且（n∈N
），则该数列的通项公式an＝　4n2　．
解：∵由题意得：，……①
∴n≥2时，有，……②
∴①﹣②得：，
化简得：，
∴n≥2时，有．
而当n＝1时，有，∴a1＝4，满足．
从而综上，该数列的通项公式．
故答案为：4n2．
8．已知坐标平面内两个不同的点P1（1，1），（a∈R），若直线P1P2的倾斜角是钝角，则a的取值范围是　（﹣1，1）∪（1，2）　．
解：∵P1（1，1），（a∈R），
∴＝（a≠1），
∵直线P1P2的倾斜角是钝角，
∴，解得﹣1＜a＜2且a≠1．
∴a的取值范围是（﹣1，1）∪（1，2）．
故答案为：（﹣1，1）∪（1，2）．
9．已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，所有项的和为S，且，则其首项a1的取值范围　（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）　．
解：由S＝，Sn＝S?（1﹣qn），
∴Sn﹣2S＝﹣S（1+qn），
∵，
∴，
∵无穷等比数列，
∴0＜|q|＜1，＝0，
∴S＝﹣1，，
∴q＝1+a1，
∴0＜|1+a1|＜1，
解可得，﹣2＜a1＜0且a1≠﹣1，
故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）
10．在正△ABC中，若AB＝6，，则＝　﹣6　．
解：如图，由三点共线定理，，
所以＝＝＝﹣12+6＝﹣6．
故答案为：﹣6．
11．已知，数列{an}满足，对于任意n∈N
都满足an+2＝f（an），且an＞0，若a20＝a18，则a2018+a2019＝　．　．
解：∵，
∴，
同理得：
∴，
又：an+2＝f（an），∴an+4＝f（an+2），
∴，从而该数列周期为4，
又令a20＝a18＝t＞0，则，t＝，解得t2+2t﹣1＝0，t＝，
且，
∴，
∴．
故答案为：．
12．在直角△ABC中，，AB＝2，AC＝4，M是△ABC内一点，且，若（λ，μ∈R），则λ+2μ的最大值为　　．
解：建立如图平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，2），C（4，0），
M（cosθ，sinθ），（0＜θ＜），
∵（λ，μ∈R），∴（cosθ，sinθ）＝λ（0，2）+μ（4，0），
∴cosθ＝4μ，sinθ＝2λ，
∴λ+2μ＝（sinθ+cosθ）＝sin（θ+），
由0＜θ＜得＜θ+＜，
∴＜sin（θ+）≤1，
∴＜λ+2μ≤，
则λ+2μ的最大值为，
故答案为：．
二.选择题
13．等差数列{an}中，公差d＝1，且a1、a3、a4成等比数列，则a1＝（　　）
A．﹣4
B．﹣6
C．﹣8
D．﹣10
解：由a1、a3、a4成等比数列，
得，即，
解得a1＝﹣4．
故选：A．
14．数列{an}中，（k∈N
），则数列{an}的极限为（　　）
A．0
B．2
C．0或2
D．不存在
解：①当n＝2k﹣1时，，
②当n＝2k时．
所以数列{an}的极限不存在．
故选：D．
15．有下列命题：
①若与是非零向量，则；
②若且，则；
③若∥，∥，则∥；
④．
其中正确命题的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
解：①若与是非零向量，则，所以成立；
②若且，则，则垂直，则不一定成立；
③若∥，∥，若是零向量，与不一定平行，所以则∥不成立；
④不成立，不满足向量的结合律．
正确的有1个
故选：B．
16．已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N
，设θn为和的夹角，则（　　）
A．θn随着n的增大而增大
B．θn随着n的增大而减小
C．随着n的增大，θn先增大后减小
D．随着n的增大，θn先减小后增大
解：分别以
和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则＝（1，0），＝（0，1），
设＝（xn，yn），
∵，，n∈N
，
∴xn＝n，yn＝2n+1，n∈N
，
∴＝（n，2n+1），n∈N
，
∵θn为和的夹角，
∴tanθn＝＝＝2+
∴y＝tanθn为减函数，
∴θn随着n的增大而减小．
故选：B．
三.解答题
17．已知，，其中、分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量．
（1）若∥，求k的值；
（2）若，求k的值；
（3）若与的夹角为锐角，求k的取值范围．
