2021-2022学年九年级数学苏科版上册1.2一元二次方程的解法常考热点专题训练(word解析版)

2021-2022学年苏科版九年级数学上册《1.2一元二次方程的解法》
常考热点专题训练（附答案）
一、选择题
1．下列一元二次方程没有实数根的是（　　）
A．x2+x+3＝0
B．x2+2x+1＝0
C．x2﹣2＝0
D．x2﹣2x﹣3＝0
2．用配方法解方程x2﹣8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2＝7
B．（x﹣4）2＝﹣7
C．（x﹣4）2＝25
D．（x﹣4）2＝﹣25
3．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（　　）
A．
B．1
C．4
D．3
4．若关于x的方程x2+（m+1）x+m2＝0的两个实数根互为倒数，则m的值是（　　）
A．﹣1
B．1或﹣1
C．1
D．2
5．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　）
A．﹣7
B．7
C．3
D．﹣3
6．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16
B．24
C．16或24
D．48
7．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．7
B．7或6
C．6或﹣7
D．6
8．已知a是任何实数，若M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a﹣）﹣1，则M、N的大小关系是（　　）
A．M≥N
B．M＞N
C．M＜N
D．M，N的大小由a的取值范围
二、填空题
9．方程x（x+1）＝x+1的解为：　
　．
10．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于　
　．
11．方程（k﹣1）x2﹣x+＝0有两个实数根，则k的取值范围是　
　．
12．等腰△ABC中，BC＝8，若AB、AC的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的根，则m的值等于　
　．
13．用因式分解法解方程x2﹣px﹣6＝0，将左边分解因式后有一个因式是x﹣3，则p的值是　
　．
14．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有不相等的实数根，则k的取值范围是　
　．
15．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8．则x2+y2的值为　
　．
16．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若+＝﹣1，则k的值为　
　．
17．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解　
　．
三、解答题
18．关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．
19．已知关于x的一元二次方程2x2﹣（m+2）x+m＝0．
（1）证明：不论m为何值，方程总有两个实数根．
（2）若此方程两根之和等于两根之积的一半，求m的值．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣1）x﹣2m2+m＝0（m为实常数）有两个实数根x1，x2．
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）若x12+x22＝2，求m的值．
21．用适当的方法解下列方程．
（1）3x（x+3）＝2（x+3）
（2）2x2﹣4x﹣3＝0．
22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
参考答案
1．解：A．方程x2+x+3＝0中△＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，此方程无实数根；
B．方程x2+2x+1＝0中△＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根；
C．方程x2﹣2＝0中Δ＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，此方程有两个不相等的实数根；
D．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根；
故选：A．
2．解：方程移项得：x2﹣8x＝﹣9，
配方得：x2﹣8x+16＝7，即（x﹣4）2＝7，
故选：A．
3．解：由题意可知：a、b是方程x2﹣4x+1＝0的两个不同的实数根，
∴由根与系数的关系可知：ab＝1，a+b＝4，
∴a2+1＝4a，b2+1＝4b，
∴原式＝+
＝
＝
＝1，
故选：B．
4．解：由题意可知：△＝（m+1）2﹣4m2＝﹣3m2+2m+1，
由题意可知：m2＝1，
∴m＝±1，
当m＝1时，△＝﹣3+2+1＝0，
当m＝﹣1时，△＝﹣3﹣2+1＝﹣4＜0，不满足题意，
故选：C．
5．解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7．
故选：A．
6．解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
7．解：∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
8．解：∵M＝（2a﹣3）（3a﹣1），N＝2a（a﹣）﹣1，
∴M﹣N
＝（2a﹣3）（3a﹣1）﹣2a（a﹣）+1，
＝6a2﹣11a+3﹣2a2+3a+1
＝4a2﹣8a+4
＝4（a﹣1）2
∵（a﹣1）2≥0，
∴M﹣N≥0，则M≥N．
故选：A．
9．解：x（x+1）＝x+1，
移项得：x（x+1）﹣（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣1）＝0，
即：x+1＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣1，x2＝1，
故答案为：﹣1，1．
10．解：∵x2﹣3x﹣1＝0，
a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴b2﹣4ac＝13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
设这两个实数根分别为x1与x2，
则x1+x2＝3；
又∵x2﹣x+3＝0，
a＝1，b＝﹣1，c＝3，
∴b2﹣4ac＝﹣11＜0，
∴此方程没有实数根．
∴一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于3．
故答案为：3．
11．解：由已知方程可知：a＝k﹣1，b＝，c＝，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝﹣2k+2≥0，
解得：k≤1，
∵
∴k＜1，
故答案为k＜1．
12．解：当AB＝BC＝8，把x＝8代入方程得64﹣80+m＝0，解得m＝16，
此时方程为x2﹣10x+16＝0，解得x1＝8，x2＝2；
当AB＝AC，则AB+AC＝10，所以AB＝AC＝5，则m＝5×5＝25．
故答案为25或16．
13．解：根据题意得：x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x﹣a）＝x2﹣（a+3）x+3a＝0，
∴﹣p＝﹣a﹣3，3a＝﹣6，
解得：a＝﹣2，
则p＝1．
故答案为：1．
14．解：根据题意得k﹣1≠0且△＝4﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，解得k＞，
所以k的范围为k＞且k≠1．
故答案为k＞且k≠1．
15．解：设x2+y2＝a，
原方程变形为：（a+1）（a+3）＝8，
即a2+4a﹣5＝0，
解得，a1＝1，a2＝﹣5，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2＝1，
故答案为：1．
16．解：∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣（2k+3），x1x2＝k2，
∴+＝＝﹣＝﹣1，
解得：k1＝﹣1，k2＝3．
∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣，
∴k1＝﹣1舍去．
故答案为：3．
17．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
18．（1）证明：依题意，得△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）
＝m2+6m+9﹣4m﹣8
＝（m+1）2．
∵（m+1）2≥0，
∴△≥0．
∴方程总有两个实数根．
（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，
∵方程的两个实数根都是正整数，
∴m+2≥1．
∴m≥﹣1．
∴m的最小值为﹣1．
19．（1）证明：
∵△＝（m+2）2﹣8m＝m2+4m+4﹣8m＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由根与系数的关系可得＝×，解得m＝﹣4．
20．解：（1）∵△＝（m﹣1）2﹣4（﹣2m2+m）＝9m2﹣6m+1＝（3m﹣1）2＞0，
∴m≠时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵△＝（3m﹣1）2≥0
∴x1+x2＝﹣m+1，x1x2＝﹣2m2+m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（﹣m+1）2﹣2（﹣2m2+m）＝5m2﹣4m+1，
∴5m2﹣4m+1＝2
∴5m2﹣4m﹣1＝0
∴m1＝﹣，m2＝1
经检验都符合题意．
21．解：（1）∵3x（x+3）＝2（x+3），
∴（x+3）（3x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝；
（2）∵2x2﹣4x﹣3＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝40＞0，
∴x＝＝．
22．解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得△＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．