函
数
章末检测
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，－1)
C.
(－1，0)
D．(－∞，－1)∪(－1，0)
2．已知函数f(x)＝则f的值为( )
A.
B．－
C.
D．18
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－
B.
C.
D．－
4．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－5，f＝9，则下列结论正确的是( )
A．x0∈
B．x0＝－
C．x0∈
D．x0＝1
5．图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图像是( )
6．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．不确定
7．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是( )
8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )
A．f(2)>f(3)
B．f(2)>f(5)
C．f(3)>f(5)
D．f(3)>f(6)
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数
D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x
10．关于函数f(x)＝，下列结论正确的是( )
A．f(x)的图像过原点
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减
D．f(x)是定义域上的减函数
11．设0
A．b＝2
B．a＋b＝5
C．ab＝6
D．a＝2
12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( )
A．出租车行驶4
km，乘客需付费9.6元
B．出租车行驶10
km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5
km两次的费用超过他乘出租车行驶10
km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9
km
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数y＝的值域是________．
14．已知f(x)＝则不等式f(x)>x的解集为________．
15．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a元(价格为整数)，则a的值为________．
16．已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.
(1)若函数f(x)的图像与x轴无交点，则实数a的取值范围为________；
(2)若函数f(x)在[－1，1]上存在零点，则实数a的取值范围为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x<0时，f(x)＝.
(1)求f(5)的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
(1)在图中画出函数f(x)的大致图像；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x－，且f＝3.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0)．
(1)若a＝－1，求函数的零点；
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．
22．(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
函
数章末检测
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(－∞，0)
B．(－∞，－1)
C.
(－1，0)
D．(－∞，－1)∪(－1，0)
解析：选D 根据题意有?x<0且x≠－1，即x∈(－∞，－1)∪(－1，0)．
2．已知函数f(x)＝则f的值为( )
A.
B．－
C.
D．18
解析：选C 由题意得f(3)＝32－3－3＝3，那么＝，所以f＝f＝1－＝.
3．已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A．－
B.
C.
D．－
解析：选B 令t＝x－1，则x＝2(t＋1)，进而f(t)＝4(t＋1)－5＝4t－1，由f(a)＝6，得4a－1＝6，解得a＝.
4．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－5，f＝9，则下列结论正确的是( )
A．x0∈
B．x0＝－
C．x0∈
D．x0＝1
解析：选C 由于f·f(2)<0，则x0∈.
5．图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图像是( )
解析：选B 由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S逐渐减小，且减小的越来越慢，结合选项可知选B.
6．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．不确定
解析：选C 方程2x2＋bx－3＝0的判别式Δ＝b2＋24>0恒成立，所以方程有两个不等实根，因而函数f(x)有两个零点．
7．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像如图，则函数y＝f(x)·g(x)的图像可能是( )
解析：选A 由图像知y＝f(x)为偶函数，y＝g(x)为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数且x≠0.由图像知x∈时，f(x)>0，g(x)<0，x∈时，f(x)<0，g(x)<0，所以x∈时，y＝f(x)·g(x)<0，x∈时，y＝f(x)·g(x)>0.故A正确．
8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(4，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )
A．f(2)>f(3)
B．f(2)>f(5)
C．f(3)>f(5)
D．f(3)>f(6)
解析：选D ∵y＝f(x＋4)为偶函数，
∴f(－x＋4)＝f(x＋4)．
令x＝2，得f(2)＝f(－2＋4)＝f(2＋4)＝f(6)，
同理，f(3)＝f(5)．又知f(x)在(4，＋∞)上为减函数，
∵5<6，∴f(5)>f(6)．
∴f(2)f(3)＝f(5)>f(6)．故选D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是( )
A．f(0)＝0
B．若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1
C．若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数
D．若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x
解析：选ABD 由奇函数在x＝0处有定义知，f(0)＝0，故A正确；
由图像的对称性可知B正确；
由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故C不正确；
对于D，当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，
所以－f(x)＝f(－x)＝x2＋2x，所以f(x)＝－x2－2x，故D正确．综上可知，正确结论为A、B、D.
10．关于函数f(x)＝，下列结论正确的是( )
A．f(x)的图像过原点
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减
D．f(x)是定义域上的减函数
解析：选AC 函数f(x)＝＝＝1＋，f(0)＝0，A对；
图像关于(1，1)点对称，B错；
f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)是减函数，整个定义域上不是减函数，故C对，D错，故选A、C.
