2021-2022学年北师大版八年级数学上册第1章勾股定理单元训练（word解析版）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元优生辅导训练（附答案）
1．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）
A．4.8
B．4.8或3.8
C．3.8
D．5
2．下列三角形是直角三角形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．若等腰三角形ABC的周长为16cm，底边BC上高线AD长为4cm，则三角形ABC的面积是　
　cm2．
4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，若AB＝5，AC＝4，则BD＝　
　．
5．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是　
　cm．
6．如图，一个无盖的长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C的距离为5cm．一只蚂蚁如果要沿着该盒子的表面从点A爬到点B，那么需要爬行的最短路程为　
　cm．
7．观察下列式子：
当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝　
　，b＝　
　，c＝　
　．
8．如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要　
　元钱．
9．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长
10．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．
11．如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．
12．学校校内有一块如图所示的三角形空地ABC，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为30元，学校修建这个花园需要投资多少元？
13．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝120米，此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶，假设消防车行驶时周围100米以内有噪音影响．
（1）学校是否会受到影响？请说明理由．
（2）如果受到影响，则影响时间是多长？
14．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
15．一写字楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米的点A处．升起云梯到发生火灾的窗口点C处．已知云梯BC长15米，云梯底部B距地面A为2.2米．问发生火灾的窗口距地面有多少米？
16．如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．
（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．
17．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，DB＝，求
（1）AD的长；
（2）△ABC是直角三角形吗？为什么？
18．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．已知AB＝2.5km，CA＝1.5km，DB＝1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？
19．如图已知：△ABC中，AB＝13，BC＝12，
（1）当∠ACB＝90°时，求△ABC的面积．
（2）在（1）的条件下，若点O为此Rt△ABC内一点且点O到三边的距离相等，作OE、OF、OG分别垂直于AB、AC、BC，求OE的长．
（3）若CA＝11，过△ABC内的点P向△ABC三边分别作垂线PE、PF、PG，且CF+AE+BG＝18，求AF+AE的长．
20．小明和小颖在如图所示的四边形场地上，沿边骑自行车进行场地追逐赛（两人只要有一个人回到自己的出发点，则比赛结束）．小明从A地出发，沿A→B→C→D→A的路线匀速骑行，速度为8米/秒；小颖从B地出发，沿B→C→D→A→B的路线匀速骑行，速度为6米/秒．已知∠ABC＝90°，AB＝40米，BC＝80米，CD＝90米．设骑行时间为t秒，假定他们同时出发且每转一个弯需要额外耗时2秒．
（1）填空：当t＝　
　秒时，两人第一次到B地的距离相等；
（2）试问小明能否在小颖到达D地前追上她？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
21．如图，D为△ABC的BC边上的一点，AB＝10，AD＝6，DC＝2AD，BD＝DC．
（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积．
22．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
23．利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理．
①如图（1）所示可以证明勾股定理，因为大正方形面积表示为（a+b）2，又可表示为c2+4×ab，所以（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2+2ab＝c2+2ab，所以a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
②美国第20届总统伽菲尔德利用图（2）证明了勾股定理，请你用①的方法证明勾股定理；
③如图（3）请你用①的方法证明勾股定理；
④如图（4）请你用①的方法证明勾股定理．
24．如图，已知长方形ABCD中AB＝8cm，BC＝10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长．
参考答案
1．解：过A点作AF⊥BC于F，连接AP，
∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BF＝4，
∴△ABF中，AF＝3，
∴×8×3＝×5×PD+×5×PE，
12＝×5×（PD+PE）
PD+PE＝4.8．
故选：A．
2．解：由勾股定理的逆定理得，因为D能满足a2+b2＝c2，所以D是直角三角形．
故选：D．
3．解：如图，∵AB＝AC，AD⊥BC，AD＝4cm
∴BD＝BC
∵等腰三角形ABC的周长为16cm
∴2AB+2BD＝16cm，即AB+BD＝8①，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝AB2﹣42②，
联立①②方程，解得，AB＝5cm，DB＝3cm
∴BC＝6cm
∴S△ABC＝BC?AD＝×6×4＝12cm2
4．解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4，
根据勾股定理得：BC＝3，
又CD是Rt△ABC斜边AB上的高，且S△ABC＝BC?AC＝AB?CD，
∴CD＝＝＝2.4，
在Rt△BCD中，CD＝2.4，BC＝3，
根据勾股定理得：BD＝1.8．
故答案为：1.8
5．解：如图：
∵高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，
∴A′D＝5cm，BD＝12﹣3+AE＝12cm，
∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，
连接A′B，则A′B即为最短距离，
A′B＝13（cm）．
故答案为：13
6．解：如图所示，
AB＝25cm．
故答案为：25．
7．解：∵当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5
n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10
n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…
∴勾股数a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．
