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28.2.1解直角三角形教学设计
课题
解直角三角形
单元
28
学科
数学
年级
九
学习
目标
【知识与技能】
理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理及锐角三角函数等知识解直角三角形的过程，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
【情感态度】
渗透数形结合思想，在解决问题过程中，感受成功的快乐，树立良好的学习习惯.
重点
运用直角三角形的边角关系解直角三角形.
难点
灵活运用锐角三角函数解直角三角形.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
问题
如图（1）所示的是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，如图（2），在Rt△ABC
中，ZC
=90，BC
=5.2m，AB=
54.5m，你能根据上述条件求出图（2）中∠A的度数（即塔身中心线与垂直中心线的夹角的度数）吗？与同伴相互交流.
学生可相互交流，教师巡视，听取学生的看法、见解，随时参与讨论.
帮助学生获取
正确认知.
讲授新课
在上述问题中，我们已知直角三角形的一条直角边和斜边，利用锐角三角函数可求出它的锐角的度数，事实上，我们还可以借助直角三角形中两锐角互余，求出另一个锐角度数，也可以利用勾股定理得到另一条直角边.
一般地，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三形
思考
（1）直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？
（2）知道5个元素中的几个，就可以求出其余元素？
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么除直角C外的5个元素之间有如下关系：
三边之间的关系：a2+b2=c2
两锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
边角之间的关系：
通过它们之间的关系，可以发现，知道其中的2个元素（至少有一条是边），就可以求出其他所有元素.
学生自主探究，得出结论.
教师可分别参与讨论，帮助学生获取正确认知.
典例精析
例1
如图，在
Rt△ABC
中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且，解这个直角三角形.
【分析】由首先联想到勾股定理可得，再利用知∠A=30°，从而∠B=60°.这是一例除直角外的两个已知元素都是边的情形，在求它的锐角度数时，有时必须借助计算器才行.
例
2
如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=40°，且b=20，解这个直角三角形（结果保留一位小数).
【分析】本例是已知一条边和一个锐角，求这个直角三角形的另两边长和另一个锐角.首先可轻松得到∠A=50°，再利用可求出a，c的值，也可由，则
求c的值，再利用勾股定理，或利用锐角的正切函数求出a的值.
注意：由于40°，50°均不是特殊角，它的三角函数值可利用计算器获得.
先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法.
能用所学知识解决问题，也可增强学生的学习兴趣.
课堂练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA
=
0.8
，BC=8，则AC的值为(
)
A．4
B．6
C．8
D．10
2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB=
，则菱形的周长是
(
)
A．10
B．20
C．40
D．28
3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=，
b=2，则c=
；
（2）若a=10，c=10，则∠B=
；
（3）若b=35，∠A=45°，则a=
；
（4）若c=20，∠A=60°，则a=
.
4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，
CosB=,则
AC
的长为
.
5.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°求△ABC的周长（结果保留根号）
6.如图，已知
AC
=
4，求
AB
和
BC
的长．
学生自主完成习题，老师订正.
让学生巩固已学知识，加深对知识的理解与运用.
课堂小结
1.知识回顾.
2.谈谈这节课你有哪些收获？
教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识.
让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共23张PPT)
28.2.1解直角三角形
人教版
九年级下册
回顾旧知
(1)
三边之间的关系：a2+b2=_____
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____
(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____tanA=_____
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
c2
90°
A
C
B
c
b
a
情景导入
如图是意大利的比萨斜塔，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的交点为A
，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2米，AB=54.5米.
知道以上条件，你能求出∠A的度数吗？
探究新知
利用计算器可得∠A≈5°28′.
根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角．
你愿意试着计算一下吗？
将上述问题推广到一般情形，就是：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数.
在直角三角形中知道几个条件可以求解呢？
探究新知
在Rt△ABC中,
一角
一角一边
A
B
C
（2）根据∠A=60°,∠B=30°,
你能求出这个三角形的其他元素吗?
（1）根据∠A=
60°，你能求出这个三角形的其他元素吗?
（3）根据∠A=
60°,斜边AB=4,你能求出这个三角形的其他元素吗?
两边
你发现了什么？
两角
（4）根据BC=2
，AC=
2
，
你能求出这个三角形的其他元素吗？
不能
不能
∠B
AC
BC
∠A
∠B
AB
总结
在Rt△ABC中,
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.
我发现了：
一角一边
两边
两角
不能求其他元素
一角
能求其他元素
归纳小结
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
思考
（1）三边之间的关系
a2+b2=c2（勾股定理）
；
（2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系
在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
归纳总结
解直角三角形的原则：
(1)有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）；
(2)宁乘勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算；
(3)取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用中间数据求解.
典例精析
例1
如图，在
Rt△ABC
中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形．
提问
需求的未知元素：
斜边AB、锐角A、锐角B.
典例精析
练一练
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
a
=
30
,
b
=
20,解这个直角三角形.
解：根据勾股定理，得
A
B
C
b=20
a=30
c
∵tanA=
∴
典例精析
例2
如图，在
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．
提问
需求的未知元素：
直角边a、斜边c、锐角A.
典例精析
还有别的
解法吗？
练一练
在Rt△ABC,∠C=90°,
∠A=45°,
c=4
解这个直角三角形.
C
B
A
45°
c=4
解：
∵
∠A=45°，
∴
∠B=90°-∠A=45°.
a
b
∵sinA=
∴
∵cosA=
∴
也可以：
∵
∠A=
∠B=45°，
∴
b=a=
2
2.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC=4，sinB=
，则菱形的周长是
(
)
A．10
B．20
C．40
D．28
课堂练习
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA
=
0.8
，BC=8，则AC的值为(
)
A．4
B．6
C．8
D．10
B
C
课堂练习
3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）若a=
，
b=
，则c=
；
（2）若a=10，c=
，则∠B=
；
（3）若b=35，∠A=45°，则a=
；
（4）若c=20，∠A=60°，则a=
.
45°
35
4.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，
则
AC
的长为
.
3.75
课堂练习
5.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°求△ABC的周长（结果保留根号）
课堂练习
6.如图，已知
AC
=
4，求
AB
和
BC
的长．
在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB－∠ACD=45°，
D
解：如图，作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，
∴∠ACD=90°-∠A=60°.
∴CD=AC=2
∴
板书设计
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
作业布置
1.课后练习题1,2题；
2.完成练习册本课时的习题。
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