11．设0A．b＝2
B．a＋b＝5
C．ab＝6
D．a＝2
解析：选BCD ∵f(x)＝(x－2)2＋2≥2，∴a≥2，
∴f(x)在[a，b]上单调递增．
∵f(x)在区间[a，b](a∴a，b为方程f(x)＝x的两根．
由x2－4x＋6＝x，得a＝2，b＝3.
故选B、C、D.
12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3
km(不超过3
km按起步价付费)；超过3
km但不超过8
km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8
km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( )
A．出租车行驶4
km，乘客需付费9.6元
B．出租车行驶10
km，乘客需付费25.45元
C．某人乘出租车行驶5
km两次的费用超过他乘出租车行驶10
km一次的费用
D．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9
km
解析：选BCD 在A中，出租车行驶4
km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15元，A错误；在B中，出租车行驶10
km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45元，B正确；在C中，乘出租车行驶5
km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.3元，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，C正确；在D中，设出租车行驶x
km时，付费y元，由8＋5×2.15＋1＝19.75<22.6知x>8，因此由y＝8＋2.15×5＋2.85(x－8)＋1＝22.6，解得x＝9，D正确．故选B、C、D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数y＝的值域是________．
解析：由题意知，函数y＝的定义域为x∈R，则x2＋1≥1，∴y≥1.
答案：[1，＋∞)
14．已知f(x)＝则不等式f(x)>x的解集为________．
解析：由f(x)>x，得或解得x>5或－5答案：(－5，0)∪(5，＋∞)
15．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a元(价格为整数)，则a的值为________．
解析：设按出厂价y元购买x(x≤50)套应付a元，
则a＝xy.
再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元，则a＝(x＋11)(y－30)，其中x＋11＞50.
∴xy＝(x＋11)(y－30)(39＜x≤50)．
∴x＝y－30.又x∈N，y∈N(因价格为整数)，39＜x≤50，∴x＝44，y＝150，a＝44×150＝6
600.
答案：6
600
16．已知函数f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R.
(1)若函数f(x)的图像与x轴无交点，则实数a的取值范围为________；
(2)若函数f(x)在[－1，1]上存在零点，则实数a的取值范围为________．
解析：(1)∵f(x)的图像与x轴无交点，
∴Δ＝16－4(a＋3)<0，∴a>1，即实数a的取值范围为(1，＋∞)．
(2)∵函数f(x)的图像的对称轴为直线x＝2，且开口向上，
∴f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴要使f(x)在[－1，1]上存在零点，
需满足即∴－8≤a≤0，
即实数a的取值范围为[－8，0]．
答案：(1)(1，＋∞) (2)[－8，0]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x<0时，f(x)＝.
(1)求f(5)的值；
(2)求函数f(x)的解析式．
解：(1)因为函数f(x)是奇函数，且x<0时，f(x)＝，
所以－f(5)＝f(－5)＝＝－，
所以f(5)＝.
(2)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝＝－f(x)，
所以x>0时，f(x)＝－＝.
所以f(x)＝
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝
(1)在图中画出函数f(x)的大致图像；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间．
解：(1)函数f(x)的大致图像如图所示．
(2)由函数f(x)的图像得出，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为[2，4]．
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x－，且f＝3.
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：(1)因为f(x)＝2x－，且f＝3，
所以f＝1－2a＝3，解得a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝2x＋，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
证明如下：
设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1≠x2，则
＝＝
＝2－，
由x1，x2∈(1，＋∞)知x1x2>1，<1，
所以2－>0，即>0，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递增．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋2x－2－a(a≤0)．
(1)若a＝－1，求函数的零点；
(2)若函数在区间(0，1]上恰有一个零点，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2＋2x－1，
令f(x)＝－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，所以当a＝－1时，函数f(x)的零点是1.
(2)①当a＝0时，2x－2＝0得x＝1，符合题意．
②当a<0时，f(x)＝ax2＋2x－2－a＝a(x－1)·＝0，则x1＝1，x2＝－，
由于函数在区间(0，1]上恰有一个零点，则－≥1或－≤0，
解得－1≤a<0或a≤－2，
综上可得，a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，0]．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使“?x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0，2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0，2]上恒成立即可．
所以
即
解得a≥.
则实数a的取值范围为.
22．(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是万元．
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围；
(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润．
解：(1)由题意可知，2≥30.
所以5x2－14x－3＝(5x＋1)(x－3)≥0，
所以x≤－或x≥3.
又1≤x≤10，所以3≤x≤10.
所以x的取值范围是[3，10]．
(2)易知获得的利润y＝＝120，x∈[1，10]，
令t＝∈，则y＝120(－3t2＋t＋5)．
当t＝，即x＝6时，ymax＝610，
故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元．