故答案为：2n，n2﹣1，n2+1．
8．解：由勾股定理，AC＝12（m）．
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×18＝612元．
故答案为：612．
9．（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2
x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝（cm）．
10．解：所画图形如下所示，其中点A即为所求；
．
11．解：Rt△ABC中，∠B＝90°，
设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）
则10+a＝x+b＝15（m）．
∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）
又在Rt△ABC中，由勾股定理得：（10+x）2+a2＝b2，
∴（10+x）2+52＝（15﹣x）2，
解得，x＝2，即AD＝2（米）
∴AB＝AD+DB＝2+10＝12（米）
答：树高AB为12米．
12．解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x，则CD＝14﹣x，
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
∵AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，解得x＝5，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝132﹣52＝144，
∴AD＝12（米），
∴学校修建这个花园的费用＝30××14×12＝2520（元）．
答：学校修建这个花园需要投资2520元．
13．解：（1）学校受到噪音影响．理由如下：
作AB⊥MN于B，如图1，
∵PA＝120m，∠QPN＝30°，
∴AB＝PA＝60m，
而60m＜100m，
∴消防车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响；
（2）以点A为圆心，100m为半径作⊙A交MN于C、D，如图，
∵AB⊥CD，
∴CB＝BD，
在Rt△ABC中，AC＝100m，AB＝60m，
CB＝80m，
∴CD＝2BC＝160m，
∵消防车的速度5m/s，
∴消防车在线段CD上行驶所需要的时间＝160÷5＝32（秒），
∴学校受影响的时间为32秒．
14．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；
根据勾股定理可得：BC=40m
∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
15．解：由题意可得：DC＝12（m），
则CH＝DC+DH＝12+2.2＝14.2（m），
答：发生火灾的窗口距地面有14.2米．
16．解：（1）AO＝4（米）．
答：梯子顶端与地面的距离OA的长为4米；
（2）OD＝4（米），BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）．
答：若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离是1米．
17．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
在Rt△BCD中，BC＝3，DB＝，
根据勾股定理得：CD＝，
在Rt△ACD中，AC＝4，CD＝，
根据勾股定理得：AD＝；
（2）△ABC为直角三角形，理由为：
∵AB＝BD+AD＝+＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
18．解：由题意可得：设AE＝xkm，则EB＝（2.5﹣x）km，
∵在Rt△ACE和Rt△EBD中，
AC2+AE2＝EC2，BE2+DB2＝ED2，EC＝DE，
∴AC2+AE2＝BE2+DB2，
∴1.52+x2＝（2.5﹣x）2+12，
解得：x＝1．
答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等．
19．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得：AC＝5，
即△ABC的面积为＝＝30；
（2）连接AO、BO、CO，，
设OE＝OF＝OG＝x，
∵S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB，
∴30＝++，
解得：x＝2，
即OE＝2；
（3）如图，连接PA，PB，PC，，
设CF＝x，AE＝y，BG＝z，则AF＝11﹣x，BE＝13﹣y，CG＝12﹣z，
在Rt△CFP和Rt△CGP中，
有x2+PF2＝（12﹣z）2+PG2
同理有：y2+PE2＝（11﹣x）2+PF2，
z2+PG2＝（13﹣y）2+PE2，
将以上三式相加，
得x2+y2+z2＝（11﹣x）2+（13﹣y）2+（12﹣z）2，
即11x+13y+12z＝217①，
又∵x+y+z＝18，
∴12x+12y+12z＝216②，
由②﹣①得：y＝x+1，
∴AF+AE＝11﹣x+y＝11﹣x+x+1＝12．
20．解：（1）由题意得，40﹣8t＝6t，
∴t＝，
∴当t＝秒时，两人第一次到B地的距离相等；
故答案为：；
（2）当小颖到点C时，所用时间为80÷6＝秒，此时，小明也骑了秒，
而小明到点B时，用了40÷8＝5秒，剩余﹣5﹣2＝，×8＝米＜80米，所以小明不可能在BC边上追上小颖，
当小颖到达D点时，所用时间为（80+90）÷6+2＝+2＝秒，
小明在AB边上用时：40÷8＝5秒，小明在BC边上用时：80÷8＝10秒，刚好到到点C时，一共用时：5+2+10＝17秒，小明在CD边上用时：90÷8＝11.25秒，所以，小明到达点D时，共用：5+10+2+2+11.25＝30.25秒＜秒
∴能在到达D地前追上；
根据题意得，8（t﹣2×2）＝6（t﹣2）+40，∴t＝30秒，
21．解：（1）∵AD＝6，DC＝2AD，
∴DC＝12，
∵BD＝DC，
∴BD＝8，
BC＝BD+DC＝8+12＝20；
（2）在△ABD中，AB＝10，AD＝6，BD＝8，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD为直角三角形，即AD⊥BC，
∵BC＝BD+DC＝8+12＝20，AD＝6，
∴S△ABC＝×20×6＝60．
22．解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
则x+1＝13，
答：水深12尺，芦苇长13尺．
23．解：②梯形的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，
也可利用表示为ab+c2+ab，
∴a2+ab+b2＝ab+c2+ab，即a2+b2＝c2
②连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），
∴a2+b2＝c2；
④根据题意，中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4××ab＝a2+b2；
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．
24．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10cm，CD＝AB＝8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE＝90°，AF＝10cm，EF＝DE，
设CE＝xcm，则DE＝EF＝CD﹣CE＝8﹣x，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
即82+BF2＝102，
∴BF＝6cm，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），
在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2＝CE2+CF2，
即（8﹣x）2＝x2+42，
∴64﹣16x+x2＝x2+16，
∴x＝3（cm），
即CE＝3cm．