湖南省长沙县第九重点高中2021-2022学年高一上学期9月月考测试数学试题（Word版，含解析）

长沙县第九高中2021-2022学年高一上学期9月月考测试
数学试卷
1.
下列命题中正确的是
A.
B.
C.
D.
1.
如果，是两个单位向量，下列四个结论中正确的是
A.
B.
C.
D.
1.
若复数z满足，则
A.
B.
C.
D.
1.
如图所示的中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则
A.
B.
C.
D.
1.
已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，那么a等于
A.
1
B.
2
C.
4
D.
1或4
1.
已知向量，，，若，则
A.
B.
C.
D.
2
1.
在中，已知，且满足，则该三角形的面积为
A.
1
B.
2
C.
D.
1.
如图，半圆的直径，O为圆心，C为半圆上不同于的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是
A.
2
B.
0
C.
D.
1.
若复数z满足，则
A.
B.
C.
z在复平面内对应的点位于第四象限
D.
为纯虚数
1.
已知向量，是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使，共线的是
A.
且
B.
存在相异实数，，使
C.
当时，
D.
已知梯形ABCD，其中，
1.
对于，有如下命题，其中正确的有
A.
若，则为等腰三角形
B.
若，则为直角三角形
C.
若，则为钝角三角形
D.
若，，，则的面积为或
1.
给出下列命题，其中正确的选项有
A.
非零向量、满足，则与的夹角为
B.
若，则为等腰三角形
C.
若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
D.
若，，，为锐角，则实数m的取价范围是
1.
已知为单位向量，且，若，向量的夹角为，则__________.
1.
如图，为测量山高MN，选择A和另一座的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得，已知山高，则山高________
1.
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，，，则??????，??????.
1.
已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点含端点，则的取值范围是______
.
1.
当实数a取何值时，在复平面内与复数对应点满足下列条件？
在第三象限；
在虚轴上；
在直线上．
1.
在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，_____，，，
求角B；
求的面积．
1.
在平面直角坐标系xOy中，点、、
求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
设实数t满足，求t的值．
1.
中，
求A；
若，求周长的最大值．
1.
在海岸A处，发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间．
已知，，，
若，且，求x的值；
若函数，求的最小值；
是否存在实数k，使得？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．
1.
答案
1.【答案】D
【解析】解：对于A，利用向量的减法，可得，即A不正确；
对于B，结果应该是，即B不正确；
对于C，结果是0，即C不正确；
对于D，利用向量的加法法则，可知正确
故选：
对于A，利用向量的减法，可得；对于B，结果应该是；对于C，结果是0；对于D，利用向量的加法法则，可得结论．
本题考查平面向量中的基本概念，考查学生对概念的理解，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：单位向量是模为1的向量，但方向可不同，故A错；
B.，故B错；
C.，，故，故C错；
D.，，故D对．
故选：
由相等向量的概念：大小相等，方向相同的两向量为相等向量，即可判断A；
由向量的数量积的定义，即可判断B；
由向量的平方即为模的平方，以及单位向量的概念，即可判断C，
本题考查平面向量的基本概念：单位向量、相等向量、向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由，
得
故选：
先求复数的模，变形后再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：依题意，
故选：
根据已知，利用向量的线性运算即可求解．
本题考查向量加法、减法以及向量的数乘运算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦定理列出关系式，把b，c，的值代入计算即可求出a的值．
此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
【解答】
解：中，，，，
由余弦定理得：，即，
解得：或舍去，
则a的值为
故选：
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查平面向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算．
可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出
【解答】
解：；
又；
；
解得
故选：
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，正弦定理和余弦定理是解三角形问题常用的公式，应熟练记忆，属于基础题.