解：（1）∵已知，，其中、分别是x轴、y轴正方向同向的单位向量，
若∥，则＝，求得k＝﹣4．
（2）∵﹣2＝（﹣2﹣2k）
﹣3，若，则＝3，求得k＝﹣1．
（3）若与的夹角为锐角，则＞0，且与
不共线，
∴?＝﹣2k+2＞0，且则≠，求得k＜1，且k≠﹣4，
故k的范围是（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，1）．
18．已知数列{an}满足：，．
（1）计算数列的前4项；
（2）求{an}的通项公式．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴．
总之，数列{an}的前4项为：、、、．
（2）∵，
∴两边取倒数得：，
∴，
∴数列{}是以为首项，公差为1的等差数列，
∴，
∴．
19．已知平行四边形OABC中，若P是该平面上任意一点，则满足（λ，μ∈R）．
（1）若P是BC的中点，求λ+μ的值；
（2）若A、B、P三点共线，求证：λ+μ＝1．
解：（1）若P是BC的中点，则＝＝，
又，
∴根据平面向量基本定理得，，
∴；
（2）证明：∵A，B，P三点共线，
∴和共线，
∴存在实数k，使，
∴，
∴，
又，
∴根据平面向量基本定理得，λ+μ＝1﹣k+k＝1．
20．如图，已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、B3（3，y3）、…、Bn（n，yn）（n∈N
）依次为函数y＝图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N
）依次为x轴正半轴上的点，其中x1＝a（0＜a＜1），对于任意n∈N
，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形．
（1）证明：数列{yn}是等差数列；
（2）证明：xn+2﹣xn为常数，并求出数列{xn}的前2n项和S2n；
（3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若存在，求出a值，若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数
∴
∴
∴{yn}是等差数列；
（2）∵△AnBnAn+1与△An+1Bn+1An+2为等腰三角形
∴．∴xn+2﹣xn＝2
∴
（3）要使△AnBnAn+1为直角三角形，则
当n为奇数时，xn+1﹣xn＝2（1﹣a），∴
∴
n＝1，得，n＝3得，n≥5，则无解；
当n为偶数时，同理得
n＝2，得
，n≥4，则无解；
∴存在直角三角形，此时a值为
21．已知＝（Sn，2），＝（1，1﹣an），对任意n∈N
，有⊥成立．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn+1＝2bn﹣2n+1，b1＝8，Tn是数列{bn}的前n项和，求正整数k，使得对任意n∈N
，Tk≥Tn恒成立；
（3）设cn＝，Rn是数列{cn}的前n项和，若对任意n∈N
均有Rn＜λ恒成立，求λ的最小值．
解：（1）由＝（Sn，2），＝（1，1﹣an），对任意n∈N
，有⊥成立，
得?＝Sn+2﹣2an＝0，
n≥2时，Sn﹣1+2﹣2an﹣1＝0，
两式相减，得an﹣2an+2an﹣1＝0，故an＝2an﹣1（n≥2）．
又n＝1时，a1+2﹣2a1＝0，a1＝2．
所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴数列{an}的通项公式为
；
（2）b1＝8，bn+1＝2bn﹣2n+1，即为＝﹣1，
可得{}为首项为4，公差为﹣1的等差数列，
则＝4﹣（n﹣1）＝5﹣n，即有bn＝（5﹣n）?2n，
Tn＝4?2+3?4+2?8+…+（5﹣n）?2n，
2Tn＝4?4+3?8+2?16+…+（5﹣n）?2n+1，
两式相减可得﹣Tn＝8﹣4﹣8+…﹣2n﹣（5﹣n）?2n+1
＝8﹣﹣（5﹣n）?2n+1，
化简可得Tn＝﹣12+（6﹣n）?2n+1，
由f（n）＝（6﹣n）?2n+1，当1≤n≤6时，f（n）≥0，n≥7时，f（n）＜0，
可得f（1）＝20，f（2）＝32，f（3）＝48，f（4）＝64，f（5）＝64，f（6）＝0，则n＝4，f（n）取得最大值64，
可得Tn的最大值为64﹣12＝52，
则存在正整数k，且为4，使得对任意n∈N
，Tk≥Tn恒成立；
（3）cn＝＝＝2（﹣），
可得Rn＝2（﹣+﹣+…+﹣）＝2（﹣）＜，
对任意n∈N
均有Rn＜λ恒成立，可得λ≥，
即λ的最小值为．