利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，代入到余弦定理中求得中，求得的值，进而求得C，最后利用三角形面积公式求得答案．
【解答】
解：，
，即，
，
又C为三角形内角，
，
故选：
8.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，基本不等式，根据O为AB的中点，将化为，进而转化为一个基本不等式问题是解答本题的关键．
根据O为AB的中点，我们易得，又由OPC三点共线，故为定值，根据基本不等式，我们易得的最小值．
【解答】
解：因为O为AB的中点，
所以，
从而则；
又为定值，
所以当且仅当，
即P为OC的中点时，
取得最小值是，
故选：
9.【答案】BD
【解析】解：，，
，，z在复平面内对应的点位于第二象限，为纯虚数，
可得：BD正确．
故选：
利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义即可判断出正误．
本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的性质、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：联立和消去向量可得出，，且，
，共线；
B.都是非零向量，且，，
，都不为0，
，
共线；
C.当时，满足，此时对任意的向量都有，
得不出共线；
D.与CD不一定平行，
得不出共线．
故选：
选项A：根据，即可得出，从而得出共线；选项B：可得出，都不等于0，并得出，从而得出共线；选项C：，时，满足选项的条件，显然得不出共线；对于选项D：显然得不出共线．
本题考查了向量的数乘运算，共线向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】CD
【解析】解：对于A：，是等腰三角形，或，即是直角三角形．故A不对；
对于B：由，或不一定是直角三角形；
对于C：，为钝角三角形，C正确；
对于D：由正弦定理，得
而，或或
或正确．
故选：
通过三角函数与角的关系判断三角形的形状判断A、B的正误；利用正弦定理以及勾股定理判断C的正误；正弦定理以及三角形的面积判断D的正误即可．
本题考查三角形的判断正弦定理以及勾股定理的应用，是基本知识的考查．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于A：非零向量、满足，
令：，，
则，，
由于，
如图所示：
所以四边形OACB为菱形，且为等边三角形；
所以，，
则与的夹角为，故A正确．
对于B：由于，
所以，
所以为等腰三角形，故B正确．
对于C：若单位向量的、的夹角为，则当取最小值时，
即，
当时，的最小值为，故C正确；
对于D：，，，
由于为锐角，
所以，
则，
当时，，故D不正确．
故选：
直接利用向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的夹角的运算，向量的模，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查向量夹角的求解，属于基础题．
根据向量的模和数量积即可得到结论．
【解答】
解：
，
，
，
故答案为
14.【答案】1500
【解析】
【分析】
本题主要考查正弦定理、直角三角形中的边角关系，属于中档题．
中，由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC；在中，利用正弦定理求得AM；再在中，根据，计算求得结果．
【解答】
解：在中，，
，
，
又因在中，，
，
由正弦定理可得，
解得，
所以在中，
，
故答案为
15.【答案】
3
【解析】
【分析】
本题考查正弦定理、余弦定理，属于简单题．
由正弦定理得，由此能求出，由余弦定理得，由此能求出
【解答】
解：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
，，，
由正弦定理得：，即，
解得
由余弦定理得：，即，
解得或舍，
故答案为：；
16.【答案】
【解析】解：如图，
以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，，
设，，
则，，，
，
，
故的取值范围是
故答案为：
由题意画出图形，建立适当的平面直角坐标系，求得，再由二次函数求最值．
本题考查平面向量的数量积运算，建系是解答该题的关键，是中档题．
17.【答案】解：复数，对应点的坐标为
点Z在第三象限，则，解得，
点Z在虚轴上，则，解得，或
点Z在直线上，则，即，
【解析】复数，对应点的坐标为
点Z在第三象限，则，解得即可．
点Z在虚轴上，则，解得m即可．
点Z在直线上，则，解出即可．
本题考查了复数的有关概念、复数相等、几何意义、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：若选①，由余弦定理得，，
因为，所以
若选②，由正弦定理知，，
因为，所以，
又，所以，所以，
又，所以，即
若选③，由得，，
所以，
又，所以，
所以，解得
由正弦定理得，，
又，，，
所以，，
所以，
所以
【解析】若选①，由余弦定理即可得解；
若选②，利用正弦定理将将中的边化为角，可求得的值，从而得解；
若选③，结合辅助角公式可推出，再由，即可得解；
由正弦定理求出a的值，由正弦的两角和公式求出，根据，即可得解．
本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦定理、余弦定理、正弦面积公式与正弦的两角和公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：方法一由题设知，则
所以
故所求的两条对角线的长分别为、
方法二设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：
E为B、C的中点，
又为A、D的中点，所以
故所求的两条对角线的长分别为、；
由题设知：，
由，得：，
从而，所以
或者：，，
【解析】方法一由题设知，则
从而得：
方法二设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则：
由E是AC，BD的中点，易得
从而得：、；
由题设知：，
由，得：，
从而得：
或者由，，得：
本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查向量的坐标运算和基本的求解能力．
20.【答案】解：设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为，
由正弦定理可得，
即为，
由余弦定理可得，
由，可得；
由题意可得，
又，可设，，，
由正弦定理可得，
可得，，
则周长为，
，
当，即时，的周长取得最大值
【解析】运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；
运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值．
本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换和图象与性质，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，
则有，在中，
，，
，
根据余弦定理可求得，
，
在中，根据正弦定理可得
，
，，，
，则有
，小时，
所以缉私船沿北偏东方向，需小时才能追上走私船．
【解析】设缉私船追上走私船需t小时，进而可表示出CD和BD，进而在中利用余弦定理求得BC，进而在中，根据正弦定理可求得的值，进而求得进而求得BD，进而利用求得
本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用三角函数的基础知识解决实际的问题．
22.【答案】解：若，且，
则，
则，
即，
则，
则；
若函数，
则，
则当时，函数取得最大值，此时最小值为
若存在实数k，使得，
则，
即，
即
即
即，
，
，
则，
即
即存在，此时出k的取值范围是
【解析】根据向量关系的坐标公式进行化简求解即可．
根据向量数量积的公式进行化简，结合三角函数的性质进行求解即可．
利用向量垂直的等价条件进行化简求解．
本题主要考查向量数量积的应用以及向量与三角函数的综合，考查学生的运算和转化能力，利用向量数量积的公式进行转化是解决本题的关键．